La segmentation La segmentation

(1)

Segmentation par Segmentation par

contours actifs contours actifs

Cours de Master SIC – ENSEA – 2010/2011

Plan Plan Plan Plan



La segmentation La segmentation

é f



Une méthode: Les contours actifs Une méthode: Les contours actifs



Implémentation: Les level Implémentation: Les level--sets vs contours sets vs contours parametriques

parametriques

Q ’ t l t ti ?

Qu’est ce que la segmentation?

La segmentation La segmentation La segmentation La segmentation

Objectif: Séparer les différents objets, les différentes régions Objectif: Séparer les différents objets, les différentes régions d’intérêt, qui composent l’image.

d’intérêt, qui composent l’image.

(2)

L t ti ?

La segmentation pour…?

La segmentation pour:



la compression la compression selective selective,,



l’évaluation quantitative en imagerie médicale, l’évaluation quantitative en imagerie médicale, q q g g , ,

La segmentation pour:



l’enrichissement de contenu, l’indexation, l’enrichissement de contenu, l’indexation,

Enfant 1 Enfant 2

Ballon

La segmentation pour:



 la post la post production le tracking vidéo production le tracking vidéo



 la post la post--production, le tracking vidéo,… production, le tracking vidéo,…

(3)

L t ti t ?

La segmentation comment…?

Les méthodes de segmentation Les méthodes de segmentation Les méthodes de segmentation Les méthodes de segmentation



Approches discrètes: Approches discrètes: pp oc es d sc è es pp oc es d sc è es



 Méthodes perceptives: histogrammes, seuillages, Méthodes perceptives: histogrammes, seuillages, accroissement de régions…

accroissement de régions…gg



 Méthodes stochastiques: champs de Markov,…Méthodes stochastiques: champs de Markov,…



Approches continues: Approches continues:



 Méthodes algébriques: Morphologie mathématiquesMéthodes algébriques: Morphologie mathématiques



 Méthodes algébriques: Morphologie mathématiques,…Méthodes algébriques: Morphologie mathématiques,…



 Méthodes variationnelles: contours déformables,…Méthodes variationnelles: contours déformables,…

La segmentation basée régions La segmentation basée régions La segmentation basée régions La segmentation basée régions

Partition

Partitionde lde l’’image ou de la vidéo en régions dimage ou de la vidéo en régions d’’intérêtintérêt Partition

Partitionde lde l image ou de la vidéo en régions dimage ou de la vidéo en régions d intérêt intérêt (objets, fond)

(objets, fond)

Objet Fond

Objet 2

1

Objet Objet₃

Descriptions des régions Descriptions des régions Descriptions des régions Descriptions des régions



Comment Comment décrire décrire une une région région d’intérêt d’intérêt   ??



 ParPar unun descripteurdescripteurpp locallocal kk_contour_contour_contour_contour((((,, s),, )) qqs) quiqui caractérisecaractérise ,,,, la

la frontièrefrontière dudu domainedomaine



 ParPar unun descripteurdescripteur globalglobal kk_intérieur_intérieur((,, x)x) quiqui caractérisecaractérise lele domaine

domaine

(4)

Exemples de descripteurs Exemples de descripteurs Exemples de descripteurs Exemples de descripteurs



Descripteurs de contour Descripteurs de contour

Longueur minimale Longueur minimale



Longueur minimaleLongueur minimale



CourbureCourbure



……



Descripteurs de région Descripteurs de région



Moyenne de la régionMoyenne de la région



Variance de la régionVariance de la région



Surface minimaleSurface minimale



……

Segmentation par contours actifs Segmentation par contours actifs Segmentation par contours actifs Segmentation par contours actifs



Idée Idée de de base base::

OnOn cherchecherche àà déterminerdéterminer lala courbecourbe frontière

frontière dede lala régionrégion quiqui nousnous intéresseintéresse (qui(qui définitdéfinit l’objet)

l’objet)



