Exercices de courant continu I.

Exercices de courant continu

1) Déterminer e pour que la puissance reçue par la source de tension de fem e soit maximum.

η R e

2) Quel est alors le rendement énergétique, défini comme le rapport de l’énergie reçue par la source de tension à l’énergie fournie par la source de courant ?

II.

E

e,r a = 3 Ω b = 3 Ω Un générateur de fem E = 20 V et de résistance interne nulle sert à recharger une

batterie électrochimique de fem e et de résistance interne r = 1 Ω .

1) Au début, la batterie est déchargée : e = 0 . Quel courant i traverse la batterie ? Précisez son sens.

2) Lorsque e n'est pas nul, exprimer i en fonction de E e a b r, , , , . 3) Pour quelle valeur de e le courant i s'annule-t-il ?

4) Décrire qualitativement l'évolution de e et i au cours du temps.

III53. Mesure d’une résistance.

On désire mesurer la résistance R à l’aide du montage ci-contre, où le voltmètre V est équivalent à une résistance Rv.

V U R R1

e,r 1) Comment faut-il choisir le voltmètre pour minimiser son influence ? Pour quelle genre de résistance R cela est-il possible ?

2) Exprimer U en fonction des autres grandeurs du schéma dans les deux cas : a) le courant dans le voltmètre est négligeable ;

b) le courant dans le voltmètre n’est pas négligeable.

3) Désormais, on suppose le courant dans le voltmètre négligeable. La sensibilité du montage est s = dU/dR. Justifier cette définition.

4) Calculer la sensibilité.

5) Comment faut-il choisir R1 pour maximaliser la sensibilité ? IV41.

R D E

1) Une alimentation de résistance R et de fem E donnés débite dans un dipôle D. Pour quelle tension u à ses bornes le dipôle D reçoit-il la puissance maximum ?

2) D a une caractéristique rectiligne ; sa résistance est r et sa fem, qui s’oppose au passage du courant, est e. A quelle(s) condition(s) sur e,r la puissance reçue par D est-elle maximale ?

3) A quelle(s) condition(s) sur e,r la puissance reçue par la fem est-elle maximale ? e V30.

1) Pour mesurer la fem E d’un générateur à caractéristique rectiligne, on réalise une boucle avec ce générateur, un autre générateur à caractéristique rectiligne de fem connue E₀ =2V inférieure à E, une résistance et un ampèremètre qui mesure, selon le sens de branchement du générateur de fem inconnue, un courant i₁ =3mA ou , toujours dans le même sens et en utilisant le même calibre. Calculer

mA

2 =1 i E.

2) On admet que les erreurs commises par l’ampèremètre lors des deux mesures sont indépendantes, que l’incertitude sur chaque mesure est ∆i=0,005mA et que l’incertitude sur E₀ est ∆E₀ =1mV. Quelle est l’incertitude sur E ?

V R E

VI54. 1M

R= Ω. Quand l’interrupteur est fermé, le voltmètre V, qui équivaut à une résistance , indique ; quand il est ouvert, V indique . Calculer .

RV U₁ =11 V U₂ =10 V R_V

VII₈₀.

Exprimer le courant ⁱ en fonction de ^{a b R E E, , ,} ₁^, ₂.

VIII₆₂.

Soit E, a, b et c quatre constantes positives.

1) Exprimer le courant ⁱ en fonction de ^E, ^e, ^a, ^b et ^c.

2) A quelle(s) condition(s) sur e la source de tension de fem e fonctionne en récepteur ? 3) Pour quelle valeur dee la source de tension de fem e reçoit la puissance la plus grande ?

b b

E2

a

i

a R

E e i

a b c

E1

IX21. Ligne de quadripôles en Π.

R1 R₁ R2

R A

B

vs

1) Exprimer en fonction de et pour que le groupement de la première figure ait entre A et B la résistance R. Dans la suite, possède cette valeur. A quelle condition cela est-il possible ?

R2 R₁ R

R2 v^e

2) Exprimer alors le rapport des tensions à la sortie et à l’entrée H =v_s/v_e. 3) Montrer que la résistance entre C et D du groupement de la seconde figure est égale à R.

R1

R2 1 R

R R2

C D

1/ 2

R v′^s

ve

4) Exprimer en fonction de et R le rapport des tensions à la sortie

et à l’entrée .

