Mesures sur les espaces uniformes de type <span class="mathjax-formula">$(\sigma ^{\infty }_{1})$</span>

(1)

P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L ^YON

A ^LI D ^EAIBES

Mesures sur les espaces uniformes de type (σ

^∞₁

)

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1978, tome 15, fascicule 3

« Séminaire de géométrie », , p. 63-73

<http://www.numdam.org/item?id=PDML_1978__15_3_63_0>

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(2)

^jpnitpni#*Trt: de

^thématiques 1978 t . 15-3

MESURES SUR L E S E S P A C E S U N I F O R M E S DE T Y P E ( o ~ ) A l i DEAIBES

RESUME.

S u i t e à l ' a r t i c l e [ 4 ] , donnant une d e s c r i p t i o n des espaces u n i f o r - 00

mes de type ( o ^ ) , en é t u d i e i c i l e s e s p a c e s de formes l i n é a i r e s m sur l ' e s p a c e v e c t o r i e i $1 (X) [ r e s p . <?/°°(X)l des f o n c t i o n s numériques u n i  formément continues [ r e s p . e t b o r n é e s ] sur un espace uniforme X de

СО Q p

t y p e ( c ) , qui sont b o r n é e s sur l a b o u l e u n i t é A de ^ ( X ) e t q u i v é r i f i e n t l a c o n d i t i o n de commutation m(2 f . ) * £ m ( f . ) pour toute f a m i l l e de ^* . 0 0 » qui e s t d i s c r è t e [ r e s p . e t uniformément b o r n é e ] et indexée par un ensemble I de c a r d i n a l s t r i c t e m e n t i n f é r i e u r à X •

a

INTRODUCTION.

On c o n s i d è r e des espaces uniformes s é p a r é s ( X , p ) , ou l a s t r u c t u r e uniforme p e s t d é f i n i e par une f a m i l l e de recouvrements Y'= (V ) _ ^T.

r y yGL

S o i t D ( X , p)^e D(X) l ' e n s e m b l e des é c a r t s d s u r X q u i sont p - u n i f o r - mément continus e t s o i t <#(X, p) * <#(X) [ r e s p . ^ " ( X , p ) - ^^Ш( Х ) ]

l ' e s p a c e v e c t o r i e l [ r e s p . l ' a l g è b r e ] des f o n c t i o n s r é e l l e s u n i f o r m é - ment continues [ r e s p . e t b o r n é e s ] sur ( X , p ) •

Une f a m i l l e ( P ^ g j . de p a r t i e s de X e s t d i t e d i s c r è t e s ' i l e x i s t e un é c a r t d E D(X) t e l q u ' e l l e s o i t d i s c r è t e dans l ' e s p a c e ( X , d ) (on d i r a a u s s i q u ' e l l e e s t d - d i s c r ë t e ) . P a r a l l è l e m e n t une f a m i l l e ( É j ^ g j de f o n c t i o n s dans ^ ( X ) e s t d i t e d i s c r è t e l o r s q u e l a f a m i l l e des

conoyaux ( C o z v f ^ ) ) ^ ^ e s t d i s c r è t e .

En s u i v a n t [4] , on d i t que l ' e s p a c e uniforme ( X , p ) e s t de type ( C^q) s i pour toute f a m i l l e d i s c r è t e U ^ j g j de ( X ) , de c a r d i n a l c a r d I < x , l a f o n c t i o n f » S f. e s t élément de <2f(X) •

a . i

(3)

Mesures sur les espaces uniformes de type (<rj* )

ao

Pour un espace uniforme ( X , y ) de type (o ) , on d i t qu une forme l i n é a i r e m sur l ' e s p a c e v e c t o r i e l ^ ( X ) [ r e s p . sur l ' a l g è b r e °U ( X ) ] e s t ot-additive l o r s q u e pour toute f a m i l l e ( f ^ ) ^ j . de % ( X ) q u i e s t d i s c r è t e [ r e s p . et uniformément b o r n é e ] , de c a r d i n a l card I < X^Q >

on a m ( 2 f . )^e 2 î m ( f . ) . Peur a * 1, on d i t p l u s simplement que l e s i î

formes l i n é a i r e s 1 - a d d i t i v e s sont a - a d d i t i v e s .

