MEDICALE COMPLEMENTS EN TOMOGRAPHIE FORMATION TIC

FORMATION TIC (Phymed, STIC)

COMPLEMENTS EN TOMOGRAPHIE MEDICALE

Fayçal Ben Bouallègue - [email protected]

http://scinti.etud.univ-montp1.fr

I

₀

X

p

p

p

g

g g

m

_i

a

_i

a

_i

2D 2D 3D

T omographie: problème inverse linéaire

j j

j i,

i r a

p ^ 

CT SPECT PET

f

s

p(s,f,z,q) ^{: plans} p(s,f) ^{: lignes}

Codage en tomographie 2D et 3D

p

p

x₁

x₂

Modélisation analytique

   ^{ }  ^f

f

d x . ,

p x

p) (R

π

0

 



     

s

₁

s

₃

s

₂

   

Rf p







 

^

p

dt ) t f(s

s p s

,

t





 ^

_^

^

x1 x2

s t

f

cos sin

- 

f

f _

 



 



 f

x

2

.



_



  s

Natterer F. The mathematics of computerized tomography. New York: Wiley; 1986.

transformée de Radon

rétroprojection = épandage

x 

Modélisation algébrique

f

₁

f

4

f

3

f

2

p

₁

= r

_1,1

f

₁

+ r

_1,2

f

₂

p

₂

= r

_2,3

f

₃

+ r

_2,4

f

₄

p

₃

= r

_3,1

f

₁

+ r

_3,3

f

₃

p

₄

= r

_4,2

f

₂

+ r

_4,4

f

₄

 







 







 

 





 









 







 





4 3 2 1

4 3 2 1

4,4 4,3 4,2 4,1

3,4 3,3 3,2 3,1

2,4 2,3 2,2 2,1

1,4 1,3 1,2 1,1

p p p p

f f f f . r

r r r

r r r r

r r r r

r r r r

p f

R.  



r

_i,j

= % du pixel j intersecté par la projection i

b

₁

= r

_1.1

p

₁

+ r

_3,1

p

₃

p

₁

p

₂

p

₄

b

₂

= r

_1.2

p

₁

+ r

_4,2

p

₄

b

₃

= r

_2.3

p

₂

+ r

_3,3

p

₃

b

₄

= r

_2,4

p

₂

+ r

_4,4

p

₄

p

₃

 







 







 

 





 









 







 





4 3 2 1

4 3 2 1

4,4 3,4 2,4 1,4

4,3 3,3 2,3 1,3

4,2 3,2 2,2 1,2

4,1 3,1 2,1 1,1

b b b b

p p p p . r

r r r

r r r r

r r r r

r r r r

b p

R.

t  



Algorithmes analytiques

f 1

s

[ pˆ . abs] p

TF

^ _^



_^

s

₁

s

₂

s

₃

 

x (R p )

 

x

f   _ ^f 

  ^   ^

^





σ fˆ σ.  pˆ

TF

₁

TFI

₂

X ABS TFI

₁

 ^

pˆ

 f ^

p

R

^*

D

₁

: p

₁

= r

_1,1

f

₁

+ r

_1,2

f

₂

D

₂

: p

₂

= r

_2,1

f

₁

+ r

_2,2

f

₂

f

₁

f

2 r_1,

2

r_1,1 r_2,1

r_2,2

) f R p

( R f

f  ^{n 1}  ^{n *}   ⁿ





 

f

₁

f

₂

D

₁

D

₂

 





 





1,2 1,1 1

r r r



1

f 

n^

 

 

 

2n 1n

n

f

f  f d 

Kaczmarz S. Angenährte Auflösung von Systemen linearer Gleichungen. Bull Int Acad Pol Sci Lett A 1937;35:355-7.

S. Kaczmarz 1895-1940

Algorithmes algébriques

f

f ...

