Êtes-vous au point sur le coloriage?

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Êtes-vous au point sur le coloriage?

Aurélie Lagoutte

G-SCOP, Université Grenoble Alpes

Mercredi 30 novembre 2016 Filles et Maths, Grenoble

(2)

Thèse en informatique fondamentale

(3)

(4)

Thèse en informatique fondamentale Enseignement

(TD à la fac)

(5)

Enseignement (TD à la fac)

Recherche

?

(6)

= Mathématiques discrètes Enseignement

(TD à la fac)

Recherche

?

(7)

(TD à la fac)

Recherche

?

Réparer les ordinateurs, Word, Excel

(8)

(TD à la fac)

Recherche

?

Programmation

(9)

(TD à la fac)

Recherche

?

Programmation Prouver des théorèmes avec un papier et un crayon

(10)

Problème n^o1 :les antennes radio

But :acheter le moins de fréquences possible. Optimal :3 fréquences.

(11)

6=fréquences

But :acheter le moins de fréquences possible. Optimal :3 fréquences.

(12)

6=fréquences

But :acheter le moins de fréquences possible.

Optimal :3 fréquences.

(13)

6=fréquences

F1 F3

F2

(14)

6=fréquences

F1 F3

F2

(15)

6=fréquences

F1 F3

F2

F1

(16)

6=fréquences

F1 F3

F2

F1

F3

(17)

Problème n^o2 :les emplois du temps

Cours Horaire

Français 8h30-10h30 Anglais 9h-10h

Maths 14h-16h

Histoire-Géo 11h-12h Physique 9h45-11h45 But :utiliser le moins de salles possible.

Optimal :3 salles (témoin : Français, Anglais et Physique).

(18)

Cours Horaire

Maths 14h-16h Histoire-Géo 11h-12h

Physique 9h45-11h45 But :utiliser le moins de salles possible.

Optimal :3 salles (témoin : Français, Anglais et Physique).

(19)

Problème n^o3 :La carte de Géographie

(20)

But :utiliser le moins de couleurs possibles.

Optimal :4 couleurs (témoin : ?)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

Optimal :4 couleurs

(témoin : ?)

(28)

(29)

Emploi du temps

Carte de Géo Antennes radio

(30)

Coloration de graphes

Emploi du temps

Carte de Géo Antennes radio

(31)

6=fréquences

Ungraphe, c’est :

des sommets(les points)

des arêtes (les traits)

Dans une coloration propre, deux sommets ont des couleurs différentes.

(32)

6=frequencies

Ungraphe, c’est : des sommets(les points)

(33)

(34)

Dans une coloration propre, deux sommets reliés ont des couleurs différentes.

(35)

Dans une coloration propre, deux sommets adjacents ont des couleurs différentes.

(36)

Cours Horaire

Maths 14h-16h

Histoire-Géo 11h-12h Physique 9h45-11h45

8h 9h 10h 12h 14h 16h

Français Anglais

Maths H-Géo

Physique

F

A M

P HG

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Cours Horaire

Maths 14h-16h

Histoire-Géo 11h-12h Physique 9h45-11h45

8h 9h 10h 12h 14h 16h

Français Anglais

Maths H-Géo

Physique

F

A M

P HG

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Cours Horaire

Maths 14h-16h Histoire-Géo 11h-12h

Physique 9h45-11h45

8h 9h 10h 12h 14h 16h

Français Anglais

Maths H-Géo

Physique

F

A M

P HG

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4 couleurs sont vraiment nécessaires

Peut-on colorer tout grapheplanaire avec seulement 4 couleurs ? (planaire=on peut le dessiner sans que les arêtes ne se croisent)

⇒ Oui

(40)

⇒ Oui

(41)

⇒ Oui

(42)

⇒ Oui

(43)

⇒ Oui

(44)

⇒ Oui

(45)

⇒ Oui

(46)

⇒ Oui

(47)

4 couleurs sont vraiment nécessaires Question posée en 1852 :

⇒ Oui

(48)

4 couleurs sont vraiment nécessaires Théorème des 4 couleurs (1976)

⇒ Oui

(49)

Preuve par Déchargement Idée :

1 répartir des pièces de monnaie sur les arêtes et/ou les sommets.

2 Compter les pièces

3 établir des règles de déchargement : décider qui doit payer qui, et en quelle quantité.

