ACM

M Éc E n

C4. A

NALYSE DES CORRESPONDANCES MULTIPLES

Julie Scholler - Bureau B246

I. Problématique

• Plusieurs variables qualitatives

• Quel tableau pour coder les données ? pour l’analyse factorielle ?

• Que peut-on attendre d’une telle analyse ?

II. Données

Nos données

Résultats des votes de la chambre des représentants du congrès américain en 1984 avec l’affiliation des différents représentants Individus : 435 représentants

Variables :

• affiliation : democrat ou republican

• budget, physician, salvador, nicaraguan, missile, education : y, n, neither

II. Données

Tableau condensé

affiliation budg. physi. salva. nicara. missile educ.

1 republican n y y n n y

2 republican n y y n n y

3 democrat y neither y n n n

4 democrat y n neither n n n

5 democrat y n y n n neither

6 democrat y n y n n n

7 democrat n y y n n n

8 republican n y y n n n

II. Données

Tableau condensé

Tableau : individus x variables

I individus et J variables qualitatives

yi,j : numéro de la modalité de la variable j prise par l’individu i

1 · · · j · · · J 1...

i...

I



























y_i,j



























Pas de propriétés numériques donc pas de sens de traiter ce tableau par une analyse factorielle

II. Données

Hypertableau de contingence

• Généralisation du tableau de contingence pour deux variables qualitatives

• Nombre de cases : ^YJ

j=1

Kj avec Kj nombre de modalités de la variable j

• Croît très rapidement avec J

• Dépasse rapidement l’effectif total : beaucoup de cases à effectif nul

II. Données

Tableau disjonctif complet

Variable 1 Variable j Variable J

K₁ modalités K_j modalités K_J modalités

1 K₁ K₁+ 1 k K Marge

Individus

1 J

i 0 1 0 0 . . . x_ik 0 0 1 0 . . . J

I J

Marge I₁ I_k I_K IJ

x_ik =

(1 si l’individu i prend la modalité k 0 sinon

Tableau de I lignes et K = ^XJ

j=1

K_j colonnes

II. Données

Tableau disjonctif complet

Variable 1 Variable j Variable J

K₁ modalités K_j modalités K_J modalités

1 K₁ K₁+ 1 k K Marge

Individus

1 J

i 0 1 0 0 . . . x_ik 0 0 1 0 . . . J

I J

Marge I₁ I_k I_K IJ

Notations :

• I nombre d’individus, J nombre de variables

• K_j nombre de modalités de la j^e variable

• I_k nombre d’individus ayant la modalité k

II. Données

Tableau disjonctif complet

affi.democrat affi.repu budget.n budget.neither budget.y

1 0 1 1 0 0

2 0 1 1 0 0

3 1 0 0 0 1

4 1 0 0 0 1

5 1 0 0 0 1

6 1 0 0 0 1

7 1 0 1 0 0

8 0 1 1 0 0

II. Données

Tableau de Burt

^{Variablej Variablel}

1 k q K

1 ... ... ...

... ... ...

Variablej ... ... ...

k · · · · · · Ikk · · · · · · Iqk · · ·

... ... ...

... ... ...

Variablel ... ... ...

... ... ...

q · · · · · · Iqk · · · · · · Iqq · · ·

... ... ...

... ... ...

K ... ... ...

Récapitule les liens entre les variables 2 à 2

Moins d’informations que l’hypertableau de contingence ou le TDC

II. Données

Tableau de Burt

affi.dem affi.repu budg.n budg.neith budg.y

affi.demo 267 0 29 7 231

affi.repu 0 168 142 4 22

budget.n 29 142 171 0 0

budget.neither 7 4 0 11 0

budget.y 231 22 0 0 253

physician.n 245 2 25 3 219

physician.neither 8 3 0 6 5

physician.y 14 163 146 2 29

III. Objectifs

Objectifs

Individus

• typologie d’individus

• mise en évidence de caractéristiques qui séparent des classes d’individus

Variables

• relations entre les modalités

• relations entre variables

• variables synthétiques

IV. AFC du TDC

Rappels AFC

1 · · · j · · · J 1...

i...

I



























f_ij

























 f_1•

...

f_i• ...

f_I•

f_•1 · · · f_•j · · · f_•J 1 Distance du χ²

• entre deux profils lignes : d²(i, `) = ^XJ

j=1

1 f_•j

f_ij

f_i• − f_{`j</sub> f<sub>`•}

2

• entre deux profils colonnes : d²(j,k) = ^XI

i=1

1 f_i•

f_ij

f_•j − f_ik f_•k

!2

IV. AFC du TDC

Application au TDC

1 · · · k · · · K 1...

i...