) f

R p

( R f

f  ^{n, j}  ^{n, j - 1 *}  _j  ⁿ _j  ^{n 1,0}  ^{n, J}







 ^

ART

SIRT

Moindres carrés

) min (

f arg

C f

J





 ^{R f p}   ^{R f p} 

p - f

R   ²   ^T  





 J 

 ^{R f p}  ⁰

R

2 ^T  



  

J

p R f

R

R ^T  ^T 



p R R)

R (

f ^{* -1 *} 

 dim(R*R) ~ 10000 ^{MAIS …}

Et mal conditionnée

Steepest descent

 

 

 





2 C

f

p - f min R

f arg  

 ^{R f p} 

γR f

) γ (

f

f ^{n 1 n n n T n} 











 

J

  ^{f n  1  R f n  γRR T}  ^{R f n  p }  ^{ p  2}

J

   ^{R f p}  ^RR  ^{R f γRR}  ^{R f p}  ^p 

γ f 2

1

^{n 1} _n



^T _{T n T n}

 











 

 J

^

 

 ^{R f p} 

RR

p f

R

γ R

₂

n T

n 2 T







 

 ^{R f}

ⁿ

^{ p} 

^T

^RR

^T

 ^{R f}

ⁿ

^{ p}   ^{ R f}

ⁿ

^{ p} 

^T

^RR

^T

^RR

^T

 ^{R f}

ⁿ

^{ p}  ^{ 0}



   g  

n

*

* 2

* 2 n

1

n R ε ; ε p R f

ε RR

ε f R

f ^       





p . R r

d 

⁰



^{0 *}







j

* jT

j 2

j

d R R d

ω  r 





j j j

1

j f ω d

f   



 

j

* j j

1

j

r ω R R d

r  



^

 

j j 2

1 2 j 1

j 1

j

d

r r r

d 



 



_{ } ^





2 C

f

p - f min R

f arg  





Initialisation :

Gradient Conjugué

Gilbert P Iterative methods for the three-dimensional reconstruction of an object from projections. J. Theor. Biol. 1972; 36:105-17

Directions de descente conjuguées :

n m

si 0 d

R )

d

(R  ^{m T}  ⁿ  

) f ( ).

f / p ( )

p ( )/

f ( ).

f / p ( )

p / f

(         















Bayes : 

 ^{log ( p / f ) log ( f )} 

min arg

~ f

f



 



    



Adéquation aux données

j j

j p j p

j

(Rf) p

;

! p

p ) e

f / p (

j j











 

i n

*

Rf R p

n f i 1 n

f i 



 



 



Dempster A et al. Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm. J R Stat Soc 1977;39:1-38. Hudson H et al. .Accelerated image reconstruction using ordered subsets of projection data. IEEE Trans Med Imaging 1994;13:601-9.

MLEM et OSEM

  _



 



 

 

j

j j

j

p log( p )

p argmin

f

~ 

ML-EM

i n

*

Rf R p

n f i 1 n

f i 



 



 



Dempster A et al. Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm. J R Stat Soc 1977;39:1-38. Hudson H et al. .Accelerated image reconstruction using ordered subsets of projection data. IEEE Trans Med Imaging 1994;13:601-9.

MLEM et OSEM

ML-EM

Avantages :

- Méthodes statistiques

- Contrainte de non-négativité - Normalisation naturelle

) f / p (

log  



0 f  

 cste

f 

Exemples

MLEM Gradient Conjugué

6 200 6 16

Régularisation … approche intuitive

f

₁

f

2

: p

₁

= r

_1,1

f

₁

+ r

_1,2

f

₂

: p

₂

= r

_2,1

f

₁

+ r

_2,2

f

₂

f

₁

f

₂

D

₁

D

₁

D

₂

D

₂

64² = 4 096 128² = 16 384 256² = 65 536 512² = 262 144

f

₁

f

₂

D

₁

D

₂

f

₁

f

2

: p

₁

= r

_1,1

f

₁

+ r

_1,2

f

₂

: p

₂

= r

_2,1

f

₁

+ r

_2,2

f

₂

D

₁

D

₂

Régularisation … approche intuitive

Exemple



 

 

 







 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 31

33 1

1 10 9

5

7

9 10

6

8

1 R. 1

 







 







 

 





 







 







 





30,9 33,1 22,9 32,1 1

, 1

5 , 4 12,6 - 9,2 10

9 5

7 6 10 9 8 5 6 5 7 7 8 7 10

 







 







 

 





 







 







 





31,1 32,9 23,1 31,9 1

, 3

5 , 2 14,6

7,2 - 10 9 5

7 6 10 9 8 5 6 5 7 7 8 7 10

    ³⁰²⁹

01 . 0

29 , R 30

30,29

3,86;

0,84;

0,01;

Sp(R)     

Matrice de Wilson

1 Det 

 

R R de propres valeurs

où

R

. R R

κ

t min

1 max





 ^

m

m m

La matrice de Wilson est très mal conditionnée (>>1)

f p

 En continu : , R bijectif d’inverse continue (conditions d’Hadamard).

