Denis Mariano-Goulart Faculté de médecine et CHRU Montpellier d-mariano_goulart@chu-montpellier.fr

(1)

Mathématiques appliquées

& médecine nucléaire : quelques ponts

Denis Mariano-Goulart Faculté de médecine et CHRU Montpellier d-mariano_goulart@chu-montpellier.fr

IMAGERIE TOMOGRAPHIE 2D TOMOGRAPHIE 3D INTERPOLATIONS SEGMENTATION

(2)

Résumé

Depuis la conception du premier "scanner", à la fin des années

1960, les techniques d'imagerie médicale ont grandement

bénéficié de l'apport de nombreux outils de mathématiques

appliquées et de traitement du signal numérique, tant dans le

domaine de la reconstruction (tomographie, images

paramétriques) que de l'analyse d'images (segmentation,

modélisations). Après une brève présentation des diverses

modalités de l'imagerie médicale et des bases de la

reconstruction tomographique, l'exposé insistera sur quelques

travaux récents menés lors de collaborations entre

mathématiciens et médecins dans les domaines de la

régularisation de problèmes inverses linéaires, de la

modélisation de données bruitées ou de la segmentation

d'images médicales. Quelques pistes d'éventuelles nouvelles

collaborations seront suggérées au fil de l'exposé.

(3)

Imagerie médicale

ANATOMIQUE

ρ µ ∝

c . Z ∝ ρ

η S ∝

Radiologie &

Imagerie

médicale

(4)

FONCTIONNELLE

Imagerie médicale

ANATOMIQUE

(5)

FONCTIONNELLE

Imagerie médicale

ANATOMIQUE

METABOLIQUE

(6)

FONCTIONNELLE

Imagerie médicale

METABOLIQUE

Biophysique

& médecine

nucléaire

(7)

I

₀

p f

₁

f

_n

f

₂

n n 2

2 1

1

f R f ... R f

R

p = + + +

γγγγ γγγγ

9943

Tc

résolution ≈ cm bruit de Poisson

TEMP (SPECT)

(8)

I

₀

p

^J

f

₁

f

_n

f

₂

γγγγ γγγγ

9943

Tc ⁼ ∑ i

j i

j R f

p

TEMP (SPECT)

(9)

f

_i

?

γγγγ γγγγ

18 9

F

188

O

TEP (PET-SCAN)

∑

= _i ^j _i

j R f

p

^J

p

(10)

TEP

f

_i

γγγγ γγγγ

18 9

F

188

O

p

^J

?

∑

= _i ^j _i

j R f

p

(11)

Modélisation analytique

( ) ^x ^p ( ^, ^. ^x ) ^dθ

p) (R

π

θ 0

∫ =

⊥

∗ r = r r r

ω ω

s

₁

ω ^r ⊥ x r

s

₃

s

₂

( ) ( )

Rf p

=

+

=

= ∫

^⊥

p

dt ) t f(s

s p s

,

t

ω ω

ω ^r

_ω^r

^r

x1 x2

s t

f

θ cos

θ sin

-  = ω ^r



 





θ

x

2

.

r

_⊥

r

= ω s

Natterer F. The mathematics of computerized tomography. New York: Wiley; 1986.

(12)

Théorème de la projection

i j

s t

f

( ) ^s ^f(s ^t ⁾ ^dt

p

t

∫ ⁺

= ω ^⊥ ω

ω r r

( ) ⁼ ∫ ( ) ⁻

s

i.s. ds .e

s p σ

pˆ _ω ^r _ω ^r ^σ

( ) ^σ ^f(s ^t ⁾ ^e ^dt ^ds

pˆ

s

i.s.σ t

∫ ∫ ^⊥ ⁺ ⁻

= ω ω

ω r r

( ) ^σ ⁼ ∫∫ ^f( ^x ⁾ ^e ⁻

^⊥

^d ^x

pˆ r ^i.σ ^x ^r ^. ^r r

r ω

ω

( ) ( ⁼ ) ⁼ ( ) ^ω ^⊥

ω

r σ fˆ σ.cosθ , σ.sinθ fˆ σ. r pˆ

θ cos

θ sin

-  = ω ^r



 





θ

x r

Johann Radon, ¨ Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte langs gewisser Mannigfaltigkeiten, Ber. Verh. Sach. Akad. 69 (1917), 262–77.

