Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul
Calcul symbolique avec MATLAB
Symbolic Math ToolboxH. Djelouah
Faculté de Physique
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene Algérie
Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul
Introduction
La boîte à outils Symbolic Math Toolbox incorpore le calcul symbolique dans l’environnement numérique de MATLAB.
La boîte à outils contient plus de 100 fonctions qui donnent accès au noyau Maple en utilisant une syntaxe et un style qui sont des extensions naturelles du langage MATLAB.
La boîte à outils Symbolic Math Toolbox fournit les facilités numériques et graphiques de MATLAB avec plusieurs autres types de calcul mathématiques.
Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul
Introduction
La boîte à outils Symbolic Math Toolbox incorpore le calcul symbolique dans l’environnement numérique de MATLAB. La boîte à outils contient plus de 100 fonctions qui donnent accès au noyau Maple en utilisant une syntaxe et un style qui sont des extensions naturelles du langage MATLAB.
La boîte à outils Symbolic Math Toolbox fournit les facilités numériques et graphiques de MATLAB avec plusieurs autres types de calcul mathématiques.
Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul
Introduction
La boîte à outils Symbolic Math Toolbox incorpore le calcul symbolique dans l’environnement numérique de MATLAB. La boîte à outils contient plus de 100 fonctions qui donnent accès au noyau Maple en utilisant une syntaxe et un style qui sont des extensions naturelles du langage MATLAB.
La boîte à outils Symbolic Math Toolbox fournit les facilités numériques et graphiques de MATLAB avec plusieurs autres types de calcul mathématiques.
Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul
Objets symboliques
La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique.
Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne.
La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter
des variables symboliques, des expressions symboliques et des matrices symboliques.
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Objets symboliques
La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne.
La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter
des variables symboliques, des expressions symboliques et des matrices symboliques.
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Objets symboliques
La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne.
La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter
des variables symboliques, des expressions symboliques et des matrices symboliques.
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Objets symboliques
La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne.
La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter
des variables symboliques,
des expressions symboliques et des matrices symboliques.
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Objets symboliques
La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne.
La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter
des variables symboliques, des expressions symboliques
et des matrices symboliques.
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Objets symboliques
La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne.
La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter
des variables symboliques, des expressions symboliques et des matrices symboliques.
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Objets symboliques
La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne.
La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter
des variables symboliques, des expressions symboliques et des matrices symboliques.
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Calcul symbolique avec MATLAB
L’exemple suivant illustre la différence entre des types de variable standard de MATLAB et l’objet correspondant.
Commande MATLAB
La commande MATLAB : sqrt(2)
renvoie le nombre suivant en virgule flottante : ans = 1.4142
Objet symbolique
Si on convertit 2 en un objet symbolique à l’aide de la commande sym, et en calculant sa racine en écrivant
a = sqrt(sym(2)) le résultat est a = 2ˆ (1/2)
MATLAB donne le résultat 2ˆ (1/2) qui signifie 21/2, en utilisant la
notation de calcul symbolique pour la racine carrée, sans calculer sa valeur numérique.
Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul
Calcul symbolique avec MATLAB
L’exemple suivant illustre la différence entre des types de variable standard de MATLAB et l’objet correspondant.
Commande MATLAB
La commande MATLAB : sqrt(2)
renvoie le nombre suivant en virgule flottante : ans = 1.4142
Objet symbolique
Si on convertit 2 en un objet symbolique à l’aide de la commande sym, et en calculant sa racine en écrivant
a = sqrt(sym(2)) le résultat est a = 2ˆ (1/2)
MATLAB donne le résultat 2ˆ (1/2) qui signifie 21/2, en utilisant la
notation de calcul symbolique pour la racine carrée, sans calculer sa valeur numérique.
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Calcul symbolique avec MATLAB
Valeur d’un objet symbolique
On peut obtenir la valeur numérique d’un objet à l’aide de la commande double :
double(a) ans=
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Calcul symbolique avec MATLAB
Calculs sur les objets symboliques
Quand on crée une fraction utilisant des objets symboliques, MATLAB enregistre le numérateur et le dénominateur. sym(2)/sym(5) =⇒ ans = 2/5
MATLAB ne fait pas les calculs de la même manière sur les variables de type double et les objets symboliques .
