Séance 2 (9 novembre)

S ´ EANCE DU 9/11/07

1.6. D´erivations et champs de vecteurs. — ⁽²⁾ Soit X une vari´et´e C^∞, soitp∈X et soitf une fonction `a valeurs r´eelles, d´efinie et continue dans un voisinage de p. D’apr`es la d´efinition 1.6, f est une application de classe C^∞ au voisinage de p si pour une (et donc, pour toute) carte (U, φ) au voisinage de p, la fonctionf ◦φ⁻¹ est une fonction C^∞ des«coordonn´ees locales»

(x₁, . . . , x_n).

C.-`a-d., pour tout p⁰ ∈U on ´ecritφ(p⁰) = (x₁, . . . , x_n), on demande alors que la fonction

f(x₁, . . . , x_n)

(un abus d’´ecriture pour d´esignerf(p⁰) = (f◦φ⁻¹)(x₁, . . . , x_n)), soit une fonc- tion C^∞desx_i. Ceci ne d´epend pas de la carte choisie, puisque les changements de cartes sont C^∞.

Définition 1.51(Germes de fonctions). — On consid`ere les couples (V, f), o`u V est un voisinage ouvert depetf : V→Rune application C^∞. On dit que deux couples (V, f) et (V⁰, g) sont ´equivalents si f etg co¨ıncident sur un voisinage W dep contenu dans V∩V⁰.

Une classe d’´equivalence est appel´e un germe de fonction C^∞ en p. On pense `a un germe comme `a une fonction C^∞ f d´efinie sur un voisinage«non sp´ecifi´e» de p. Les germes s’ajoutent et se multiplient commes les fonctions usuelles : si f et g sont deux germes, et si (V, f) et (V⁰, g) en sont des re- pr´esentants, alors f +g et f g sont d´efinies et C^∞ sur W = V∩V⁰, et ceci d´efinit les germesf+g etfg. On v´erifie facilement que cela ne d´epend pas des repr´esentants choisis. On obtient donc ainsi une R-alg`ebre not´ee

C^∞(X)_p.

(2)version du 20/11/07 (correctionη(1) = 0 p.18, l.-7)

De plus, pour tout voisinage V dep, on a C^∞(X)_p =C^∞(V)_p

car tout germe enppeut ˆetre repr´esent´e par un couple (W, f) avec W⊆V. En particulier, soit (V, φ) une carte au voisinage depet soit U l’ouvertφ(V)⊆Rⁿ. Quitte `a remplacer φ par t◦φ, o`u t :Rⁿ → Rⁿ est une translation, on peut supposer que U contient le point 0 deRⁿ. On obtient alors :

C^∞(X)_p =C^∞(V)_p ∼=C^∞(U)₀ =C^∞(Rⁿ)₀.

Ceci permet de ramener toutes les questions portant sur C^∞(X)_p au cas o`u X =Rⁿ (etp= 0).

Définition 1.52. — On note m_p l’id´eal de C^∞(X)_p form´e des germes de fonc- tions nulles enp. C’est un id´ealmaximal, puisque c’est le noyau du morphisme d’´evaluation enp :

ε_p :C^∞(X)_p −→R, f 7→f(p), de sorte queC^∞(X)_p/m_p ∼=R.

Définition 1.53(Dérivations ponctuelles). — On appelle d´erivation ponctuelle en p une applicationR-lin´eaire D :C^∞(X)_p→R telle que

D(f g) =f(p)D(g) +g(p)D(f), ∀f, g∈C^∞(X)_p.

Un tel D s’annule sur l’id´ealm²_pet aussi sur (le germe de) la fonction constante 1, puisque l’´egalit´e

D(1) = D(1·1) = 1·D(1) + 1·D(1) entraˆıne D(1) = 0.

R´eciproquement, soit η ∈ (m_p/m²_p)^∗. Alors η s’identifie `a une forme lin´eaire surm_p, nulle sur m²_p, et comme

C^∞(X)_p =R1L m_p,

η se prolonge en une forme lin´eaire sur C^∞(X)_p, encore not´ee η, telle que η(1) = 0. Alors,ηest une d´erivation ponctuelle. En effet, pourf, g arbitraires, on a

f g−f(p)g−g(p)f = (f −f(p))·(g−g(p))−f(p)g(p)1 ;

par hypoth`ese, η s’annule sur le membre de droite, d’o`u η(f g) =f(p)η(g) + g(p)η(f). On obtient donc un isomorphisme de R-espaces vectoriels

D´er_p(C^∞(X)_p,R)∼= (m_p/m²_p)^∗

o`u l’on a not´e D´er_p(C^∞(X)_p,R) l’espace des d´erivations ponctuelles enp.

Définition 1.54(Espaces tangents et différentielles). — 1) L’espace tangent `a X en p est d´efini par :

T_pX = D´er_p(C^∞(X)_p,R)∼= (m_p/m²_p)^∗.

2) Soit φ : X → Y un morphisme de vari´et´es. Sa diff´erentielle en p est l’application lin´eaire

d_pφ: T_pX−→T_φ(p)(Y), D7→D◦^tφ,

o`u <sup>t</sup>φd´esigne la transpos´ee de φ, c.-`a-d., pour toutg∈C^∞(Y)_φ(p),

tφ(g) :=g◦φ appartient `a C^∞(X)_p, et l’on pose

(d_pφ(D))(g) = D(g◦φ). (∗)

Alorsd_pφ(D) est bien une d´erivation ponctuelle deC^∞(Y)_φ(p).