(13)

( ) ^s

p _ω ^r ^pˆ _ω ^r ( ) ^σ

R

||

f fˆ

T F

( ) ⁼ ( ) ^ω ^⊥

ω

r σ fˆ σ. r pˆ

Théorème de la projection

?

(14)

( ) ^s

p _ω ^r ^pˆ _ω ^r ( ) ^σ

R

||

f fˆ

T F

( ) ⁼ ( ) ^ω ^⊥

ω

r σ fˆ σ. r pˆ

Théorème de la projection

?

(15)

FFT polaire ?

A Averbuch, RR Coifman, DL Donoho, M Elad, M Israeli. Appl Comput Harmon Anal. 2006; 21:145-167 O Levi, O Harari, Ronen Peretz. 2007.The Fast Octa-Polar Fourier Transform and its expansion to an accurate discrete radon transform

FFT-

(16)

.

0

.

. 2 π ω

j − j

− =

= e e

W _N ^N

∑

∑ ⁻

=

− ν

=

ν ω

− =

=

ν ^N ¹

0 k

k N 1

N

0 k

) k

.( s ( k ). W

e ).

k ( s )

(

sˆ ^j

⁰

) ( H . W + ) ( G

W ).

1 k 2 ( s W

W ).

k 2 ( s

W ).

1 k 2 ( s W

W ).

k 2 ( s

W ).

1 k 2 ( s W

).

k 2 ( s )

( sˆ

N

2 1 N

0 k

. k

2 / N N

2 1 N

0 k

. k

2 / N

2 1 N

0 k

. k . 2 N N

2 1 N

0 k

. k . 2 N

2 1 N

0 k

).

1 k . 2 ( N 2 1

N

0 k

. k . 2 N

ν ν

=

+ +

=

+ +

=

+ +

= ν

ν

−

=

ν ν

−

=

ν

−

=

ν ν

−

=

ν

−

=

ν +

−

=

ν

∑

TFD

Fast Fourier Transform (FFT)

2 ) sin(

. 2 )

cos( j N

W

_N

₌ N π ₋ π

(17)

) ( . +

) ( )

ˆ ( ν ^G ν ^W ^ν ^H ν

s = _N

TFD

Fast Fourier Transform (FFT)

TF sur N points TF sur N/2 points

) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ).

( )

ˆ (

1 0

2 ) .( 2

s s

e k s s

k

k π ν ν

ν = ∑ = + −

=

− j

TF sur 2 points:

. ) sin( 2 . . )

cos( 2

j N N

ν π ν

π ₋

Complexité N² → N.log ₂ N (512² → 512x9 i.e 57 fois moins)

(18)

TFD

Algorithme FFT

(19)

Rétroprojection filtrée

( ) ^x ⁼ ∫∫ ^f ( ) ^ξ ^e ^d ^ξ

f ⁱ ^x ^. ^ξ

r ) r

r ^r ^r

( ) _{∫ ∫} ( )

=

+∞

=

−∞

=

⊥

^⊥

=

π

0 θ

σ σ

. σ

i σ dσ dθ

σ e fˆ x

f ^x

r

r r

r _ω

ω

( ) ∫ ∫ ( )

=

+∞

=

−∞

=

= ^π

⊥

θ 0 σ σ

. σ

i dσ dθ

σ e pˆ

x

f ^x

r r

r r _ω

ω σ

[ ^pˆ ^r ^. ^abs ] ( ) ^r ^. ^x ^r

TF _s ⁻ ¹ _ω ω ^⊥

ξ

₁

ξ

₂

ρ θ

||

( ) ^x ^(R ^p ⁾ ( ) ^x

f r _∗ ^' r

ω ^r =

p'

(20)

ω ^r

p

ω ^r

pˆ abs

x

[ ] ^'

1 s pˆ . abs p

TF ⁻ _ω ^r = _ω ^r ^s

¹

s

₂

s

₃

Projections sur 180°

Rétroprojection filtrée

x

2

.

