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Programmer avec le logiciel Matlab étape par étape

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Academic year: 2021

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(1)

Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul

Calcul symbolique avec MATLAB

Symbolic Math Toolbox

H. Djelouah

Faculté de Physique

Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene Algérie

(2)

Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul

Introduction

La boîte à outils Symbolic Math Toolbox incorpore le calcul symbolique dans l’environnement numérique de MATLAB.

La boîte à outils contient plus de 100 fonctions qui donnent accès au noyau Maple en utilisant une syntaxe et un style qui sont des extensions naturelles du langage MATLAB.

La boîte à outils Symbolic Math Toolbox fournit les facilités numériques et graphiques de MATLAB avec plusieurs autres types de calcul mathématiques.

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul

Introduction

La boîte à outils Symbolic Math Toolbox incorpore le calcul symbolique dans l’environnement numérique de MATLAB. La boîte à outils contient plus de 100 fonctions qui donnent accès au noyau Maple en utilisant une syntaxe et un style qui sont des extensions naturelles du langage MATLAB.

La boîte à outils Symbolic Math Toolbox fournit les facilités numériques et graphiques de MATLAB avec plusieurs autres types de calcul mathématiques.

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul

Introduction

La boîte à outils Symbolic Math Toolbox incorpore le calcul symbolique dans l’environnement numérique de MATLAB. La boîte à outils contient plus de 100 fonctions qui donnent accès au noyau Maple en utilisant une syntaxe et un style qui sont des extensions naturelles du langage MATLAB.

La boîte à outils Symbolic Math Toolbox fournit les facilités numériques et graphiques de MATLAB avec plusieurs autres types de calcul mathématiques.

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Objets symboliques

La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique.

Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne.

La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter

des variables symboliques, des expressions symboliques et des matrices symboliques.

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Objets symboliques

La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne.

La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter

des variables symboliques, des expressions symboliques et des matrices symboliques.

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Objets symboliques

La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne.

La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter

des variables symboliques, des expressions symboliques et des matrices symboliques.

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Objets symboliques

La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne.

La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter

des variables symboliques,

des expressions symboliques et des matrices symboliques.

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Objets symboliques

La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne.

La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter

des variables symboliques, des expressions symboliques

et des matrices symboliques.

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Objets symboliques

La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne.

La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter

des variables symboliques, des expressions symboliques et des matrices symboliques.

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Objets symboliques

La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne.

La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter

des variables symboliques, des expressions symboliques et des matrices symboliques.

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Calcul symbolique avec MATLAB

L’exemple suivant illustre la différence entre des types de variable standard de MATLAB et l’objet correspondant.

Commande MATLAB

La commande MATLAB : sqrt(2)

renvoie le nombre suivant en virgule flottante : ans = 1.4142

Objet symbolique

Si on convertit 2 en un objet symbolique à l’aide de la commande sym, et en calculant sa racine en écrivant

a = sqrt(sym(2)) le résultat est a = 2ˆ (1/2)

MATLAB donne le résultat 2ˆ (1/2) qui signifie 21/2, en utilisant la

notation de calcul symbolique pour la racine carrée, sans calculer sa valeur numérique.

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Calcul symbolique avec MATLAB

L’exemple suivant illustre la différence entre des types de variable standard de MATLAB et l’objet correspondant.

Commande MATLAB

La commande MATLAB : sqrt(2)

renvoie le nombre suivant en virgule flottante : ans = 1.4142

Objet symbolique

Si on convertit 2 en un objet symbolique à l’aide de la commande sym, et en calculant sa racine en écrivant

a = sqrt(sym(2)) le résultat est a = 2ˆ (1/2)

MATLAB donne le résultat 2ˆ (1/2) qui signifie 21/2, en utilisant la

notation de calcul symbolique pour la racine carrée, sans calculer sa valeur numérique.

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Calcul symbolique avec MATLAB

Valeur d’un objet symbolique

On peut obtenir la valeur numérique d’un objet à l’aide de la commande double :

double(a) ans=

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Calcul symbolique avec MATLAB

Calculs sur les objets symboliques

Quand on crée une fraction utilisant des objets symboliques, MATLAB enregistre le numérateur et le dénominateur. sym(2)/sym(5) =⇒ ans = 2/5

MATLAB ne fait pas les calculs de la même manière sur les variables de type double et les objets symboliques .