Formalisation Formalisation::

OnOn définitdéfinit uneune énergieénergie degg de façonfaçon àà ceçç ce que

que lele «« bordbord »» dede lala régionrégion d’intérêtd’intérêt correspondecorresponde auau minimum

minimum dede cettecette énergieénergie

) ( )

( )

( C E C E C

E ( ) 

_interne_interne

( ) 

_externe_externe

( )

Principe des contours actifs Principe des contours actifs Principe des contours actifs Principe des contours actifs



 OnOn cherchecherche lele minimumminimum dede l’énergiel’énergie.. OnOn vava doncdonc considérer

considérer qu’ellequ’elle varievarie auau courscours dudu tempstemps enen fonctionfonction dede l’évolution

l’évolution dede sonson domainedomaine dede définitiondéfinition :: introductionintroduction d’un

d’unschémaschéma dynamiquedynamique d’un

d’unschémaschéma dynamiquedynamique..



 P iP i dé idé i ((éé titi d’E ld’E l LL ))



 PuisPuis onon dérivedérive ((équationséquations d’Eulerd’Euler--LagrangeLagrange))..

C C



Cette Cette dérivée dérivée conduit conduit àà une une Equation Equation aux aux Dérivées

Dérivées Partielles Partielles d’évolution d’évolution (de (de la la frontière frontière du du

d i )

domaine) domaine)::

  N  N 

F F

t F C

externe

interne

 

 



 t

Segmentation par contours actifs Segmentation par contours actifs Segmentation par contours actifs Segmentation par contours actifs

Courbe C(t-1)

N F

Objet FN

Objet

CourbeC(t)

I t d it

I t d it KK WitkiWitki tt TT ll 19881988 (( lélé

Courbe C(t)



 IntroduitIntroduit parpar KassKass,, WitkinWitkin etet TerzopoulosTerzopoulos enen 19881988 (appelé(appelé Snakes

Snakesàà l’origine)l’origine)



 OnOn initialiseOO initialise lat a set a se aa cou bela courbecourbecou beC(t=C(t=00))C(tC(t 00))



 LeLe contourcontour s’arrêtes’arrête lorsquelorsqueFF == 00

(5)

Mise en oeuvre Mise en oeuvre Mise en oeuvre Mise en oeuvre



Aspects théoriques: L’énergie à minimiser et sa Aspects théoriques: L’énergie à minimiser et sa dérivation

dérivation dérivation dérivation



 Approche contourApproche contour



 Approche régionsApproche régions



 Approche régionsApproche régions



Aspects pratiques: La mise en œuvre numérique Aspects pratiques: La mise en œuvre numérique



Aspects pratiques: La mise en œuvre numérique Aspects pratiques: La mise en œuvre numérique de l’équation d’évolution

de l’équation d’évolution

A h ét i



 Approche paramétriqueApproche paramétrique



 Approche non paramétrique (par la méthode des Approche non paramétrique (par la méthode des ensembles de niveaux ou Level Set method) ensembles de niveaux ou Level Set method) ensembles de niveaux ou Level Set method) ensembles de niveaux ou Level Set method)

Mi i i ti

Mi i i ti d’E d’E i i Minimisation

Minimisation d’Energie d’Energie

Energie Energie Energie Energie



Critères énergétiques basés contour: Critères énergétiques basés contour:



Critères énergétiques basés contour: Critères énergétiques basés contour:

information locale (gradients,…) information locale (gradients,…)

=> Snakes, contours actifs géodésiques

=> Snakes, contours actifs géodésiques,, gg qq



Critères énergétiques basés régions: Critères énergétiques basés régions:



Critères énergétiques basés régions: Critères énergétiques basés régions:

Information locale et globale (termes contours + régions) Information locale et globale (termes contours + régions)

=> contours actifs basés régions

=> contours actifs basés régionsgg

Critères basés contours Critères basés contours Critères basés contours Critères basés contours