r

_⊥

r

= ω s

( ) ^x ^(R ^p ⁾ ( ) ^x

f r _∗ ^' r

=

(21)

Rétroprojection filtrée

(22)

Modélisation algébrique

f

₁

f

₄

f

₃

f

₂

p

₁

= r

_1,1

f

₁

+ r

_1,2

f

₂

p

₂

= r

_2,3

f

₃

+ r

_2,4

f

₄

p

₃

= r

_3,1

f

₁

+ r

_3,3

f

₃

p

₄

= r

_4,2

f

₂

+ r

_4,4

f

₄

 







 







 =

 





 









 







 





4 3 2 1

4,4 4,3 4,2 4,1

3,4 3,3 3,2 3,1

2,4 2,3 2,2 2,1

1,4 1,3 1,2 1,1

p p p p

f f f f . r

r r r

r r r r

p f

R. r r

=

r_i,j = % du pixel j intersecté par la projection i

b

₁

= r

_1.1

p

₁

+ r

_3,1

p

₃

p

₁

p

₂

p

₄

b

₂

= r

_1.2

p

₁

+ r

_4,2

p

₄

b

₃

= r

_2.3

p

₂

+ r

_3,3

p

₃

b

₄

= r

_2,4

p

₂

+ r

_4,4

p

₄

p

₃

 







 







 =

 





 









 







 





4 3 2 1

4,4 3,4 2,4 1,4

4,3 3,3 2,3 1,3

4,2 3,2 2,2 1,2

4,1 3,1 2,1 1,1

b b b b

p p p p . r

r r r

r r r r

b p

R. t

r r

=

(23)

∆

₁

: p

₁

= r

_1,1

f

₁

+ r

_1,2

f

₂

∆

₂

: p

₂

= r

_2,1

f

₁

+ r

_2,2

f

₂

Algebraic Reconstruction Technique

f

₁

f

₂

r_1,2 r_1,1 r_2,1

r_2,2

1 n 1

1 n

ω d ω

f

f r

r r

r

⁺

= +

2 1 1

1n n 1

1

n

ω

ω p f p

f r

r r

r

⁺

= + −

) p p

( f

f

ⁿ ⁺¹

=

ⁿ

+ R

^* ₁

−

₁ⁿ

r r

f

₁

f

₂

∆

₁

∆

₂

 

 





1,2 1 1,1

r ω ^r r

1

f

n ⁺

r

 

 





2n 1n

n

f

f f d r

r

1

1 n

1

ω

ω . f

p

d r

r r

= −

n

p

1

Kaczmarz S. Angenährte Auflösung von Systemen linearer Gleichungen. Bull Int Acad Pol Sci Lett A 1937;35:355-7.

(24)

MLEM et OSEM

Maximiser

 

 



 p

p

n l

* l

R

∑ ∑

∑ ⁼

=

+ = ^K

l

N

s

n s s l

l i

K l

l

i

l r f

r p

r ¹

1 , ,

1 '

,'

. 1 n f i 1

n f i

f

₁

f

₂

∆

₁

∆

₂

∆’

₂

=

[ ] ^



 



=  ⁻

∏ = ^e _p' ^p _!

log /f)

(p' log

i p' i K p

1 i

i i

P

(25)

Problème bien conditionné ?

En continu : R opérateur bijectif d’inverse continue (Hadamard).

En discret :

surjectivité

qui revient à minimiser

R injectif ? choix parmi le solutions (initialisation)

R ^-1 continue mais ^||R

^-1

|| grande :

2

p f

R r r

−

q p

R. f A f

R.R

^t

t

r r r r

=

( )

min 1 max

-

λ R λ

R

κ R = =

( )

( ) ^ ^ ^



 



 +

≤ −

R δR p

δ p

R R δR 1 κ

R κ f

δ f

r r r

r

(26)

Régularisation

( ^R ^R ^αI ) ^f ^R ^p

α. f f

R min p

f arg ² ² ^* ^*

f

= +

 ⇔

 

 

