TP n◦7 — Un saut supersonique
(adapté de l’épreuve de physique-chimie 1, Centrale MP 2017)
* * *
DOCUMENT 1 : le saut supersonique de Felix Baumgartner Le saut de tous les records
Le 14 octobre 2012, Felix Baumgartner effectue, dans l’atmosphère terrestre, un plongeon hors-norme : les records de tous ses prédécesseurs sont battus. Baumgartner fut tout d’abord hissé jusqu’à une altitude voisine de 39 km grâce à un ballon d’hélium.
Un appareil GPS, fixé sur sa poitrine, permit de suivre précisément sa position au cours du saut.
En février 2013, les organisateurs de cette mission rendirent publiques ces données.
Confirmées par la fédération internationale des sports aériens, elles montrent que Baumgartner a établi trois records. Premièrement, il a atteint une vitesse maximale de 1357,6 km.h−1, supérieure de 11% à la vitesse du son dans l’air au niveau du sol (prise égale à 340 m.s−1). Il s’agit de la plus grande vitesse verticale jamais atteinte sans dispositif de stabilisation. Deuxièmement, Baumgartner a sauté d’une altitude record de 38,9694 km. Enfin, il est resté en chute libre sur une hauteur record de 36,4026 km.
Une affaire de trainée
Les corps qui chutent vers la surface terrestre ne le font pas sous la seule action de la pesanteur. Ils sont aussi soumis à une force dirigée dans le sens opposé à la vitesse, exercée par l’air atmosphérique. Cette force, appelée force de trainée, est proportionnelle au carré de la vitesse. Elle est donnée par la relationFD =µ×ρ×v2, oùρ la masse volumique de l’air et µ= 0,134 m2 une constante.
Quelques détails sur le saut de Baumgartner
Les données enregistrées pendant le saut montrent qu’initialement, la composante de la vitesse de Baumgartner parallèle au sol est nulle. Comme l’air est raréfié en haute altitude, la force de traînée joue peu au début du saut et l’accélération de Baumgartner s’identifie quasiment à l’intensité du champ de pesanteur. Ensuite, au fur et à mesure que la vitesse augmente et que l’altitude diminue, l’action de l’air devient de plus en plus importante et la force de trainée équilibre le poids. La vitesse terminale de Baumgartner atteint 79,4 m.s−1.
D’après J.M. Colino et al., étude dynamique d’un mémorable plongeon en chute libre, Physics Today, Avril 2014.
DOCUMENT 2 : le modèle de l’atmosphère isotherme
Sous l’effet de la pesanteur, les molécules constitutives de l’air ont tendance à tomber vers le sol. L’agitation thermique a un effet antagoniste et tend à uniformiser la distribution des molécules dans l’atmosphère. Lorsqu’on assimile l’air à un gaz parfait et que l’on considère la température et la pesanteur uniformes dans l’atmosphère, il en résulte une distribution d’équilibre, caractérisée par le champ de masse volumique suivant, qui ne dépend que de l’altitudez comptée depuis le sol :
ρ(z) =ρ0exp(− z H0
)
où ρ0 = 1,2 kg.m−3 désigne la masse volumique au niveau du sol en z = 0 et H0 = 8,0 km la hauteur caractéristique d’évolution de l’altitude.
Objectif : Le but de ce TP est de déterminer l’altitude minimalez0 à laquelle doit sauter Felix Baumgartner pour atteindre la vitessev = 340 m.s−1 du son
I Modèle sans frottement
On néglige, dans un premier temps, tous les frottements.
La masse du sauteur et de son équipement est prise égale à m= 100 kg.
Question 1: Montrer que la vitesse v du sauteur vérifie l’équation différentielle dv
dt =−g où g= 9,81 m.s−2 est l’accélération de la pesanteur.
On rappelle la formule de la dérivée d’une fonction composée dv
dt = dv dz ×dz
dt.
Question 2: Montrer que la vitesse v du sauteur suit alors l’équation différentielle dv
dz =−g
v. (1)
Question 3: Montrer alors que l’évolution de la vitesse en fonction de l’altitude est v(z) =−q2g(z0−z).
On cherche maintenant à résoudre numériquement l’équation différentielle (1).