Variables double
2/5 + 1/3 =⇒ ans = 0.7333
Objets symboliques
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Calcul symbolique avec MATLAB
Calculs sur les objets symboliques
Quand on crée une fraction utilisant des objets symboliques, MATLAB enregistre le numérateur et le dénominateur. sym(2)/sym(5) =⇒ ans = 2/5
MATLAB ne fait pas les calculs de la même manière sur les variables de type double et les objets symboliques .
Variables double
2/5 + 1/3 =⇒ ans = 0.7333
Objets symboliques
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Calculs sur les objets symboliques
Quand on crée une fraction utilisant des objets symboliques, MATLAB enregistre le numérateur et le dénominateur. sym(2)/sym(5) =⇒ ans = 2/5
MATLAB ne fait pas les calculs de la même manière sur les variables de type double et les objets symboliques .
Variables double
2/5 + 1/3 =⇒ ans = 0.7333
Objets symboliques
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Calcul symbolique avec MATLAB
Calculs sur les objets symboliques
Quand on crée une fraction utilisant des objets symboliques, MATLAB enregistre le numérateur et le dénominateur. sym(2)/sym(5) =⇒ ans = 2/5
MATLAB ne fait pas les calculs de la même manière sur les variables de type double et les objets symboliques .
Variables double
2/5 + 1/3 =⇒ ans = 0.7333
Objets symboliques
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Calculs sur les objets symboliques
Quand on crée une fraction utilisant des objets symboliques, MATLAB enregistre le numérateur et le dénominateur. sym(2)/sym(5) =⇒ ans = 2/5
MATLAB ne fait pas les calculs de la même manière sur les variables de type double et les objets symboliques .
Variables double
2/5 + 1/3 =⇒ ans = 0.7333
Objets symboliques
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Création de variables et d’expressions
symboliques
La commande sym permet de construire
des variables symboliques
x = sym(0x0) a = sym(0alpha0)
créent une variable symbolique qui s’écrit x et une autre variable symbolique qui s’écrit alpha.
des expressions symboliques
Le rapport ρ = 1 + √
5
2 est créé par la commande rho = sym(0(1 + sqrt(5))/20).
On peut faire des opérations mathématiques telles que : f = rhoˆ2 − rho − 1 qui donne
f = (1/2 + 1/2 ∗ 5ˆ(1/2))ˆ2 − 3/2 − 1/2 ∗ 5ˆ(1/2)
Cette expression peut être simplifiée en écrivant simplify (f ) qui donne ans = 0.
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Création de variables et d’expressions
symboliques
La commande sym permet de construire
des variables symboliques
x = sym(0x0) a = sym(0alpha0)
créent une variable symbolique qui s’écrit x et une autre variable symbolique qui s’écrit alpha.
des expressions symboliques
Le rapport ρ = 1 + √
5
2 est créé par la commande rho = sym(0(1 + sqrt(5))/20).
On peut faire des opérations mathématiques telles que : f = rhoˆ2 − rho − 1 qui donne
f = (1/2 + 1/2 ∗ 5ˆ(1/2))ˆ2 − 3/2 − 1/2 ∗ 5ˆ(1/2)
Cette expression peut être simplifiée en écrivant simplify (f ) qui donne ans = 0.
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Création de variables et d’expressions
symboliques
La commande sym permet de construire
des variables symboliques
x = sym(0x0) a = sym(0alpha0)
créent une variable symbolique qui s’écrit x et une autre variable symbolique qui s’écrit alpha.
des expressions symboliques
Le rapport ρ = 1 + √
5
2 est créé par la commande rho = sym(0(1 + sqrt(5))/20).
On peut faire des opérations mathématiques telles que : f = rhoˆ2 − rho − 1 qui donne
f = (1/2 + 1/2 ∗ 5ˆ(1/2))ˆ2 − 3/2 − 1/2 ∗ 5ˆ(1/2)
Cette expression peut être simplifiée en écrivant simplify (f ) qui donne ans = 0.
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Création de variables et d’expressions
symboliques
La commande sym permet de construire
des variables symboliques
x = sym(0x0) a = sym(0alpha0)
créent une variable symbolique qui s’écrit x et une autre variable symbolique qui s’écrit alpha.
des expressions symboliques
Le rapport ρ = 1 + √
5
2 est créé par la commande rho = sym(0(1 + sqrt(5))/20).