On d é s i g n e par Jt ( X , y ) e Jt (X) [ r e s p . Л<°°(Х, y ) » ^ * ( Х ) 1

l ' e s p a c e v e c t o r i e l des fornœs l i n é a i r e s m sur Ф ( Х ) [ r e s p . ( X ) l qui sont à l a f o i s ct-additives e t bornées sur l a b o u l e u n i t é Д de

^ ° ° ( X ) .

On d i t encore qu'une p a r t i e simplement bornée H de

<îl(X)

v é r i f i e l a p r o p r i é t é ( P ) s i pour tout с > 0, i l e x i s t e un recouvrement

'V = (V ) de y t e l q u e , pour tout i n d i c e y E L , i l e x i s t e un Y T ^- *-*

recouvrement tff* = ( U ^ )0 _Ty de y t e l que toute f o n c t i o n f E H v a r i e au p l u s de e sur chaque p a r t i e П . L'ensemble des p a r t i e s H v é  r i f i a n t ( P ) e s t noté . Ж^р( Х , y ) - Jfp t a n d i s que l'ensemble des p a r t i e s uniformément bornées de Jf^ e s t noté Jlf^.

On r a p p e l l e qu'on d é s i g n e classiquement p a r .>f(X, u) = 3ff [ r e s p . / " ( X , y ) = ^ ° ° ] l'ensemble des p a r t i e s H de <%t(X) qui sont simplement b o r n é e s [ r e s p . uniformément b o r n é e s ] e t uniformément é q u i - c o n t i n u e s . I l e s t c l a i r que l ' o n a / C Jff^? et С Jff^⁹ e t que J f^p e t Jf£ s o n t s t a b l e s par passage à l ' e n v e l o p p e d i s q u é e .

A chaque espace uniforme ( X , u) on a s s o c i e d i v e r s e s s t r u c t u r e s u n i - formes e t d i v e r s espaces de mesures. Sans v o u l o i r ê t r e e x h a u s t i f , e t pour nous l i m i t e r à ceux q u i i n t e r v i e n d r o n t i c i , c i t o n s pour b i e n p r é - c i s e r l e s d é f i n i t i o n s :

a ) La s t r u c t u r e uniforme ou de l a convergence simple s u r Ф ( Х ) , a p p e l é e s t r u c t u r e uniforme a f f a i b l i e de y .

b ) La s t r u c t u r e uniforme p y d é f i n i e p a r l e s recouvrements f i n i s de y , donnant comme complété l ' e s p a c e compactp X, a p p e l é c o m p a c t i f i é de Samuel de ( X , y ) .

(4)

Me ânes sur les espaces uniformes de type

c ) Pour tout o r d i n a l a , l a s t r u c t u r e uniforme D^ji ayant pour b a s e l e s recouvrements de y , de c a r d i n a l s t r i c t e m e n t i n f é r i e u r à xâ» ê ^t q u i sont d ' o r d r e f i n i [5] . Pour un espace uniforme de type (0*°) on a l ' é g a l i t é Dû = oy [4] .

d ) L ' e s p a c e M^a( X ) des formes l i n é a i r e s a - r é g u l i è r e s m sur $í ( X )^f c^fe s t - à - d i r e t e l l e s que ra(f ) — • 0 pour toute s u i t e ( f ) de ^ ( X )

n n t e l l e que f 1 0 .

n n

e ) L ' e s p a c e M^(X) des formes l i n é a i r e s o - r ê g u l i è r e s sur ( X ) . f ) L espace M (X) des formes l i n é a i r e s sur ( X ) dont l e s r e s t r i c - t i o n s aux éléments H E. Jif sont simplement c o n t i n u e s .

g ) L ' e s p a c e M(X) des formes l i n é a i r e s sur ^f(X) dont l e s r e s t r i c - t i o n s aux éléments H E Jff sont simplement c o n t i n u e s ,

h ) L ' e s p a c e Rad(pX) des mesures de Radon sur l e compact pX, e t

Y

l ' e s p a c e M(X) des mesures m € Rad(pX) dont l e support e s t contenu dans l e complété X - ( X , u) •

Ces d é f i n i t i o n s n é c e s s a i r e s é t a n t r a p p e l é e s , l ' e s s e n t i e l de

l ' a r t i c l e e s t c o n s a c r é à l a démonstration des p r o p r i é t é s s u i v a n t e s : 00

A) Soit X un espace uniforme de type (o ) • L'espace J( ( X ) [resp.

