De la réalité des racines de l'équation du troisième degré en <span class="mathjax-formula">$S$</span> : <span class="mathjax-formula">$\Delta=\begin{vmatrix} A-S & B'' & B' \\ B'' & A'-S & B \\ B' & B & A''-S \end{vmatrix} = 0$</span>, où <span class="ma

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

G ^ÉRONO

De la réalité des racines de

l’équation du troisième degré en S :

∆ =

A − S B

B

B

A

− S B

B

B A

− S

= 0, où

B, B

, B

représentent des quantités différentes de zéro

Nouvelles annales de mathématiques 2

série, tome 11

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DE LA BEAUTE DES RACINES DE L'ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ EN S :

A =

A — S B" B' B" A' — S B

B' B A" — S

où B , B', B " représentent des quantités différentes de zéro.

On a, en multipliant par B , B', B^/y les éléments des lignes horizontales,

( A — S ) B BB" BB' ABB'B" — B'B" (A' — S)B' BB'

B'B" BB" (A" — S)B"

Ann. de UaihêmaU, 2e serie, t. XI. (Juillet 1872.) 20

( 3o6 ) d'où

(A—S) B —B'B" BB"— (A' —S)B' o

o (A'—S)B' —BB" BB'— (A"— S) B"

B'B" BB" ( A" —S) B'—BB'-f-BB' e t , en divisant respectivement par B , B', B" les élé- ments des colonnes de rangs i , 2, 3 de ce dernier déter- minant,

BJB"

B

En posant B'B''

A _ =

BB"

B'

BB" BB'

il vient

A —

o a _ s S — a'

o a' — S S — a"

B'B" BB" „ „ BB'

Actuellement, supposons que les quantités a, «', «r/

soient inégales et qu'on ait, par exemple, a <^af <^a".

Si l'on remplace successivement S par a, a\ a!\ les valeurs correspondantes de A , données par l'égalité (1), seront :

_

yd— « u » — «- il ^,, v •* ; v " ;» B" ~^u

et, comme les produits (a — a¹) (a — a"), [a — a')[a'—a"), (a — a!') {a1 — a11) sont positifs, on voit que les substi- tutions de a et a' à S dans A donnent des résultats de signes contraires, et qu'il en est de même des substitu- tions de a1 et a1''; par conséquent, l'équation A = o a une racine comprise entre a et ar, et une autre racine com- prise entre a¹ et aⁿ',

En outre, pour S=—oo , A = -4- co , et pour S=-f-co , A = — oo ; donc, suivant que le produit BB'B" est po- sitif ou négatif, la troisième racine de l'équation A = o est plus grande que a" ou plus petite que a.

Ainsi, dans l'hypothèse de l'inégalité des quantités a, a\ aff, les trois racines de l'équation A = o sont réelles et inégales.

Si deux des quantités a, a', a¹' étaient égales entre elles, et qu'on eût, par exemple, a = a', l'égalité (i) de- viendrait

]

o „ _ s S — r/' A — (a — S)

l'une des racines de l'équation A = o serait a, et les deux autres seraient données par la résolution de l'équa-*

tion du second degré

l

o B'B"

B

— t a — S

BB'7

s

a" — n

— a"

BB' ^{— o.}

•2 O

( 3o8 )

En remplaçant successivement l'inconnue S par a et a", le premier membre de l'équation (2) prend les valeurs

BB" B'B"\ BB'

ou

- BB'B" ^— -f - j (a - a" ), + BB'B" ^ (a - «"), qui ont des signes contraires. Donc cette équation a une racine comprise entre a et a!'* L'autre racine est plus grande que a!1, ou moindre que «, suivant que BB'B" est positif ou négatif.

Donc, dans ce second cas, l'équation A = o a encore ses trois racines réelles et inégales.

Enfin, lorsque a = a' = a!', l'égalité (1) prend la forme

= ((1 — S)2

L'équation proposée A = o a deux racines égales à a, et la troisième, déterminée par l'équation du premier

I

o B'B"

B

— i

i

BB"

B' ^ o

— i

a S \ -4.

a ö ; -+

BB B"

degré

a pour

I

valeur

j

o

;'B"

B

a -f

— i

i

BB"

B' B'B"

o

BB' - ,7

BB" BB'

B' ' B"i ,

11 en faut conclure que, dans tous les cas, l'équation proposée A = o a ses trois racines réelles. G.