On peut faire des opérations mathématiques telles que : f = rhoˆ2 − rho − 1 qui donne
f = (1/2 + 1/2 ∗ 5ˆ(1/2))ˆ2 − 3/2 − 1/2 ∗ 5ˆ(1/2)
Cette expression peut être simplifiée en écrivant simplify (f ) qui donne ans = 0.
Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul
Supposons que l’on veuille créer la fonction quadratique f = ax2+bx + c.
Première possibilité
f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)
qui assigne à f l’expression symbolique ax2+bx + c.
Dans ce cas, il n’y a pas création de variables correspondant aux termes a, b, c et x . Pour faire des opérations de calcul
symbolique (différentiation, intégration, substitution, ...)sur f on doit créer ces variables explicitement.
Une meilleure solution
a = sym(0a0); b = sym(0b0); c = sym(0c0); x = sym(0x0)ou plus
simplement syms a b c x puis écrire
f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)
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Supposons que l’on veuille créer la fonction quadratique f = ax2+bx + c.
Première possibilité
f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)
qui assigne à f l’expression symbolique ax2+bx + c.
Dans ce cas, il n’y a pas création de variables correspondant aux termes a, b, c et x . Pour faire des opérations de calcul
symbolique (différentiation, intégration, substitution, ...)sur f on doit créer ces variables explicitement.
Une meilleure solution
a = sym(0a0); b = sym(0b0); c = sym(0c0); x = sym(0x0)ou plus
simplement syms a b c x puis écrire
f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)
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Supposons que l’on veuille créer la fonction quadratique f = ax2+bx + c.
Première possibilité
f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)
qui assigne à f l’expression symbolique ax2+bx + c.
Dans ce cas, il n’y a pas création de variables correspondant aux termes a, b, c et x . Pour faire des opérations de calcul
symbolique (différentiation, intégration, substitution, ...)sur f on doit créer ces variables explicitement.
Une meilleure solution
a = sym(0a0); b = sym(0b0); c = sym(0c0); x = sym(0x0)
ou plus simplement
syms a b c x puis écrire
f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)
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Supposons que l’on veuille créer la fonction quadratique f = ax2+bx + c.
Première possibilité
f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)
qui assigne à f l’expression symbolique ax2+bx + c.
Dans ce cas, il n’y a pas création de variables correspondant aux termes a, b, c et x . Pour faire des opérations de calcul
symbolique (différentiation, intégration, substitution, ...)sur f on doit créer ces variables explicitement.
Une meilleure solution
a = sym(0a0); b = sym(0b0); c = sym(0c0); x = sym(0x0)ou plus
simplement syms a b c x puis écrire
f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)
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Supposons que l’on veuille créer la fonction quadratique f = ax2+bx + c.
Première possibilité
f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)
qui assigne à f l’expression symbolique ax2+bx + c.
Dans ce cas, il n’y a pas création de variables correspondant aux termes a, b, c et x . Pour faire des opérations de calcul
symbolique (différentiation, intégration, substitution, ...)sur f on doit créer ces variables explicitement.