 ApprocheApproche ClassiqueClassique ((KassKass 1988):1988):



 TrouverTrouver la la courbecourbeC(p)C(p)qui qui minimiseminimise::

E ( C )  E

_int

( C )  E

_ext

( C )

 



¹

^' ⁽ ⁾

²

^

¹

^" ⁽ ⁾

² ¹

^ ⁽ ⁽ ⁾⁾

)

( C C d C d I C d

E ^   ^   ^   ^

0 0

0

)) ( ( )

(

"

) ( ' )

( C C p dp C p dp I C p dp

E   

Energie interne: contrôle la régularité de la courbe

Energie externe: terme d’attache aux données positives

constantes des

sont , , 





 Les Les énergiesénergies sontsont des des intégralesintégrales de contourde contour

(6)

Critères basés contours Critères basés contours Critères basés contours Critères basés contours



 ^



1

0 1 2

0

2

" ( )

) ( ' )

( C C p dp C p dp

E

_interne

 

0 0

Le module de la dérivée agit Le module de la dérivée Le module de la dérivée agit

sur la longueur de la courbe et est liée à sa rigidité

Le module de la dérivée seconde agit sur la courbure et est liée à l’élasticité

 ^





1

)) ( ( )

( C I C p dp

E   ^

0

)) ( ( )

( C I C p dp

E

_externe



Le terme est lié à la valeur du gradient de l’image au voisinage du contour qui attire le contour vers les forts gradients

Critères basés contours Critères basés contours Critères basés contours Critères basés contours



Inconvénients Inconvénients des des Snakes Snakes::



 LaLa courbecourbe nene peutpeut paspas changerchanger dede topologietopologie.. LaLa topologie

topologie finalefinale serasera lala topologietopologie dede lala courbecourbe initialeinitiale..



 L’énergieL’énergie àà optimiseroptimiser n’estn’est paspas intrinsèqueintrinsèque àà l’imagel’image..

Elle

Elle dépenddépend dede lala paramétrisationparamétrisation dedeCC..

LL héhé é ié i ii blbl (l(l dé i édé i é f if i



 LeLe schémaschéma numériquenumérique estest instableinstable (la(la dérivéedérivée faitfait intervenir

intervenir desdes termestermes d’ordred’ordre 44))

LL bb d’i iti li tid’i iti li ti d itd it êtêt hh dd l’ bj tl’ bj t



 LaLa courbecourbe d’initialisationd’initialisation doitdoit êtreêtre procheproche dede l’objetl’objet

Critères basés contours Critères basés contours Critères basés contours Critères basés contours

C t tif é d i (C ll 1994)



 Contours actifs géodesiques (Caselles 1994):Contours actifs géodesiques (Caselles 1994):



 Trouver Trouver C(p)C(p)qui minimise:qui minimise:

1

A A

 



^



1

0

) ( ' )) ( ( )

(C g I C p C p dp

E



 AvecAvec [ , 0 [ :

g  R^

0.7 0.8 0.9 1

1 2

: 1 exemple par

quand 0 ) (

g(r) r r r

g

 





0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Lorsque C(p) est éloigné d’un gradient élevé, on a g=1, Lorsque C(p) est éloigné d’un gradient élevé, on a g=1, on minimise alors la longueur de la courbe

on minimise alors la longueur de la courbe

1r 00 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Lorsque C(p) est proche du contour de l’objet (gradient élevé), Lorsque C(p) est proche du contour de l’objet (gradient élevé), on a g=0, le critère est alors minimal on a arrêt du contour.

on a g=0, le critère est alors minimal on a arrêt du contour.

