G249 – Au moins une sur six
Solution proposée par Jacques Guitonneau
D'abord une constatation liminaire. Si un segment du plan avec des sommets sur le quadrillage est un entier, alors si X₁, Y₁ et X₂, Y₂ sont les coordonnées des extrémités, la longueur du segment est égale à la racine carrée de : (X₂-X₁)²+ (Y₂-Y₁)²
Sans avoir à considérer toutes les conditions pour obtenir une longueur entière, on se contente d'observer la congruence modulo 3 de ces grandeurs. On constate que L² est soit congru à 0 Modulo 3 si L est multiple de 3, ou L² est congru à 1 modulo 3 que L soit congru à 1 ou à 2 modulo 3. On en déduit que l'un des couples X₂-X₁ou Y₂-Y₁ est multiple de 3, sinon L² serait congru à 2 modulo 3 ce qui est impossible.
Prenons maintenant un ensemble de 4 points aux coordonnées suivantes X₁ Y₁, X₂ Y₂, X₃ Y₃ et X₄ Y₄. Supposons qu'il y ait au moins un couple Xi-Xj ou Yi-Yj non multiple de 3 sinon tous les segments seraient des multiples de 3 et sans perte de généralité supposons que ce soit X₂-X₁. On peut remarquer également que soit un des segments X₃-X₁, X₄ -X₁ est multiple de 3 ou un des couples X₃--X₁ ou X₄ -X₁ a la même congruence modulo 3 que X₂ -X₁, donc un de segments X₃--X₂ ou X₄ -X₂ est multiple de 3. Donc sans perte de généralité on a trois points tels que X₂ -X₁ et X₃--X₁ ne sont pas multiples de 3 et X₃--X₂ est multiple de 3.
On sait , d'après la constatation préliminaire, que Y₂ -Y₁ et Y₃--Y₁ sont multiples de 3et donc que Y₃--Y₂ l'est aussi. Le segment 2-3 a donc une longueur multiple de 3.
On a donc établi que pour chaque ensemble de 4 points on a au moins un segment de longueur multiple de 3.
Pour un ensemble de n points on C(n,4) groupes de 4 points qui ont au moins un segment de longueur multiple de 3. Un segment de longueur multiple de 3 donné est partagé par un certain nombre de groupes de 4 points, Ce nombre est égal à C(n-2,2) car il faut alors choisir 2 autres points parmi n-2 points.
On a donc au minimum(C(n,4)/C(n-2,2) soit n*(n-1)/12 segments multiples de 3 pour C(n,2) soit n*(n-1)/2 segments au total, soit au minimum 1/6ème de segments de longueur multiple de 3.
Pour un ensemble de 9 points, il ya 9*8/2=36 segments, il y en a donc au minimum 6 de longueur multiple de 3.