I



























x_ik

























 J...

J...

J I₁ · · · I_k · · · I_K IJ

Poids des individus : 1

I , . . . , 1

I , . . . 1 I

Poids des modalités : I₁

IJ, . . . , I_k

IJ, . . . , I_K IJ

Distances induites

• entre deux individus : d²(i, `) = 1 J

K

X

k=1

I

I_k (x_ik −x_`k)²

• entre deux modalités : d²(j,k) = I

I

X

i=1

x_ij

I_j − x_ik I_k

!2

IV. AFC du TDC

Étude des individus

Distance entre deux individus d²(i, `) = 1

J

K

X

k=1

I

I_k (x_ik −x_`k)²

IV. AFC du TDC

Tableau condensé

affiliation budg. physi. salva. nicara. missile educ.

1 republican n y y n n y

2 republican n y y n n y

3 democrat y neither y n n n

4 democrat y n neither n n n

5 democrat y n y n n neither

6 democrat y n y n n n

7 democrat n y y n n n

8 republican n y y n n n

IV. AFC du TDC

Étude des individus

Distance entre deux individus

d²(i, `) = 1 J

K

X

k=1

I

I_k (x_ik −x_`k)² Barycentre des individus G_I

(G_I)_k = ^X

i

1 I

x_ik

J = 1 IJ

X

i

x_ik = I_k IJ

Distance au barycentre

d²(i,G_I) = 1 J

K

X

k=1

I I_k

x_ik − I_k I

2

IV. AFC du TDC

Étude des variables

Distance entre deux modalités

d²(j,k) = I

I

X

i=1

xij

I_j − x_ik I_k

!2

= I

I_kI_j ×I_k6=j

avec I_k6=j : nombre d’individus possédant une et une seule des modalités k ou j.

Barycentre des modalités G_K (G_K)_i = ^X

k

I_k IJ

x_ik

I_k = 1 IJ

X

k

x_ik = 1

I donc G_K = 1

I , . . . , 1 I

Distance au barycentre

d²(k,G_K) = ^XI

i=1

I x_ik

I_k − 1 I

2

= I I_k − 1

V. Ajustement des nuages

Ajustement des nuages

On procède comme pour les analyses factorielles déjà vues.

1. L’origine des axes est placé au barycentre/centre de gravité.

2. On cherche une suite d’axes orthogonaux maximisant l’inertie projetée.

3. On représente ces projections sur des plans associant deux axes, en premier lieu (u₁,u₂).

Propriétés déjà vues en AFC

• Les deux nuages ont la même inertie.

• Leurs ajustements sont « duaux »

• les inerties associées aux axes de même rang dans chacun des nuages sont égales ;

• les facteurs de même rang sont liés par des relations dites de transition.

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0 1 2 3 4 5

−1 0 1

Dim1 (37.1%)

Dim2 (17.6%)

Individuals − MCA

budget_n budget_neither

budget_y physician_n physician_neither

physician_y salvador_n

salvador_neither

salvador_y nicaraguan_n nicaraguan_neither

nicaraguan_y

missile_n missile_neither

missile_y

education_n education_neither

education_y

0 1 2 3 4 5

−1 0 1

Dim1 (37.1%)

Dim2 (17.6%)

Variable categories − MCA

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budget_n budget_neither

budget_y physician_n physician_neither

physician_y salvador_n

salvador_neither

salvador_y

nicaraguan_n nicaraguan_neither

nicaraguan_y missile_n

missile_neither

missile_y

education_n

education_neither

education_y

0 2 4

−1 0 1

Dim1 (37.1%)

Dim2 (17.6%)

MCA − Biplot

V. Ajustement des nuages

Relations de transition et représentations simultanées

F_s(i) = 1√ λs

K

X

k=1

x_ik

J G_s(k) et G_s(k) = 1√ λs

I

X

i=1

x_ik

I_k F_s(i) En projection sur l’axe s, l’individu i est placé (au coefficient 1/^pλs

près) au barycentre des modalités qu’il possède. Idem pour les modalités.

V. Ajustement des nuages

Inerties

Inertie d’une modalité

Inertie(k/GK) = 1 J

1− I_k I

Inertie totale

Inertie(N_K) = K J −1 Inertie de la variable j

K_j − 1 J

V. Ajustement des nuages

Inerties relatives de chaque axe

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37.1%

17.6%

9%

7.2% 6.5% 6.2%

4.4% 3.8%

2.9% 2.2%

0 10 20 30 40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dimensions Percentage of explained variances

V. Ajustement des nuages

Facteurs

F_s : ensemble des projections de tous les points du nuages N_I sur le s^e axe

Les F_s constituent de nouvelles variables quantitatives. Liens avec les variables étudiées ?