Une meilleure solution
a = sym(0a0); b = sym(0b0); c = sym(0c0); x = sym(0x0)ou plus
simplement syms a b c x puis écrire
f = sym(0a ∗ x ˆ2 + b ∗ x + c0)
Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse
Dérivation
Création de l’expression symbolique :
syms a x f = sin(a*x)
Calcul de sa dérivée
diff(f)calcule la dérivée de f par rapport à x :
ans = cos(a*x)*a
Pour calculer la dérivée par rapport à a :
diff(f,a)qui donne
ans = cos(a*x)*x
Pour calculer la dérivée seconde par rapport à x et a :
diff(f,2)ou biendiff(f,x,2)donnent
ans = -sin(a*x)*aˆ2
etdiff(f,a,2)qui donne
ans = -sin(a*x)*xˆ2
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Dérivation
Création de l’expression symbolique :
syms a x f = sin(a*x)
Calcul de sa dérivée
diff(f)calcule la dérivée de f par rapport à x :
ans = cos(a*x)*a
Pour calculer la dérivée par rapport à a :
diff(f,a)qui donne
ans = cos(a*x)*x
Pour calculer la dérivée seconde par rapport à x et a :
diff(f,2)ou biendiff(f,x,2)donnent
ans = -sin(a*x)*aˆ2
etdiff(f,a,2)qui donne
ans = -sin(a*x)*xˆ2
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Dérivation
Création de l’expression symbolique :
syms a x f = sin(a*x)
Calcul de sa dérivée
diff(f)calcule la dérivée de f par rapport à x :
ans = cos(a*x)*a
Pour calculer la dérivée par rapport à a :
diff(f,a)qui donne
ans = cos(a*x)*x
Pour calculer la dérivée seconde par rapport à x et a :
diff(f,2)ou biendiff(f,x,2)donnent
ans = -sin(a*x)*aˆ2
etdiff(f,a,2)qui donne
ans = -sin(a*x)*xˆ2
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Dérivation
Création de l’expression symbolique :
syms a x f = sin(a*x)
Calcul de sa dérivée
diff(f)calcule la dérivée de f par rapport à x :
ans = cos(a*x)*a
Pour calculer la dérivée par rapport à a :
diff(f,a)qui donne
ans = cos(a*x)*x
Pour calculer la dérivée seconde par rapport à x et a :
diff(f,2)ou biendiff(f,x,2)donnent
ans = -sin(a*x)*aˆ2
etdiff(f,a,2)qui donne
ans = -sin(a*x)*xˆ2
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Dérivation d’une matrice
La fonctiondiff peut également agir sur une matrice. Dans ce cas la dérivation est effectuée sur chaque élément de la matrice.
Considérons l’exemple : syms a x A = [cos(a*x),sin(a*x) ;-sin(a*x),cos(a*x)] qui donne A = [cos(a*x), sin(a*x)] [-sin(a*x), cos(a*x)]
La commandediff(A)donne :
ans =
[-sin(a*x)*a, cos(a*x)*a]
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Dérivation d’une matrice
La fonctiondiff peut également agir sur une matrice. Dans ce cas la dérivation est effectuée sur chaque élément de la matrice. Considérons l’exemple : syms a x A = [cos(a*x),sin(a*x) ;-sin(a*x),cos(a*x)] qui donne A = [cos(a*x), sin(a*x)] [-sin(a*x), cos(a*x)]
La commandediff(A)donne :
ans =
[-sin(a*x)*a, cos(a*x)*a]
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Dérivation d’une matrice
La fonctiondiff peut également agir sur une matrice. Dans ce cas la dérivation est effectuée sur chaque élément de la matrice. Considérons l’exemple : syms a x A = [cos(a*x),sin(a*x) ;-sin(a*x),cos(a*x)] qui donne A = [cos(a*x), sin(a*x)] [-sin(a*x), cos(a*x)]
La commandediff(A)donne :
ans =
[-sin(a*x)*a, cos(a*x)*a]
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Dérivation d’une matrice
La fonctiondiff peut également agir sur une matrice. Dans ce cas la dérivation est effectuée sur chaque élément de la matrice. Considérons l’exemple : syms a x A = [cos(a*x),sin(a*x) ;-sin(a*x),cos(a*x)] qui donne A = [cos(a*x), sin(a*x)] [-sin(a*x), cos(a*x)]
La commandediff(A)donne :
ans =
[-sin(a*x)*a, cos(a*x)*a]
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Calcul de limites
La boîte à outils de Calcul symbolique permet de calculer les limites d’une fonction.
Les commandes
syms h n x
limit( (cos(x+h) - cos(x))/h,h,0 )
donnent ans = -sin(x) et limit( (1 + x/n)ˆn,n,inf) qui donne ans = exp(x)
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Calcul de limites
La boîte à outils de Calcul symbolique permet de calculer les limites d’une fonction.
Les commandes
syms h n x
limit( (cos(x+h) - cos(x))/h,h,0 )
donnent ans = -sin(x) et limit( (1 + x/n)ˆn,n,inf) qui donne ans = exp(x)
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Calcul de limites
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Les commandes
syms h n x
limit( (cos(x+h) - cos(x))/h,h,0 )
donnent ans = -sin(x) et limit( (1 + x/n)ˆn,n,inf) qui donne ans = exp(x)
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Calcul de limites
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Les commandes
syms h n x
limit( (cos(x+h) - cos(x))/h,h,0 )
donnent ans = -sin(x) et limit( (1 + x/n)ˆn,n,inf) qui donne ans = exp(x)
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Intégration
Sif est une expression symbolique,alorsint(f)tente de trouver une autre expression symboliqueF telle quediff(F)=f,
c’est-à-dire queint(f)donne l’intégrale indéfinie def si elle existe.
