Séance 2 (9 novembre)

(1)

S ´ EANCE DU 9/11/07

1.6. Dérivations et champs de vecteurs. — ⁽²⁾ Soit X une variété C^∞, soitp∈X et soitf une fonction à valeurs réelles, définie et continue dans un voisinage de p. D’après la définition 1.6, f est une application de classe C^∞ au voisinage de p si pour une (et donc, pour toute) carte (U, φ) au voisinage de p, la fonctionf ◦φ⁻¹ est une fonction C^∞ des«coordonnées locales»

(x₁, . . . , x_n).

C.-`a-d., pour tout p⁰ ∈U on ´ecritφ(p⁰) = (x₁, . . . , x_n), on demande alors que la fonction

f(x₁, . . . , x_n)

(un abus d’écriture pour désignerf(p⁰) = (f◦φ⁻¹)(x₁, . . . , x_n)), soit une fonction C^∞desx_i. Ceci ne dépend pas de la carte choisie, puisque les changements de cartes sont C^∞.

Définition 1.51(Germes de fonctions). — On considère les couples (V, f), où V est un voisinage ouvert depetf : V→Rune application C^∞. On dit que deux couples (V, f) et (V⁰, g) sont équivalents si f etg co¨ıncident sur un voisinage W dep contenu dans V∩V⁰.

Une classe d’équivalence est appelé un germe de fonction C^∞ en p. On pense à un germe comme à une fonction C^∞ f définie sur un voisinage«non spécifié» de p. Les germes s’ajoutent et se multiplient commes les fonctions usuelles : si f et g sont deux germes, et si (V, f) et (V⁰, g) en sont des re- présentants, alors f +g et f g sont définies et C^∞ sur W = V∩V⁰, et ceci définit les germesf+g etfg. On vérifie facilement que cela ne dépend pas des représentants choisis. On obtient donc ainsi une R-algèbre notée

C^∞(X)_p.

(2)version du 20/11/07 (correctionη(1) = 0 p.18, l.-7)

(2)

De plus, pour tout voisinage V dep, on a C^∞(X)_p =C^∞(V)_p

car tout germe enppeut être représenté par un couple (W, f) avec W⊆V. En particulier, soit (V, φ) une carte au voisinage depet soit U l’ouvertφ(V)⊆Rⁿ. Quitte à remplacer φ par t◦φ, o`u t :Rⁿ → Rⁿ est une translation, on peut supposer que U contient le point 0 deRⁿ. On obtient alors :

C^∞(X)_p =C^∞(V)_p ∼=C^∞(U)₀ =C^∞(Rⁿ)₀.

Ceci permet de ramener toutes les questions portant sur C^∞(X)_p au cas o`u X =Rⁿ (etp= 0).

Définition 1.52. — On note m_p l’idéal de C^∞(X)_p formé des germes de fonctions nulles enp. C’est un idéalmaximal, puisque c’est le noyau du morphisme d’évaluation enp :

ε_p :C^∞(X)_p −→R, f 7→f(p), de sorte queC^∞(X)_p/m_p ∼=R.

Définition 1.53(Dérivations ponctuelles). — On appelle d´erivation ponctuelle en p une applicationR-lin´eaire D :C^∞(X)_p→R telle que

D(f g) =f(p)D(g) +g(p)D(f), ∀f, g∈C^∞(X)_p.

Un tel D s’annule sur l’idéalm²_pet aussi sur (le germe de) la fonction constante 1, puisque l’égalité

D(1) = D(1·1) = 1·D(1) + 1·D(1) entraˆıne D(1) = 0.

Réciproquement, soit η ∈ (m_p/m²_p)^∗. Alors η s’identifie à une forme linéaire surm_p, nulle sur m²_p, et comme

C^∞(X)_p =R1L m_p,

η se prolonge en une forme linéaire sur C^∞(X)_p, encore notée η, telle que η(1) = 0. Alors,ηest une dérivation ponctuelle. En effet, pourf, g arbitraires, on a

f g−f(p)g−g(p)f = (f −f(p))·(g−g(p))−f(p)g(p)1 ;

par hypoth`ese, η s’annule sur le membre de droite, d’o`u η(f g) =f(p)η(g) + g(p)η(f). On obtient donc un isomorphisme de R-espaces vectoriels

D´er_p(C^∞(X)_p,R)∼= (m_p/m²_p)^∗

où l’on a noté Dér_p(C^∞(X)_p,R) l’espace des dérivations ponctuelles enp.