 − +

= r r r

r

surjectivité injectivité ^f ^r ⁼ ( ^R ^* ^R ⁺ ^αI ) ^-1 ^R ^* ^p

[ ^log ⁽ ^p ^/ ^f ⁾ ^log ⁽ ^f ⁾ ]

min arg

f

~

f

r r r

r

r − Ρ − Ρ

=

) f ( ).

f / p ( )

p ( )/

f ( ).

f / p ( )

p / f (

r r r

r r r r

r r

Ρ Ρ

= Ρ

Ρ Ρ

= Ρ

régularisation

Adéquation aux données

(27)

q . A r

d r ⁰ r ⁰

^*

r

=

* j j

j 2 j

d .A.

A d

ω r r r r

=

j j

j 1

j f ω . d

f

r r

r ⁺ = +

* j j

j 1

j r ω .A .A. d

r

r r r ⁺ = −

j j 2

1 2 j 1

j 1

j . d

r r r

d

r r

r ⁺

+

+ = +

2 C

f

q - f min A

f arg r r

= ∈

Gradient conjugué

(28)

* j j

j 2 j

d .R.

R d

ω r r r

r

=

j 2 1 2 j j

r β r r

r ₊

=

 





 





+

−

− +

−

=

−

1 j

1 j j

1 j

1 j 0

0 1

0 0

0 0 0

j

ω β ω 1

ω 0 β

0 ω 0 β

ω 0 β ω 1

ω β

0 ω 0

β ω 1

G

O O

O

Matrice de Galerkine

Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. P. Lascaux & R. Théodor (II). MASSON

(29)

[ ^log ⁽ ^p ^/ ^f ⁾ ^log ⁽ ^f ⁾ ]

min arg

f

~

f

r r r

r

r − Ρ − Ρ

=

Distribution de Gibbs :

( )

= _K ¹ e ⁻ ^β. ∑

^i,^j

^w

^i,^j

^.V ^f

ⁱ

^- ^f

^j

)

Ρ( f r

( ) ^



 



 − +

= ∑

j i,

j i

j

f

log Ρ p / f β w

i,

V(f - f )

min arg

f

~ r r r

r

Régularisation statistique

) f ( ).

f / p ( )

p ( )/

f ( ).

f / p ( )

p / f (

r r r

r r r r

r r

Ρ Ρ

= Ρ

Ρ Ρ

= Ρ

régularisation Adéquation aux données

MAP-EM-OSL

(30)

Contrôle de convergence

Evaluation de la stabilité :

Erreur inverse (backward error) :

f r λ 1

ε j

j max

j r

r

=

 



 

  + δ = + δ





 

 δ δ

= δ δ / (A A) x q q

β , q α

Max A )

x

ε( Min

q , A

r r r

r r

r

x β α

q - x ) A

ε( x

= r + r r r

= ⇒

= δ

= 0, q 0 et α A

β r

D Mariano-Goulart, P Maréchal, S Gratton, L Giraud, M Fourcade. Comput Med Imaging Graph 2007; 31:502-9 IMAGERIE TOMOGRAPHIE 2D TOMOGRAPHIE 3D INTERPOLATIONS SEGMENTATION

( )

min max

λ R λ

κ =

(31)

Régularisation ?

• Estimation du spectre et de l’erreur possibles.

• Choix optimal de L, H , β, , β, , β, , β, w, V ?

• Pour ce choix, fréquences à l’itération i ?

 



 

 − +

=

∈

2 2

C f

) f H(

f R )

p min L(

f arg

r r r

r

MLEM 6 MLEM 200

( ) ^



 



 − +

= ∑

j i,

j i

j

f

log Ρ p / f β w

i,

V(f - f )

min arg

f

r r r

r

FRECT

D Mariano-Goulart, P Maréchal, S Gratton, L Giraud, M Fourcade. Comput Med Imaging Graph 07 & Lect Notes Comput Sci. 04

(32)

Statistiques dans les coupes ?

p d . S f

d p

d S f

d r r r r

≤

= ⇒

( ) ^d ^f ^S ^. ^Cov ^{( )} ^d ^p ^. ^S ^*

Cov r r

=

**S = (RR + HH) ^-1 R* L**

Calculs inextricables…

Alternatives ? :

- tomographie par intervalles (intégrales de Choquet).