Proposition 1.55(Différentielle d’une composée). — d_pid_X = id_TpX et, si ψ : Y→Z est un second morphisme de vari´et´es, alors

d_p(ψ◦φ) =d_φ(p)ψ◦d_pφ.

D´emonstration. — Ceci r´esulte de la d´efinition.

La d´efinition pr´ec´edente a l’avantage d’ˆetre intrins`eque, c.-`a-d., elle ne fait pas intervenir de cartes de X. De plus, il r´esulte de la proposition que la d´efinition est invariante par diff´eomorphisme local, c.-`a-d., si φ est un diff´eo- morphisme d’un voisinage ouvert V de p sur un voisinage ouvert W de φ(p), alorsd_pφinduit un isomorphisme

T_pX = T_pV−→^∼ T_φ(p)W = T_pY.

Pour retomber sur nos pieds, il faut v´erifier que lorsque X =Rⁿ, on retrouve la d´efinition ant´erieure de l’espace tangent. Ceci r´esulte du lemme et de la proposition qui suivent.

Lemme 1.56. — Soient U une boule ouverte centr´ee en 0 dans Rⁿ et f une fonction C^∞ sur U. Pour toutx= (x₁, . . . , x_n)∈U, on a

(?) f(x)−f(0) =

Xn

i=1

x_i Z ₁

0

∂f

∂x_i(tx)dt, et chaque fonction g_i(x) = R₁

0(∂f /∂x_i)(tx)dt est C^∞ sur U. Par cons´equent, l’id´eal de C^∞(U) des fonctions nulles en 0 est engendr´e par les fonctions coordonn´ees x₁, . . . , x_n.

D´emonstration. — Fixons x = P_n

i=1x_ie_i et posons F(t) =f(tx) pour t ∈I, o`u I est un intervalle ouvert contenant [0,1]. Alors F est C^∞ et

f(x)−f(0) = F(1)−F(0) = Z ₁

0

F⁰(t)dt.

De plus, F est la compos´ee de f et de l’application lin´eaireu :t7→ tx. Donc, pour toutt∈I, F⁰(t) ´egale

(d_tF)(1) = (d_txf ◦u)(1) = (d_txf) Ã _n

X

i=1

x_ie_i

!

= Xn

i=1

x_i∂f

∂x_i(tx).

La formule (?) en r´esulte. De plus, par d´erivation sous le signe R

, chaque g_i est une fonction C^∞ de x. Donc, le terme de droite appartient `a l’id´eal de C<sup>∞</sup>(U) engendr´e par les fonctions coordonn´eesx<sub>1</sub>, . . . , x<sub>n</sub>, et sif(0) = 0 alors f appartient `a cet id´eal. Le lemme est d´emontr´e.

Pour touti= 1, . . . , n, _∂x^∂

i est une d´erivation de C^∞(Rⁿ), c.-`a-d., v´erifie

∂

∂x_i(f g) =g ∂f

∂x_i +f ∂g

∂x_i, ∀f, g∈C^∞(Rⁿ).

De plus, pour toutq = (q₁, . . . , q_n)∈Rⁿ, le germe en q (et donc a fortiori la valeur enq) de∂f /∂x_i ne d´epend que du germe def enq. Donc,∂/∂x_i induit un ´el´ement

µ ∂

∂x_i

¶

q

∈D´er_q(C^∞(Rⁿ)_q,R), f 7→ ∂f

∂x_i(q), o`u f est un repr´esentant arbitraire du germef.

Soit m_q l’id´eal de C^∞(Rⁿ)_q form´e des germes de fonctions nulles en q.

Chaque fonction coordonn´eex_i−q_i appartient `a m_q et on note dx_i =x_i−q_i son image dans m_q/m²_q.

Proposition 1.57. — 1) (x₁−q₁, . . . , x_n−q_n)est une base dem_q/m²_q, et la base duale de D´er_q(C^∞(Rⁿ)_q,R) est

õ ∂

∂x₁

¶

q

, . . . , µ ∂

∂x_n

¶

q

! .

2) L’espace tangent T_qRⁿ =Rⁿ s’identifie `a D´er<sub>q</sub>(C<sup>∞</sup>(R<sup>n</sup>)<sub>q</sub>,R) : tout vec- teur v=a<sub>1</sub>e<sub>1</sub>+· · ·+a<sub>n</sub>e<sub>n</sub> correspond `a la d´erivation ponctuelle

D_v :f 7→(d_qf)(v) = Xn

i=1

a_i ∂f

∂x_i(q) = Xn

i=1

a_i µ ∂

∂x_i

¶

q

(f), o`u f est un repr´esentant arbitraire du germe f.