Critères basés contours Critères basés contours Critères basés contours Critères basés contours



Interprétation Interprétation géométrique pp géométrique :: g g q q

^E⁽^C⁾^

_

¹^g



^^I⁽^C⁽^p⁾⁾



^C^'⁽^p⁾^dp



 LongueurLongueur de la de la courbecourbe ::

 



0

) ( )) ( ( )

( g p p p

gg

dp p C ds L



L ^



 ¹ '( )



 LongueurLongueur de lade la courbecourbe dansdans uneune métriquemétrique prenantprenant

 

0 0



 LongueurLongueur de la de la courbecourbe dansdans uneune métriquemétrique prenantprenant en

en comptecompte les les caractéristiquescaractéristiques de de l’imagel’imageI I ::



¹





0

) ( ' ) ( )

(I g I C p dp

L

(7)

Critères basés contours Critères basés contours Critères basés contours Critères basés contours

 



^



1

0

) ( ' )) ( ( )

(C g I C p C p dp

E



 CetteCette énergieénergie estest intrinsèqueintrinsèque etet nene dépenddépend doncdonc dd ll ét i tiét i ti dd ll bb

0

pas

pas dede lala paramétrisationparamétrisation dede lala courbecourbe



 MinimiserMinimiser cettecette énergieénergie revientrevient àà trouvertrouver lala courbecourbe de

de longueurlongueur minimaleminimale dansdans uneune métriquemétrique dépendant

dépendant desdes caractéristiquescaractéristiques dede l’imagel’image II dépendant

dépendant desdes caractéristiquescaractéristiques dede l imagel image II ((d’oùd’où lele nom)nom)

Critères basés contours Critères basés contours Critères basés contours Critères basés contours

 



¹

 



^



0

) ( ' )) ( ( )

(C g I C p C p dp

E



 ParPar dérivationdérivation dudu critèrecritère afinafin d’exprimerd’exprimer lala minimisationminimisation comme

comme l’équationl’équation d’évolutiond’évolution dudu contourcontour actifactif,, onon trouvetrouve::

 

 ⁽ ⁾ ⁽ ^. ^N)  ^N

) ,

( p t g I C g

C    



 _ _t  ^g  ⁽ ⁾   ⁽ ^g ⁾ 

Courbure Vecteur normal unitaire

intérieur à la courbe



 LeLe contourcontour initialinitialC(p,C(p,00))estest choisichoisi parpar l’utilisateurl’utilisateur

intérieur à la courbe

Critères basés contours Critères basés contours Critères basés contours Critères basés contours

 

 ⁽ ⁾ ⁽ ^N)  ^N

) ,

( p t I C

C  

 ⁽ _ _t ^p ⁾ ^  ^g  ^ ^I ⁽ ^C ⁾   ^ ^ ⁽ ^ ^g ^. ^N)  ^N

0, g.N et 1 g cas, ce Dans

gradient) (faible









I k C(p,0)

courbe) la de longueur la minimise on cas ce (dans

courbure la de dépend vitesse la (p, )

0 g cas ce Dans

gradient) (fort





I k

et contour le sur 0 g.N a On

g.N.

de dépend la vitesse et

0, g cas, ce Dans







I

rappel de terme un est terme ce

contour, du autre d' et part de opposé signe de

Critères basés contours Critères basés contours Critères basés contours Critères basés contours

 

) (

 C ^C ⁽ _ _t ^p ^, ^t ⁾ ^  ^g  ^ ^I ⁽ ^C ⁾  ^ ⁽ ^ ^g ^. ^N ⁾  ^N

 

C(p,0)_{(p, )} 

Inconvénient Inconvénient::



 LaLa courbecourbe doitdoit êtreêtre àà l’extérieur

l’extérieur dede l’objetl’objet àà segmenter

segmenter segmenter segmenter



Avantage Avantage::



 LaLa courbecourbe initialeinitiale peutpeut êtreêtre



 LaLa courbecourbe initialeinitiale peutpeut êtreêtre loin

loin dede l’objetl’objet

I

(8)

Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions



 ProblèmeProblème :: pourpour détecterdétecter desdes régionsrégions particulières,particulières, onon veut

veut pouvoirpouvoir ajouterajouter desdes informationsinformations sursur lala régionrégion telletelle

ll d’d’ é ié i ii

que

que lala moyennemoyenne d’uned’une région,région, sasa variancevariance……



 CesCes informationsinformations nene peuventpeuvent plusplus êtreêtre inclusesincluses dansdans desdes



 CesCes informationsinformations nene peuventpeuvent plusplus êtreêtre inclusesincluses dansdans desdes intégrales

intégrales dede contourcontour d’oùd’où lala nécessiténécessité d’introduired’introduire desdes intégrales

intégrales dede surfacesurface..



