Activité documentaire - Caractéristiques et représentations temporelles des signaux périodiques

Chapitre 01

Activité documentaire - Caractéristiques et représentations temporelles des signaux périodiques

v Signal constant ou variable ?

1. Pour chaque exemple de signal, déterminer si le signal est constant ou variable. S’il est constant, déterminer sa valeur.

La tension délivrée par un transformateur alimentant un smartphone a pour représentation temporelle :

La tension délivrée par EDF a pour représentation temporelle :

Un générateur de rampe a pour représentation temporelle :

Le bruit créé par une ventilation et capté à l’aide d’un microphone a pour représentation temporelle :

v Le signal variable est-il périodique ?

2. Pour chaque exemple de signal, déterminer s’il est périodique. Si oui, nommer le motif.

v Comment savoir si un motif est « simple » ou « complexe » ?

3. Pour chaque exemple, calculer la valeur de la grandeur ^!!"#"!_# ^!$%, puis tracer la droite représentant cette valeur constante. Enfin, pour un motif, hachurer l’aire contenue entre la courbe et cette droite. Le premier exemple a été traité pour vous illustrer la consigne.

Motif sinusoïdal, appartenant à la famille des motifs simples :

𝑈_&'(+ 𝑈_&)*

2 =25 + (−15)

2 = 5,0 𝑉

Motif triangulaire, appartenant à la famille des motifs simples:

Motif rectangulaire, appartenant à la famille des motifs complexes :

4. Que remarque-t-on dans le cas d’un motif complexe ?

Remarque :

!_!"#"!_!$%

# n’est pas égale à la valeur moyenne d’un signal périodique complexe.

5. Pour chaque exemple déterminer si le motif est simple ou complexe :

v Mesure de la période de signaux périodiques :

6. Pour chaque exemple de signal, déterminer la valeur de sa période 𝑇, en seconde.

𝑇 = 50 𝜇𝑠 = 50 × 10^$%𝑠 (V)

𝑇 = 5,0 𝑚𝑠 = 5,0 × 10^$&𝑠

2 4 6 8 𝑡 (𝑚𝑠)

v Mesure de rapport cyclique :

7. Pour chaque exemple de signal, déterminer la valeur du rapport cyclique r.

𝑟 =𝑇_'

𝑇 = 37,5

50 = 0,75

v Mesure de la fréquence et de la pulsation de signaux périodiques :

8. Pour chaque exemple de signal, déterminer la valeur de la fréquence 𝑓, en 𝐻𝑧 ainsi que la valeur de la pulsation 𝜔, en 𝑟𝑎𝑑/𝑠.

𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 × 5,00 × 10^&

𝜔 = 10,0𝜋 × 10^# = 3,14 × 10⁽𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 × 2,0 × 10^# 𝜔 = 1,3 × 10^& 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 × 20 × 10^&

𝜔 = 10,0𝜋 × 10^# = 1,3 × 10⁾ 𝑟𝑎𝑑/𝑠

v Mesures d’amplitudes, de valeurs moyennes :

9. Pour chaque exemple de signal, déterminer la valeur moyenne 〈𝑢〉, en volt et la valeur de l’amplitude 𝑈₊, en volt. On précisera si le signal est alternatif ou non.

v Expression littérale pour un signal sinusoïdal alternatif :

Sur le logiciel de simulation, nous avons saisi l’expression numérique du signal 𝑢_,é., suivante :

𝑢_,é.(𝑡) = 20 × cos( 2 × 𝜋 × 500 × 𝑡) On obtient alors la représentation temporelle du signal, ci-contre.

10. A quelle grandeur caractéristique du signal 𝑢_,é.correspond la valeur 20 ? A quelle grandeur caractéristique du signal 𝑢_,é. correspond la valeur 500 ?

La valeur 20 correspond à La valeur 500 correspond à

Sur le logiciel de simulation, nous avons saisi l’expression numérique du signal 𝑢, suivante :

𝑢(𝑡) = 20 × cos( 2 × 𝜋 × 500 × 𝑡 +𝜋 3) On obtient alors la représentation temporelle ci-contre.

11. Quel effet produit la grandeur ^/

& sur l’allure de ce signal, par rapport au précédent ?