Comment mesurer le lien entre une variable quantitative et une variable qualitative ?

V. Ajustement des nuages

Carré du rapport de corrélation

Carré du rapport de corrélation : η² = inertie inter classeinertie totale 0 6 η² 6 1

• Barycentre des individus prenant la modalité k : G_{mod k}

• Poids de G_{mod k} : I_k I

• Coordonnées de G_{mod k} sur le s^e axe : F_s(G_{mod k})

η²(F_s,j) = P

k∈K˜j

I_k

I (F_s(G_{mod k}))² λs

• F_s(G_{mod k}) ?

V. Ajustement des nuages

Relations de transition et représentations simultanées

F_s(i) = 1√ λs

K

X

k=1

x_ik

J G_s(k) et G_s(k) = 1√ λs

I

X

i=1

x_ik

I_k F_s(i) En projection sur l’axe s, l’individu i est placé (au coefficient 1/^pλs

près) au barycentre des modalités qu’il possède. Idem pour les modalités.

V. Ajustement des nuages

η²(F_s,j) = P

k∈K˜_j I_k

I (F_s(G_{mod k}))² λs

= J ^X

k∈K˜j

I_k

IJG_s(k)²

= J ^X

k∈K˜_j

Inertie de la modalité k projetée sur le s^e axe

Quantité maximisée par la méthode

Inertie de N_K projeté sur le s^e axe = ^XK

k=1

I_k

IJG_s(k)²

= 1J

J

X

j=1

η²(F_s,j)

F_s : variables quantitatives les plus liées à l’ensemble des variables qualitatives étudiées

VI. Aide à l’interprétation

Aides à l’interprétation

• Valeurs propres, pourcentage d’inertie associée à un axe

• Forme des nuages, coordonnées

• Qualité de représentation

• Contributions : individus, modalités, variables

• Représentation des variables par leurs carrés des rapports de corrélation

• Éléments supplémentaires : individus particuliers, variables qualitatives (signalétique), variables quantitatives

VI. Aide à l’interprétation

Inerties relatives de chaque axe

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37.1%

17.6%

9%

7.2% 6.5% 6.2%

4.4% 3.8%

2.9% 2.2%

0 10 20 30 40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dimensions Percentage of explained variances

VI. Aide à l’interprétation

Aides à l’interprétation

• Valeurs propres, pourcentage d’inertie associée à un axe

• Forme des nuages, coordonnées

• Qualité de représentation

• Contributions : individus, modalités, variables

• Représentation des variables par leurs carrés des rapports de corrélation

• Éléments supplémentaires : individus particuliers, variables qualitatives (signalétique), variables quantitatives

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Dim2 (17.6%)

Individuals − MCA

budget_n budget_neither

budget_y physician_n physician_neither

physician_y salvador_n

salvador_neither

salvador_y nicaraguan_n nicaraguan_neither

nicaraguan_y

missile_n missile_neither

missile_y

education_n education_neither

education_y

0 1 2 3 4 5

−1 0 1

Dim1 (37.1%)

Dim2 (17.6%)

Variable categories − MCA

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−2

−1 0 1 2

−2 −1 0 1 2 3

Dim3 (9%)

Dim4 (7.2%)

Individuals − MCA

budget_n budget_neither

budget_y physician_n physician_neither

physician_y salvador_n

salvador_neither

salvador_y nicaraguan_n

nicaraguan_neither nicaraguan_y

missile_n

missile_neither

missile_y education_n

education_neither education_y

−2

−1 0 1 2

−2 −1 0 1 2 3

Dim3 (9%)

Dim4 (7.2%)

Variable categories − MCA

VI. Aide à l’interprétation

Individus extrêmes

Dimension 1

affiliation budget physician salvador nicarag. missile educ. Coord.

16 republican n y y n n y 1.14

31 republican n y y n n y 1.14

18 democrat y n n y y n -0.91

20 democrat y n n y y n -0.91

Dimension 2

affiliation budget physician salvador nicarag. missile educ. Coord.

108 republican neither neither neither neither neither neither 5.19 249 republican neither neither neither neither neither neither 5.19 184 democrat neither neither neither neither y neither 4.77

395 democrat neither neither neither n n n 3.35

394 republican neither neither n y y y 2.38

105 democrat neither neither n y y n 2.37

144 democrat n n n y y n -0.22

145 democrat n n n y y n -0.22