00

J{ ( X ) ] est exactement l'espace des formes linéaires m sur <2i(X) [resp. sur ^ ° ° ( X ) ] dont les restrictions aux éléments H G JÉ*p(Dû) [resp. H E Jfp(Dîj)l sont simplement continues. Autrement dit, on a les égalités Jt ( X ) = M(X, Dâu ) etJfÛ) * M^CX, D*u) •

ex c a c B) Soit X un espace uniforme de type ( o ^ ) . L⁹espace ^ ( X ) [resp.

Mj(X)] est exactement l'espace des formes linéaires m sur <îf(X) [resp. sur ^ ° ° ( X ) ] telles que ^m ( ^f ⁿ ) — * 0 pour toute suite ( f ^ ) de

<%(X) [resp. de ^ ° ° ( X ) ] qui décroît faiblement uniformément locale- ment vers zéro.

C) La propriété B ) , comparable à la propriété de o-régularité, lui est en fait équivalente pour les espaces uniformes de type (A)

[3] , en particulier pour les espaces topologiques complètement régu- liers identifiés aux espaces uniformes fins.

(5)

Mesures sur les espaces uniformes de type ( c ^ * )

1. LES ESPACES ^ ( X ) ET ^ ( X ) . Commençons p a r un lerame technique,

00

( 1 . 1 ) LEMME. - Soit (X, vO un espace uniforme de type ( o ^ ) . Soient ( g ^ ^ L et ^n^ g ^ L ï > y G L-> partitions uniformément équiconti- nues de l'unité telles que chacune d'elles soit réunion finie de fa- milles discrètes de cardinal < x • Alors pour toute f G <Zf(X), ç u i e s t bornée sur les conoyaux C o z ( g ^ )ⁱ e t pour toute m G . ^ ( X ) on a

les égalités :

f = 2 2 fg h^Y et m ( f ) « 2 2 m(fg h^Y) .

Y B E L^{Y Y P} Y & € L^{Y Y} *

PREUVE. - Chaque f o n c t i o n fg^hg e s t élément de l ' a l g è b r e ^ ^ ( X ) . Fixons une p a r t i t i o n f i n i e ( ^ ) j < [^c ^ ⁿ de ^L » ^o ^u chaque f a m i l l e

( g ) ^ - T e s t d i s c r è t e . On a a l o r s :

6Y Y 6 L K

f - f • S ï g = n ( ï g

^v

) - Z 2 f g

^v

« 2 f g .

k Y É L^K ^Y k ^Y e Lk k ^Y G LK Y Ê L Y

Par l e même raisonnement on a , pour chaque y E L» g^{8 8} 2 g h l , de s o r t e qu'en d é f i n i t i v e on a f = 2 2 f g h ' . D ' a u t r e p a r t l a

Y B G I J Y &

c o n d i t i o n m E (X) g a r a n t i t que : a

m(£) = m ( f v 2 g ) - 2 m ( f £ g ) - 2 S m ( f g ) « 2 m ( f g )

k^Ye i .^{k Y} k k^T€ L^k Y

e t pour chaque y G L :

m ( f g ) = 2 vm ( f g h J ) B G LY Y 3

ce q u i f o u r n i t , en r a s s e m b l a n t , l ' é g a l i t é m(f) » 2 2 m(fg hY) • • Y B E L^{Y Y B}

On t i r e de l à :

( 1 . 2 ) THEOREME. - Soit (X, u) an espace uniforme de type (a~) • alors toute forme linéaire m G ^ ( X ) e s t simplement continue sur

toute partie H e ^p( D ^ u ) .