Variables double

2/5 + 1/3 =⇒ ans = 0.7333

Objets symboliques

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Calcul symbolique avec MATLAB

Calculs sur les objets symboliques

Quand on crée une fraction utilisant des objets symboliques, MATLAB enregistre le numérateur et le dénominateur. sym(2)/sym(5) =⇒ ans = 2/5

MATLAB ne fait pas les calculs de la même manière sur les variables de type double et les objets symboliques .

Variables double

2/5 + 1/3 =⇒ ans = 0.7333

Objets symboliques

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Calcul symbolique avec MATLAB

Calculs sur les objets symboliques

Quand on crée une fraction utilisant des objets symboliques, MATLAB enregistre le numérateur et le dénominateur. sym(2)/sym(5) =⇒ ans = 2/5

MATLAB ne fait pas les calculs de la même manière sur les variables de type double et les objets symboliques .

Variables double

2/5 + 1/3 =⇒ ans = 0.7333

Objets symboliques

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Calcul symbolique avec MATLAB

Calculs sur les objets symboliques

Quand on crée une fraction utilisant des objets symboliques, MATLAB enregistre le numérateur et le dénominateur. sym(2)/sym(5) =⇒ ans = 2/5

MATLAB ne fait pas les calculs de la même manière sur les variables de type double et les objets symboliques .

Variables double

2/5 + 1/3 =⇒ ans = 0.7333

Objets symboliques

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Calcul symbolique avec MATLAB

Calculs sur les objets symboliques

Quand on crée une fraction utilisant des objets symboliques, MATLAB enregistre le numérateur et le dénominateur. sym(2)/sym(5) =⇒ ans = 2/5

MATLAB ne fait pas les calculs de la même manière sur les variables de type double et les objets symboliques .

Variables double

2/5 + 1/3 =⇒ ans = 0.7333

Objets symboliques

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Création de variables et d’expressions

symboliques

La commande sym permet de construire

des variables symboliques

x = sym(0x0) a = sym(0alpha0)

créent une variable symbolique qui s’écrit x et une autre variable symbolique qui s’écrit alpha.

des expressions symboliques

Le rapport ρ = 1 + √

5

2 est créé par la commande rho = sym(0(1 + sqrt(5))/20).

On peut faire des opérations mathématiques telles que : f = rhoˆ2 − rho − 1 qui donne

f = (1/2 + 1/2 ∗ 5ˆ(1/2))ˆ2 − 3/2 − 1/2 ∗ 5ˆ(1/2)

Cette expression peut être simplifiée en écrivant simplify (f ) qui donne ans = 0.

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Création de variables et d’expressions

symboliques

La commande sym permet de construire

des variables symboliques

x = sym(0x0) a = sym(0alpha0)

créent une variable symbolique qui s’écrit x et une autre variable symbolique qui s’écrit alpha.

des expressions symboliques

Le rapport ρ = 1 + √

5

2 est créé par la commande rho = sym(0(1 + sqrt(5))/20).

On peut faire des opérations mathématiques telles que : f = rhoˆ2 − rho − 1 qui donne

f = (1/2 + 1/2 ∗ 5ˆ(1/2))ˆ2 − 3/2 − 1/2 ∗ 5ˆ(1/2)

Cette expression peut être simplifiée en écrivant simplify (f ) qui donne ans = 0.

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Création de variables et d’expressions

symboliques

La commande sym permet de construire

des variables symboliques

x = sym(0x0) a = sym(0alpha0)

créent une variable symbolique qui s’écrit x et une autre variable symbolique qui s’écrit alpha.

des expressions symboliques

Le rapport ρ = 1 + √

5

2 est créé par la commande rho = sym(0(1 + sqrt(5))/20).

On peut faire des opérations mathématiques telles que : f = rhoˆ2 − rho − 1 qui donne

f = (1/2 + 1/2 ∗ 5ˆ(1/2))ˆ2 − 3/2 − 1/2 ∗ 5ˆ(1/2)

Cette expression peut être simplifiée en écrivant simplify (f ) qui donne ans = 0.

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Création de variables et d’expressions

symboliques

La commande sym permet de construire

des variables symboliques

x = sym(0x0) a = sym(0alpha0)

créent une variable symbolique qui s’écrit x et une autre variable symbolique qui s’écrit alpha.

des expressions symboliques

Le rapport ρ = 1 + √

5

2 est créé par la commande rho = sym(0(1 + sqrt(5))/20).