 En discret, les choses sont moins simples :



R surjectif ?



R injectif ? : choix parmi les solutions possibles



R ^-1 continue mais ||R

^-1

|| grande :

2 C

f t

t

R.R f  A f  R. p  q  f arg min p  R f 















  ^{R R R 1}

κ

min 1 max

-

 

 m

m

  p δ p κ R

f δ f











Problème d’Hadamard bien posé ?

  ^   ^{ }



 σ fˆ σ. 

pˆ

2 C

f

f R min p

f arg  



 

Remplacer : par

Adéquation aux données Surjectivité du problème inverse

Régularisation injectivité

Régularisation

 ^   



i i i

2

...

; f ln f

; f Q f

; f

)

ρ( f    

Exemples :

 

   



 min p R f α.ρ( f )

f arg ²

C f



 

 

   





2 2

C f

α. f f

R min p

f arg   

Adéquation aux données Surjectivité du problème inverse

Régularisation injectivité

Régularisation de Tikhonov

 ^{R R αI}  ^{f R p}

α. f f

R min p

f arg ^{2 2 t t}

f





 

 

  

   





 ^{R R αI}  ^{R p}

f   ^t  ^{-1 t}

Solution directe : … ou solution par descente

) f ( ).

f / p ( )

p ( )/

f ( ).

f / p ( )

p / f

(         















Bayes : 

 ^{log ( p / f ) log ( f )} 

min arg

f

~

f



 



    



Adéquation aux données ?

Régularisation MAP-EM

Green PJ. Bayesian reconstructions from emission tomography data using a modified EM algorithm. IEEE Trans Med Imaging 1990;9:84-93

j j

j p j q

j

(Rf) q

;

! p

q ) e

f / p (

j j











 

) f ( ).

f / p ( )

p ( )/

f ( ).

f / p ( )

p / f

(         















Bayes : 

 ^{log ( p / f ) log ( f )} 

min arg

f

~

f



 



    



Adéquation aux données

Régularisation MAP-EM-OSL

Green PJ. Bayesian reconstructions from emission tomography data using a modified EM algorithm. IEEE Trans Med Imaging 1990;9:84-93

 

 _K ¹ e ^{ β.} 

^i,j

^w

^i,j

^{.V f}

ⁱ

^{- f}

^j

)

Ρ( f 

Distribution de Gibbs

j j

j p j q

j

(Rf) q

;

! p

q ) e

f / p (

j j











 

  _



 



  

 

j i,

j i

j

f

log Ρ p / f β w

i,

V(f - f )

min arg

f

~   



 

 

 



V(i) k

k i

k.

i,

i (f f )

r w V

U

Green PJ. Bayesian reconstructions from emission tomography data using a modified EM algorithm. IEEE Trans Med Imaging 1990;9:84-93

Régularisation MAP-EM-OSL

 ^{ } 

 

j j

j ij i

j

ij q

R p β. U

R n 1

f i 1

n f i

U

Tomographie en coïncidence 3D

a

i

g

g

189

F

188

O

Projections 3D redondantes et incomplètes

• Recherche de f(x,y,z) connaissant p(s,f,z,q)

• Certaines projections obliques ne sont pas enregistrées pour q  0

Exemple de la TEP

Tomographie en coïncidence 3D

a

i

g

g

189

F

188

O

Projections 3D redondantes et incomplètes

• Reconstruction 2D de données 2D

• Utilisation d’un collimateur

•  statistique de comptage,  S/B

Tomographie en coïncidence 3D

a

i

g

g

189

F

188

O

Projections 3D redondantes et incomplètes

• Reconstruction 2D de données 2D

• Utilisation d’un collimateur

•  g détectés N,  S/B=N/N= N

• Réarrangement 2D de données 3D

• Algorithmes de «rebinning »

• S/B  mais approximation

Tomographie en coïncidence 3D

a

i

g

g

189

F

188

O

Projections 3D redondantes et incomplètes

• Reconstruction 2D de données 2D

• Utilisation d’un collimateur

•  g détectés N,  S/B=N/N= N

• Réarrangement 2D de données 3D

• Algorithmes de «rebinning »

• S/B  mais approximation

• Reconstruction 3D de données 3D

• Algorithmes algébriques 3D

• RPF 3D si projections complètes

• S/B  mais temps de calcul 

Un théorème de Radon 3D…

ω   ω 

    ^{  }

 