- rapports de vraissemblances - …

A. Rico, O. Strauss, D. Mariano-Goulart. Fuzzy Sets and Systems 2009; 160(2):198-211

(33)

10 10 10

10

7 9 12

11 3 . 10

1.2 10.3

δ ₁ = 11.5 − =

δ 0

10, ₀ =

+ bruit

7 9 12

11 5 . 11

3 1 r =

6 1 r =

Une piste ?…

0.5 r =

(34)

10 10 10

10

7 9 12

11 3 . 10

2 . 1 3

. 10 5

.

1 = 11 − =

δ

0 ,

10 δ ₀ =

+ bruit

7 9 12

11 5 . 11

1 2 14.5 11 3.5 3.δ

δ = − = ≈

+ bruit x3

5 . 14

1 7 16

13 1

7 16

13

11 Projection par intervalle & bruit

(35)

Projection par intervalle

1 3 0

2 0 1

0 0

0 ] S , S [

=

S (1.4+2.2+3.2)/8=1.8

1 3 0

2 0 1

0 0

0 =

S (3.4+2.3+1.1)/8=2.4

] S , S [

2.4]

, [1.8 [S] =

(36)

Modélisation rigoureuse

Intégrale de Choquet asymétrique par rapport à une capacité

Nos résultats montrent un lien fort entre le bruit dans la coupe et le

diamètre de l’intervalle reconstruit La prise de décision à un niveau p donné reste un problème ouvert…

A. Rico, O. Strauss, D. Mariano-Goulart. Fuzzy Sets and Systems 2009; 160(2):198-211

(37)

Un théorème de Radon 3D…

ω r ⊥ ω r

( ) ( ) ^ξ ⁼ ^ξ

∈ ⊥ ξ

∀ r r r r

r fˆ

pˆ , ω _ω

( ) ^y ^f ( ^y ^t ) ^dt

y ω , p

ω ^∈ S, ^∀ ^∈ ^⊥ ⁼ ∫ ⁺

∀ r r r _ω ^r ^r ^r ω ^r

TF

₂

TF

₃

f

fˆ

( ) ⁽ ⁾

ˆ f y t e ² ^. dt d y

p r r r ⁱ ^y r ^r r

r

r π ξ

ω

ω ξ ∫∫ ∫ ω ⁻

⊥

+

=

( ) ^ξ ⁼ ∫∫∫ ^{( )} ⁻ ^π ^ξ ⁼ ( ) ^ξ

ω

r r

r r _r ^r

r f x e d x fˆ

pˆ ² ⁱ ^x ^.

y r

ξ r

(38)

ω ∈ Ω ⊂ S,

∀ r

Si Ω contient au moins un cercle équatorial de S (ou si Ω intersecte tout cercle équatorial de S)

ω r ω r ⊥

z

( ) ( ) ^η ^fˆ ^η

ω ,

η ∈ ⊥ Pˆ _ω =

∀ r ^r

Ω

SS. Orlov. Sov.Phys. Crystallogr., Vol 20, 3:312-4 et 4:429-433

… un peu difficile à appliquer…

1- Condition d’Orlov :

(39)

… plutôt difficile à appliquer…

2 - si les projections ne sont pas tronquées (projections complètes)

ω r

3 – moyennant une interpolation 3D dans le domaine des fréquences 1- Condition d’Orlov

( ^, ) ^ˆ ⁽ ^cos ^sin ^sin ^, ^sin ^sin ^cos ^, ^cos ⁾

ˆ ξ

₁

ξ

₂

= f ξ

₁

θ φ − ξ

₂

θ ξ

₁

θ φ + ξ

₂

θ − ξ

₁

φ

p

x₁ x₃

x₂

θ φ

(40)

p(s, φ , z = (x

^A₃

+z

^B₃

)/2, δ = tg θ)

Synthèse de projections complètes

x₂

F Ben Bouallègue, JF Crouzet & D Mariano-Goulart, IEEE Trans Med Imaging 07 & Ann Nucl Med 09