3)Via les identifications D´er_q(C^∞(Rⁿ)_q,R)∼= (m_q/m²_q)^∗ et Hom_R(T_qRⁿ,R)∼= HomR((m_q/m²_q)^∗,R)∼=m_q/m²_q,

la diff´erentielle d_qx_i s’identifie `a l’´el´ement dx<sub>i</sub> = x<sub>i</sub>−q<sub>i</sub>, ce qui justifie la notation. De plus, pour toute applicationC<sup>∞</sup>f : U→R, o`uUest un voisinage ouvert de q, on a :

d_qf = Xn

i=1

∂f

∂x_i(q)dx_i.

D´emonstration. — Par translation, on se ram`ene `a q = 0. D’apr`es le lemme 1.56, x₁, . . . , x_n engendrent m₀, et donc leurs images x₁, . . . , x_n engendrent m₀/m²₀. Elles sont lin´eairement ind´ependantes puisque

µ ∂

∂x_i

¶

0

(x_j) = ∂x_j

∂x_i(0) =δ_ij. L’assertion 1) en r´esulte, et les assertions 2) et 3) aussi.

Revenons `a une vari´et´e C<sup>∞</sup>arbitraire X. SoitC<sup>∞</sup>(X) l’alg`ebre des fonctions C^∞ sur X.

Définition 1.58(Dérivations deC^∞(X)). — Uned´erivationdeC^∞(X) est une application R-lin´eaire D :C^∞(X)→C^∞(X) telle que

D(f g) = D(f)g+fD(g), ∀f, g∈C^∞(X).

On note D´er(C^∞(X)) l’espace des d´erivations deC^∞(X).

On peut maintenant expliciter la notion de champ de vecteurs C^∞ sur X.

Soit p ∈X et soit (U, φ) une carte au voisinage de p. Pour tout q ∈ U, on

´ecrit φ(q) = (x₁, . . . , x_n) et, par d´efinition, une fonction continue f : U→ R est C^∞ si et seulement si la fonction

(x₁, . . . , x_n)7→f(x₁, . . . , x_n)

(un abus d’´ecriture pour d´esigner (f◦φ⁻¹)(x₁, . . . , x_n)) est une fonction C^∞ sur l’ouvertφ(U)⊆Rⁿ.

Alors, pour tout q∈U, on a une identification Rⁿ−→^∼ T_qX

d´efinie comme suit. Soit (e₁, . . . , e_n) la base canonique de Rⁿ; au vecteur e_i on associe le «champ de vecteurs» ∂/∂x_i sur U d´efini, en tout pointq ∈U, par la proposition 1.57. C.-`a-d.,∂/∂x_i d´esigne ici la«collection» de vecteurs

tangents µ

∂

∂x_i

¶

q

∈T_qX, ∀q∈U,

d´efinis dans la proposition 1.57. Alors, par d´efinition un champ de vecteurs v sur U est la donn´ee d’une collection de vecteurs tangents v_q ∈T_qX ; d’apr`es la proposition 1.57, on ´ecrire, en tout pointq∈U,

v_q = Xn

i=1

P_i(q) µ ∂

∂x_i

¶

q

,

avec P_i(q) ∈ R. On dit que le champ de vecteurs v est C^∞ si les fonctions q 7→P_i(q) sont C^∞sur U.

D’autre part, notons R^U l’alg`ebre de toutes les fonctions U → R. `A v on associe l’application D_v :C^∞(U)→R^Ud´efinie, pour tout f ∈C^∞(U), par : (1) D_v(f)(q) =d_qf(v_q) =

Xn

i=1

P_i(q)∂f

∂x_i(q),

o`u (∂f /∂x_i)(q) d´esigne, avec l’abus d’´ecriture rappel´e plus haut,∂(f◦φ⁻¹)/∂x_i

´evalu´ee enφ(q). Alors,

(2) D_v(x_i) = P_i.

Donc, d’une part, v est d´etermin´e par D_v et, d’autre part, la condition P_i ∈ C^∞(U) implique, et est ´equivalente, `a la condition suivante :

(3) ∀f ∈C^∞(U), D_v(f)∈C^∞(U).

L’implication r´esulte de la formule (1), qui se r´ecrit : D_v(f) =

Xn

i=1

P_i∂f

∂x_i,

et la r´eciproque est le cas particulierf =x_i donnant (2).

Définition 1.59(Champs de vecteurs surXet dérivations)

Un champ de vecteursvsur X est la donn´ee, pour toutp∈X, d’un ´el´ement de T_pX not´ev_p ou v(p) ; pour toutf ∈C^∞(X) on obtient ainsi unefonction

D_v(f) : X−→R, p7→d_pf(v_p).

On dit quev est C^∞ si la condition ci-dessous est v´erifi´ee :

∀f ∈C^∞(X), D_v(f)∈C^∞(X).

Dans ce cas, l’applicationf 7→D_v(f) est uned´erivation de C^∞(X), puisque pour toutp on a

D_v(f g)(p) =d_p(f g)(v_p) = (f(p)d_pg+g(p)d_pf)(v_p) = (fD_v(g) +gD_v(f))(p).

D’apr`es ce qui pr´ec`ede, la condition que v soit C^∞ ´equivaut `a dire que pour tout p ∈ X, il existe des coordonn´ees locales (x₁, . . . , x_n) sur un voisinage ouvert U de ptelles que pour toutq ∈U, v_q s’´ecrive

v_q = Xn

i=1

P_i(q) µ ∂

∂x_i

¶

q

,

avec des«coefficients» P_i ∈C^∞(U) ; alors ceci est le cas pour toute carte.