(6)

Mesures sur les espaces uniformes de type (C^»)

PREUVE. - Supposons II d i s q u e e t c o n s i d é r o n s une s u i t e g é n é r a l i s é e ( f ⁱ > ⁱ ^e ⁱ de H tendant simplement vers z é r o . Fixons e > 0 e t a s s o c i o n s

à

c des recouvrements f « ( V ^ ) ^ ^ ^ et 4fc^Y

* *

^U

g ^ g e i J

^{, d e} ^l â ^s ^t ^r û ^c ^t û ^rê

u n i f o r m e D^y, répondant aux c o n d i t i o n s de l a d é f i n i t i o n de l a p r o p r i é - t é P pour l a s t r u c t u r e uniforme D^u, e t t e l s que chacun d'eux s o i t r é u n i o n f i n i e de f a m i l l e s d i s c r è t e s de c a r d i n a l < y . Considérons des

a

p a r t i t i o n s uniformément é q u i c o n t i n u e s de l ' u n i t é subordonnées r e s p e c - tivement aux recouvrements i^et tfi^' v E L^t e t notés (g ) _ . e t

Y Y Y €: L

( h g ) g ^ ^ y . A l o r s pour tout i n d i c e i G 1 on a , avec l e lemme : f = 2 2 £ g h¹ e t m ( f . ) - 2 2^Ym ( f . g h * ) .

I n t r o d u i s o n s l ' e n s e m b l e M des couples (Y , 3) t e l s que V H t 4> e t

y Y

f i x o n s pour chaque (Y, B) € M un p o i n t x ^ €E fl U ^ . I n t r o d u i s o n s e n c o r e l e s nombres, pour (Y , 3) 6 M :

00

e t r a p p e l o n s que, m é t a n t bornée s u r l e d i s q u e u n i t é à de °U (X)^f on p e u t supposer Kmil = S u p | m ( f ) | < 1.

f E A

A l o r s l e s f o n c t i o n s g. = 5 h ï e t r^c 5 t^âg h '

s o n t éléments de <^(X) et

« K g ; ) « >

^t

t f i

^{m (}

g y

^h

f i

⁾ ^e ^{t m (}

* > * > t f l ^ O Î )

1 ( Y »B ) € M ^y ^B ( Y5 & ) S M ^Y ^B I l r é s u l t e de l à que l a f a m i l l e ( t J m ( g h * ) ! ) ,^fiN ^-w e s t sommable,

Y P Y P W > P ) FEW

d ' o ù l ' o n t i r e l ' e x i s t e n c e d'une p a r t i e f i n i e J C M t e l l e que

P a r a i l l e u r s on a I f . - g . l < c pour chaque i € I , d^fo û

| m ( fⁱ) | < e • | m ( gⁱ) | . Mais l a c o n d i t i o n | t ^ | < t^p pour chaque i €E I donne a u s s i t ô t :

(7)

Mesures sur les espaces uniformes de type

k( g . ) | < 5 | t *

m(g.h][)l + >

S b ' ^ Ê V ^ I

En résumé, on o b t i e n t l ' i n é g a l i t é , pour chaque i G I

| m ( f . ) l < 2 e + > l^fj ( x ,^G) l ( Y , $ ) € J Y l J

e t i l ne r e s t e p l u s q u ' à c h o i s i r un i n d i c e i^Q 6 I t e l que l ' o n a i t

^> 1 f, ( x a ) | < e pour tout i > i , pour pouvoir c o n c l u r e à l a

( Y . B ) e J 1 T B °

c o n d i t i o n | m ( f ^ ) | < 3e pour i > i^Q , ce qui termine t o u t . • En r e p r e n a n t l a preuve mot pour mot en remplaçant l ' e s p a c e v e c t o - r i e l ^ r( X ) par l ' a l g è b r e ^ ° ° ( X ) et l a f a m i l l e JÉj>(D*u) p a r l a f a m i l l e

• ^ p ( D ^ u ) on o b t i e n t :

( 1 . 3 ) THEOREME. - Soit ( X , y) un espace uniforme de type ( 0 ° ° ) • 00

Alors toute forme linéaire m €. .47 (X) est simplement continue sur toute partie H € Jf p ( D ° u ) .

On a vu dans l ' i n t r o d u c t i o n l e s i n c l u s i o n s J ^ C j j * e t J r CJff^ , de s o r t e que l e s théorèmes ( 1. 2 ) e t ( 1 . 3 ) donnent l e s i n c l u s i o n s M ( X ) C M(X, D^aM) e t

jT(Xi

C M°°(X, D^au ) pour l e s e s p a c e s X de t y p e

et c a c .