(3)

Définition 1.54(Espaces tangents et différentielles). — 1) L’espace tangent `a X en p est d´efini par :

T_pX = D´er_p(C^∞(X)_p,R)∼= (m_p/m²_p)^∗.

2) Soit φ : X → Y un morphisme de variétés. Sa différentielle en p est l’application linéaire

d_pφ: T_pX−→T_φ(p)(Y), D7→D◦^tφ,

où ^tφdésigne la transposée de φ, c.-à-d., pour toutg∈C^∞(Y)_φ(p),

tφ(g) :=g◦φ appartient `a C^∞(X)_p, et l’on pose

(d_pφ(D))(g) = D(g◦φ). (∗)

Alorsd_pφ(D) est bien une d´erivation ponctuelle deC^∞(Y)_φ(p).

Proposition 1.55(Différentielle d’une composée). — d_pid_X = id_T_p_X et, si ψ : Y→Z est un second morphisme de vari´et´es, alors

d_p(ψ◦φ) =d_φ(p)ψ◦d_pφ.

Démonstration. — Ceci résulte de la définition.

La définition précédente a l’avantage d’être intrinsèque, c.-à-d., elle ne fait pas intervenir de cartes de X. De plus, il résulte de la proposition que la définition est invariante par difféomorphisme local, c.-à-d., si φ est un difféo- morphisme d’un voisinage ouvert V de p sur un voisinage ouvert W de φ(p), alorsd_pφinduit un isomorphisme

T_pX = T_pV−→^∼ T_φ(p)W = T_pY.

Pour retomber sur nos pieds, il faut vérifier que lorsque X =Rⁿ, on retrouve la définition antérieure de l’espace tangent. Ceci résulte du lemme et de la proposition qui suivent.

Lemme 1.56. — Soient U une boule ouverte centr´ee en 0 dans Rⁿ et f une fonction C^∞ sur U. Pour toutx= (x₁, . . . , x_n)∈U, on a

(?) f(x)−f(0) =

Xn

i=1

x_i Z ₁

0

∂f

∂x_i(tx)dt, et chaque fonction g_i(x) = R₁

0(∂f /∂x_i)(tx)dt est C^∞ sur U. Par conséquent, l’idéal de C^∞(U) des fonctions nulles en 0 est engendré par les fonctions coordonnées x₁, . . . , x_n.

(4)

D´emonstration. — Fixons x = P_n

i=1x_ie_i et posons F(t) =f(tx) pour t ∈I, o`u I est un intervalle ouvert contenant [0,1]. Alors F est C^∞ et

f(x)−f(0) = F(1)−F(0) = Z ₁

0

F⁰(t)dt.

De plus, F est la composée de f et de l’application linéaireu :t7→ tx. Donc, pour toutt∈I, F⁰(t) égale

(d_tF)(1) = (d_txf ◦u)(1) = (d_txf) Ã _n

X

i=1

x_ie_i

!

= Xn

i=1

x_i∂f

∂x_i(tx).

La formule (?) en r´esulte. De plus, par d´erivation sous le signe R

, chaque g_i est une fonction C^∞ de x. Donc, le terme de droite appartient à l’idéal de C^∞(U) engendré par les fonctions coordonnéesx₁, . . . , x_n, et sif(0) = 0 alors f appartient à cet idéal. Le lemme est démontré.

Pour touti= 1, . . . , n, _∂x^∂

i est une dérivation de C^∞(Rⁿ), c.-à-d., vérifie

∂

∂x_i(f g) =g ∂f

∂x_i +f ∂g

∂x_i, ∀f, g∈C^∞(Rⁿ).