R1 s/ e

H′=v′ v

5) Que vaut pour la troisième figure ?

s/ e

H′′=v′′ v

1/ 2 R R2 1/ 2 R R2

R1 R₁/ 2 R2

R R2

R1 v^s′′

ve

E

i a b

c d I

X₄₃.

Exprimer i en fonction de a, b, c, d ,E et I dans la figure ci-contre.

XI₄₁. d’après ENAC pilotes 1999.

1) A l'aide d'un fil métallique homogène de section constante, on réalise un circuit constitué de deux conducteurs (figure 4) :

– l'un a la forme d'un cercle de centre O ; – l'autre est un diamètre AB du cercle.

Le conducteur diamétral possède une résistance 2 . Dans toute la suite, on conservera le nombre π dans les expressions des différents courants et résistances à calculer.

Calculer la résistance r d’un demi cercle.

r

′

2) On ajoute sur l’un des demicercles AB, comme

l'indique la figure 5, une source de tension continue de f.é.m. E. Calculer l'intensité IAB

du courant qui circule dans le conducteur diamétral AB.

3) On considère le circuit de la figure 6 obtenu en ajoutant à celui de la figure 4 :

– un autre conducteur diamétral CD perpendiculaire à AB et relié à lui en 0, fait du même fil métallique ; – deux sources de tension continue de f.é.m. E (figure 6). Quelles sont les opérations de symétrie ou d’antisymétrie qui laissent invariant ce montage ? Calculer les intensités IAD = I et IDB qui circulent respectivement dans les

arcs AD et DB.

4) On ajoute cette fois ci quatre sources de tension identiques et non plus deux (figure 7). Quelles sont les opérations de symétrie ou d’antisymétrie qui laissent invariant ce montage ? Calculer les intensités des courants IAD et ID0 .

XII₅₇. Recherche d’un défaut d’isolement.

1) MONTAGE DIVISEUR de TENSION.

Une pile de fem e et de résistance alimente deux résistances r R₁ et R₂ disposées en série.

a) Exprimer la tension u = V(A) – V(B) aux bornes de R2 en fonction de e, r, R1 et R2. b) Que devient u si R1 est infini et R2 fini ?

c) Que devient u si R1 est fini et R2 infini ? 2) RECHERCHE d'un DEFAUT d'ISOLEMENT.

Un appareil comporte trois réseaux formés de fils de très faibles résistances, qu'on peut

schématiser par trois points A, B et C. Si l'appareil est en bon état, ces trois points sont isolés. Mais il peur y avoir aussi un défaut d'isolement, que l'on peut schématiser par une résistance finie située entre deux de ces points :

e,r R1

A R2

B

A

B C A

B C défaut 1

A

B C défaut 2

B défaut 3

C appareil en bon état

A

Pour rechercher s'il existe un ou plusieurs de ces défauts d'isolement, on branche entre deux des points A, B et C un générateur de force électromotrice e = 2,2 volts et de résistance interne r = 0,1 ohm et un voltmètre de résistance RV = 30 000 ohms et on lit la tension u affichée par le voltmètre :

a) si le générateur est branché entre A et B, tandis que le voltmètre l’est entre B et C, alors u = 0,2 volt ; que peut-on en déduire sur la position des défauts d'isolement possibles ?

b) si le générateur est branché entre A et B, tandis que le voltmètre l'est entre A et C, alors u = 0 ; que peut-on en déduire sur la position des défauts d'isolement possibles ?

c) si le générateur est branché entre B et C, tandis que le voltmètre l'est entre A et C, alors u = 0 ; que peut-on en déduire sur la position des défauts d'isolement possibles ?

d) En déduire où se trouve le (ou les) défaut d'isolement et sa (ou ses) valeur.

Réponses

I. 1) e=Rη/ 2 ; 2) 0,5.

II. 1) 4 A

( )

i aE

ab a b r

= + + = mesuré en sens contraire de e ; 2) ( )

( )

aE a b e i r a b ab

− +

= + + ; 3) aE 10 V

e =a b =

+ .

III. 1) RV >>R possible si R n’est pas trop grand ; 2)

1

U Re

r R R

= + + ou

1

1 1

1 ( )

V

U e

r R

R R

= + + ⎛⎜⎜⎜⎝ + ⎞⎟⎟⎟⎠ ;

4) ¹ ₂

( 1 )

r R

s e

r R R

= +

+ + ; 5) si R <r, l’optimum est R₁ =0, sinon R₁ =R−r . IV. 1) u =E/ 2 ; 2) 2Re+rE =RE ; 3) r =0 ,e =E/ 2.