(o°°) . En f a i t on a même : a

( 1 . 4 . ) THEOREME. - Pour tout espace uniforme ( X} y ) type ( a * ) on a les égalités (au sens algébrique et non pas au sens uniforme)

a) Jf^aa)^s M(X, D *^M) ;

b) JT(X)

« M"(X, D % ) .

a c

En particulier, pour a - 1, on a Jt^QL) - M(X, a u ) e t

Jt^ix) - m " ( X , o u ) .

PREUVE. - I l s u f f i t de démontrer l ' i n c l u s i o n M(X, D ° u ) C Jl ( X ) .

Ct G O *

Or, f i x o n s m G M(X, D^u) . On s a i t d é j à [3] , que m e s t b o r n é e sur l e

(8)

Mesures sur les espaces uniformes de type (crj*°)

d i s q u e uni té A de ( X ) . Pour l e r e s t e c o n s i d é r o n s une f a m i l l e d i s c r è t e ( f i > i E l de ^ ° ° ( X ) , de c a r d i n a l card I < x • La p a r t i e H de # ( X ) , d é - f i n i e par l ' e n s e m b l e des sociraes f i n i e s f , » 2 f. , e s t élément de . ^ ( X , D^vO T de s o r t e que :

m ( 2 f . ) - lim ra(f ) - l i m E m ( f . ) - S m ( f . )

J J i G J 1 i 1

e t tout e s t d i t . L ' é g a l i t é b) se démontre de l a même m a n i è r e . Le r e s t e p r o v i e n t de l ' é g a l i t é D^y » OM d é j à n o t é e . •

Les p r o p r i é t é s g é n é r a l e s des espaces M(X) e t M°°(X), U l , [ 7 ] , f o u r - n i s s s e n t donc l e c o r o l l a i r e s u i v a n t :

( 1 . 5 ) C O R O L L A I R E . - Soit (X, M) un espace uniforme de type ( o ^ ) . L'espace J4 (X) s'identifie à un sous-espace vectoriel de l'espace j(t ( X ) , Videntification se faisant en associant à chaque m G Jt ( X )

— oo

sa restriction m à l'aUjèbre uu ( X ) . En particulier pour qu'une forme linéaire m G^T//°°(X) s o i t élément de ^//^(X) i Z / a u t et il suffit que, pour toute f G U

U(X)>

la suite m l ( f A k ) V ( - k ) ] a i t une limite quand

l'entier k tef^i ûé^s + 0 0

2 . LES E S P A C E S (X) ET ^ " ( X ) ET QUELQUES APPLICATIONS I n t r o d u i s o n s l a d é f i n i t i o n s u i v a n t e :

( 2 . 1 ) D E F I N I T I O N . - On dit qu 'une suite ( f ) de # ( X ) décroît faiblement uniformément localement vers zéro, ce qu'on note * n * ° ( o . u . £ ) , s'il existe un recouvrement dénorribràble Y* ( Vf c) de oy tel que la suite

( f ) décroisse uniformément vers zéro sur chaque partie V^.

L ' i n t é r ê t de c e t t e n o t i o n a p p a r a î t dans l ' é n o n c é s u i v a n t , r e l a t i f a u x espaces de type ( o j ) :

(9)

Mesures sur les espaces uniformes de type ( c r ^ )

( 2 . 2 ) P R O P O S I T I O N . - Soit (X, M) un espace uniforme de type ( o ~ ) . Pour toute forme linéaire m sur *#(X) [resp. sur ^ ° ° ( X ) ] , les pro- priétés suivantes sont équivalentes :

a) me . / / ( X ) [resp. ra E ~ # ~ ( X ) ] ;

b) On a m(f ) — • 0 p^wr towte s u i t e ( f ) de ^ ( X ) ( r e a p .

deOTiXA

n n telle que f ^ 0 ( o . u . £ ) .