L’application v 7→ D_v est R-lin´eaire, et elle est injective car on a vu plus haut que la d´erivation D_v d´etermine le champ de vecteursv, puisque, pour tout syst`eme (x₁, . . . , x_n) de coordonn´ees locales au voisinage d’un pointp∈X, on a

v_p = Xn

i=1

D_v(x_i)(p) µ ∂

∂x_i

¶

p

.

De plus, l’application v7→D_v est bijective, d’apr`es le th´eor`eme suivant.

Notation 1.60. — Pour toutp∈X, on noteε_p l’application d’´evaluation enp: ε_p:C^∞(X)_p−→R, f 7→f(p)

Théorème 1.61(Localité des dérivations). — Toute d´erivation D de C^∞(X) provient d’un champ de vecteursC^∞ v (n´ecessairement unique). Plus pr´ecis´e- ment, pour toutp∈X,Dse prolonge en une d´erivation ponctuelle de l’alg`ebre des germes C^∞(X)_p, qu’on notera encore D. Alors, le champ de vecteurs v d´efini par v_p=ε_p◦D, pour tout p∈X, est C^∞ et l’on a D = D_v.

Par cons´equent :«une d´erivation deC^∞(X)est la mˆeme chose qu’un champ de vecteurs C^∞ sur X».

D´emonstration. — Soitp₀ ∈X. Montrons d’abord que, pour toutf ∈C^∞(X), le germe enp₀ de D(f) ne d´epend que de celui de f (c’est cette propri´et´e qui explique le titre du th´eor`eme).

Par lin´earit´e, il suffit de montrer que sif ∈C^∞(X) est nulle sur un voisinage V de p₀, alors D(f) est nulle sur un voisinage W dep₀.

Or, il existe une fonction h ∈ C^∞(X) nulle hors de V et valant 1 sur un petit voisinage W de p₀ contenu dans V, cf. [Laf, Chap. III.A]. Alors on a

f =f(1−h), carf = 0 dans V et (1−h) = 1 hors de V. Donc

D(f) = D(f)(1−h) +fD(1−h) est nulle sur W⊆V, car f et 1−hle sont.

Soit maintenantf un germe enp₀ de fonction C^∞, repr´esent´e par un couple (U, f). Soit V un voisinage de p₀ tel que V ⊆ U et soit h une fonction C^∞

nulle hors de V et valant 1 dans un petit voisinage dep₀. Alors la fonctionf h est C^∞ sur X et l’on peut poser

D(f) = D(f h).

D’apr`es ce qui pr´ec`ede, le germe en p₀ de D(f) ne d´epend pas du choix de h. Ceci prouve que D se prolonge en une d´erivation deC^∞(X)_p0, qu’on note encore D. On note alors D_p0 la compos´ee

C^∞(X)_p0 −→^D C^∞(X)_p0 −→^εp0 R;

c’est une d´erivation ponctuelle deC^∞(X)_p0.

D’apr`es la proposition 1.57, c.-`a-d., d’apr`es les isomorphismes D´er_p(C^∞(X)_p,R)∼= TpX, ∀p∈X,

il existe un champ de vecteurs v sur X d´efini par v_p = D_p, pour tout p ∈X, c.-`a-d., pour tout f ∈C^∞(X) et p∈X,

D_v(f)(p) = D_p(f) = D(f)(p).

Alors D_v(f) = D(f), pour tout f ∈ C^∞(X), et ceci montre que v est C^∞ et D_v= D. Le th´eor`eme est d´emontr´e.

Remarque 1.62. — La fin de la d´emonstration peut ˆetre ´ecrit de fa¸con plus explicite de la mani`ere suivante. Soit (x<sub>1</sub>, . . . , x<sub>n</sub>) un syst`eme de coordonn´ees locales sur un voisinage ouvert U de p₀. Alors, d’apr`es la proposition 1.57, pour tout p ∈ U les (∂/∂x_i)_p forment une base de D´er_p(C^∞(X)_p,R), et on peut donc ´ecrire

D_p = Xn

i=1

a_i(p) µ ∂

∂x_i

¶

p

,

o`u les coefficientsa_i(p)∈Rsont d´etermin´es par : a_i(p) = D_p(x_i).

D’apr`es le d´ebut de la d´emonstration du th´eor`eme 1.61, il existe une fonction e

x_i ∈ C^∞(X) qui co¨ıncide avec x_i sur un voisinage V de p₀ contenu dans U.

Alors on a, pour toutp∈V,

a_i(p) = D_p(x_i) = D_p(xe_i) = D(xe_i)(p),

ce qui montre que a_i co¨ıncide sur V avec la fonction D(xe_i) ∈ C^∞(X). Ceci montre que D induit une d´erivation de C^∞(V), qui correspond au champ de vecteurs

v= Xn

i=1

D(x_i) ∂

∂x_i.

Changeons maintenant de notations : dans la suite, nous d´esignerons par M,M⁰ des vari´et´es C^∞ et par X,Y (resp. X⁰,Y⁰) des champs de vecteurs C^∞ sur M (resp. M⁰).