V. 1) 0 ^{1 2}

1 2

i i 4 V

E E

i i

= + =

− ; 2) ^{0 1 3}

0 1 2

2 5, 5.10 22 mV

E E i

E E i i ⁻ E

∆ = ∆ + ∆ = ∆ =

− .

VI.

1 2

/ 1 10 M

V

R R

=U U = Ω

− .

VII. ^{( 1} ₍ ²⁾ ₎ 2

b E E i ab R a b

= −

+ + .

VIII. 1) ^{( )}

( )

cE a c e i a b c ab

− +

= + + ; 2) e ^cE

a c

< + ; 3)

( )

2 e cE

a c

= + . IX. 1)

1 2

2 2 2

1

R 2R R

R R

= − ; R₁ >R ; 2) ¹

1

R R

H R R

= −

+ ; 4)

1 2 1 s e

v R R

v R R

′ =⎛⎜⎜⎜⎝ −+ ⎞⎟⎟⎟⎠ ; 5)

1 4 1 s e

v R R

v R R

′′=⎛⎜⎜⎜⎝ −+ ⎞⎟⎟⎟⎠ .

X. i ^{E cI E dI}

a c b d

+ −

= +

+ + . XI. 1) ^r′=π^r ; 2)

(4 )

AB E

I = r

+π ; 3) la bissectrice de COA est un axe de symétrie, celle de DOA est un axe d’antisymétrie et O est un centre d’antisymétrie ; I_DB = 0 ;

( )

2

AD 4 I E

= r

π+ ; 4) la droite CD est une axe de symétrie, la droite AB est un axe d’antisymétrie et O est une centre

d’antisymétrie ;

( ) ( )

2 4

4 4

AD DO

E E

I I

r r

= =

π+ π+ .

XII. 1.a) ₂ ²

1 2

u R i R e

r R R

= =

+ + ; 1.b) ; 1.c) u ; 2.a) Il y a une résistance finie entre A et C ; 2.b) Les bornes B et C sont isolées ; 2.c) Les bornes A et B sont isolées ; 2.d) défaut du type 1 : .

0

u = =e

300000

R = Ω

Corrigé

η

j i

R e I.

1) Loi des nœuds : η = +i j Loi des mailles e=Rj D’où :

2

2 0 si 2

e e

i P ei e

R R

dP e R

de R e

η η

η η

= − = = −

= − > <

P est maximum quand 2 e =Rη

2) Le rendement est

e

ei R

e η

η η

= − . Il vaut 1/2 quand P est maximum.

C b a E

j i

i+j

r II.

1)

• Résolution en prenant pour inconnues les courants

Maille de droite : 0 ri

ri aj j

− = ⇒ = a

Maille de gauche : ( ) [ ( ) ]r

b i j aj E i b a b E

+ + = ⇒ + + a = ( ) 4 A

i aE

ab a b r

= =

+ +

• Résolution en prenant pour inconnues les potentiels

Le potentiel étant en bas ⁰ et en haut ^E, appliquons le théorème de Millman au point C :

1 1 1 ^C

C

Eb V E

V i

r b r br

a b r a

= ⇒ = =

+ + + +

2) Prenons comme inconnues les courants, avec la même notation qu’à la question précédente.

Maille de droite : ri−aj =−e

Maille de gauche : ^{b i(} +^j)+^aj =^E ⇒^bi+^(a+^{b j)} =^E

Multiplions la première équation par a+b, la seconde par a et ajoutons membre à membre :

( )

[ ( ) ] ( )

( )

aE a b e r a b ab i a b e aE i

r a b ab

− + + + =− + + ⇒ =

+ +

On vérifie cette formule en observant qu’elle redonne celle de la question précédente si e =0. 3) i =0 si aE 10 V

e=a b = +

4) Au début de la charge, e=0 et i=4 A. Au cours de la charge, e augmente et i diminue.

A la fin, l’évolution s’arrête alors que e =10 V et i =0.

L’énoncé ne permet pas de déterminer la durée, finie ou infinie, de la charge.

Autre calcul du courant de charge Le circuit équivaut aux circuits suivants :

i i

r b a

(a b E) r b

&

a b& e

a b& e

r E e

b

E b

D’où

( )

( )

( ) ( )

a b Eb e aaEb e aE a b e

i r a b r ab a b r ab

a b

− + − − +

= = =

+ + +

+

&

& +

III. Mesure d’une résistance.

1. Pour minimiser l’influence du voltmètre, il faut qu’il ait une résistance beaucoup plus grande que R. Cela n’est possible que si R n’est pas trop grand.