PREUVE. - a; W : Fixons m e (X) e t l a s u i t e f 10 ( o . u i ) 1 n dans <2T(X). A l o r s l a p a r t i e H = { f ^ ; n > I } e s t élément de ^ ( D ^ u ) f de s o r t e que m(f ) — • 0 avec ( 1 . 3 ) .

b) a) : Fixons m v é r i f i a n t b) et prouvons déjà que m e s t b o r n é e sur l e disque u n i t é A de °u ( X ) , en suivant l e raisonnement de [3 ; p . 100] : sinon on p o u r r a i t c o n s t r u i r e une s u i t e ( g ^ ) de % ( X ) t e l l e que 0 < g < 2 ~n e t |m(g ) | = 2n - 1 . Posons h = Z g e t h * £ g. ;

n ^n n n , ^ n k

k < n

a l o r s l a s u i t e f = h - h e s t élément de °u ( x ) et f 10 uniformément

n n n sur X, donc a f o r t i o r i f^ I 0 ( o . u . £ ) . On a donc m( hn) — * m(h) , ce q u i

implique l a c o n t r a d i c t i o n m(h) = + «> puisque l ' o n a, pour tout n : n-1 .

|m(h ) |

>

2ⁿ- I - 2 (2 - 1) - n.

n k-1

Pour v o i r que l ' o n a m E jft (X) , fixons une s u i t e d i s c r è t e ( f ) de

n 1 1

°ll(X) . La s u i t e h = 2 f. , c r o î t f a i b l e m e n t uniformément l o c a l e m e n t

n k - ik

v e r s l a f o n c t i o n h = ï 6 ^ ( X ) . On en d é d u i t que l a s u i t e

oo

g - h - h = £ f, e s t t e l l e que g + 0 ( a . u . £ ) , d'où l ' o n t i r e a i s é - n n ^. k n

n+1

ment m(h ) — • m ( h ) , ce q u i termine t o u t . • n

Comme première a p p l i c a t i o n on a :

( 2 . 3 ) PROPOSITION. - Soit ( X , y) un espace uniforme de type ( o ~ ) . Alors les deux espaces Jt^(X) et Mj(X) sont engendrés par leur

cane

positif.

(10)

Mesures sur les espaces uniformes de type

(o*

⁰⁰

)

00 oo

PREUVE. - Pour l ' e s p a c e (X) = M ( X , op) i l s ' a g i t d'une p r o - p r i é t é v a l a b l e pour tout espace M (X) 13] . Pour l ' e s p a c e

( X ) = M(X, op) on u t i l i s e l e c r i t è r e ( 4 . 4 . 3 ) de [3] s e l o n l e q u e l M ( X , a p ) e s t engendré par son cône p o s i t i f s i e t seulement: s i toute m G M(X, ap) e s t bornée sur chaque disque A ( f ) * { g ; | g | < | f | } de

^ ( X ) , f G ^ / ( X ) . Raisonnons p a r l ' a b s u r d e en supposant m non b o r n é e s u r un disque A ( f ) . I l e x i s t e a l o r s une s u i t e ( f ) de A ( f ) t e l l e

? ° f ) n °

q u e | m ( fⁿ) | > n . La p a r t i e h = \ ^ > n > \\ de ^ ( X ) e s t élément de ^ ( D ^ p ) , d'où l ' o n t i r e m(~) • 0 , contrairement à l ' i n é g a - l i t é | m ( fn) | > n. •

( 2 . 4 ) COROLLAIRE 1. - Pour tout espace uniforme ( X , p ) de type ( o ^ ) les espaces Jf^(X) et JV^(X) sont engendrés par leur cône posi- tif.

PREUVE. - I l s u f f i t de remarquer que (X) C Jt^ (X) e t

jfiX)

Cj/°°(X) e t d ' u t i l i s e r l e c r i t è r e ( 3 , ( 4 . 4 . 3 ) ] . •

a 1

( 2 . 5 . ) COROLLAIRE 2. - Soit ( X , p) un espace uniforme de type ( C ) [3] . Alors l⁹espace M(X) est engendré par son cône positif.

PREUVE. - On s a i t , avec [ l ] , 13] , que l ' e s p a c e uniforme ( X , o u ) e s t de type ( o ^ ) , de s o r t e que . / / / j ( X , op) » M(X, o p ) e s t engendré p a r son cône p o s i t i f . On en d é d u i t , t o u j o u r s avec l e c r i t è r e ( 4 . 4 . 3 ) de ( 3 ] , que M(X, p) l ' e s t a u s s i . •

( 2 . 6 ) PROPOSITION. - Soit ( X , p ) un espace uniforme de type (o°°) . Alors M(X, p ) « M(X, p ) , autrement dit l⁹espace ( X , p ) est un ^-espace

13] .