Définition 1.63(Dérivations d’une algèbre). — Soit A un R-espace vectoriel, muni d’un produitR-bilin´eaire

A×A−→A, (a, b)7→ab.

(On ne suppose pas le produit commutatif, ni associatif.) Une R-d´erivation de A est un R-endomorphisme D de A qui v´erifie :

∀a, b∈A, D(ab) =aD(b) + D(a)b.

On note D´er(A) l’ensemble desR-d´erivations de A ; c’est un sous-espace vec- toriel de End_R(A).

Lemme 1.64. — SoientD,D⁰ des d´erivations deA. AlorsDD⁰−D⁰Dest une d´e- rivation deA. Par cons´equent,D´er(A)est une sous-alg`ebre de Lie deEnd_R(A).

D´emonstration. — On calcule :

DD⁰(ab) = D(D⁰(a)b+aD⁰(b)) = DD⁰(a)b+ D⁰(a)D(b) + D(a)D⁰(b) +aDD⁰(b).

Les deux termes du milieu ´etant sym´etriques en D et D⁰, on obtient que (DD⁰−D⁰D)(ab) = (DD⁰−D⁰D)(a)b+a(DD⁰−D⁰D)(b).

Ceci montre que DD⁰−D⁰D∈D´er(A), d’o`u le lemme.

Définition et proposition 1.65(Crochet de deux champs de vecteurs)

Soit M une vari´et´e C^∞ et X,Y deux champs de vecteurs C^∞, consid´er´es comme des d´erivations deC^∞(M). Alors,

[X,Y] := X◦Y−Y◦X

est une d´erivation, donc un champ de vecteurs, appel´e le crochet de Lie des champs de vecteurs X et Y.

D´emonstration. — Ceci r´esulte du lemme pr´ec´edent, appliqu´e `a A =C^∞(X).

Remarque 1.66. — En coordonn´ees locales, si l’on note∂_i=∂/∂x_ipour all´eger l’´ecriture, et si

X = Xn

i=1

P_i∂_i, Y = Xn

j=1

Q_j∂_j,

alors on v´erifie que la d´erivation D_X◦D_Y−D_Y◦D_Xcorrespond au champ de vecteurs :

[X,Y] = Xn

i=1



Xⁿ

j=1

P_j∂_j(Q_i)−Q_j∂_j(P_i)



∂_i.

Notation 1.67. — On aura besoin, en particulier dans la d´efinition 1.69 et la proposition 1.70, des notations suivantes. Soit X un champ de vecteurs sur M.

Pour tout m ∈ M et f ∈ C^∞(M), on d´esigne la valeur en m de la fonction X(f)∈C^∞(M) par X_m·f ou X_m(f). C.-`a-d., on pose :

X(f)(m) =d_mf(X_m) = X_m·f = X_m(f)∈R.

Par cons´equent, si Y est un second champ de vecteurs sur M, on a [X,Y]_m·f = [X,Y](f)(m) = X(Y(f))(m)−Y(X(f))(m)

= X_m(Y(f))−Y_m(X(f))

= X_m·Y(f)−Y_m·X(f).

Remarque 1.68. — Par contre, l’´ecriture X_m·(Y_m·f) n’a pas de sens, puisque Y_m·f = (Yf)(m) est un r´eel (et non une fonction sur M).

Terminons ce paragraphe avec la d´efinition et proposition suivantes, qui seront utiles plus loin.

Définition 1.69(Champs de vecteursφ-liés). — Soitφ: M→M⁰un morphisme de vari´et´es C^∞. On dit que des champs de vecteurs X sur M et X⁰ sur M⁰ sont φ-li´essi, pour toutm∈M, l’on a :

(†) X⁰_φ(m)=d_mφ(X_m).

Ceci entraˆıne que, pour tout f ∈ C^∞(M⁰), on a l’´egalit´e de fonctions sur M suivante :

(‡) X⁰(f)◦φ= X(f◦φ).

En effet, pour toutm∈M, on a

X⁰(f)(φ(m)) =d_φ(m)f(X⁰_φ(m))

=d_φ(m)f(d_mφ(X_m))

=d_m(f◦φ)(X_m) = X_(f◦φ)(m).

Proposition 1.70. — Soit φ: M →M⁰ un morphisme de vari´et´esC^∞ et soient X,Y (resp.X⁰,Y⁰) des champs de vecteurs sur M (resp M⁰). On suppose que X et X⁰ (resp.Y et Y⁰) sontφ-li´es. Alors :

[X,Y] estφ-li´e `a [X⁰,Y⁰].

D´emonstration. — Soit m∈M. Il faut montrer l’´egalit´e d_mφ([X,Y]_m) = [X⁰,Y⁰]_φ(m).

Pour cela, il suffit de montrer que ces deux ´el´ements de T_φ(m)M⁰ prennent la mˆeme valeur sur tout f ∈ C^∞(M⁰). Or, en utilisant les d´efinitions (et la

notation 1.67, l’hypoth`ese (†) que X,X⁰ et Y,Y⁰ sontφ-li´es, et sa cons´equence (‡), on obtient :

d_mφ([X,Y]_m)(f)^d´ef.= d_φ(m)(f ◦d_mφ)([X,Y]_m)

= [X,Y]_m·(f◦φ)

d´ef.= X_m(Y(f ◦φ))−Y_m(X(f ◦φ))

(‡)= X_m(Y⁰(f)◦φ)−Y_m(X⁰(f)◦φ)

d´ef.