Question 4: Mettre l’équation (1) sous la forme dv
dz =f1(v, z) et préciser l’expression de la fonction f1.
Question 5: Écrire une fonction euler(f,z0,v0,h) d’arguments
– une fonctionf;
– deux flottants z0et v0représentant les conditions initiales sur l’altitude et la vitesse ; – hle pas de calcul ;
et renvoyant la listevdes vitesses du sauteur calculées par la méthode d’euler.
Question 6 : Tracer l’évolution de la norme de la vitesse en fonction de l’altitude, pour une altitude initiale z0 = 39 km, une vitesse initialev0=−1 m.s−1 et un pas h=−1 m. Le pas est négatif, car l’altitude décroit au cours de la chute.
Question 7 : Superposer la courbe représentative de la fonction obtenue à la question 3.
Commenter
II Modèle d’atmosphère homogène
On ne néglige plus les frottements. On suppose d’abord que la masse volumique de l’air est indépendante de l’altitude. Le sauteur est soumis à une force de frottement fluideF~ d’expression
F~ =−µρ0||~v||~v.
Question 8: Montrer que la vitesse v du sauteur vérifie l’équation différentielle dv
dt =−g−µρ0
m |v|v.
Question 9: La vitesse v étant négative, montrer quev vérifie l’équation différentielle dv
dz =−g v +µρ0
m v.
La mettre sous la forme
dv
dz =f2(v, z)
Question 10 : Tracer l’évolution de la norme de la vitesse en fonction de l’altitude, pour différentes valeurs de z0 comprises entre 0 et 39 km. On utilisera la fonction euler, avec une vitesse initialev0 =−1 m.s−1 et un pash=−1 m.
Commenter l’allure des courbes. Quelle est la vitesse limite ? Le sauteur atteint-il la vitesse du son ?
III Modèle d’atmosphère isotherme
On suppose maintenant que la masse volumique de l’atmosphère dépend de l’altiude, comme décrit dans le document 2.
Le sauteur est désormais soumis à une force de frottement fluide F~ d’expression F~ =−µρ0exp
− z H0
||~v||~v
Question 11 : Montrer quev vérifie l’équation différentielle dv
dz =−g v +µρ0
m exp
− z H0
v, puis la mettre sous la forme
dv
dz =f3(v, z)
Question 12 : Tracer l’évolution de la norme de la vitesse en fonction de l’altitude, pour différentes valeurs de z0 comprises entre 0 et 39 km. On utilisera la fonction euler, avec une vitesse initialev0 =−1 m.s−1 et un pash=−1 m.
Commenter l’allure des courbes.
Le sauteur atteint-il la vitesse du son ?
Quelle est la vitesse finale ? Comparer à la valeur annoncée dans le texte.
IV Recherche de l’altitude minimale du saut permettant de dépasser la vitesse du son
On cherche à déterminer, dans ce paragraphe, l’altitude minimale à laquelle le sauteur doit s’élancer pour dépasser la vitesse du son.
Cette recherche se fera par dichotomie.
Question 13 : Écrire une fonction VitesseMax(z0) renvoyant la vitesse maximale atteinte pour un saut débutant à l’altitudez0.
Question 14 : Écrire une fonction dichotomie(f,za,zb,precision) renvoie une solution à l’équation f(z) = 0, dans l’intervalle [za, zb], à la précision precision.
Question 15 : Rechercher l’altitude minimale permettant de dépasser la vitesse du son.
V (Facultatif) Durée du saut
On cherche ici à déterminer le temps de chute (sans prendre en compte la phase où le parachute est ouvert). On cherche alors à déterminer l’altitudezen fonction du temps, vérifiant l’équation différentielle du second ordre
d2z
dt2 =−g+µρ0
m exp
− z H0
dz dt
2
Question 16 : Écrire une fonction euler2(f,v0,z0,h) (mêmes arguments que euler) renvoyant la liste des altitudes z vérifiant une équation différentielle du second ordre de la forme
d2z dt2 =f4
dz dt, z, t
Question 17 : En utilisant un pas h = 1 s, utiliser la fonction ci-dessus pour déterminer le temps de chute.
On définira pour cela la fonction f4(v,z,t)à passer en argument de la fonction euler2.