2. Le théorème de Millman donne :

e,r U

R1

R V

0 V =

V =e V =U

1

1 1

1

1 1

1 e

r R e Re

U r R r R R

r R R R

= ++ + = + + = + +

1

1 1

1 1 1 1 1

1 ( )

V V

e

r R e

U

r R

r R R R R R

= + =

⎛ ⎞⎟

⎜

+ + + + ⎜ + ⎟⎟

+ ⎜⎝ ⎟⎠

.

3. Le montage est sensible si dU est grand pour dR petit.

4. En utilisant

( )

1 1

2 2

1 1

( ) ( )

r R R R r R

s dU e

dR r R R r R R

+ + − +

= = =

+ + + + e .

5. En utilisant

( )

1 1

3 3

1 1 1

1 1

( ) 2( ) (

( ) (

0

r R R r R R r R

ds e e

dR r R R r R R

ds R R r

dR

+ + − + − +

= =

+ + + +

> ⇔ < −

1) )

=

Si R <r, l’optimum est R₁ 0 (la fonction est décroissante sur tout son intervalle de définition) ; si R>r, l’optimum est R₁ =R−r .

On peut aussi faire le même calcul en utilisant la dérivée logarithmique :

1 2

1 1 1 1

ln 1 2

( ) 0

R r R

d s

dR r R r R R r R R

= − = − − >

+ + + + + si R₁ <R−r IV.

1) La puissance reçue par D est E u

P u qui est maximum pour u E . Cela se montre de plusieurs façons :

i u R

= = − = / 2

• Le maximum du produit de deux nombres u et de somme E déterminée a lieu quand ces nombres sont égaux.

E −u

• 2

0 si 2

dP E u dP E

du R du u

= − > <

= E = =

.

• Le graphe de P u( ) a la forme d’une parabole ; comme P(0) P( ) 0, P u( ) est maximum en u E/ 2.

2) 2

E e E e Re rE E

i u e ri e r

R r R r R r

− − +

= = + = + =

+ + =

+ . Donc la condition est 2Re+rE =RE. Alors

2

4 P E

= R, qui ne dépend pas de e r, .

3) e E( e

P ei

R r

= = − +

) qui est une fonction décroissante de , donc maximum pour r r =0. Alors e E( e) P

est maximum pour e E . Donc la condition est .

R

= −

= / 2 r =0 ,e=E/ 2 V.

1) Soit R le total de la résistance extérieure, des résistances des deux générateurs et de la résistance de l’ampèremètre (qui est la même dans les deux montages, puisque l’ampèremètre est sur le même calibre).

0 1

0 2

E E Ri

E E Ri

+ =

⎧⎪⎪⎨⎪ − =

⎪⎩

soit en prenant le rapport membre à membre :

0 1 1 2

0 2 0 1 2

E E i i i 4 V

E E

E E i i i

+ +

= ⇒ = =

− −

2) Différentions :

( ) ( )

( ) ( )

0 1 2 1 2

0 1 2 1 2 0

1 2

0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2

ln ln ln ln

1 1 1 1

E E i i i i

dE dE d i i d i i dE

di di

E E i i i i E i i i i i i i i

= + + − −

+ − ⎡ ⎤ ⎡

= + − = + − + + ⎤

⎢ ⎥ ⎢

+ − + − + − ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

En tenant compte de ce que les erreurs sur i₁ et i₂ peuvent être de sens contraires :

0 0 1 3 3

1 2

0 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 2

3

1 1 1 1 2 10 2 0, 005

5, 5.10

2 3 1

4 5, 5.10 V 22 mV

E E E i

i i

E E i i i i i i i i E i i

E

− −

−

∆ ∆ ⎡ ⎤ ∆ ∆ ×

= +∆ − +∆ ⎢ + ⎥ = + = + =

+ − ⎢⎣ + − ⎥⎦ − −

∆ = × =

VI.

Quand l’interrupteur est fermé, E =U₁.