    

 fˆ

pˆ ω , _ω

  ^{y f}  ^{y s ω}  ^ds

p _ω

2 , y ω ,

ω ^ S ^{   }  ^

    ^{   }

TF

₂

TF

₃

f

fˆ

  ^{f  y s  e ds d y}

pˆ    ^{2 i y}  ^{. } 



   



 ^{ }  

_

^{ }

  ^{ } _ ^{     }   ^



 

  _ ^

 f x e d x fˆ

pˆ ^{2 i x .}

y 

 

Condition nécessaire à l’affectation

de toutes les fréquences spatiales de ℝ

³

:

 contient au moins un cercle équatorial de S i.e

 intersecte tout cercle équatorial de S

ω  ω  

z



SS. Orlov. Sov.Phys. Crystallogr.,1976. Vol 20, 3:312-4 et 4:429-433

1- Condition d’Orlov :

…

ω 

… plutôt difficile à appliquer !

2 - Projections non tronquées

3 – moyennant une interpolation 3D dans le domaine des fréquences 1- Condition d’Orlov

 ^,  ^{ˆ ( cos sin sin , sin sin cos , cos )}

ˆ 

₁



₂

 f 

₁

q f  

₂

q 

₁

q f  

₂

q  

₁

f p

x₁ x₃

x₂

q f

Solutions possibles

1– Condition d’Orlov

- Détecteur TEP cylindrique 2 – Projections tronquées

- Estimées par reconstruction 2D puis projection ou rebining 3 –Interpolation 3D en fréquence

- Optimisation de l’interpolation (fonctions de Kaiser-Bessel) - Utilisation d’une rétro-projection filtrée (filtre de Colsher)

Fourier-based reconstruction for fully 3-DPET. Matej S, Kazantsev IG. IEEE Trans Med Imaging 2006;25:845-54.

Evaluation of a new gridding method for fully 3D direct Fourier PET reconstruction based on a two-plane geometry F Ben Bouallègue, J F Crouzet, D Mariano-Goulart. Comput Med Imaging Graph. 2008;32:580-589.

Colsher JG. Fully three-dimensional PET. Phys Med Biol 25(1), 103-115, 1980

En « routine » : Utilisation d’algorithmes algébriques (OSEM 3D)

Reconstruction 2D après rebining des projections 3D

Reconstruction 2D

Calcul des projections 3D

manquantes

Reconstruction 3D

Reprojection après RPF 2D

Ré-arrangement (rebining) exact

δ tgθ 2 ,

x z x

s, φ, p

B 3 A

3

 

 



   

TF(s,f) puis TF(z) si invariance en Tz

 ^{, k , ,}  ^{e p ˆ}  ^{1 , k , , 0} 

p ˆ    

^{ikarctan()}

  

²



 





Defrise M, Kinahan PE, Townsend DW, Michel C, Sibomana M, Newport DF.

Exact and approximate rebinning algorithms for3-D PET data. IEEE Trans Med Imaging 1997;16:145-58.

Ré-arrangement approximatif

 





Ben Bouallègue F, Crouzet JF, Comtat C, Fourcade M, Mohammadi B, Mariano-Goulart D. Exact & approximate Fourier rebinning algorithms for the solution of the data truncation problem in 3-DPET. IEEE Trans Med Imaging 2007;26:1001-9.

DL à l’ordre 1 sur

 ^{, k , ,}  ^{e p ˆ}  ^{, k , , 0} 

p ˆ    

^ik

 

 ^{, k , z ,}  ^{p ˆ}  ^{, k , z - k , 0} 

p ˆ      

 ^{ , k , z , 0}  ^{ p ˆ}  ^{ , k , z  k} _ ^{ , } 

p ˆ

    _



 



       





 ' , '

k z , k , p ˆ

, z , k , p ˆ

SYNTHESE DE DONNEES 2D à S/B  :

SYNTHESE DE DONNEES MANQUANTES :

 ^{, k , ,}  ^{e p ˆ}  ^{1 , k , , 0} 

p ˆ    

^{ikarctan()}

  

²



Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur.

P. Lascaux et R. Théodor. 2 tomes.

MASSON.

The Mathematics of Computerized Tomography.

F. Natterer. 2001. SIAM.

Positron Emission Tomography. Basic Sciences and Clinical Practice.

PE Valk, DL Bailey,

DW Towsend, MN Maisey.

2003. Springer.

Reconstruction tomographique en imagerie médicale.

D. Mariano-Goulart

Encyclopédie Médico-chirurgicale,

35-105-A-10, 2009.