De plus, pour toutq = (q₁, . . . , q_n)∈Rⁿ, le germe en q (et donc a fortiori la valeur enq) de∂f /∂x_i ne dépend que du germe def enq. Donc,∂/∂x_i induit un élément

µ ∂

∂x_i

¶

q

∈D´er_q(C^∞(Rⁿ)_q,R), f 7→ ∂f

∂x_i(q), o`u f est un repr´esentant arbitraire du germef.

Soit m_q l’id´eal de C^∞(Rⁿ)_q form´e des germes de fonctions nulles en q.

Chaque fonction coordonn´eex_i−q_i appartient `a m_q et on note dx_i =x_i−q_i son image dans m_q/m²_q.

Proposition 1.57. — 1) (x₁−q₁, . . . , x_n−q_n)est une base dem_q/m²_q, et la base duale de D´er_q(C^∞(Rⁿ)_q,R) est

Ãµ ∂

∂x₁

¶

q

, . . . , µ ∂

∂x_n

¶

q

! .

2) L’espace tangent T_qRⁿ =Rⁿ s’identifie à Dér_q(C^∞(Rⁿ)_q,R) : tout vec- teur v=a₁e₁+· · ·+a_ne_n correspond à la dérivation ponctuelle

D_v :f 7→(d_qf)(v) = Xn

i=1

a_i ∂f

∂x_i(q) = Xn

i=1

a_i µ ∂

∂x_i

¶

q

(f), o`u f est un repr´esentant arbitraire du germe f.

(5)

3)Via les identifications D´er_q(C^∞(Rⁿ)_q,R)∼= (m_q/m²_q)^∗ et Hom_R(T_qRⁿ,R)∼= HomR((m_q/m²_q)^∗,R)∼=m_q/m²_q,

la différentielle d_qx_i s’identifie à l’élément dx_i = x_i−q_i, ce qui justifie la notation. De plus, pour toute applicationC^∞f : U→R, oùUest un voisinage ouvert de q, on a :

d_qf = Xn

i=1

∂f

∂x_i(q)dx_i.

Démonstration. — Par translation, on se ramène à q = 0. D’après le lemme 1.56, x₁, . . . , x_n engendrent m₀, et donc leurs images x₁, . . . , x_n engendrent m₀/m²₀. Elles sont linéairement indépendantes puisque

µ ∂

∂x_i

¶

0

(x_j) = ∂x_j

∂x_i(0) =δ_ij. L’assertion 1) en r´esulte, et les assertions 2) et 3) aussi.

Revenons à une variété C^∞arbitraire X. SoitC^∞(X) l’algèbre des fonctions C^∞ sur X.

Définition 1.58(Dérivations deC^∞(X)). — Uned´erivationdeC^∞(X) est une application R-lin´eaire D :C^∞(X)→C^∞(X) telle que

D(f g) = D(f)g+fD(g), ∀f, g∈C^∞(X).

On note D´er(C^∞(X)) l’espace des d´erivations deC^∞(X).

On peut maintenant expliciter la notion de champ de vecteurs C^∞ sur X.

Soit p ∈X et soit (U, φ) une carte au voisinage de p. Pour tout q ∈ U, on

´ecrit φ(q) = (x₁, . . . , x_n) et, par d´efinition, une fonction continue f : U→ R est C^∞ si et seulement si la fonction

(x₁, . . . , x_n)7→f(x₁, . . . , x_n)

(un abus d’´ecriture pour d´esigner (f◦φ⁻¹)(x₁, . . . , x_n)) est une fonction C^∞ sur l’ouvertφ(U)⊆Rⁿ.