 DifficultéDifficulté ::LaLa dérivationdérivation dudu critèrecritère pourpour obtenirobtenir l’équationl’équation d’é l ti

d’é l ti d’évolution d’évolution..



 ExempleExemple ::PartitionPartition dede l’imagel’image enen deuxdeux nnrégionsrégions



 ExempleExemple ::PartitionPartition dede l’imagel’image enen deuxdeux……nnrégionsrégions..

Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions



Une image est constituée de 2 régions: Une image est constituée de 2 régions:

Région: Les Ω_in

objets à segmenter

Ω_in

Region:

Contour: interface entre les 2 régions

I

Ω_ext _Fond^g C

Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions



On veut trouver les régions On veut trouver les régions Ω Ω

_int_int

et et Ω Ω

_ext_ext

qui qui minimisent le critère:

minimisent le critère:





^ ^ ^ ^





_int _ext C k_int x y _int dxdy k_ext x y _ext dxdy k_b x y ds

E( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , )



_int _ext C

Termes basés régions Termes basés régions

Terme basé contour Ω_int

Ω_int

I

int Ω_ext

C

Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions



On appelle descripteurs les fonctions On appelle descripteurs les fonctions caractéristiques:

caractéristiques:





^ ^ ^ ^





E( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , )



_int _ext C

k_int= fonction caractéristique k_ext= fonction caractéristique k_b= fonction

des objets à segmenter du fond caractéristique

du contour

(9)

Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions



Descripteurs de contourDescripteurs de contour

••Longueur minimaleLongueur minimale

••CourbureCourbure

••……



Descripteurs de régionDescripteurs de région

••Moyenne de la régionMoyenne de la région

••Variance de la régionVariance de la région

••Surface minimaleSurface minimale

••……

Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions



 ExempleExemple de segmentation: de segmentation: Segmentation de régions Segmentation de régions homogènes en couleur

homogènes en couleur

 



objet



objet

k logdet  : rs Descripteu

 

ste

fond fond

objet objet

c k

k logdet  g

contour c

k 

( ù

( ù éé t lt l t it i dd ii d ld l é ié i idé é )idé é ) (où

(où représente la matrice de covariance de la région considérée)représente la matrice de covariance de la région considérée)

Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions



 Exemple de segmentation: Exemple de segmentation: Segmentation d’objets en Segmentation d’objets en mouvement

mouvement

ste

objet c

k 

: rs Descripteu

 

ste

n n

fond objet

c k

S Proj S

k   _1

contour c

k 

(Proj(S

(Proj(S_nn--11) représente la compensation du mouvement de la caméra sur l’image n) représente la compensation du mouvement de la caméra sur l’image n--1)1)

Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions



 ExempleExemple de segmentation: de segmentation: Segmentation d’objets avec Segmentation d’objets avec i i d f

i i d f a priori de forme a priori de forme

) (

)

( E E

E ( 

_int

, 

_ext

)  E

_data

( 

_int

, 

_ext

)  E

_prior

( 

_int

, 

_ext

)

E        

   

 

^ ^ ^ ^

 dxdy

E

N q p

ref i t i

 2



 



 



int

dxdy E

q p

q p int q p prior

,

, 





 ^ ^{ } ^  ^ ^{ } ^













ext int

dxdy y

x I dxdy y

x I

E_data , _in ² , _ext ²

(10)

Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions



 ExempleExemple de segmentation: pp de segmentation: Segmentation d’objets avec gg Segmentation d’objets avec gg jj a priori de forme

a priori de forme

Contour initial Sans a priori Avec a priori

Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions





^ ^ ^ ^





E( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , )



 CalculCalcul dede l’équationl’équation d’évolutiond’évolution dudu contourcontour actifactif::







_int _ext C

ilil fautfaut distinguerdistinguer 22 cascas



 LesLes fonctionsfonctions caractéristiquescaractéristiques nene dépendentdépendent paspas desdes domaines

domaines dede définitiondéfinition DansDans cece cascas lele calculcalcul dede l’équationl’équation domaines

domaines dede définitiondéfinition.. DansDans cece cascas,, lele calculcalcul dede l équationl équation d’évolution

d’évolution estest relativementrelativement simplesimple (Green(Green--RiemannRiemann ++ EulerEuler-- Lagrange)

Lagrange)::

N) N . ( k

_int

k

_ext

k

_b

k

_b

t

C     



 



 SiSi lesles fonctionsfonctions caractéristiquescaractéristiques dépendentdépendent desdes domainesdomaines,, lele calcul

calcul dede lala dérivéedérivée dede l’énergiel’énergie estest plusplus compliquécompliqué

 t

calcul

calcul dede lala dérivéedérivée dede l énergiel énergie estest plusplus compliquécompliqué ((cfcf JehanJehan--BessonBesson etet alal.. [IJCV[IJCV0202])])

Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions

R

R l’él’é titi d’é l tid’é l ti dd ll dd

C Remarques

Remarques sursur l’équationl’équation d’évolutiond’évolution dansdans lele cascas dede fonctions

fonctions dede fonctionsfonctions nene dépendantdépendant paspas dudu domainedomaine ::

N)N . (k_int k_ext k_b k_b t

C    



 

Ω

k_ext est minimal dans Ω_iext, la force sera positive en ces

Ω_ext la force sera positive en ces

points, le contour va se rétracter

Ω_int

k_int est minimal dans Ω_int, la force sera négative en ces points, le contour va se dilater

Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions Critères basés régions

R

R l’él’é titi d’é l tid’é l ti dd ll dd

C Remarques

Remarques sursur l’équationl’équation d’évolutiond’évolution dansdans lele cascas dede fonctions

fonctions dede fonctionsfonctions nene dépendantdépendant paspas dudu domainedomaine ::

N)N . (k_int k_ext k_b k_b t

C    



 

Ω Double sens de propagation: La vitesse

Ω_ext

Ω_int ^C

Double sens de propagation: La vitesse peut être positive en certains points et négative en d’autres. Le contour peut se rétrécir en certains points et

s’accroître en d’autres

=> L’initialisation est moins contrainte

(11)

I lé t ti

I lé t ti é i é i Implémentation

Implémentation numérique numérique

Implémentation

Implémentation numérique numérique Implémentation

Implémentation numérique numérique



 MéthodeMéthode des ensembles de des ensembles de niveauxniveaux (Level sets

(Level sets introduitsintroduits par par OsherOsher et et SethianSethian))

Méthode

Méthode impliciteimplicite: On: On introduitintroduit uneune nouvellenouvelle fonctionfonctionu(t)u(t)



 MéthodeMéthode impliciteimplicite: On : On introduitintroduit uneune nouvelle nouvelle fonctionfonctionu(t), u(t), appelée

appelée carte des distances,carte des distances,telletelle queque le contour le contour CCqueque l’onl’on cherche

cherche soitsoit définidéfini commecomme le le niveauniveau 0 de 0 de cettecette fonctionfonctionuu..



 MéthodesMéthodes paramétriquesparamétriques

LL CC bl dbl d ii liélié ff ii



 Le contour Le contour CCestest un ensemble de points un ensemble de points reliésreliés par par uneune fonctionfonction ((polygonepolygone, , splinessplines,…).,…).