4 Recompter les pièces : la somme totale doit rester la même. n =8(pair)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

(50)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

(51)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

(52)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

(53)

4 Recompter les pièces : la somme totale doit rester la même.

n =8(pair)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

(54)

n =8(pair)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

(55)

n =8(pair)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

≥ ⁿ₂

≤ⁿ₂

(56)

n =8(pair)

0 + 0 + 0 + 0 + 9 + 9 + 9 + 9

≥ ⁿ₂

≤ⁿ₂

(57)

n =8(pair)

0 + 0 + 0 + 0 + 9 + 9 + 9 + 9

≥ ⁿ₂

≤ⁿ₂

n

2×(n+ 1)

(58)

n =9(impair)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

(59)

n =9(impair)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

≤^jⁿ₂^k ≥^lⁿ₂^m

(60)

n =9(impair) ≤^jⁿ₂^k ≥^lⁿ₂^m

0 + 0 + 0 + 0 + 5 + 10 + 10 + 10 + 10

(61)

0 + 0 + 0 + 0 + 5 + 10 + 10 + 10 + 10

n+1 2

n−1

2 ×(n+ 1)

(62)

0 + 0 + 0 + 0 + 5 + 10 + 10 + 10 + 10

n+1 2

n−1

2 ×(n+ 1)

= (n+ 1)¹₂+ⁿ⁻₂¹

(63)

0 + 0 + 0 + 0 + 5 + 10 + 10 + 10 + 10

n+1 2

n−1

2 ×(n+ 1)

= (n+ 1)ⁿ₂

(64)

Encore plus de graphes :

Réseaux sociaux : Sommets : personnes Arêtes : les amis

Question : trouver les communautés, étudier la plus grande distance possible entre deux personnes...

Réseaux routiers :

Sommets : villes (ou mieux : croisement de routes)

Arêtes : route directe entre deux villes (étiquettée par les km) Question : trouver le chemin le plus court (GPS !), parcourir toutes les routes (voiture Google), parcourir toutes les villes (tournée de Kendji)...

Et aussi : réseaux d’ordinateurs, théorie des jeux ...

(65)

Encore plus de graphes : Réseaux sociaux :

Sommets : personnes Arêtes : les amis

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

2 types de questions :

Algorithmique Borne, garantie Peut-on calculer la colora-

tion optimale en temps raisonnable ?

Peut-on s’assurer que 4 couleurs suffiront toujours si notre graphe est planaire ?

Non

pour le cas général.

⇓

Mais

Oui

pour les graphes d’intervalles.

(71)

Non

⇓

Mais

Oui

(72)

Non

⇓

Mais

Oui

(73)

Non

⇓

Mais

Oui

(74)

Peut-on s’assurer que 42 couleurs suffiront toujours si notre graphe est gentil?

Non

⇓

Mais

Oui

(75)

SoitG un graphe.

Nombre chromatiqueχ(G)= nombre minimal de couleurs nécessaires pour colorerG.

Une clique est un ensemble de sommets deux à deux adjacents. La taille de la plus grande clique estω(G).

ω(G) =4 χ(G)≥ω(G)

(76)

SoitG un graphe.

Une clique est un ensemble de sommets deux à deux adjacents. La taille de la plus grande clique estω(G).

ω(G) =4 χ(G)≥ω(G)

(77)

SoitG un graphe.

Une clique est un ensemble de sommets deux à deux adjacents.

La taille de la plus grande clique estω(G).

ω(G) =4 χ(G)≥ω(G)

(78)

SoitG un graphe.

clique taille 1

ω(G) =4 χ(G)≥ω(G)

(79)

SoitG un graphe.

clique taille 2

ω(G) =4 χ(G)≥ω(G)

(80)

SoitG un graphe.

clique taille 3

ω(G) =4 χ(G)≥ω(G)

(81)

SoitG un graphe.

clique taille 4 ω(G) =4

χ(G)≥ω(G)

(82)

SoitG un graphe.

ω(G) =4 χ(G)≥ω(G)

(83)

SoitG un graphe.

ω(G) =4 χ(G)≥ω(G)

(84)

Peut-on avoir besoin de plus deω(G) couleurs ? (= la clique max. n’est pas un témoin suffisant)

⇒ Oui

χ(G) =4>3=ω(G)

(85)

Peut-on avoir besoin de plus deω(G) couleurs ? (= la clique max. n’est pas un témoin suffisant)

⇒ Oui

χ(G) =4>3=ω(G)

(86)

On peut même avoir un écart aussi grand que l’on veut !