Alors, pour tout q∈U, on a une identification Rⁿ−→^∼ T_qX

définie comme suit. Soit (e₁, . . . , e_n) la base canonique de Rⁿ; au vecteur e_i on associe le «champ de vecteurs» ∂/∂x_i sur U défini, en tout pointq ∈U, par la proposition 1.57. C.-à-d.,∂/∂x_i désigne ici la«collection» de vecteurs

tangents µ

∂

∂x_i

¶

q

∈T_qX, ∀q∈U,

(6)

définis dans la proposition 1.57. Alors, par définition un champ de vecteurs v sur U est la donnée d’une collection de vecteurs tangents v_q ∈T_qX ; d’après la proposition 1.57, on écrire, en tout pointq∈U,

v_q = Xn

i=1

P_i(q) µ ∂

∂x_i

¶

q

,

avec P_i(q) ∈ R. On dit que le champ de vecteurs v est C^∞ si les fonctions q 7→P_i(q) sont C^∞sur U.

D’autre part, notons RÛ l’algèbre de toutes les fonctions U → R. À v on associe l’application D_v :C^∞(U)→RÛdéfinie, pour tout f ∈C^∞(U), par : (1) D_v(f)(q) =d_qf(v_q) =

Xn

i=1

P_i(q)∂f

∂x_i(q),

où (∂f /∂x_i)(q) désigne, avec l’abus d’écriture rappelé plus haut,∂(f◦φ⁻¹)/∂x_i

´evalu´ee enφ(q). Alors,

(2) D_v(x_i) = P_i.

Donc, d’une part, v est déterminé par D_v et, d’autre part, la condition P_i ∈ C^∞(U) implique, et est équivalente, à la condition suivante :

(3) ∀f ∈C^∞(U), D_v(f)∈C^∞(U).

L’implication r´esulte de la formule (1), qui se r´ecrit : D_v(f) =

Xn

i=1

P_i∂f

∂x_i,

et la r´eciproque est le cas particulierf =x_i donnant (2).

Définition 1.59(Champs de vecteurs surXet dérivations)

Un champ de vecteursvsur X est la donnée, pour toutp∈X, d’un élément de T_pX notév_p ou v(p) ; pour toutf ∈C^∞(X) on obtient ainsi unefonction

D_v(f) : X−→R, p7→d_pf(v_p).

On dit quev est C^∞ si la condition ci-dessous est v´erifi´ee :

∀f ∈C^∞(X), D_v(f)∈C^∞(X).

Dans ce cas, l’applicationf 7→D_v(f) est uned´erivation de C^∞(X), puisque pour toutp on a

D_v(f g)(p) =d_p(f g)(v_p) = (f(p)d_pg+g(p)d_pf)(v_p) = (fD_v(g) +gD_v(f))(p).

(7)

D’après ce qui précède, la condition que v soit C^∞ équivaut à dire que pour tout p ∈ X, il existe des coordonnées locales (x₁, . . . , x_n) sur un voisinage ouvert U de ptelles que pour toutq ∈U, v_q s’écrive

v_q = Xn

i=1

P_i(q) µ ∂

∂x_i

¶

q

,

avec des«coefficients» P_i ∈C^∞(U) ; alors ceci est le cas pour toute carte.

L’application v 7→ D_v est R-linéaire, et elle est injective car on a vu plus haut que la dérivation D_v détermine le champ de vecteursv, puisque, pour tout système (x₁, . . . , x_n) de coordonnées locales au voisinage d’un pointp∈X, on a

v_p = Xn

i=1

D_v(x_i)(p) µ ∂

∂x_i

¶

p

.

De plus, l’application v7→D_v est bijective, d’après le théorème suivant.

Notation 1.60. — Pour toutp∈X, on noteε_p l’application d’´evaluation enp: ε_p:C^∞(X)_p−→R, f 7→f(p)

Théorème 1.61(Localité des dérivations). — Toute dérivation D de C^∞(X) provient d’un champ de vecteursC^∞ v (nécessairement unique). Plus précisé- ment, pour toutp∈X,Dse prolonge en une dérivation ponctuelle de l’algèbre des germes C^∞(X)_p, qu’on notera encore D. Alors, le champ de vecteurs v défini par v_p=ε_p◦D, pour tout p∈X, est C^∞ et l’on a D = D_v.

Par conséquent :«une dérivation deC^∞(X)est la même chose qu’un champ de vecteurs C^∞ sur X».