On peut faire des opérations mathématiques telles que : f = rhoˆ2 − rho − 1 qui donne

f = (1/2 + 1/2 ∗ 5ˆ(1/2))ˆ2 − 3/2 − 1/2 ∗ 5ˆ(1/2)

Cette expression peut être simplifiée en écrivant simplify (f ) qui donne ans = 0.

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Supposons que l’on veuille créer la fonction quadratique f = ax2+bx + c.

Première possibilité

f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)

qui assigne à f l’expression symbolique ax2+bx + c.

Dans ce cas, il n’y a pas création de variables correspondant aux termes a, b, c et x . Pour faire des opérations de calcul

symbolique (différentiation, intégration, substitution, ...)sur f on doit créer ces variables explicitement.

Une meilleure solution

a = sym(0a0); b = sym(0b0); c = sym(0c0); x = sym(0x0)ou plus

simplement syms a b c x puis écrire

f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Supposons que l’on veuille créer la fonction quadratique f = ax2+bx + c.

Première possibilité

f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)

qui assigne à f l’expression symbolique ax2+bx + c.

Dans ce cas, il n’y a pas création de variables correspondant aux termes a, b, c et x . Pour faire des opérations de calcul

symbolique (différentiation, intégration, substitution, ...)sur f on doit créer ces variables explicitement.

Une meilleure solution

a = sym(0a0); b = sym(0b0); c = sym(0c0); x = sym(0x0)ou plus

simplement syms a b c x puis écrire

f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Supposons que l’on veuille créer la fonction quadratique f = ax2+bx + c.

Première possibilité

f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)

qui assigne à f l’expression symbolique ax2+bx + c.

Dans ce cas, il n’y a pas création de variables correspondant aux termes a, b, c et x . Pour faire des opérations de calcul

symbolique (différentiation, intégration, substitution, ...)sur f on doit créer ces variables explicitement.

Une meilleure solution

a = sym(0a0); b = sym(0b0); c = sym(0c0); x = sym(0x0)

ou plus simplement

syms a b c x puis écrire

f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Supposons que l’on veuille créer la fonction quadratique f = ax2+bx + c.

Première possibilité

f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)

qui assigne à f l’expression symbolique ax2+bx + c.

Dans ce cas, il n’y a pas création de variables correspondant aux termes a, b, c et x . Pour faire des opérations de calcul

symbolique (différentiation, intégration, substitution, ...)sur f on doit créer ces variables explicitement.

Une meilleure solution

a = sym(0a0); b = sym(0b0); c = sym(0c0); x = sym(0x0)ou plus

simplement syms a b c x puis écrire

f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul

Supposons que l’on veuille créer la fonction quadratique f = ax2+bx + c.

Première possibilité

f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)

qui assigne à f l’expression symbolique ax2+bx + c.

Dans ce cas, il n’y a pas création de variables correspondant aux termes a, b, c et x . Pour faire des opérations de calcul

symbolique (différentiation, intégration, substitution, ...)sur f on doit créer ces variables explicitement.

Une meilleure solution

a = sym(0a0); b = sym(0b0); c = sym(0c0); x = sym(0x0)ou plus

simplement syms a b c x puis écrire

f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse

Dérivation

Création de l’expression symbolique :

syms a x f = sin(a*x)

Calcul de sa dérivée

diff(f)calcule la dérivée de f par rapport à x :

ans = cos(a*x)*a

Pour calculer la dérivée par rapport à a :

diff(f,a)qui donne

ans = cos(a*x)*x

Pour calculer la dérivée seconde par rapport à x et a :

diff(f,2)ou biendiff(f,x,2)donnent

ans = -sin(a*x)*aˆ2

etdiff(f,a,2)qui donne

ans = -sin(a*x)*xˆ2

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse

Dérivation

Création de l’expression symbolique :

syms a x f = sin(a*x)

Calcul de sa dérivée

diff(f)calcule la dérivée de f par rapport à x :

ans = cos(a*x)*a

Pour calculer la dérivée par rapport à a :

diff(f,a)qui donne

ans = cos(a*x)*x

Pour calculer la dérivée seconde par rapport à x et a :

diff(f,2)ou biendiff(f,x,2)donnent

ans = -sin(a*x)*aˆ2

etdiff(f,a,2)qui donne

ans = -sin(a*x)*xˆ2

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Dérivation

Création de l’expression symbolique :

syms a x f = sin(a*x)