: 4 paramètres, 3 ddl

(41)

p(s, φ , z = (x

^A₃

+z

^B₃

)/2, δ = tg θ)

Synthèse de projections complètes

( ^, ^, ^, ) ^ˆ ( ^, ^, ^, ^' )

ˆ σ ^k ζ δ ^e ^p χσ ^k ζ δ

p =

⁻^i∆Φ

x₂

TF3

'

' ,

δ δ χσ ζ

ζ δ σ

δ _>

 

 





 

 



− 

 

 



= 

∆Φ k arctg arctg

( )

2

2 2

2

'

1 σ

δ ζ δ

χ = + −

F Ben Bouallègue, JF Crouzet & D Mariano-Goulart, IEEE Trans Med Imaging 07 & Ann Nucl Med 09

(42)

p(s, φ , z = (x

^A₃

+z

^B₃

)/2, δ = tg θ)

Synthèse de projections complètes

( ^, ^, ^, ) ^ˆ ( ^, ^, ^, ^' )

ˆ σ ^k ζ δ ^e ^p χσ ^k ζ δ

p =

⁻^i∆Φ

x₂

TF3

'

' ,

δ δ χσ ζ

ζ δ σ

δ _>

 

 





 

 



− 

 

 



= 

∆Φ k arctg arctg

( )

2

2 2

2

'

1 σ

δ ζ δ

χ = + −

( ) ( ) _



 



 − −

≈ ' , '

k ,

ˆ , ,

,

ˆ , δ

σ δ σ δ

δ

σ ^k ^z ^p ^k ^z

p

 





 



 



 





²

O en

DL ζ

σ δ

F Ben Bouallègue, JF Crouzet & D Mariano-Goulart, IEEE Trans Med Imaging 07 & Ann Nucl Med 09

(43)

F Ben Bouallègue, JF Crouzet & D Mariano-Goulart, CR Physique 05 & Comput Med Imag. Graphics 08.

( ) ^, ^ξ ⁾

tan sinθ

ξ tanθ

, ξ (ξ | fˆ sin

sinθ

| ξ 1

, ξ

pˆ _w ₁ ₂ ₁ ¹ ² ₂

ϕ

ϕ ⁻ ⁻

=

Optimisation de l’interpolation

( ) ^, ^ξ ^, ^ξ ⁾

θ cos

tan ξ

θ tan ξ

( | fˆ sin θ

cos |

ξ 1 ξ ,

pˆ _w ₁ ₂ ₁ ² ₁ ₂

ϕ

ϕ ⁻ ⁻

=

x

₁

x

₂

x

₃

(44)

TOMO-VENTRICULOGRAPHIE

(45)

Réponse d’un collimateur

LEHR : L = 4,1 cm ; B = 0,64 cm ; R = 0,19 cm ; ε = 0,065

Quantitative Analysis in Nuclear Medicine Imaging, Springer US. 2006; CE Metz. Phys Med Biol 1990; 35.

 





 





 

 



− 

−

 

 



= 

2

2 1 .

. 2 .

arccos . .

2 )

( r

r r r

h λ λ λ

π

ε ^λ ⁼ ^R ^. ( ^L ⁺ ^L ^D ⁺ ^B )

L B 2R

D

r

Collimateur Détecteur

D=10 cm

P

D=5 cm

(46)

« Effet de volume partiel »

JR Galt et al. «Effects of myocardial wall thichness on SPECT quantification». IEEE TMI 1990;9

dz LMH e

S

e

z

∫ LMH

−

= −

2 /

2 ln . 2 4

ln

²

2 _π

2

(47)

Soit X=U X _i une réunion de régions compactes disjointes.