Démonstration. — Soitp₀ ∈X. Montrons d’abord que, pour toutf ∈C^∞(X), le germe enp₀ de D(f) ne dépend que de celui de f (c’est cette propriété qui explique le titre du théorème).

Par lin´earit´e, il suffit de montrer que sif ∈C^∞(X) est nulle sur un voisinage V de p₀, alors D(f) est nulle sur un voisinage W dep₀.

Or, il existe une fonction h ∈ C^∞(X) nulle hors de V et valant 1 sur un petit voisinage W de p₀ contenu dans V, cf. [Laf, Chap. III.A]. Alors on a

f =f(1−h), carf = 0 dans V et (1−h) = 1 hors de V. Donc

D(f) = D(f)(1−h) +fD(1−h) est nulle sur W⊆V, car f et 1−hle sont.

Soit maintenantf un germe enp₀ de fonction C^∞, repr´esent´e par un couple (U, f). Soit V un voisinage de p₀ tel que V ⊆ U et soit h une fonction C^∞

(8)

nulle hors de V et valant 1 dans un petit voisinage dep₀. Alors la fonctionf h est C^∞ sur X et l’on peut poser

D(f) = D(f h).

D’après ce qui précède, le germe en p₀ de D(f) ne dépend pas du choix de h. Ceci prouve que D se prolonge en une dérivation deC^∞(X)_p₀, qu’on note encore D. On note alors D_p₀ la composée

C^∞(X)_p₀ −→^D C^∞(X)_p₀ −→^ε^p⁰ R;

c’est une d´erivation ponctuelle deC^∞(X)_p₀.

D’après la proposition 1.57, c.-à-d., d’après les isomorphismes Dér_p(C^∞(X)_p,R)∼= TpX, ∀p∈X,

il existe un champ de vecteurs v sur X d´efini par v_p = D_p, pour tout p ∈X, c.-`a-d., pour tout f ∈C^∞(X) et p∈X,

D_v(f)(p) = D_p(f) = D(f)(p).

Alors D_v(f) = D(f), pour tout f ∈ C^∞(X), et ceci montre que v est C^∞ et D_v= D. Le théorème est démontré.

Remarque 1.62. — La fin de la démonstration peut être écrit de fa¸con plus explicite de la manière suivante. Soit (x₁, . . . , x_n) un système de coordonnées locales sur un voisinage ouvert U de p₀. Alors, d’après la proposition 1.57, pour tout p ∈ U les (∂/∂x_i)_p forment une base de Dér_p(C^∞(X)_p,R), et on peut donc écrire

D_p = Xn

i=1

a_i(p) µ ∂

∂x_i

¶

p

,

où les coefficientsa_i(p)∈Rsont déterminés par : a_i(p) = D_p(x_i).

D’après le début de la démonstration du théorème 1.61, il existe une fonction e

x_i ∈ C^∞(X) qui co¨ıncide avec x_i sur un voisinage V de p₀ contenu dans U.

Alors on a, pour toutp∈V,

a_i(p) = D_p(x_i) = D_p(xe_i) = D(xe_i)(p),

ce qui montre que a_i co¨ıncide sur V avec la fonction D(xe_i) ∈ C^∞(X). Ceci montre que D induit une d´erivation de C^∞(V), qui correspond au champ de vecteurs

v= Xn

i=1

D(x_i) ∂

∂x_i.

(9)

Changeons maintenant de notations : dans la suite, nous désignerons par M,M⁰ des variétés C^∞ et par X,Y (resp. X⁰,Y⁰) des champs de vecteurs C^∞ sur M (resp. M⁰).

Définition 1.63(Dérivations d’une algèbre). — Soit A un R-espace vectoriel, muni d’un produitR-bilin´eaire

A×A−→A, (a, b)7→ab.

(On ne suppose pas le produit commutatif, ni associatif.) Une R-d´erivation de A est un R-endomorphisme D de A qui v´erifie :

∀a, b∈A, D(ab) =aD(b) + D(a)b.

