Agrégation interne de Mathématiques

Agrégation interne de Mathématiques

(et CAERPA)

Session 2001

Deuxième épreuve écrite

Soit Ω un intervalle ouvert non vide de R. K d´esigne R ou C.

Etant donn´ee une fonction´ f : Ω →Kde classe C^∞ on note z(f) =ⁿx ∈Ω | ∀n ∈N f⁽ⁿ⁾(x) = 0^o

L’objet du probl`eme est l’´etude de quelques conditions suffisantes sur f pour que l’implication suivante soit vraie :

z(f)6=∅ =⇒ f = 0

Dans le cas o`u Ω =Ron appelle support def l’adh´erence du compl´ementaire de z(f) dans R, c’est-`a-dire l’ensembleR\z(f).

La partie II´etudie le cas des fonctions analytiques d’une variable r´eelle et les parties III etIV ´etendent ce r´esultat `a des fonctions plus g´en´erales (classes quasi-analytiques).

La premi`ere partie est l’´etude de quelques propri´et´es de suites r´eelles logarithmique- ment convexes utiles pour la suite du probl`eme.

Les r´esultats d’une question non d´emontr´ee peuvent ˆetre utilis´es dans les questions ult´erieures.

Partie I

On note E l’ensemble de toutes les suites r´eellesA= (An)_n∈N qui v´erifient

∀n ∈N: A_n >1, A₀ = 1, ∀n∈N^∗ : (An)^{2 6}A_n+1A_n−1

1. Trouver toutes les suites constantes contenues dans E.

V´erifier que la suite de terme g´en´eral An =n! est ´el´ement de E.

2. SoitA∈E. On d´efinit les suites (λn)_n∈Net (µn)_n∈Nparλ₀ =µ₀ = 1 puisλ_n = A_n−1

An

et µ_n = 1

(An)^1/n pour tout entier n>1.

(a) Montrer que la suite (λn)_n>0 est d´ecroissante.

En d´eduire que pour tout entiern >0 on a (λn)ⁿ⁶λ1λ2. . . λn. (b) Montrer que la suite (µn)_n>0 est d´ecroissante.

(c) Montrer que ∀n ∈N ∀j ∈[0, n]∩N : A_n+1 An+1−j

> A_n An−j

· En d´eduire alors que ∀n ∈N ∀j ∈[0, n]∩N : A_jA_n−j 6A_n.

(d) ´Etablir, pour tout entier n ^>0, l’in´egalit´eλn 6µn. En d´eduire que si la s´erie de terme g´en´eral (µn) est convergente, alors la s´erie de terme g´en´eral (λn) est convergente.

3. On donne deux suites r´eelles `a termes tous strictement positifs not´ees (an) et (cn) avec n >0.

On suppose de plus que la s´erie ^P

n>1an est convergente.

(a) On pose un= (a1a2. . . an)^1/n et bn = (c1c2. . . cn)^−1/n pour tout n ∈N^∗. Montrer que un6 bn

n

Pn k=1

akck.

Indication : on pourra utiliser l’in´egalit´e entre les moyennes arithm´etique et g´eom´etrique

(α1α₂. . . α_n)^{1/n 6} 1

n (α1+α₂ +. . .+α_n) valable si α1, α2, . . . , αn sont des r´eels strictement positifs.

(b) On suppose de plus que la s´erie ^P

k>1

bk

k est convergente et on note Bk =^+P∞

p=k

bp

p· Montrer que ^Pn

p=1u_p ^{6 Pn}

k=1

B_kc_ka_k. (c) On choisit maintenantcn= (n+ 1)ⁿ

nⁿ⁻¹ ·

En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral un est convergente et que

+∞

P

k=1

u_k 6e ^+∞P

k=1

a_k.

4. On reprend les notations de la question 2. ´Etablir, en utilisant ce qui pr´ec`ede, que si la s´erie de terme g´en´eral (λn) est convergente, alors la s´erie de terme g´en´eral (µn) est convergente.

Partie II

Fonctions analytiques d’une variable r´eelle.

Soit Ω un intervalle ouvert non vide de R et f une fonction d´efinie dans Ω `a valeurs r´eelles ou complexes (f : Ω →K).