= d_mφ(X_m)·Y⁰(f)−d_mφ(Y_m)·X⁰(f)

(†)= X⁰_φ(m)(Y⁰(f))−Y⁰_φ(m)(X⁰(f))

d´ef.

= [X⁰,Y⁰]_φ(m)(f).

Ceci prouve la proposition.

1.7. Alg`ebre de Lie d’un groupe de Lie. — Soit G un groupe de Lie.

Pour tout g ∈ G, on note `<sub>g</sub> la translation `a gauche h 7→ gh; c’est un dif- f´eomorphisme de G. On note λ_g l’action correspondante sur C^∞(G), d´efinie par

λ_g(φ) =φ◦`<sub>g</sub>−1, c.-`a-d., λ_g(φ)(h) =φ(g⁻¹h), ∀h∈G.

(On met g⁻¹ pour avoir λ_g◦λ_g⁰ =λ_gg⁰.) Alors, pour φ∈C^∞(G) etg, h∈G, on a :

(1) d_h(λ_g−1(φ)) =d_h(φ◦`<sub>g</sub>) =d<sub>gh</sub>φ◦d<sub>h</sub>`_g.

Pour all´eger l’´ecriture, on notera D´er(G) au lieu de D´er(C^∞(G)).

Définition 1.71(Champs de vecteurs et dérivations invariants parλ_G) Un champ de vecteurs X sur G est dit invariant `a gauchesi l’on a :

(2) ∀g∈G, X_g =d₁`_g(X₁).

Ceci ´equivaut `a :

(2⁰) ∀g, h∈G, X_gh =d_h`_g(X_h)

puisque d₁`<sub>gh</sub> = d<sub>1</sub>(`_g ◦`<sub>h</sub>) =d<sub>h</sub>`_g◦d₁`<sub>h</sub>. D’autre part, une d´erivation D de C<sup>∞</sup>(G) est diteinvariante `a gauche si :

(3) ∀g∈G, λ_g◦D = D◦λ_g.

Bien sˆur, ces deux notions correspondent, c.-`a-d., un champ de vecteurs X est invariant `a gauche si et seulement si la d´erivation correspondante D_Xl’est. Ceci

r´esulte du calcul suivant, o`u l’´egalit´e (∗) ´equivaut `a (3), tandis que l’´egalit´e des deux extrˆemes pour tout φ∈C^∞(G) ´equivaut `a (2⁰) :

D_X(φ)(gh) = (λ_g−1 ◦D_X)(φ)(h)

(∗)= (D_X◦λ_g−1)(φ)(h)

= d_h(λ_g⁻¹(φ))(X_h)

(1)= d_h(φ◦`_g)(X_h)

= d_ghφ(d_h`_g(X_h)).

NotonsV(G)^λ(G), resp. D´er(G)^λ(G), l’espace vectoriel des champs de vecteurs invariants `a gauche (resp. d´erivations invariantes `a gauche).

Evidemment, l’application qui `a un vecteur tangent `a l’origine X´ ₁ associe le champ de vecteurs invariant X d´efini par X_g =d₁`_g(X₁) induit des isomor- phismes d’espaces vectoriels

T₁G−→^∼ V(G)^λ(G)−→^∼ D´er(G)^λ(G); la d´erivation D_Xcorrespondante est d´efinie par :

D_X(φ)(g) =d_gφ(X_g) = (d_gφ◦d₁`<sub>g</sub>)(X<sub>1</sub>) =d<sub>1</sub>(φ◦`_g)(X₁).

L’isomorphisme r´eciproque D´er(G)^λ(G) −→^∼ T₁G est donn´e par D 7→ D₁, o`u D<sub>1</sub>(φ) = D(φ)(1), et l’on retrouve D `a partir de D₁ par la formule :

(3⁰) D(φ)(g) = D₁(λ_g−1φ) = D₁(φ◦`_g).

Proposition 1.72. — D´er(G)^λ(G) est une sous-alg`ebre de Lie de D´er(G), de di- mension dim T₁G = dim G.

D´emonstration. — Si D,D⁰ sont invariantes, alors pour toutg l’on a λ_g◦D◦D⁰= D◦λ_g◦D⁰ = D◦D⁰◦λ_g,

et de mˆeme pour D⁰◦D, donc [D,D⁰] = DD⁰−D⁰D est invariante.

Définition 1.73. — Via l’isomorphisme T₁G −→^∼ D´er(G)^λ(G), T₁G est muni d’une struture d’alg`ebre de Lie, not´ee Lie(G).

Théorème 1.74(Fonctorialité). — Soit φ : G → G⁰ un morphisme de groupes de Lie. Alors, sa diff´erentielle en1, not´eed₁φou simplement dφ, est un mor- phisme d’alg`ebres de Lie de T₁G = Lie(G) versT₁G⁰ = Lie(G⁰).

D´emonstration. — Commeφ est un morphisme de groupes, alors

(1) ∀g∈G, φ◦`<sub>g</sub> =`_φ(g)◦φ.