On note D´er(A) l’ensemble desR-d´erivations de A ; c’est un sous-espace vectoriel de End_R(A).

Lemme 1.64. — SoientD,D⁰ des dérivations deA. AlorsDD⁰−D⁰Dest une dé- rivation deA. Par conséquent,Dér(A)est une sous-algèbre de Lie deEnd_R(A).

D´emonstration. — On calcule :

DD⁰(ab) = D(D⁰(a)b+aD⁰(b)) = DD⁰(a)b+ D⁰(a)D(b) + D(a)D⁰(b) +aDD⁰(b).

Les deux termes du milieu ´etant sym´etriques en D et D⁰, on obtient que (DD⁰−D⁰D)(ab) = (DD⁰−D⁰D)(a)b+a(DD⁰−D⁰D)(b).

Ceci montre que DD⁰−D⁰D∈D´er(A), d’o`u le lemme.

Définition et proposition 1.65(Crochet de deux champs de vecteurs)

Soit M une variété C^∞ et X,Y deux champs de vecteurs C^∞, considérés comme des dérivations deC^∞(M). Alors,

[X,Y] := X◦Y−Y◦X

est une d´erivation, donc un champ de vecteurs, appel´e le crochet de Lie des champs de vecteurs X et Y.

Démonstration. — Ceci résulte du lemme précédent, appliqué à A =C^∞(X).

Remarque 1.66. — En coordonnées locales, si l’on note∂_i=∂/∂x_ipour alléger l’écriture, et si

X = Xn

i=1

P_i∂_i, Y = Xn

j=1

Q_j∂_j,

alors on v´erifie que la d´erivation D_X◦D_Y−D_Y◦D_Xcorrespond au champ de vecteurs :

[X,Y] = Xn

i=1



Xⁿ

j=1

P_j∂_j(Q_i)−Q_j∂_j(P_i)



∂_i.

(10)

Notation 1.67. — On aura besoin, en particulier dans la d´efinition 1.69 et la proposition 1.70, des notations suivantes. Soit X un champ de vecteurs sur M.

Pour tout m ∈ M et f ∈ C^∞(M), on d´esigne la valeur en m de la fonction X(f)∈C^∞(M) par X_m·f ou X_m(f). C.-`a-d., on pose :

X(f)(m) =d_mf(X_m) = X_m·f = X_m(f)∈R.

Par cons´equent, si Y est un second champ de vecteurs sur M, on a [X,Y]_m·f = [X,Y](f)(m) = X(Y(f))(m)−Y(X(f))(m)

= X_m(Y(f))−Y_m(X(f))

= X_m·Y(f)−Y_m·X(f).

Remarque 1.68. — Par contre, l’´ecriture X_m·(Y_m·f) n’a pas de sens, puisque Y_m·f = (Yf)(m) est un r´eel (et non une fonction sur M).

Terminons ce paragraphe avec la d´efinition et proposition suivantes, qui seront utiles plus loin.

Définition 1.69(Champs de vecteursφ-liés). — Soitφ: M→M⁰un morphisme de vari´et´es C^∞. On dit que des champs de vecteurs X sur M et X⁰ sur M⁰ sont φ-li´essi, pour toutm∈M, l’on a :

(†) X⁰_φ(m)=d_mφ(X_m).

Ceci entraˆıne que, pour tout f ∈ C^∞(M⁰), on a l’´egalit´e de fonctions sur M suivante :

(‡) X⁰(f)◦φ= X(f◦φ).

En effet, pour toutm∈M, on a

X⁰(f)(φ(m)) =d_φ(m)f(X⁰_φ(m))

=d_φ(m)f(d_mφ(X_m))

=d_m(f◦φ)(X_m) = X_(f_◦φ)(m).

Proposition 1.70. — Soit φ: M →M⁰ un morphisme de variétésC^∞ et soient X,Y (resp.X⁰,Y⁰) des champs de vecteurs sur M (resp M⁰). On suppose que X et X⁰ (resp.Y et Y⁰) sontφ-liés. Alors :

[X,Y] estφ-li´e `a [X⁰,Y⁰].