Implémentation par Level set Implémentation par Level set Implémentation par Level set

On a:

On a: C(t)={(C(t)={(x,yx,y)/u()/u(x,y,tx,y,t)=0})=0}

O h i it é é l

O h i it é é l  1 tt t d di tt d di t On choisit en général:

On choisit en général: uuest une carte de distancesest une carte de distances Avantages de cette formulation

Avantages de cette formulation

1

u Avantages de cette formulation Avantages de cette formulation



 GestionGestion auautomatiquetomatique des changements de topologie (la courbe peut des changements de topologie (la courbe peut se diviser, ou deux courbes peuvent fusionner automatiquement).

se diviser, ou deux courbes peuvent fusionner automatiquement).



 Les propriétés géométriques de la courbe comme la courbure ou le Les propriétés géométriques de la courbe comme la courbure ou le vecteur normal peuvent être estimés directement à partir de vecteur normal peuvent être estimés directement à partir de uu

u N u



 

 











  u div u





 Généralisation à la 3DGénéralisation à la 3D

(12)

Implémentation par Level set Implémentation par Level set

Déduction de l’é

Déduction de l’équation d’évolution en fonction de quation d’évolution en fonction de uu::

N t F

C 

 .



 F u

t u 



Démonstration:

Démonstration: u(C(p,t),t)0 0 ) ) ( ) (

( ( , ), ( , ), ) 0 (x p t y p t t  u

0

.  







 _y _t _t _t _t

t

xx u y u uC u

u

0





u y uC x

u

1

0 2

. 





 _y _p _p

p

xx u y uC

u ²

Implémentation par Level set Implémentation par Level set

N t F

C 

 .



 F u

t u  



Démonstration:

 1

 

 F N t

C 

. Fu.Nu_t 0

2 p

 

p

p C uT C

C u C C

u. 0 .    .













 u

N u



 

 

p p

p

p C 

 

 u

Implémentation par Level set Implémentation par Level set

N t F

C 

 .



 F u

t u 



Démonstration:

0 

.  

uN u_t

F 

u N u



 

 

u u F u  Fu u_t t 



Implémentation par Level set Implémentation par Level set

Déduction

Déduction de de l’él’équationquation d’évolution en fonction de d’évolution en fonction de uu::

N t F

C 

 .



 F u

t u  



Attention: on

Attention: on n’an’a démontrédémontré cettecette égalitéégalité pour les points du contour pour les points du contour uniquement

uniquement. La . La fonctionfonctionuuestest définiedéfinie sursur toutetoute l’imagel’image..

u que e t

u que e t aa o ct oo ct o uuestest dédé ee susu toutetoute ageage Ce qui fait:

Ce qui fait:

L’équation

L’équation d’évolutiond’évolution estest étendueétendue àà toustous lesles pointspoints dede l’image,l’image, mais

mais l’équationl’équation estest alorsalors instableinstable.. LaLa solutionsolution lala plusplus répanduerépandue est

est dede réinitialiserréinitialiser lala fonctionfonctionuutoutestoutes leslesmmitérationsitérations avecavec uneune équation

équation dede propagationpropagation..

(13)

Implémentation par Level set Implémentation par Level set Implémentation par Level set Implémentation par Level set



 Equation de réinitilisation [Sussman]:Equation de réinitilisation [Sussman]:

 1 si u0

avec

 

u



u



avec t sign

u  



 1

 











0 si 1

0 si 0

u u u

sign

Cette équation permet de conserver:

((uureste alors une carte des distances)reste alors une carte des distances)

1

u

(( ))

Implémentation par Level set Implémentation par Level set



Gestion de deux équations de propagation: Gestion de deux équations de propagation:

u t F u 



t

 

u



u



t sign

u  



 1

Implémentation par Level set Implémentation par Level set Implémentation par Level set Implémentation par Level set



 MéthodeMéthode dede lala BandeBande étroiteétroite (Narrow

(Narrow Band)Band)::

Méthode 2

Méthode d’optimisationd’optimisation desdes calculscalculs introduite

introduite parpar ChoppChopp..