Soient X,X⁰ deux champs de vecteurs invariants `a gauche sur G et soit Y, resp. Y<sup>0</sup>, l’unique champ de vecteurs invariant `a gauche sur G⁰ tel que

Y₁=d₁φ(X₁), resp. Y⁰₁=d₁φ(X⁰₁).

Alors X et Y, resp. X⁰ et Y⁰, sont φ-li´es. En effet, pour tout g ∈ G on a, en utilisant (1),

Y_φ(g)=d₁`<sub>φ(g)</sub>(Y<sub>1</sub>) = (d<sub>1</sub>`_φ(g)◦d₁φ)(X₁)⁽¹⁾= d₁(φ◦`<sub>g</sub>)(X<sub>1</sub>) =d<sub>g</sub>φ(X<sub>g</sub>), et de mˆeme pour Y<sup>0</sup> et X<sup>0</sup>. Donc, d’apr`es la proposition 1.70, [X,X⁰] et [Y,Y⁰] sontφ-li´es. Le th´eor`eme en d´ecoule.

Avant d’´enoncer un corollaire au th´eor`eme, signalons le r´esultat ci-dessous, cons´equence du lemme 1.48.

Lemme 1.75. — SoientGun groupe de Lie etG⁰ sa composante connexe. Alors G⁰ est un sous-groupe ouvert et ferm´e.

D´emonstration. — Comme G est une vari´et´e C^∞, disons de dimensionn, tout point poss`ede un voisinage hom´eomorphe `a Rⁿ, donc connexe. Donc G⁰ est ouvert, d’apr`es le lemme 1.48. Et tout sous-groupe ouvert est aussi ferm´e (lemme 1.49).

Corollaire 1.76. — Soient G un groupe de Lie, G⁰ sa composante connexe.

Alors Lie(G⁰) = Lie(G).

D´emonstration. — Comme G⁰est un voisinage ouvert de 1, on a T₁G⁰ = T₁G comme espaces vectoriels, et aussi comme alg`ebres de Lie, d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent.

I. Groupes de Lie r´eels et groupes alg´ebriques sur C

S´eance du 8/11/07 . . . 1

1. Groupes de Lie . . . 1

1.1. Vari´et´es diff´erentiables . . . 1

1.2. «Rappels»de calcul diff´erentiel . . . 5

1.3. Espace tangent en un point `a une sous-vari´et´e deR^N . . . 8

1.4. Sous-vari´et´es d´efinies par des ´equations de rang constant . . . 11

1.5. Composante connexe d’un groupe topologique . . . 14

I. Groupes de Lie r´eels (suite) S´eance du 9/11/07 . . . 17

1.6. D´erivations et champs de vecteurs . . . 17

1.7. Alg`ebre de Lie d’un groupe de Lie . . . 27

Bibliographie . . . ii

Bibliographie

[Abe] E. Abe, Hopf algebras, Cambridge Univ. Press, 1977.

[Ad] J. F. Adams, Lectures on Lie groups, Univ. Chicago Press, 1969.

[Am] Y. Amice, Les nombres p-adiques, P.U.F., 1975.

[AM] M. Atiyah, I. G. Macdonald, Commutative algebra, Addison Wesley, 1969.

[Bl] A. Blanchard, Les corps non commutatifs, P.U.F., 1972.

[Bo] A. Borel, Linear algebraic groups, Second enlarged edition, Springer Verlag, 1991.

[BA1-3] N. Bourbaki, Alg`ebre, Chapitres 1 `a 3, 1981.

[BA8] N. Bourbaki, Alg`ebre, Chap. 8, 1958.

[BL1] N. Bourbaki, Groupes et alg`ebres de Lie, Chap. 1, 1971.

[BL4-6] N. Bourbaki, Groupes et alg`ebres de Lie, Chap. 4–6, 1968.

[BL7-8] N. Bourbaki, Groupes et alg`ebres de Lie, Chap. 7-8, 1975.

[BI7-8] N. Bourbaki, Int´egration, Chap. 7-8, 1963.

[BrM] J. Brian¸con, Ph. Maisonobe, ´El´ements d’alg`ebre commutative, niveau M1, Ellipses, 2004.

[BS] M. Brion, G. Schwarz, Th´eorie des invariants & G´eom´etrie des vari´et´es quotients, Hermann, 2000.

[BtD] Th. Br¨ocker, T. tom Dieck, Representations of compact Lie groups, Springer 1985 (3rd printing, 2003).

[Ca] H. Cartan, Cours de calcul diff´erentiel, Hermann, nouvelle ´edition, refondue et corrig´ee, 1977.

[Ca2] H. Cartan, Th´eorie ´el´ementaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes, Hermann, 1961, nouveau tirage, 1978.

[Die] J. Dieudonn´e, Cours de g´eom´etrie alg´ebrique, tome 2, P.U.F., 1974.

[Di74] J. Dixmier, Alg`ebres enveloppantes, Gauthier-Villars, 1974 [Di81] J. Dixmier, Topologie g´en´erale, P.U.F., 1981.

[Do88] D. Z. Dokovi´c, An elementary proof of the structure theorem for connected solvable affine algebraic groups, Enseign. Math. (2) 34 (1988), 269-273.

[Dold] A. Dold, Lectures on algebraic topology, Springer Classics in Mathe- matics, 1995.