On dira que f est analytique dans Ω si et seulement si f est d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de chaque point de Ω. Cela signifie, que pour toutx₀ ∈Ω, il existe un r´eel strictement positif r₀, d´ependant dex₀ et v´erifiant ]x0−r₀, x₀+r₀[⊂Ω, ainsi qu’une suite de nombres r´eels ou complexes not´ee (an), d´ependant aussi de x0 et telle que

∀x∈]x0−r0, x0+r0[ : f(x) =

+∞

X

n=0

an(x−x0)ⁿ

On admettra sans d´emonstration que toute fonction analytique dans Ω est de classe C^∞ dans Ω.

1. Soitf une fonction analytique dans Ω.

(a) Montrer que z(f) est une partie ouverte.

(La d´efinition de z(f) est donn´ee dans le pr´eambule) (b) Montrer que z(f) est une partie ferm´ee dans Ω.

(c) On suppose que z(f)6=∅. Montrer alors quef est nulle dans Ω.

2. Soitf ∈C^∞(Ω,C).

On suppose qu’il existe deux constantes M >0 etK >0 telles que

∀x∈Ω, ∀n ∈N : f⁽ⁿ⁾(x)⁶M Kⁿn!

Montrer, en utilisant une formule de Taylor, quef est analytique dans Ω.

Partie III

Classes quasi-analytiques.

Soit A∈E de terme g´en´eralA_n, donn´ee dans toute la suite du probl`eme.

On note C(A) l’ensemble de toutes les fonctions f de classe C^∞ de R dans K telles qu’il existe deux constantes positives α et β pour lesquelles

∀x∈R, ∀n ∈N : f⁽ⁿ⁾(x)⁶αβⁿAn

Les constantes α etβ d´ependent de f.

On dira que C(A) est une classe quasi-analytique si de plus on a

∀f ∈C(A) : z(f)6=∅ =⇒ f = 0

1. On suppose, dans cette question seulement, que A_n = n! ; v´erifier alors que C(A) est une classe quasi-analytique.

2. Soientf et g deux ´el´ements de C(A) ; montrer en utilisant les r´esultats de la partie Ique f +g et f g sont aussi des ´el´ements de C(A).

3. Soitf ∈C(A). On donne deux constantes r´eelles quelconquesa etb.

Soit la fonction g d´efinie par la formule g(x) =f(ax+b) pour x∈R. Montrer que g ∈C(A).

4. On suppose dans cette question queC(A) est une classe quasi-analytique. Montrer que toute fonction `a support compact qui est ´el´ement de C(A) est n´ecessairement nulle.

5. On suppose maintenant que C(A)n’est pas une classe quasi-analytique.

(a) Montrer qu’il existef ∈C(A) eta ∈R, a6= 0 tels que f(a)6= 0 et ∀n∈N :f⁽ⁿ⁾(0) = 0

(b) Montrer que dans le r´esultat pr´ec´edent on peut choisirf tel que a >0.

(c) `A partir de la fonction f trouv´ee ci-dessus et choisie avec a > 0 on construit successivement les deux fonctions g et h d´efinies surR par les formules

g(x) =

f(x) si x^>0

0 six <0 h(x) = g(x)g(2a−x) Montrer que h∈C(A).

Que peut-on dire du support de h?

6. `A l’aide de ce qui pr´ec`ede, ´enoncer une condition n´ecessaire et suffisante simple pour que C(A)ne soit pas une classe quasi-analytique.

Partie IV

Th´eor`eme de Denjoy-Carleman.

Dans toute cette partieA∈E est donn´ee. On suppose de plus que lim

n→+∞

An+1

An

= +∞.

Les suites (λn) et (µn) sont toujours d´efinies par λ0 = µ0 = 1 puis λn = An−1

A_n et µn= 1

(An)^1/n pour n ∈N^∗.

On consid`ere la fonction Q de la variable r´eelle x d´efinie parQ(x) =^+P∞

n=0

xⁿ An

·

1. Montrer que cette s´erie enti`ere admet un rayon de convergence infini.

2. Pour tout x∈R₊ on pose q(x) = sup

xⁿ

A_n, n ∈N

.

Montrer que q est une fonction d´efinie et monotone croissante sur [0,+∞[.

Montrer de plus que ∀x∈]0,+∞[ : 1⁶q(x)⁶Q(x).

3. Montrer que

i) ∀(x, y)∈R², ∀n∈N : 0⁶x < y =⇒ yⁿ An

− xⁿ An

6(y−x)Q^′(y) ii) ∀(x, y)∈R² : 0⁶x < y =⇒ 0⁶q(y)−q(x)⁶(y−x)Q^′(y) et en d´eduire que la fonction q est continue dans R₊.

