Feuille d’exercices n˚21 Probabilit´ es

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚21 Probabilit´ es

Exercice 193 : Soitnun nombre entier sup´erieur ou ´egal `a 2. Un joueur lance une bille sur une planche perc´ee dentrous num´erot´es de 1 `an. La bille tombe dans un trou et un seul. On sait que pour toutk∈J1, n−1K, la probabilit´e que la boule tombe dans le trou num´erokest de 1/3^k. Quelle est la probabilit´e que la boule tombe dans le trou num´eron?

Exercice 194 : On jette trois d´es non truqu´es `a 6 faces num´erot´ees de 1 `a 6.

1. Calculer la probabilit´e d’avoir exactement un 6.

2. Calculer la probabilit´e d’avoir au moins un 6.

3. Calculer la probabilit´e d’obtenir au moins deux faces identiques.

Exercice 195 : Soitn un nombre entier sup´erieur ou ´egal `a 3. Dans une urne, on place nboules num´erot´ees de 1 `a n. On tire successivement, sans remise, au hasard, trois boules de l’urne.

1. Quelle est la probabilit´e que les trois nombres obtenus soient dans l’ordre croissant au sens strict ? 2. Quelle est la probabilit´e que les trois nombres obtenus soient dans l’ordre croissant au sens large ?

Exercice 196 : Soitnun nombre entier sup´erieur ou ´egal `a 2. Une urne contient des boules, indiscernables au toucher, num´erot´ees de 1 `an. On suppose que pour toutk∈J1, nK, il y akboules portant le num´erok. On tire une boule au hasard dans l’urne.

1. On suppose que n est un nombre pair. D´eterminer la probabilit´e pⁿ d’obtenir une boule portant un num´ero pair. Comparerpⁿ `a 1

2.

2. On suppose quen est un nombre impair. D´eterminer la probabilit´eqⁿ d’obtenir une boule portant un num´ero pair. Comparerqⁿ `a 1

2.

3. D´eterminer les comportements asymptotiques des deux suites (p2l)^l∈N∗ et (q2l+1)^l∈N∗.

Exercice 197 : Soientnun entier naturel non nul,bun nombre entier sup´erieur ou ´egal `a 4. On placebboules blanches etnboules noires dans une urne. On tire ensuite successivement 4 boules. `A chaque tirage :

• si on tire une boule noire, on l’enl`eve ;

• si on tire une boule blanche, on la retire, et on ajoute une boule noire `a la place.

Quelle est la probabilit´e de tirer 4 boules blanches `a la suite ?

Exercice 198 : Un commer¸cant dispose d’un stock de plantes. Chacune des plantes fleurit une fois par an.

Pour chaque plante, la premi`ere ann´ee, la probabilit´e de donner une fleur rose est de ³₄, celle de donner une fleur blanche est de ¹₄. Puis, les ann´ees suivantes, pour tout entier natureln, on a :

• si l’ann´een, la plante a donn´e une fleur rose, alors l’ann´een+ 1, elle donnera une fleur rose ;

• si l’ann´een, la plante a donn´e une fleur blanche, alors l’ann´een+ 1, elle donnera de fa¸con ´equiprobable une fleur rose ou une fleur blanche.

On notepⁿ la probabilit´e de l’´ev`enement :^≪la plante a donn´e une fleur rose l’ann´een^≫. 1. D´emontrer que pour tout entier natureln:

pn+1= 1 2pⁿ+1

2.

2. En d´eduire une expression depⁿ en fonction den, pour tout entier natureln.

3. ´Etudier la limite ´eventuelle de la suite (pⁿ)^n∈N.

4. Quelle est la probabilit´e que la plante ne donne que des fleurs roses pendant lesnpremi`eres ann´ees ? 5. Quelle est la probabilit´e que la plante ne donne que des fleurs blanches pendant lesnpremi`eres ann´ees ?

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Exercice 199 : Quatre pour cent des pi`eces fabriqu´ees dans un atelier ´etant d´efectueuses, on d´ecide de les contrˆoler `a l’aide d’une machine.

• Si la pi`ece est bonne, elle est accept´ee avec une probabilit´e de 98%.

• Si la pi`ece est d´efectueuse, elle est refus´ee avec une probabilit´e de 99%.

1. Calculer la probabilit´e des ´ev`enements suivants :

A :^≪La pi`ece est d´efectueuse et elle est accept´ee.<sup>≫</sup>; B :<sup>≪</sup>La pi`ece est bonne et elle est refus´ee.^≫. 2. CalculerP(A∪B). Interpr´eter ce r´esultat.

3. Calculer la probabilit´e que la pi`ece soit bonne sachant qu’elle a ´et´e refus´ee.

Exercice 200 : On dispose de 5 pi`eces de monnaie ´equilibr´ees dont 4 poss`edent un^≪PILE^≫ et un^≪FACE^≫ et dont une poss`ede deux^≪FACE^≫.

Soitnun nombre entier sup´erieur ou ´egal `a 2. On choisit une des pi`eces au hasard et on la lance nfois.

1. Quelle est la probabilit´e d’obtenir^≪FACE^≫ au premier lancer ?

2. On a obtenu ^≪FACE^≫ au premier lancer, quelle est la probabilit´e d’avoir choisi la pi`ece `a deux

≪FACE^≫ ?

3. Quelle est la probabilit´e d’obtenir^≪FACE^≫ auxnpremiers lancers ?

4. On a obtenu^≪FACE^≫ auxnpremiers lancers, quelle est la probabilit´epⁿd’avoir choisi la pi`ece `a deux

≪FACE^≫ ?

5. ´Etudier la limite ´eventuelle depn quandntend vers +∞.

Exercice 201 : Un lot de 100 d´es contient 25 d´es pip´es tels que la probabilit´e d’apparition d’un six soit de ¹₂. On choisit un d´e au hasard, on le jette, et on obtient un 6. Quelle est la probabilit´e que le d´e soit pip´e ?

Exercice 202

1. Une puce se d´eplace sur les points entiers de la droite r´eelle. Elle est initialement plac´ee sur l’origine.

Ensuite `a chaque seconde, elle saute sur l’un des deux points entiers `a proximit´e de mani`ere ´equiprobable.

Calculer la probabilit´e qu’apr`esnsecondes la puce revienne `a l’origine, pour tout entier natureln.

2. ´Etudier le probl`eme analogue en dimension 2.

Exercice 203 : SoitAet B deux ´ev`enements d’un espace probabilis´e fini (Ω, P).

1. CalculerP(A∩B) en fonction de P(A) etP(B).

2. D´emontrer que les ´ev´enementsAet B sont ind´ependants si et seulement siAet B sont ind´ependants.

Exercice 204 : On dispose de deux d´esD1 etD2´equilibr´es `a 6 faces. Les faces deD1sont num´erot´ees de 1 `a 6 tandis queD2 poss`ede 5 faces portant le num´ero 1 et 1 face portant le num´ero 6. On choisit un d´e au hasard et on le lance deux fois. On consid`ere les ´ev`enements :

E: ^≪le premier lancer donne l’as^≫; F :^≪le deuxi`eme lancer donne l’as^≫. 1. CalculerP(E) etP(F).

2. (a) Sachant que l’on a choisi le d´eD2 quelle est la probabilit´e de l’´ev`enementE∩F? (b) CalculerP(E∩F).

3. Les ´ev`enementsEet F sont-ils ind´ependants ?

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