[DK] J. J. Duistermaat, J. A. C. Kolk, Lie groups, Springer, 2000.

[Eis] D. Eisenbud, Commutative algebra with a view towards algebraic geometry, Springer, 1995.

[Fa] J. Faraut, Analyse sur les groupes de Lie, Calvage & Mounet, 2005.

[Go] R. Godement, Introduction `a la th´eorie des groupes de Lie, Publ.

Math. Paris VII, 1982, et Springer, 2004.

[GH] M. J. Greenberg, J. R. Harper, Algebraic Topology, a first course, Addison-Wesley, 1981.

[Ha] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer Verlag, 1977.

[Hel] S. Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press 1978, ninth printing Amer. Math. Soc. 2001.

[Her] I. N. Herstein, Noncommutative rings, Carus Math. Monogr., 1968, nouveau tirage, 1994.

[Ho] G. P. Hochschild, The structure of Lie groups, Holden-Day, 1965, trad.

fran¸caise : La structure des groupes de Lie, Dunod, 1968.

[Ho81] G. P. Hochschild, Basic theory of algebraic groups and Lie algebras, Springer-Verlag, 1981.

[Hu] J. E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer-Verlag, 1972, third printing, revised, 1980.

[Hu2] J. E. Humphreys, Linear algebraic groups, Springer-Verlag, 1975, cor- rected 2nd printing 1981.

[Iit] S. Iitaka, Algebraic geometry, Springer, 1982.

[Jac] N. Jacobson, Lie algebras, Wiley, 1962, Dover, 1979.

[Jac80] N. Jacobson, Basic Algebra II, Freeman & Co., 1980.

[KSS] H. Kraft, P. Slodowy, T. A. Springer (Ed.), Algebraische Transfor- mationsgruppen und Invariantentheorie - Algebraic Transformation Groupes and Invariant Theory, Birk¨auser, 1989.

[Ka] V. Kac, Infinite-dimensional Lie algebras, Birkh¨auser 1983, 3rd edi- tion, Cambridge Univ. Press, 1990.

[Ke] G. R. Kempf, Algebraic varieties, Cambridge Univ. Press, 1993.

[Kna] A. W. Knapp, Lie groups beyond an introduction, Birkh¨auser, 1996, 2nd edition, 2002.

[Ku] E. Kunz, Introduction to commutative algebra and algebraic geome- try, Birkh¨auser, 1985.

[Laf74] J.-P. Lafon, Les formalismes fondamentaux de l’alg`ebre commutative, Hermann, 1974.

[Laf77] J.-P. Lafon, Alg`ebre commutative (Langages g´eom´etrique et alg´e- brique), Hermann, 1977.

[Laf] J. Lafontaine, Introduction aux vari´et´es diff´erentielles, Presses Univ.

Grenoble, 1996.

[La] S. Lang, Algebra, Addison-Wesley, 1965. Traduction fran¸caise de la 3`eme ´edition :Alg`ebre, Dunod, 2004.

[Le] D. Leborgne, Calcul diff´erentiel et g´eom´etrie, P.U.F., 1982.

[Lu99] Retour sur un th´eor`eme de Chevalley, Enseign. Math. (2) 45 (1999), 317-320.

[Ma] P. Malliavin, G´eom´etrie diff´erentielle intrins`eque, Hermann, 1972.

[Ma1] H. Matsumura, Commutative algebra (2nd edition), Benjamin, 1980.

[Ma2] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge Univ. Press, 1986, paperback edition with corrections, 1989.

[MT] R. Mneimn´e, F. Testard, Introduction `a la th´eorie des groupes de lie classiques, Hermann, 1986, nouveau tirage 2005.

[Pe] D. Perrin, G´eom´etrie alg´ebrique - Une introduction, Inter ´Editions/- CNRS ´Editions, 1995.

[Po] P. Polo, Alg`ebre et th´eorie de Galois, cours de M1 2005/06 `a l’Uni- versit´e Paris 6, www.math.jussieu.fr/epolo

[Pi] G. Pichon, Groupes de Lie : repr´esentations lin´eaires et applications, Hermann, 1973.

[Ro] A. Robert, Introduction to the representation theory of compact and locally compact groups, Cambridge Univ. Press, 1983.

[Ru73] W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1973.

[Ru75] W. Rudin, Analyse r´eelle et complexe, Masson, 1975.

[Se] J.-P. Serre, Alg`ebres de Lie semi-simples complexes, Benjamin, 1965, Complex semisimple Lie algebras, Springer, 2001.

[Spi] M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry I, Publish or Perish, 1970, 3rd edition 2005.

[Spr] T. A. Springer, Linear algebraic groups, Birk¨auser, 1981, 2nd edition 1998.

[Sw] M. E. Sweedler, Hopf Algebras, Benjamin, 1969.

[Ti] J. Tits, Liesche Gruppen und Algebren, Springer-Verlag, 1983.

[Va] V. S. Varadarajan, Lie groups, Lie algebras, and their representations, Prentice-Hall 1974, Springer 1984.

[Wa] F. W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Scott & Foresman, 1971, Springer, 1983.

[Zi] R. Zimmer, Essential results of functional analysis, Univ. Chicago Press, 1990.