Calcul de sa dérivée

diff(f)calcule la dérivée de f par rapport à x :

ans = cos(a*x)*a

Pour calculer la dérivée par rapport à a :

diff(f,a)qui donne

ans = cos(a*x)*x

Pour calculer la dérivée seconde par rapport à x et a :

diff(f,2)ou biendiff(f,x,2)donnent

ans = -sin(a*x)*aˆ2

etdiff(f,a,2)qui donne

ans = -sin(a*x)*xˆ2

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Dérivation

Création de l’expression symbolique :

syms a x f = sin(a*x)

Calcul de sa dérivée

diff(f)calcule la dérivée de f par rapport à x :

ans = cos(a*x)*a

Pour calculer la dérivée par rapport à a :

diff(f,a)qui donne

ans = cos(a*x)*x

Pour calculer la dérivée seconde par rapport à x et a :

diff(f,2)ou biendiff(f,x,2)donnent

ans = -sin(a*x)*aˆ2

etdiff(f,a,2)qui donne

ans = -sin(a*x)*xˆ2

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse

Dérivation d’une matrice

La fonctiondiff peut également agir sur une matrice. Dans ce cas la dérivation est effectuée sur chaque élément de la matrice.

Considérons l’exemple : syms a x A = [cos(a*x),sin(a*x) ;-sin(a*x),cos(a*x)] qui donne A = [cos(a*x), sin(a*x)] [-sin(a*x), cos(a*x)]

La commandediff(A)donne :

ans =

[-sin(a*x)*a, cos(a*x)*a]

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse

Dérivation d’une matrice

La fonctiondiff peut également agir sur une matrice. Dans ce cas la dérivation est effectuée sur chaque élément de la matrice. Considérons l’exemple : syms a x A = [cos(a*x),sin(a*x) ;-sin(a*x),cos(a*x)] qui donne A = [cos(a*x), sin(a*x)] [-sin(a*x), cos(a*x)]

La commandediff(A)donne :

ans =

[-sin(a*x)*a, cos(a*x)*a]

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Dérivation d’une matrice

La fonctiondiff peut également agir sur une matrice. Dans ce cas la dérivation est effectuée sur chaque élément de la matrice. Considérons l’exemple : syms a x A = [cos(a*x),sin(a*x) ;-sin(a*x),cos(a*x)] qui donne A = [cos(a*x), sin(a*x)] [-sin(a*x), cos(a*x)]

La commandediff(A)donne :

ans =

[-sin(a*x)*a, cos(a*x)*a]

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse

Dérivation d’une matrice

La fonctiondiff peut également agir sur une matrice. Dans ce cas la dérivation est effectuée sur chaque élément de la matrice. Considérons l’exemple : syms a x A = [cos(a*x),sin(a*x) ;-sin(a*x),cos(a*x)] qui donne A = [cos(a*x), sin(a*x)] [-sin(a*x), cos(a*x)]

La commandediff(A)donne :

ans =

[-sin(a*x)*a, cos(a*x)*a]

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse

Calcul de limites

La boîte à outils de Calcul symbolique permet de calculer les limites d’une fonction.

Les commandes

syms h n x

limit( (cos(x+h) - cos(x))/h,h,0 )

donnent ans = -sin(x) et limit( (1 + x/n)ˆn,n,inf) qui donne ans = exp(x)

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse

Calcul de limites

La boîte à outils de Calcul symbolique permet de calculer les limites d’une fonction.

Les commandes

syms h n x

limit( (cos(x+h) - cos(x))/h,h,0 )

donnent ans = -sin(x) et limit( (1 + x/n)ˆn,n,inf) qui donne ans = exp(x)

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse

Calcul de limites

La boîte à outils de Calcul symbolique permet de calculer les limites d’une fonction.

Les commandes

syms h n x

limit( (cos(x+h) - cos(x))/h,h,0 )

donnent ans = -sin(x) et limit( (1 + x/n)ˆn,n,inf) qui donne ans = exp(x)

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse

Calcul de limites

La boîte à outils de Calcul symbolique permet de calculer les limites d’une fonction.

Les commandes

syms h n x

limit( (cos(x+h) - cos(x))/h,h,0 )

donnent ans = -sin(x) et limit( (1 + x/n)ˆn,n,inf) qui donne ans = exp(x)

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Intégration

Sif est une expression symbolique,alorsint(f)tente de trouver une autre expression symboliqueF telle quediff(F)=f,

c’est-à-dire queint(f)donne l’intégrale indéfinie def si elle existe.