On donne l’expression générale littérale d’un signal sinusoïdal alternatif : 𝑢(𝑡) = 𝑈₊× cos( 2 × 𝜋 × 𝑓 × 𝑡 + 𝜑) 12. Compléter le tableau suivant puis le texte suivant :

Expression numérique du signal étudié Valeur de l’amplitude 𝑈₊ (𝑉)

Valeur de la fréquence

𝑓 (𝐻𝑧)

Valeur de la phase à l’origine 𝜑 (𝑟𝑎𝑑) 𝑢_,é.(𝑡) = 20 × cos( 2 × 𝜋 × 500 × 𝑡)

𝑢(𝑡) = 20 × cos( 2 × 𝜋 × 500 × 𝑡 +𝜋 3)

13. Calculer le déphasage ∆𝜑 du signal étudié par rapport au signal de référence :

Le déphasage ∆𝜑 du signal par rapport au signal de référence est égal à

v Détermination graphique « rapide » des valeurs particulières de déphasage :

14. Compléter le texte à l’aide du vocabulaire suivant : « en avance / en retard » et « en opposition de phase / en quadrature de phase »

On donne la représentation temporelle de plusieurs signaux :

Si le signal de référence est 𝒖_𝟓∶

𝑢_& est par rapport à 𝑢₎ . 𝑢_& est en par rapport à 𝑢₎. Donc ∆𝜑 = On a aussi ∆𝜑 = . Donc 𝜑_& =

𝑢₁ est par rapport à 𝑢₎. 𝑢₁ est en par rapport à 𝑢₎. Donc ∆𝜑 = On a aussi ∆𝜑 = . Donc 𝜑₁ =

Si le signal de référence est 𝒖_𝟐∶

𝑢₍ est par rapport à 𝑢_#. 𝑢₍ est en par rapport à 𝑢_#. Donc ∆𝜑 = On a aussi ∆𝜑 =

v Mesures de décalages temporels :

15. Pour chaque exemple, identifier le signal de référence et le signal étudié. En déduire la valeur du décalage temporel 𝛥𝑡 en seconde. Conclure sur l’avance ou le retard du signal étudié par rapport au signal de référence.

𝑢₁(𝑡) 𝑢_#(𝑡) 𝑢_&(𝑡) 𝑢₍(𝑡) 𝑢₎(𝑡)

Le signal de référence est en

Δ𝑡 0 : le signal étudié est sur le signal de référence.

Le signal de référence est en

Δ𝑡 0 : le signal étudié est sur le signal de référence.

v Mesure de phase à l’origine :

16. Pour chaque exemple, calculer la phase à l’origine 𝜑 du signal en pointillé (méthode graphique rapide non autorisée)

v Détermination de l’expression numérique d’un signal sinusoïdal alternatif :

17. Déterminer l’expression numérique du signal en pointillé, sachant que son expression littérale est la suivante :

𝑢(𝑡) = 𝑈₊× cos( 2 × 𝜋 × 𝑓 × 𝑡 + 𝜑)

v Autour des signaux sinusoïdaux non alternatifs :

Sur un logiciel de simulation, nous traçons le signal 𝑢₃₄₅(𝑡) dont l’expression numérique est la suivante : 𝑢₃₄₅(𝑡) = 20 × cos( 2 × 𝜋 × 500 × 𝑡)

Puis nous traçons un second signal 𝑢(𝑡) dont la représentation temporelle est à gauche dans le tableau suivant

18. Caractériser chaque signal à l’aide des adjectifs usuels.

19. Comment peut-on obtenir la courbe représentant 𝑢(𝑡) à partir de celle représentant le signal 𝑢₃₄₅(𝑡) ?

20. A quelle grandeur caractéristique de 𝑢(𝑡) correspond la valeur que l’on doit ajouter à 𝑢₃₄₅(𝑡) pour obtenir la courbe représentant 𝑢(𝑡) ?

21. Parmi les expressions numériques suivantes, entourer celle correspondant à 𝑢(𝑡) : 𝑢(𝑡) = −10 + 20 × cos( 2 × 𝜋 × 500 × 𝑡)

𝑢(𝑡) = 10 − 20 × cos( 2 × 𝜋 × 500 × 𝑡) 𝑢(𝑡) = 10 + 20 × cos( 2 × 𝜋 × 500 × 𝑡)

22. Entourer la ou les formule(s) littérale(s) correcte(s) :

𝑢₃₄₅(𝑡) = 〈𝑢〉 + 𝑢 (𝑡) 𝑢(𝑡) = 〈𝑢〉 + 𝑢₃₄₅(𝑡)

𝑢(𝑡) = 〈𝑢〉 + 𝑈₊× cos( 2 × 𝜋 × 𝑓 × 𝑡 + 𝜑)

v Comment peut-on décomposer un signal périodique ? On étudie le signal 𝑢(𝑡).

23. Sur le graphe suivant, légender en indiquant la courbe représentant le signal 𝑢(𝑡), la courbe représentant sa composante alternative 𝑢₃₄₅(𝑡) et la courbe représentant sa composante continue (de valeur 〈𝑢〉 et de fréquence nulle)

24. Sur les graphes suivants, tracer le signal 𝑢(𝑡), en rouge, à partir du tracé de sa composante alternative 𝑢₃₄₅(𝑡) (en trait plein) et de sa composante continue (en pointillé) :