TS primitives 1/ 2
Cours sur les primitives Problématique
Sif est une fonction dérivable, alors elle admet une unique fonction dérivéef′.
À l’inverse, sif est une fonction, à quelle condition existe t’il une fonctionF dontf est la dérivée ? Et combien y-a t’il de telles fonctionsF?
C’est de cette problématique dont nous allons parler dans ce chapitre...
Exemple : Sif est la fonction définie surRparf(x) =x2alorsf est dérivable surR, avecf′(x) = 2x.
Dans "l’autre sens", la fonction f définie parf(x) = 2xest la dérivée de la fonctionF définie parF(x) =x2.
1°) Rappels sur les formules de dérivées
intervalleI fonctionf(x) dérivéef′(x) I⊂R a aveca∈R
I⊂R x I⊂R x2
I⊂R xn avecn∈N∗
intervalleI fonctionf(x) dérivéef′(x) I⊂R∗ 1
x I⊂R∗ 1 x2 I⊂R∗ 1
xn avecn∈N∗ I⊂R+∗ √
x
intervalleI fonctionf(x) dérivéef′(x)
I⊂]0; +∞[ ln(x) 1
x
I⊂R ex= exp(x) ex
Théorème :formules sur les sommes, produits, quotients et composées : (u+v)′ =u′+v′
(u×v)′ =u′v+uv′
u v
′
=u′v−uv′ v2
1 u
′
= −u′ u2
√u′
= u′ 2√ u
(u◦v)′ = (u′◦v)×v′
(un)′=n u′un−1
ln(u)′ =u′ u
exp(u)′=u′×exp(u)
2°) Définition d’une primitive, des primitives
Définition :Soitf une fonction définie sur un intervalleI; on appelleprimitive def surI toute fonctionF définie et dérivable surI telle queF′=f.
Propriété :(admise) Toute fonction définie et continue sur un intervalleIadmet des primitives sur I.
Propriété : Soitf une fonction définie et continue sur un intervalle I, F une primitive def sur I et k un nombre réel. Alors la fonctionGdéfinie surI parG(x) =F(x) +kest encore une primitive def surI.
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Toutes les primitivesH def sont de la formeH(x) =F(x) +k, aveck∈Rune constante.
Autrement dit, il y a une infinité de primitives, et deux primitives sont égales à une constante près.
Exemple :
Sif est la fonction définie surRparf(x) =x3, alorsf est la dérivée de la fonctionF définie parF(x) =1 4x4. C’est à dire que la fonctionF définie parF(x) = 1
4x4est une primitive def. Ce n’est pas la seule, il y en a une infinité, et elles sont toutes égales à une constante près. Par exemple la fonctionGdéfinie parG(x) =F(x) + 3 est une autre primitive.
Si f est la fonction définie sur Rparf(x) = 1 +x+ 1 2√
x, alorsf est la dérivée de la fonction F définie par F(x) = . C’est à dire que la fonctionF définie parF(x) = est une primitive de f. Ce n’est pas la seule, il y en a une infinité, et elles sont toutes égales à une constante près. Par exemple la fonctionGdéfinie parG(x) =F(x)−1 est une autre primitive.
3°) Formules de primitives usuelles
Voici un formulaire de primitives à connaître par cœur :
intervalleI fonctionf(x) PrimitiveF(x) I⊂R a aveca∈R
I⊂R x I⊂R x2
I⊂R xn avecn∈N∗
intervalleI fonctionf(x) PrimitiveF(x) I⊂R∗ 1
x2 I⊂R∗ 1
xn avecn≥2 I⊂R+∗ √
x
intervalleI fonctionf(x) PrimitiveF(x) I⊂]0; +∞[ 1
x ln(x)
I⊂R ex= exp(x) ex
Notation :On note parfois Z
f une primitive def
Théorème :formules sur les sommes, produits, quotients et composées : Z
(u+v) = Z
u+ Z
v
Z
u′v+uv′ =u×v
Z u′v−uv′ v2 =u
v
Z −u′ u2 = 1
u Z u′
2√ u=√
u
Z
(u′◦v)×v′= (u◦v)
Z
n u′un−1= un
Z u′
u = ln(u) Z
u′×exp(u) = exp(u)
Lors de l’étude du chapitre consacré au calcul d’intégrales (utile pour les calculs d’aires), on verra que les primitives sont au coeur de ces notions.