La fonction Q^′ repr´esente la d´eriv´ee de Q.

Dans toute la suite du probl`eme on consid`ere les cinq propositions suivantes :

(1) :

Z ₊∞ 0

lnQ(x)

1 +x² dx est une int´egrale convergente (2) :

Z ₊∞ 0

lnq(x)

1 +x² dx est une int´egrale convergente (3) : La s´erie ^P

n^>1

µ_n est convergente (4) : La s´erie ^P

n>1λn est convergente

(5) : C(A) n’est pas une classe quasi-analytique 4. Montrer que : (1) =⇒ (2).

5. On suppose que la propri´et´e (2) ci-dessus est vraie.

Montrer que ∀n∈N^∗ : x^> e µn

=⇒ lnq(x)^>n.

En remarquant que

Z ₊∞ e/µ1

lnq(x) x² dx=

N

X

n=1

Z _e/µn+1

e/µⁿ

lnq(x) x² dx+

Z ₊∞ e/µN+1

lnq(x) x² dx montrer que

N

X

k=1

µk 6e

Z +∞ e/µ1

lnq(x) x² dx En d´eduire que la propri´et´e (3) est vraie.

6. Que sait-on de l’implication (3) =⇒ (4) ?

7. Dans cette question on se propose de montrer que : (4) =⇒ (5).

On suppose que la proposition (4) est vraie.

(a) Exhiber un exemple de fonction d´efinie dans R, continue, positive, non nulle,

`a support compact inclus dans [−1,+1]. Cette fonction sera not´ee g₀.

(b) La fonction g0 ´etant celle de la question pr´ec´edente on d´efinit par r´ecurrence la suite de fonctionsgn par

∀n ∈N^∗ ∀x∈R: gn(x) = 1 2λn

Z x+λn

x−λⁿ gn−1(t) dt = 1 2λn

Z +λn

−λⁿ gn−1(t+x) dt Montrer que pour tout entier n∈N^∗

• gn est de classe Cⁿ dans R

• gn est `a support inclus dans [−αn, αn] o`u αn = ^Pn

i=0λi. (c) On notera α=^+∞P

i=0

λ_i.

i. Montrer que pour tout entiern ∈N^∗ on a

Z αn

−αⁿgn(x) dx= 1 2λn

Z +λn

−λⁿ

Z _αn+t

−αⁿ+tgn−1(u) du

dt=

Z αn−1

−αⁿ−1

gn−1(x) dx ii. En d´eduire que pour tout entier n ∈N^∗ on a

Z _α

−αgn(x) dx=

Z _α

−αg0(x) dx=

Z ₊₁

−1 g0(x) dx

(d) Dans toute la suite on notera N∞ la norme de la convergence uniforme sur l’espace vectoriel des fonctions born´ees d´efinies sur R; c’est-`a-dire que N∞(f) = sup

x∈R

|f(x)|.

On notera N∞(g0) =M. Montrer par r´ecurrence que :

∀n ∈N : N∞(gn)⁶M A0 , ∀n ∈N^∗ : N∞(g_n^′)⁶M A1

(e) Montrer que pour toutn ∈Net n^>2 on a N∞(gn−gn−1)⁶M A1λn.

En d´eduire que la suite de fonctions (gn) converge uniform´ement sur R vers une fonction g `a support compact.

(f) ´Etude des propri´et´es de g.

i. Montrer que g n’est pas nulle.

ii. Montrer que pour tout entierk ∈N on a N∞(g^(k)_k )⁶M Ak. iii. En d´eduire que

∀(n, k)∈N^∗×N, k ⁶n: N∞(g_n^(k))⁶M Ak

On pourra faire une r´ecurrence sur n.

iv. Montrer que pour chaquek ∈N^∗la suiteg^(k)_n

n∈N∗converge uniform´ement sur R.

On pourra s’inspirer des m´ethodes des questions pr´ec´edentes.

En d´eduire alors queg est C^∞ dans R. v. Montrer enfin queg ∈C(A).

(g) Conclure.

Remarque : On peut d´emontrer (mais cela d´epasse le cadre de ce probl`eme) que (5) =⇒ (1) ; l’´equivalence des 5 propri´et´es ´enonc´ees ci-dessus constitue le th´eor`eme de Denjoy-Carleman.