Quand l’interrupteur est ouvert, le même courant i traverse R et V (montage diviseur de tension) :

2

1 2

/ 1 10 M

V V V

E U R

R R R U U

= = ⇒ = = Ω

+ −

i R

VII.

k

a b a

R b i

j – i k + i Résolution en prenant comme inconnues les courants. j

Notons les courants comme l’indique la figure. La loi de nœuds est satisfaite. La loi de mailles s’écrit :

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

1 1

2 2

2 1

1 2 1 2

2

0

2 0

2 2 2

E bi

aj b j i E j

a b E bi

ak b k i E k

a b Ri b k i b j i

E bi E bi

R b i b

a b a b

b E E b E E

i R b a b b ab R a b

+ − = ⇒ = + + + + = ⇒ = −

+

+ + − − =

− +

⎡ ⎤

+ + ⎢⎣ + − + ⎥⎦ =

− −

= =

+ +

+ + −

E1 E2

V =u

E2

E1

V =v a

R

b a

b

0 V =

V =E2

V = E1

Résolution en prenant comme inconnues les potentiels.

Notons les potentiels comme l’indique la figure et appliquons le théorème de Millman aux deux bornes de R :

( )

( )

( )

( )

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 2 2

2

E v E u

a R a R

u v

a b R a b R

E E v u

a R

u v

a b R

E E

bR E E u v a

ab R a b

a b R

u v b E E

i R ab R a b

+ +

= =

+ + + +

− −

+

− =

+ +

−

− = = −

+ +

+ +

− −

= =

+ +

}

Résolution par équivalences entre modèle de Thévenin et modèle de Norton.

Remplaçons les groupements et { par leurs modèles de Norton, groupons les résistances en parallèle et enfin remplaçons les deux groupements formés d’une source de courant et d’une résistance en parallèle par leurs modèles de Thévenin ; ceci montre l’équivalence des quatre montages dessinés à droite. Le dernier montre que

{E a₁, } E a₂,

( )

( )

( )

1 2

1 2

2 2

b E E

b E E a b

i ab R a b ab

R a b

− + −

= =

+ + + +

.

VIII.

1) Cette question peut être résolue :

• en prenant comme inconnue u le potentiel du nœud d’en haut et en appliquant le

théorème de Millman : 1 1 ^{( )}

E e 1

c bE ae a b

ab bc ca a b c

+ +

= =

+ + + +

u , d’où

( )

( )

u e c bE ae cE a c e

i e b

b ab bc ca ab bc ca

− + − +

= = − =

+ + + + ;

bE2/(a+b) bE1/(a+b)

ab/(a+b) ab/(a+b) i R

i

E2/a

E1/a a b a

R b

E2

E1

a b a

R b i

i

E2/a ab/(a+b)ab/(a+b)

R

a b c

E e V =u

0 V = V =E i V =e E1/a

• en remplaçant la branche de gauche par son modèle de Norton, en groupant sa résistance avec la branche de droite et en revenant au modèle de Thévenin :

d’où ^{i =}

(

)

(

)

ac a+c

b e i E

a

ac a+

e c b cE i

a+c a

b e i E

a c

• ou en prenant comme inconnues les courants, comme ci-contre et en appliquant la loi des mailles :

d’où

( )

E −e =a i+j +bi e =−bi +cj

( ) ( ) ( )

( )

e bi a e bi cE a c e

j E e a b i i

c c

+ + − +

= − = + + =

+ +

a b c ab .

2) 0 0 cE

P ei e .

a c

= > ⇒ < <

+

3) ₍ ⁽₎ ⁾ ₍ ⁽₎ ⁾

( )

2 2

0 2

cEe a c e dP cE a c e dP cE

P e donc P est maximum

pour

i e

a b c ab de a b c ab de a c

− + − +

= = ⇒ = > ⇒ <

+ + + + +

( )

2 e cE

a c

= + .

i+j j

IX.

1) ₁ ( ₂ ( ₁ )) ¹

1 1

1 1

2 2

1 1

1 1 1 1 1 1 R R

1

R R R R R R R R R R R R R R R

R R R R

+ = ⇒ + = = − = −

+ +

+ +

& &

R R

1 1 1 2

2 2 2 2

1 1 1

2

R R R R R R

R R

R R R R R R

+ = =

+ − − .