Exemples
syms x n a t b
int(xˆn) ouint(xˆn,x)calculentR xndx
int(sin(2*x),0,pi/2 ) ouint(sin(2*x),x,0,pi/2)calculent Rπ/2
0 sin 2xdx
g = cos(a*t + b)
int(g)ou int(g,t)calculentR cos(at + b) dt
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Intégration
Sif est une expression symbolique,alorsint(f)tente de trouver une autre expression symboliqueF telle quediff(F)=f,
c’est-à-dire queint(f)donne l’intégrale indéfinie def si elle existe.
Exemples
syms x n a t b
int(xˆn) ouint(xˆn,x)calculentR xndx
int(sin(2*x),0,pi/2 ) ouint(sin(2*x),x,0,pi/2)calculent Rπ/2
0 sin 2xdx
g = cos(a*t + b)
int(g)ou int(g,t)calculentR cos(at + b) dt
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Intégration
Sif est une expression symbolique,alorsint(f)tente de trouver une autre expression symboliqueF telle quediff(F)=f,
c’est-à-dire queint(f)donne l’intégrale indéfinie def si elle existe.
Exemples
syms x n a t b
int(xˆn) ouint(xˆn,x)calculentR xndx
int(sin(2*x),0,pi/2 ) ouint(sin(2*x),x,0,pi/2)calculent Rπ/2
0 sin 2xdx
g = cos(a*t + b)
int(g)ou int(g,t)calculentR cos(at + b) dt
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Intégration
Sif est une expression symbolique,alorsint(f)tente de trouver une autre expression symboliqueF telle quediff(F)=f,
c’est-à-dire queint(f)donne l’intégrale indéfinie def si elle existe.
Exemples
syms x n a t b
int(xˆn) ouint(xˆn,x)calculentR xndx
int(sin(2*x),0,pi/2 ) ouint(sin(2*x),x,0,pi/2)calculent Rπ/2
0 sin 2xdx
g = cos(a*t + b)
int(g)ou int(g,t)calculentR cos(at + b) dt
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Intégration
Sif est une expression symbolique,alorsint(f)tente de trouver une autre expression symboliqueF telle quediff(F)=f,
c’est-à-dire queint(f)donne l’intégrale indéfinie def si elle existe.
Exemples
syms x n a t b
int(xˆn) ouint(xˆn,x)calculentR xndx
int(sin(2*x),0,pi/2 ) ouint(sin(2*x),x,0,pi/2)calculent Rπ/2
0 sin 2xdx
g = cos(a*t + b)
int(g)ou int(g,t)calculentR cos(at + b) dt
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Sommation symbolique
On peut calculer des sommes symboliques quand elles existent en utilisant la commandesymsum.
Exemples
syms x k
Ecrire la commande qui permet de calculerP∞
k =1k12 = π2 6 s1 = symsum(1/kˆ2,1,inf) s1 = 1/6*piˆ2
Ecrire la commande qui permet de calculer P∞
k =0xk = 1−x1 pour |x | < 1
s2 = symsum(xˆk,k,0,inf) s2 =
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Sommation symbolique
On peut calculer des sommes symboliques quand elles existent en utilisant la commandesymsum.
Exemples
syms x k
Ecrire la commande qui permet de calculerP∞
k =1k12 = π2 6 s1 = symsum(1/kˆ2,1,inf) s1 = 1/6*piˆ2
Ecrire la commande qui permet de calculer P∞
k =0xk = 1−x1 pour |x | < 1
s2 = symsum(xˆk,k,0,inf) s2 =
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Sommation symbolique
On peut calculer des sommes symboliques quand elles existent en utilisant la commandesymsum.