PREUVE. - L ' e s p a c e uniforme ( X . p) e s t de type ( U . P ) [ 4 ] , de s o r t e que M(X, p ) * = M(x, p)"¹" d ' a p r è s l 3^f ( 4 . 5 . 6 ) e t ( 4 . 5 . 7 ) ] . D ' a u t r e p a r t ( X , p ) e s t a u s s i de type ( C )% donc M(X, p ) e s t , d ' a p r è s ( 2 . 5 )f e n g e n - d r é p a r son cône p o s i t i f , d ' o ù l ' é g a l i t é M(X) » S ( X ) . •

(11)

Mesures sur les espaces uniformes de type (G**⁰)

( 2 . 7 ) COROLLAIRE. - Pour tout espace uniforme ( X , u) de type ( o ~ ) on a Jt (X) = M(X, D % ) .

a c

3. o-REGULARIïE ET a-ADDITIVITE.

Une forme l i n é a i r e a - r é g u l i è r e m sur ^ ( X ) ( r e s p . sur ^ " ( X ) ] e s t t o u j o u r s o - a d d i t i v e , mais l a r é c i p r o q u e e s t fausse en g é n é r a l même s i m e s t p o s i t i v e . Pour l e v o i r i l s u f f i t de c o n s i d é r e r un espace u n i f o r - me précorapact ( X , u ) , qui e s t t o u j o u r s de type ( o ~ ) , e t pour l e q u e l

Jt^lX)

=

J^OO

= M°°(X) = Rad(pX) e s t un espace qui d i f f è r e en g é n é - r a l de M ( X ) .

a

On r a p p e l l e qu'un espace uniforme ( X , u) e s t d i t de type ( A ) dans

|3] , e t " i n v e r s i o n - c l o s e d " dans (6] , s i pour toute f o n c t i o n s t r i c t e - ment p o s i t i v e f G ^ (X) , l a f o n c t i o n j e s t encore élément de <2f(X).

D ' a p r è s [3] on s a i t que tout espace de type ( A ) e s t de type ( o j ) . C e l a é t a n t , on a pour l e s espaces de type ( A ) :

( 3 . ) ) PROPOSITION. - Soit ( X , p) un espace uniforme de type ( A ) . Pour toute forme linéaire m s u r [resp. sur ^ ( X ) ] , les pro- priétés suivantes sont équivalentes :

a) m est o-régulière sur <%(X) [resp. sur ^ ° ° ( X ) ] ;

b) On a m(f ) — • 0 pour toute suite ( f ) de ^ ( X ) [resp. de

n n ^

^ ( X ) ] telle que f \ 0 (o.u.l) ;

c) m est o-additive et bornée sur le disque unité A de ^ " ( X ) .

PREUVE. - On a d é j à b) c) avec l a p r o p o s i t i o n ( 2 . 2 ) . I l s u f f i t donc de prouver lf i m p l i c a t i o n c) => a). Grâce à l a p r o p o s i t i o n ( 2 . 3 ) on peut supposer m p o s i t i v e . Si m e s t une forme l i n é a i r e s u r ^ ( X ) l e r é s u l t a t se d é d u i t de [ 3 , ( A . 5 . 9 ) 1 . S i m e s t une forme l i n é a i r e sur °U ( X ) , l e r é s u l t a t se d é d u i t de ( 1 . 4 ) e t de l a c a r á c t e r i s a t i o n des espaces uniformes de type ( A ) donnée dans [8] sous l a forme s u i - vante : Pour toute s u i t e ( f ^ ) de °u (X) t e l l e que f^iO, 1* p a r t i e H - { fn ; n > 1} de # ° ° ( X ) e s t élément de J T ( X , u) .

(12)

Mesures sur les espaces uniformes de type (c|*)

BIBLIOGRAPHIE.

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12-4, 1975, p . 1-66.[4] A . DEAIBES et R. PUPIER, Sur la sommabilité de familles de fonctions uni

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A l i DEAIBES F a c u l t é des Sciences U n i v e r s i t é l i b a n a i s e

HADATH-BEYROUTH Liban