On définit la zone d’influence de X _i :

le squelette par zones d’influences de X :

et le squelette de X :

Squelette

) X (

\ X

(X) _i

i

IZ SKIZ = U

{ ^x, ^d(x, ^X ⁾ ^d(x, ^X ^\ ^X ⁾ }

) X

( _i = _i < _i

IZ

{ ^x ^X, ^(p, ^p' ⁾ ^X ^, ^p ^p' ^/d(x, ^X ⁾ ^d(s, ^p ⁾ ^d(s, ^p' ⁾ }

) X

( = ∈ ∃ ∈ ∂ ² ≠ ∂ = =

SK

SK SKIZ

J. Serra. Image Analysis & Mathematical Morphology. Academic Press. Vol 1(1982) et 2 (1988).

M. Schmidt & J. Mattioli. « Morphologie Mathématique ». 1994. Masson.

(48)

Squelette : propriété

{ ^x, ^d(x, ^X ⁾ ^d(x, ^X ^\ ^X ⁾ }

\ X

(X) _i _i

i <

= U

SKIZ

{ ^x ^X, ^(p, ^p' ⁾ ^X ^, ^p ^p' ^/d(x, ^X ⁾ ^d(s, ^p ⁾ ^d(s, ^p' ⁾ }

) X

( = ∈ ∃ ∈ ∂ ² ≠ ∂ = =

SK

X i

(X)

SKIZ ⊂ _SK _(X ^C ₎

(49)

Ligne de partage des eaux

Soit f de classe C ¹ / f(m)= 0 si m est un minimum local.

On définit :

où :

{ ^, ⁽ ^, ^' ⁾ ^minima ^locaux/d ⁽ ^, ⁾ ^d ⁽ ^, ^' ⁾ }

)

( f x m m _f x m _f x m

LPE = ∃ =

( ^s ) ^ds

f b

a

b

a

b a

) ( inf

) , (

d _f _,

,

∫ ^∇

= γ

γ

Propriété : la LPE est un SKIZ(U{m _i }) pour d _f

(50)

Intérêt en segmentation

(51)

Sq(f ^c ) amincissements…

( ) ^, ^max ^si ^max ⁽ ^, ⁾ ^min

1 0

1 0 1 1 0 1

1 i j f f f i j f

f   = < ≤





 





 

 





− − o −

 

 





− −

= −

1 0

1 0 1 1 0 1 L 1

Mariano-Goulart et al. Eur J Nucl Med 1998; 22:1300-07

j-1 j j+1

i+1

i-1

i

(52)

puis LPE par ébarbulage

∞

 





 





 

 



= 

i

f 1 0 0 - 1 0 1 1 0 0

LPE o

( ^f ^L )

Sq = o ⁱ ^∞

IMAGERIE TOMOGRAPHIE INTERPOLATIONS SEGMENTATION

(53)

Alternative: immersion

(54)

TOMO-VENTRICULOGRAPHIE

VTD

VTS FE

TFS

F. Ben Bouallègue et D.Mariano-Goulart. Eur J Nucl Med 1998-2001-J Nucl Med 2001-2007

(55)

H1 H1+H2 H1+H2+H3

DEBRUITAGE

(56)

P(t ^1/3 )

P(t ³ ) t ^1/3

t ³ P(t)

AJUSTEMENT D’UN MODELE

(57)

D(t) = P[Q(t)]

Q(t)

P(t)

AJUSTEMENT D’UN MODELE

(58)

Acquisition bruitée (t ₄ , A ₄ ) A ₄ = P(u ₄ )

A ₄ = D(t ₄ ) = P[ Q(t ₄ )]

Q(t ₄ ) = u ₄

A

₄

1 1 Q(t)

t

AJUSTEMENT D’UN MODELE

(59)

RESULTATS

H1 H1+H2 H1+H2+H3 D(t)

C. Caderas de Kerleau et D. Mariano-Goulart, IEEE Trans Med Imaging 2004

(60)

ANALYSE 3D DE CTA LOCALES

TES FE VD VG

D.Mariano-Goulart et al. J. Nucl Med 2007

(61)

La collaboration Médecine-I3M

Depuis 2003

JF Crouzet, F Ben Bouallègue, B Mohammadi O Strauss, P. Maréchal, D Mariano-Goulart

Denis Mariano-Goulart Faculté de médecine et CHRU Montpellier d-mariano_goulart@chu-montpellier.fr

Mathématiques appliquées

& médecine nucléaire : quelques ponts