Exemples

syms x n a t b

int(xˆn) ouint(xˆn,x)calculentR xndx

int(sin(2*x),0,pi/2 ) ouint(sin(2*x),x,0,pi/2)calculent Rπ/2

0 sin 2xdx

g = cos(a*t + b)

int(g)ou int(g,t)calculentR cos(at + b) dt

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse

Intégration

Sif est une expression symbolique,alorsint(f)tente de trouver une autre expression symboliqueF telle quediff(F)=f,

c’est-à-dire queint(f)donne l’intégrale indéfinie def si elle existe.

Exemples

syms x n a t b

int(xˆn) ouint(xˆn,x)calculentR xndx

int(sin(2*x),0,pi/2 ) ouint(sin(2*x),x,0,pi/2)calculent Rπ/2

0 sin 2xdx

g = cos(a*t + b)

int(g)ou int(g,t)calculentR cos(at + b) dt

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse

Intégration

Sif est une expression symbolique,alorsint(f)tente de trouver une autre expression symboliqueF telle quediff(F)=f,

c’est-à-dire queint(f)donne l’intégrale indéfinie def si elle existe.

Exemples

syms x n a t b

int(xˆn) ouint(xˆn,x)calculentR xndx

int(sin(2*x),0,pi/2 ) ouint(sin(2*x),x,0,pi/2)calculent Rπ/2

0 sin 2xdx

g = cos(a*t + b)

int(g)ou int(g,t)calculentR cos(at + b) dt

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse

Intégration

Sif est une expression symbolique,alorsint(f)tente de trouver une autre expression symboliqueF telle quediff(F)=f,

c’est-à-dire queint(f)donne l’intégrale indéfinie def si elle existe.

Exemples

syms x n a t b

int(xˆn) ouint(xˆn,x)calculentR xndx

int(sin(2*x),0,pi/2 ) ouint(sin(2*x),x,0,pi/2)calculent Rπ/2

0 sin 2xdx

g = cos(a*t + b)

int(g)ou int(g,t)calculentR cos(at + b) dt

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse

Intégration

Sif est une expression symbolique,alorsint(f)tente de trouver une autre expression symboliqueF telle quediff(F)=f,

c’est-à-dire queint(f)donne l’intégrale indéfinie def si elle existe.

Exemples

syms x n a t b

int(xˆn) ouint(xˆn,x)calculentR xndx

int(sin(2*x),0,pi/2 ) ouint(sin(2*x),x,0,pi/2)calculent Rπ/2

0 sin 2xdx

g = cos(a*t + b)

int(g)ou int(g,t)calculentR cos(at + b) dt

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse

Sommation symbolique

On peut calculer des sommes symboliques quand elles existent en utilisant la commandesymsum.

Exemples

syms x k

Ecrire la commande qui permet de calculerP∞

k =1k12 = π2 6 s1 = symsum(1/kˆ2,1,inf) s1 = 1/6*piˆ2

Ecrire la commande qui permet de calculer P∞

k =0xk = 1−x1 pour |x | < 1

s2 = symsum(xˆk,k,0,inf) s2 =

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Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse

Sommation symbolique

On peut calculer des sommes symboliques quand elles existent en utilisant la commandesymsum.

Exemples

syms x k

Ecrire la commande qui permet de calculerP∞

k =1k12 = π2 6 s1 = symsum(1/kˆ2,1,inf) s1 = 1/6*piˆ2

Ecrire la commande qui permet de calculer P∞

k =0xk = 1−x1 pour |x | < 1

s2 = symsum(xˆk,k,0,inf) s2 =

(48)

Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse

Sommation symbolique

On peut calculer des sommes symboliques quand elles existent en utilisant la commandesymsum.

Exemples

syms x k

Ecrire la commande qui permet de calculerP∞

k =1k12 = π2 6 s1 = symsum(1/kˆ2,1,inf) s1 = 1/6*piˆ2

Ecrire la commande qui permet de calculer P∞

k =0xk = 1−x1 pour |x | < 1

s2 = symsum(xˆk,k,0,inf) s2 =

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Sommation symbolique

On peut calculer des sommes symboliques quand elles existent en utilisant la commandesymsum.