ω(G) =2k χ(G) =3k χ(G)−ω(G) =k

Théorème (encore plus fort)

Pour tout entierk, il existe un graphe G tel queω(G) =2 et χ(G) =k.

(87)

On peut même avoir un écart aussi grand que l’on veut ! kcopies deC5

ω(G) =2k χ(G) =3k χ(G)−ω(G) =k

(88)

· · ·

ω(G) =2k χ(G) =3k χ(G)−ω(G) =k

(89)

· · ·

ω(G) =2k χ(G) =3k χ(G)−ω(G) =k

(90)

· · ·

ω(G) =2k

χ(G) =3k χ(G)−ω(G) =k

(91)

· · ·

ω(G) =2k

χ(G) =3k χ(G)−ω(G) =k

(92)

· · ·

ω(G) =2k

χ(G) =3k χ(G)−ω(G) =k

(93)

· · ·

ω(G) =2k

χ(G) =3k χ(G)−ω(G) =k

(94)

· · ·

ω(G) =2k χ(G) =3k

χ(G)−ω(G) =k

(95)

· · ·

ω(G) =2k χ(G) =3k χ(G)−ω(G) =k

(96)

· · ·

ω(G) =2k χ(G) =3k χ(G)−ω(G) =k

Pour tout entierk, il existe un graphe G tel queω(G) =2 et χ(G) =k.

(97)

Graphe parfait :siχ(G) =ω(G)

et siχ(H) =ω(H)pour tous les sous-graphesH deG.

ω(C₅) =2<3=χ(C₅) ω(K₃) =3=χ(K₃) ω(G) =3=χ(G)

Gp

(98)

ω(C₅) =2<3=χ(C₅) ω(K₃) =3=χ(K₃) ω(G) =3=χ(G)

Gp

(99)

ω(C₅) =2<3=χ(C₅)

ω(K₃) =3=χ(K₃) ω(G) =3=χ(G)

Gp

(100)

ω(C₅) =2<3=χ(C₅)

ω(K₃) =3=χ(K₃) ω(G) =3=χ(G)

Gp

(101)

ω(C₅) =2<3=χ(C₅) ω(K₃) =3=χ(K₃)

ω(G) =3=χ(G)

Gp

(102)

ω(C₅) =2<3=χ(C₅) ω(K₃) =3=χ(K₃) ω(G) =3=χ(G)

Gp

(103)

ω(C₅) =2<3=χ(C₅) ω(K₃) =3=χ(K₃) ω(G) =3=χ(G)

G est parfait ? ! ⇒ Mauvaise définition

(104)

ω(C₅) =2<3=χ(C₅) ω(K₃) =3=χ(K₃) ω(G) =3=χ(G)

G n’est pas parfait car il contient un C5 non-parfait.

(105)

Cycle pair

Théorème des graphes parfaits (2002)

Un graphe est parfait si et seulement si il ne contient aucun cycle impair ni aucun anti-cycle impair.

Théorème

Il existe un algorithme pour colorer optimalement les graphes parfaits en temps raisonnable.

(106)

Cycle pair

2 couleurs

Théorème

(107)

Parfait Cycle pair

2 couleurs clique de taille 2

Théorème

(108)

Parfait

Cycle impair Cycle pair

2 couleurs clique de taille 2

Théorème

(109)

Parfait

2 couleurs clique de taille 2

Théorème

(110)

Parfait

2 couleurs

clique de taille 2 3 couleurs

Théorème

(111)

Parfait

Cycle impair

Non parfait Cycle pair

2 couleurs

clique de taille 2 3 couleurs clique de taille 2

Théorème

(112)

Parfait

Cycle impair Anti-cycle impair

2 couleurs

clique de taille 2 3 couleurs clique de taille 2

Théorème

(113)

Parfait

2 couleurs

clique de taille 2 3 couleurs

clique de taille 2 4 couleurs

Théorème

(114)

Parfait

Non parfait

2 couleurs

clique de taille 2 3 couleurs

clique de taille 2 4 couleurs clique de taille 3

Théorème

(115)

Parfait

Non parfait

2 couleurs

clique de taille 2 3 couleurs

clique de taille 2 4 couleurs clique de taille 3

Théorème

(116)

Parfait

Non parfait

2 couleurs

clique de taille 2 3 couleurs

clique de taille 2 4 couleurs clique de taille 3

Théorème

(117)

Êtes-vous au point sur le coloriage?