Démonstration. — Soit m∈M. Il faut montrer l’égalité d_mφ([X,Y]_m) = [X⁰,Y⁰]_φ(m).

Pour cela, il suffit de montrer que ces deux éléments de T_φ(m)M⁰ prennent la même valeur sur tout f ∈ C^∞(M⁰). Or, en utilisant les définitions (et la

(11)

notation 1.67, l’hypothèse (†) que X,X⁰ et Y,Y⁰ sontφ-liés, et sa conséquence (‡), on obtient :

d_mφ([X,Y]_m)(f)^d´ef.= d_φ(m)(f ◦d_mφ)([X,Y]_m)

= [X,Y]_m·(f◦φ)

d´ef.= X_m(Y(f ◦φ))−Y_m(X(f ◦φ))

(‡)= X_m(Y⁰(f)◦φ)−Y_m(X⁰(f)◦φ)

d´ef.

= d_mφ(X_m)·Y⁰(f)−d_mφ(Y_m)·X⁰(f)

(†)= X⁰_φ(m)(Y⁰(f))−Y⁰_φ(m)(X⁰(f))

d´ef.

= [X⁰,Y⁰]_φ(m)(f).

Ceci prouve la proposition.

1.7. Alg`ebre de Lie d’un groupe de Lie. — Soit G un groupe de Lie.

Pour tout g ∈ G, on note `_g la translation à gauche h 7→ gh; c’est un dif- féomorphisme de G. On note λ_g l’action correspondante sur C^∞(G), définie par

λ_g(φ) =φ◦`_g−1, c.-`a-d., λ_g(φ)(h) =φ(g⁻¹h), ∀h∈G.

(On met g⁻¹ pour avoir λ_g◦λ_g⁰ =λ_gg⁰.) Alors, pour φ∈C^∞(G) etg, h∈G, on a :

(1) d_h(λ_g−1(φ)) =d_h(φ◦`_g) =d_ghφ◦d_h`_g.

Pour alléger l’écriture, on notera Dér(G) au lieu de Dér(C^∞(G)).

Définition 1.71(Champs de vecteurs et dérivations invariants parλ_G) Un champ de vecteurs X sur G est dit invariant `a gauchesi l’on a :

(2) ∀g∈G, X_g =d₁`_g(X₁).

Ceci ´equivaut `a :

(2⁰) ∀g, h∈G, X_gh =d_h`_g(X_h)

puisque d₁`_gh = d₁(`_g ◦`_h) =d_h`_g◦d₁`_h. D’autre part, une d´erivation D de C^∞(G) est diteinvariante `a gauche si :

(3) ∀g∈G, λ_g◦D = D◦λ_g.

Bien sûr, ces deux notions correspondent, c.-à-d., un champ de vecteurs X est invariant à gauche si et seulement si la dérivation correspondante D_Xl’est. Ceci

(12)

résulte du calcul suivant, où l’égalité (∗) équivaut à (3), tandis que l’égalité des deux extrêmes pour tout φ∈C^∞(G) équivaut à (2⁰) :

D_X(φ)(gh) = (λ_g−1 ◦D_X)(φ)(h)

(∗)= (D_X◦λ_g−1)(φ)(h)

= d_h(λ_g⁻¹(φ))(X_h)

(1)= d_h(φ◦`_g)(X_h)

= d_ghφ(d_h`_g(X_h)).

NotonsV(G)^λ(G), resp. Dér(G)^λ(G), l’espace vectoriel des champs de vecteurs invariants à gauche (resp. dérivations invariantes à gauche).

Evidemment, l’application qui à un vecteur tangent à l’origine X´ ₁ associe le champ de vecteurs invariant X défini par X_g =d₁`_g(X₁) induit des isomorphismes d’espaces vectoriels

T₁G−→^∼ V(G)^λ(G)−→^∼ Dér(G)^λ(G); la dérivation D_Xcorrespondante est définie par :

D_X(φ)(g) =d_gφ(X_g) = (d_gφ◦d₁`_g)(X₁) =d₁(φ◦`_g)(X₁).