IdéeIdée:: EffectuerEffectuer lesles calculscalculs dede propagationpropagation dudu

 2



IdéeIdée:: EffectuerEffectuer lesles calculscalculs dede propagationpropagation dudu contour

contour seulementseulement dansdans unun voisinagevoisinage dudu contour

contour dede niveauniveau 00 (front)(front) Voisinage

Voisinage::BandeBande étroiteétroite autourautour dudu niveauniveau 00



VoisinageVoisinage::BandeBande étroiteétroite autourautour dudu niveauniveau 00



 MultiMulti--résolutionrésolution::

On

On effectueeffectue lesles calculscalculs sursur uneune On

On effectueeffectue lesles calculscalculs sursur uneune représentation

représentation plusplus petitepetite dede l’imagel’image etet onon utilise

utilise lele résultatrésultat pourpour initialisationpp initialisation sursur l’image

l’image àà tailletaille originialeoriginiale

Implémentation par Level set Implémentation par Level set Implémentation par Level set Implémentation par Level set

Initialisation de C₀

Initialisation de la Narrow band Initialization de u



t t

  

ut tF u(t) u    

Boucle d’évolution



t t

  

ut t.F. u(t) u    

Reinit. du non Min( )u__NB non

oui gradient de u

oui

Reinit. Carte dist.

Reinit Narrow band R i it C t di t oui

Stop non

Reinit. Carte dist.

oui p

(14)

Comment implémenter la méthode Comment implémenter la méthode

des contours actifs ? des contours actifs ?



Méthodes Méthodes implicites implicites :: implémentation implémentation par par Level Level Sets Sets

 AvantagesAvantages ::gg méthodesméthodes précisesprécises etpp et gestiongestion intrinsèquegg intrinsèque desqq des changements

changements dede topologietopologie

–– InconvénientsInconvénients :: lele tempstemps dede calcul,calcul, lele nombrenombre dede pointspoints etet l’absence

l’absence dede contourcontour !!!!!!!!!!!!!!

l absence

l absence dede contourcontour !!!!!!!!!!!!!!



Méthodes Méthodes paramétriques paramétriques p p q q

+

+ AvantagesAvantages :: méthodesméthodes rapidesrapides etet réductionréduction considérableconsidérable dudu nombre

nombre dede pointspoints Inconvénients

Inconvénients :: sensibilitésensibilité auau bruitbruit problèmeproblème dede –– InconvénientsInconvénients :: sensibilitésensibilité auau bruit,bruit, problèmeproblème dede

l’échantillonnage

l’échantillonnage etet paspas dede gestiongestion intrinsèqueintrinsèque dede lala topologie

topologie

Implémentation de contour actif Implémentation de contour actif

paramétrique paramétrique

On

On traduit traduit les les objectifs objectifs de de notre notre implémentation implémentation en en tt d’ d’ i i i i

termes

termes d’ d’aa priori priori ::

•• Précision Précision

 contourcontourCC²²pourpour unun calculcalcul analytiqueanalytique desdes grandeurs

grandeurs géométriquesgéométriques tellestelles queque lala courbure,courbure, lele vecteur

vecteur normalnormal vecteur

vecteur normalnormal……

•• Régularité Régularité Régularité Régularité

contourcontour quicontourcontour quiqui minimisequi minimiseminimise laminimise lala courburela courburecourburecourbure

Implémentation par spline Implémentation par spline

cubique cubique

Si la courbe

Si la courbe CCest paramétrée en fonction de la longueur d’arc est paramétrée en fonction de la longueur d’arc ss,, la courbure

la courbure  s’écrit alors :s’écrit alors :

  s  C    s



Les splines cubiques minimisent

  

sous la contrainte sous la contrainte



 t dt

C ²

de l’interpolation des points de données de l’interpolation des points de données