Exemples
syms x k
Ecrire la commande qui permet de calculerP∞
k =1k12 = π2 6 s1 = symsum(1/kˆ2,1,inf) s1 = 1/6*piˆ2
Ecrire la commande qui permet de calculer P∞
k =0xk = 1−x1 pour |x | < 1
s2 = symsum(xˆk,k,0,inf) s2 =
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Sommation symbolique
On peut calculer des sommes symboliques quand elles existent en utilisant la commandesymsum.
Exemples
syms x k
Ecrire la commande qui permet de calculerP∞
k =1k12 = π2 6 s1 = symsum(1/kˆ2,1,inf) s1 = 1/6*piˆ2
Ecrire la commande qui permet de calculer P∞
k =0xk = 1−x1 pour |x | < 1
s2 = symsum(xˆk,k,0,inf) s2 =
Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse
Sommation symbolique
On peut calculer des sommes symboliques quand elles existent en utilisant la commandesymsum.
Exemples
syms x k
Ecrire la commande qui permet de calculerP∞
k =1k12 = π2 6 s1 = symsum(1/kˆ2,1,inf) s1 = 1/6*piˆ2
Ecrire la commande qui permet de calculer P∞
k =0xk = 1−x1 pour |x | < 1
s2 = symsum(xˆk,k,0,inf) s2 =
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Sommation symbolique
On peut calculer des sommes symboliques quand elles existent en utilisant la commandesymsum.
Exemples
syms x k
Ecrire la commande qui permet de calculerP∞
k =1k12 = π2 6 s1 = symsum(1/kˆ2,1,inf) s1 = 1/6*piˆ2
Ecrire la commande qui permet de calculer P∞
k =0xk = 1−x1 pour |x | < 1
s2 = symsum(xˆk,k,0,inf) s2 =
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Séries de Taylor
Les commandes syms x f = 1/(5+4*cos(x)) T = taylor(f,8) donnent T = 1/9+2/81*xˆ2+5/1458*xˆ4+49/131220*xˆ6qui est la somme de tous les termes d’ordre inférieur à 8, du développement en série de Taylor de f (x ) :
n=7 X n=0 (x − a)n f (n)(a) n! pour a=1 Remarque
La commandepretty(T)affiche le résultat sous une forme ressemblant à l’écriture des équations mathématiques.
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Séries de Taylor
Les commandes syms x f = 1/(5+4*cos(x)) T = taylor(f,8) donnent T = 1/9+2/81*xˆ2+5/1458*xˆ4+49/131220*xˆ6qui est la somme de tous les termes d’ordre inférieur à 8, du développement en série de Taylor de f (x ) :
n=7 X n=0 (x − a)n f (n)(a) n! pour a=1 Remarque
La commandepretty(T)affiche le résultat sous une forme ressemblant à l’écriture des équations mathématiques.
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Exercice
Ecrire et commenter les lignes suivantes :
syms x g = exp(x*sin(x)) t = taylor(g,12,2) xd = 1 :0.05 :3 ; yd = subs(g,x,xd) ; ezplot(t, [1,3]) ; hold on ; plot(xd, yd, ’r-.’)
title(’Approximation de Taylor d’une fonction’) ; legend(’Fonction’,’Taylor’)
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Problème de synthèse
Ecrire, executer et commenter la suite de commandes suivante :
syms x f = 1/(5+4*cos(x)) ezplot(f) f2 = diff(f,2) ezplot(f2) axis([-2*pi 2*pi -5 2]) f3 = diff(f2) ; pretty(f3) f3 = simple(f3) ; pretty(f3) z = solve(f3) zr = double(z) ezplot(f3) hold on ; plot(zr,0*zr,’ro’) plot([-2*pi,2*pi],[0,0],’g-.’) ; title(’Zeros of f3’) zr = [0 zr(4) pi 2*pi-zr(4)] zr = [zr-2*pi zr zr+2*pi] ; plot(zr,0*zr,’kX’) f20 = subs(f2,x,0) clf ezplot(f2) axis([-2*pi 2*pi -4.25 1.25]) ylabel(’f2’) ; title(’Plot of f2 = f””(x)’) hold on plot(0,double(f20),’ro’) text(-1,-0.25,’Local minimum’) simple([subs(f3,x,-sym(pi)),subs(f3,x,sym(pi))]) m1 = double(subs(f2,x,-pi)) ; m2 = double(subs(f2,x,pi)) ; plot(-pi,m1,’go’,pi,m2,’go’)
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