L’isomorphisme réciproque Dér(G)^λ(G) −→^∼ T₁G est donné par D 7→ D₁, où D₁(φ) = D(φ)(1), et l’on retrouve D à partir de D₁ par la formule :

(3⁰) D(φ)(g) = D₁(λ_g−1φ) = D₁(φ◦`_g).

Proposition 1.72. — Dér(G)^λ(G) est une sous-algèbre de Lie de Dér(G), de di- mension dim T₁G = dim G.

D´emonstration. — Si D,D⁰ sont invariantes, alors pour toutg l’on a λ_g◦D◦D⁰= D◦λ_g◦D⁰ = D◦D⁰◦λ_g,

et de mˆeme pour D⁰◦D, donc [D,D⁰] = DD⁰−D⁰D est invariante.

Définition 1.73. — Via l’isomorphisme T₁G −→^∼ Dér(G)^λ(G), T₁G est muni d’une struture d’algèbre de Lie, notée Lie(G).

Théorème 1.74(Fonctorialité). — Soit φ : G → G⁰ un morphisme de groupes de Lie. Alors, sa différentielle en1, notéed₁φou simplement dφ, est un mor- phisme d’algèbres de Lie de T₁G = Lie(G) versT₁G⁰ = Lie(G⁰).

D´emonstration. — Commeφ est un morphisme de groupes, alors

(1) ∀g∈G, φ◦`_g =`_φ(g)◦φ.

(13)

Soient X,X⁰ deux champs de vecteurs invariants `a gauche sur G et soit Y, resp. Y⁰, l’unique champ de vecteurs invariant `a gauche sur G⁰ tel que

Y₁=d₁φ(X₁), resp. Y⁰₁=d₁φ(X⁰₁).

Alors X et Y, resp. X⁰ et Y⁰, sont φ-li´es. En effet, pour tout g ∈ G on a, en utilisant (1),

Y_φ(g)=d₁`_φ(g)(Y₁) = (d₁`_φ(g)◦d₁φ)(X₁)⁽¹⁾= d₁(φ◦`_g)(X₁) =d_gφ(X_g), et de même pour Y⁰ et X⁰. Donc, d’après la proposition 1.70, [X,X⁰] et [Y,Y⁰] sontφ-liés. Le théorème en découle.

Avant d’énoncer un corollaire au théorème, signalons le résultat ci-dessous, conséquence du lemme 1.48.

Lemme 1.75. — SoientGun groupe de Lie etG⁰ sa composante connexe. Alors G⁰ est un sous-groupe ouvert et ferm´e.

Démonstration. — Comme G est une variété C^∞, disons de dimensionn, tout point possède un voisinage homéomorphe à Rⁿ, donc connexe. Donc G⁰ est ouvert, d’après le lemme 1.48. Et tout sous-groupe ouvert est aussi fermé (lemme 1.49).

Corollaire 1.76. — Soient G un groupe de Lie, G⁰ sa composante connexe.

Alors Lie(G⁰) = Lie(G).

Démonstration. — Comme G⁰est un voisinage ouvert de 1, on a T₁G⁰ = T₁G comme espaces vectoriels, et aussi comme algèbres de Lie, d’après le théorème précédent.

(14)

(15)

I. Groupes de Lie r´eels et groupes alg´ebriques sur C

S´eance du 8/11/07 . . . 1

1. Groupes de Lie . . . 1

1.1. Variétés différentiables . . . 1

1.2. «Rappels»de calcul diff´erentiel . . . 5

1.3. Espace tangent en un point à une sous-variété deR^N . . . 8

1.4. Sous-variétés définies par des équations de rang constant . . . 11

1.5. Composante connexe d’un groupe topologique . . . 14

I. Groupes de Lie r´eels (suite) S´eance du 9/11/07 . . . 17

1.6. D´erivations et champs de vecteurs . . . 17

1.7. Alg`ebre de Lie d’un groupe de Lie . . . 27

Bibliographie . . . ii

(16)

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