Exemples

syms x k

Ecrire la commande qui permet de calculerP∞

k =1k12 = π2 6 s1 = symsum(1/kˆ2,1,inf) s1 = 1/6*piˆ2

Ecrire la commande qui permet de calculer P∞

k =0xk = 1−x1 pour |x | < 1

s2 = symsum(xˆk,k,0,inf) s2 =

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Sommation symbolique

On peut calculer des sommes symboliques quand elles existent en utilisant la commandesymsum.

Exemples

syms x k

Ecrire la commande qui permet de calculerP∞

k =1k12 = π2 6 s1 = symsum(1/kˆ2,1,inf) s1 = 1/6*piˆ2

Ecrire la commande qui permet de calculer P∞

k =0xk = 1−x1 pour |x | < 1

s2 = symsum(xˆk,k,0,inf) s2 =

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Sommation symbolique

On peut calculer des sommes symboliques quand elles existent en utilisant la commandesymsum.

Exemples

syms x k

Ecrire la commande qui permet de calculerP∞

k =1k12 = π2 6 s1 = symsum(1/kˆ2,1,inf) s1 = 1/6*piˆ2

Ecrire la commande qui permet de calculer P∞

k =0xk = 1−x1 pour |x | < 1

s2 = symsum(xˆk,k,0,inf) s2 =

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Séries de Taylor

Les commandes syms x f = 1/(5+4*cos(x)) T = taylor(f,8) donnent T = 1/9+2/81*xˆ2+5/1458*xˆ4+49/131220*xˆ6

qui est la somme de tous les termes d’ordre inférieur à 8, du développement en série de Taylor de f (x ) :

n=7 X n=0 (x − a)n f (n)(a) n! pour a=1 Remarque

La commandepretty(T)affiche le résultat sous une forme ressemblant à l’écriture des équations mathématiques.

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Séries de Taylor

Les commandes syms x f = 1/(5+4*cos(x)) T = taylor(f,8) donnent T = 1/9+2/81*xˆ2+5/1458*xˆ4+49/131220*xˆ6

qui est la somme de tous les termes d’ordre inférieur à 8, du développement en série de Taylor de f (x ) :

n=7 X n=0 (x − a)n f (n)(a) n! pour a=1 Remarque

La commandepretty(T)affiche le résultat sous une forme ressemblant à l’écriture des équations mathématiques.

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Exercice

Ecrire et commenter les lignes suivantes :

syms x g = exp(x*sin(x)) t = taylor(g,12,2) xd = 1 :0.05 :3 ; yd = subs(g,x,xd) ; ezplot(t, [1,3]) ; hold on ; plot(xd, yd, ’r-.’)

title(’Approximation de Taylor d’une fonction’) ; legend(’Fonction’,’Taylor’)

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Problème de synthèse

Ecrire, executer et commenter la suite de commandes suivante :

syms x f = 1/(5+4*cos(x)) ezplot(f) f2 = diff(f,2) ezplot(f2) axis([-2*pi 2*pi -5 2]) f3 = diff(f2) ; pretty(f3) f3 = simple(f3) ; pretty(f3) z = solve(f3) zr = double(z) ezplot(f3) hold on ; plot(zr,0*zr,’ro’) plot([-2*pi,2*pi],[0,0],’g-.’) ; title(’Zeros of f3’) zr = [0 zr(4) pi 2*pi-zr(4)] zr = [zr-2*pi zr zr+2*pi] ; plot(zr,0*zr,’kX’) f20 = subs(f2,x,0) clf ezplot(f2) axis([-2*pi 2*pi -4.25 1.25]) ylabel(’f2’) ; title(’Plot of f2 = f””(x)’) hold on plot(0,double(f20),’ro’) text(-1,-0.25,’Local minimum’) simple([subs(f3,x,-sym(pi)),subs(f3,x,sym(pi))]) m1 = double(subs(f2,x,-pi)) ; m2 = double(subs(f2,x,pi)) ; plot(-pi,m1,’go’,pi,m2,’go’)

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suite...

text(-1,-4,’Global minima’) s = z(4) sd = double(s) M1 = double(subs(f2,x,s)) ; plot(sd,M1,’ko’) text(-1,1,’Global maximum’) g = int(int(f2)) d = f - g pretty(d) F = int(f) ezplot(F) J = sym(’round(x/(2*pi))’) ; c = sym(’2/3*pi’) ; F1 = F+c*J ezplot(F1,[-6.28,6.28])

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