Leçon 30 : Losange et carré

Leçon 30 : Losange et carré

Activités Activité

1

La

figure ci-contre,

ABCD

est un parallélogramme.

Compléter les

pointillés

AB:...:...:...

(AC) r...

Le

parallélogramme

ABCD

admet

...

cotéb égaux et

..,

diagonales perpendiculaires;

ABCD

est appelé

un ...

- Construire un losange sur une feuille de papier.

B

^-

^Montrer,

^{à l'aide cle pliage,} gue le losange a deux axes de symétrie. Lesquels ?

- Le

point

O est-il son centre de symétrie ?

- Après la définition

d'un

parallélogramme,

d,un

rectangle et d'un losange, donner la

définition d'un

carré.

- Dans un carré, combien

y a-t-il

d'axes et de centres de symétrie ?

.

a. Définition:

Le losange est un parallélogramme qui a quatre côtés de même longueur.

ABCD est un losange, on a

:

AB

:

BC ₌ CD

:

DA

b.

Propriétés

- Les diagonales sont perpendiculaires et ont même

milieu:(AC)r(BD).

- Les angles opposés sont

égaux: À=ô

et

Ê: b

- Les diagonales sont les bissectrices des angles

À;Ê;c

et

D:

Àr=

Àr:Ô, --ô,

^{et Ê,}

= Êr: ô, : ô,

Géométrie C2

l.

Activité

3

AI

L

C

Essentiel

l.

Losange

Activité

2

t23

Géométrie C2

- Un

losange admet deux axes de symétrie

:

(AC)

et

(BD)

' ^{ce sont ses} diagonales et

un

centre de symétrie.

c. Construction

^:

Exemple ^: Construire un losange

EFGH

^{de 4cm de côté et}

I'angle

Ê

:60"

Solution:

Hypothèse

EF:FG:GH=HE:4cm

^et

E

:6A"

Conclusion Construire un losange ^EFGH.

- Construire

l'angle

xEY=$9"

- Tracer un arc de cercle ^de centre E, et de rayon

4 cm.Il

^{coupe les}

^demi-

droites respectives _{[EX) et}

[E! ^{en F}

^{et H.}

- Tracer deux arcs de cercle de centres respectifs

F

et

H

et de rayon

4

cm.

Ils

se coupent en G.

EFGH est le losange demandé-

2.

Carré,

a. DéfTnition i

.

Le

carré ^est un quadrilatère ^qui a quatre angles

droits

et ses eôtés de même longueur.

ABCD est

un

^carré, on a

:

^ÂB = BC = CD

:

_DA

b.

Propriétés:

- Les diagonales sont perpendiculaires et

ont

même longueur ^: (AC)

I

^{(BD) et AC}

: _BD.

-

Un canéABCD

admet quatre axes de symétrie :

(IJ)

et

(KL), (AC)

et

(BD)'

un centre de symétrie.

c. Construction

^:

Exemple : Construire

un

carré de 5cm ^de côté' Solution ^:

5

t24 5cm

D 'v

l.

Géométrie C2

- Construire

l'angle xïy

_=gg'

- Tracer un arc de cercle de centre

A

et de rayon 5cm.

Il

coupe les demi droites respectives

[Ax)

^et

[Ay)

^en

B

et D.

- Tracer deux arcs de cercle de centres respectifs B et

D

et de rayon 5cm.

Iis

se coupent en C.

ABCD

est le carcé demandé.

Exercices

construir.

un

lorunge

EFGHdans chacun des cas'suivants :

a.

EF

=6cm. b. ffp:Bcm et

EH --5cm.

c.

HF

:\cm _et AÊp:76" d.

Uf'

=gcm et

EHF =10"

Soient deux points

A

et

I

distants de 3 cm.

Construire les points

B,

C et D

pourque ABCD

soit un losange de centre

I

et de côté 5 cm.

Dans chacun des cas, construire un

carré

WIND tel que ^:

a.7cm

de côté

b. wN

_=locm.

a. Sur la feuille non quadrillée, placer les points

A

et

I. Avec

la règle et le compas, construire les points

B,

C et

D

pour que

ABCD

soit un carré de centre I.

b.

Sur la feuille non quadrillée, placer le

point

O puis construire le carré RSTU de centre O et de côté 6 cm.

ABCD est un carré de centre

o.

Les

points

_{M, N,} ^p,

e

sonf"les

milieux

respèctifs I de

[OA], [OB],

[OC] et

[OD].

a.

Montrer que

MNPQ

est

ur

carré.

b.

Si

ABCD

est un losange, quelle est la nature du quadrilatère

MNpe

?

La

figure ci-contre,

EFGH

est un parallélograrnme

tel

que _{Ê, =} Ê,

et

Gt

:

ôz

Montrer

que EFGH est un losange.

La figure

ci-contre, XYZW est un losange.

Dans chacun des cas suivants, calculer

x:

a.i,=3x+8 et Îr:llx-24

b.

i',

=7x -ll ^et

^{io = 5x +9}

c. ir:2x+7 et 2t =3x-8

d. & ^:5(x-l)

^{et 2u--z1x+tS}

e.

Y, = ^{4(-r +} 5)

et ù, :3(x

+15) 2.

aJ.

4.

5.

6.

7.

34

w -:

Z

t25