Comme une résistance est positive, ce n’est possible que si R1 >R . 2) Le même courant i traverse successivement R2 et R₁ &R :

2 1 2 1

1 1 1 1

e s 1

s e s

v v

i v v v R

R R R R

− ⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ ⎛⎜ ⎟

= = ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠⇒ = ⎜⎜⎝ + ⎜⎜⎝ +R⎟⎟⎞⎞⎟⎠⎠⎟⎟

Cette relation s’obtient aussi par le théorème de Millman : ²

2 1 2 1

1

1 1 1 1 1

1

e s s

e

v R v

v v

R R R R R R

= ⇒ =

⎛ ⎞⎟

⎜

+ + + ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠

1

2 1

2 1 12 1 2 1 1

1 1 1

1 1 2 1 1 1 2

1 1

R R

H R R R R R R

R R

R R R R R R

= + ⎛⎜⎜⎜⎝ + ⎞⎟⎟⎟⎠= + − ⎛⎜⎜⎜⎝ + ⎞⎟⎟⎟⎠= + − = −+

3) La résistance ^R équivaut à deux résistances ^R disposées en parallèle. le montage est constitué de l’ensemble de la résistance R et du quadripôle en Π de la question 1, équivalent à une résistance R, le tout précédé d’un autre quadripôle en Π, qui est équivalent avec ce qui le suit à une résistance R.

1/ 2 ₁

4) Si v_s est la tension entre les deux quadripôles en Π, d’après la question 2, ¹

1 s e

v R R

R

v R

= −

+ , ¹

1 s s

v R R

v R R

′ −

= + , d’où

2 1 1 s e

v R R

v R R

′ =⎛⎜⎜⎜⎝ −+ ⎞⎟⎟⎟⎠ .

5) A présent, on a interposé quatre quadripôles en Π ; chacun, placé devant une résistance R, donne à l’ensemble la même résistance R et multiplie la tension par H ; d’où :

1 4 1 s e

v R R

v R R

′′=⎛⎜⎜⎜⎝ −+ ⎞⎟⎟⎟⎠ .

X.

Loi des mailles pour ⁽E a c, , ⁾ et ⁽E b d, , ⁾ :

( )

( )

E cI E aj c j I j

a c E dI

E bk d k I k

b d

= + − ⇒ = + +

= + + ⇒ = − +

Loi des nœuds : j k i ^{E cI E dI}

a c b d

+ −

+ = = +

+ + . XI.

1) Si est le rayon, les longueurs du diamètre et du demi cercle sont 2 et . Comme la résistance est proportionnelle à la longueur,

R R πr

2 2

r R

r r

r R

′ =π ⇒ ′=π .

2) Une carte des potentiels pour un montage équivalent est représentée ci-contre : l’origine des deux flèches est au potentiel nul, tandis que leurs extrémités sont aux potentiels E et u. Le théorème de

Millman donne ( ) ( )

( )

1 1 1

2

AB

E

u E

A V B r I

r r

r r r

= − = π ⇒ = =

+π + +

π π

=V D =

2 4

u V .

3) La bissectrice de COA est un axe de symétrie. Celle de DOA est un axe d’antisymétrie. O est un centre d’antisymétrie.

La première symétrie montre que V B^{( ) ( )}, donc que I_DB = 0, et de même I_AC 0. La loi des mailles appliquée à la maille ADOA donne : ^E

(

)

a

I + k j

j – I

i b

I

c d k

E

2r πr πr

E

u I I

r

= π+ ⇒ = π+

4) La droite CD est une axe de symétrie, la droite AB est un axe d’antisymétrie et O est une centre d’antisymétrie.

Les points A, O et B, situés sur un axe d’antisymétrie sont à un potentiel nul, donc la branche AB est parcourue par un courant nul et peut être supprimée sans perturber le montage. La carte des courants est celle ci-contre.

La loi des mailles appliquée à la maille ADOCA donne :

( ) ( )

2 4

2 2 .2

4 4

AD DO

E E

E ri r i I I

r r

=π + ⇒ = =

π+ π+ .

XII.

1.a) ( _{1 2}) ₂ ²

1 2

e r R R i u R i R e

r R R

= + + = =

+ + 1.b) u =0

1.c) u =e

2.a) Il y a donc une résistance finie entre A et C.

2.b) Les bornes B et C sont isolées.

2.c) Les bornes A et B sont isolées.

2.d) On déduit des trois essais qu’il y a un défaut du type 1 : il y a un défaut d’isolement, qui se traduit par la résistance R. Le montage lors de l’essai a) est un diviseur de tension :

(

)

V V V

u e e

i R R

R R R u

⎛ ⎞⎟

= = + ⇒ = − = ⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠= Ω .

2i

i i

A

B C R_V =30000Ω

0,2 V

2,2 V R