[ Corrigé Bac Blanc STMG Lycée Bellevue \ avril 2016

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EXERCICE1 5 points

Partie A : premier modèle

1. À l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine deyenx, obtenue par la méthode des moindres carrés est :y=0,42x+60,56(les coefficients étant arrondis au centième).

2. On décide d’ajuster ce nuage de points par la droiteDd’équationy=0,4x+60,6. Sur la base de ce modèle, donnons une estimation du nombre d’habitants en France en 2050. En 2050 le rang est 50. En remplaçantxpar 50 dans l’équation de la droite, nous obtenonsy=0,4×50+60,6=80,6.

Sur la base de ce modèle, le nombre d’habitants en France en 2050 serait d’environ 80,6 millions.

Partie B : deuxième modèle

1. Calculons le taux d’évolution global du nombre d’habitants de la population française, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,001 %, entre les années 2000 et 2010.

Le taux d’évolutionT est défini parT=valeur finale−valeur initiale

valeur initiale T=64,6−60,5

60,5 ≈0,067769.

Le taux d’évolution global du nombre d’habitants de la population française entre les années 2000 et 2010 est d’environ 6,777 %.

2. En appelanttmle taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi (1+tm)¹⁰puisque le nombre d’habitants a subi 10 évolutions durant cette période.

(1+tm)¹⁰=1,06777 par conséquenttm=1,06777¹⁰¹ −1≈0,006579.

Le taux d’évolution annuel moyen sur cette même période est d’environ 0,658 %.

3. Dans la suite de l’exercice, on suppose qu’à partir de 2010, le nombre d’habitants augmente de 0,66 % par an.

Cette évolution conduit à estimer le nombre d’habitants, exprimé en millions, au cours de l’année 2010+n

(ndésignant un entier naturel), à partir de la valeur dun-ième terme d’une suite géométrique (un).

a. Une augmentation au tauxtcorrespond un coefficient multiplicateur de 1+t. Ici le taux est 1,006 6. Chaque année le nombre d’habitants est le nombre d’habitants de l’année précé- dente multiplié par le même nombre 1,006 6. On aun+1=1,0066un .

La raison de la suite est 1,006 6. Le premier terme de la suite (un) est le nombre d’habitants, exprimé en millions, en 2010 c’est-à-direu0=64,6.

b. Le terme général d’une suite géométrique de premier termeu0et de raisonqest un=u0×(q)ⁿ doncun=64,6×(1,0066)ⁿ.

c. Montrons que, selon ce modèle, il y aura environ 84 millions d’habitants en France en 2050.

Pour ce faire, calculonsu40.u40=64,6×(1,0066)⁴⁰≈84,044.

Selon ce modèle, il y aurait environ 84 millions d’habitants en France en 2050.

EXERCICE2 6 points Une entreprise, qui fabrique et vend des ordinateurs sur commande, modélise le bénéfice en euros pourxordinateurs fabriqués et vendus en une journée, par la fonction :

f(x)=x³−60x²+900x−500.

L’entreprise ne pouvant construire plus de 30 ordinateurs par jour, on aura 06x630.

1. a. Calculons le bénéfice pour 4 puis pour 10 ordinateurs.

f(4)=4³−60×4²+900×4−500=2204, f(10)=3500.

Le bénéfice pour 4 ordinateurs est de 2 204 euros et pour 10 ordinateurs de 3 500 euros.

b. Calculonsf^′(x), oùf^′désigne la fonction dérivée def.

f^′(x)=3x²−60(2x)+900=3x²−120x+900=3(x²−40x+300).

c. Avant d’étudier le signe def^′(x), essayons de factoriser cette expression.

∆=40²−4×300=400 ∆>0 le trinôme admet deux racines : x1=−b−p

b²−4ac

2a x2=−b+p

b²−4ac

2a .

x1=40−p 400

2 =10 x2=40+20 2 =30.

par conséquentf^′(x)=3(x−10)(x−30).

Étudions le signe def^′(x)

x 0 10 30

x−10 − 0 +

x−30 − − 0

f^′(x) + 0 − 0

Si pour toutx∈I,f^′(x)<0 alors la fonctionf est strictement décroissante surI

Sur ]10 ; 30], f^′(x)<0 par conséquent la fonction f est strictement décroissante sur cet intervalle.

Si pour toutx∈I,f^′(x)>0 alorsf est strictement croissante surI.

Sur [0 ; 10[,f^′(x)>0 par conséquent la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle.

Dressons maintenant, le tableau de variation def.

x 0 10 30

f^′(x) + 0 −

Variation

def

−500 −500

3500

d. Pour avoir un bénéfice maximal, l’entreprise doit fabriquer et vendre chaque jour 10 ordina- teurs. Le bénéfice s’élèvera alors à 3 500 euros.

2. La courbeC donnée ci-dessous représente l’évolution du bénéfice en fonction du nombre d’or- dinateurs fabriqués et vendus en une journée suivant le modèle choisi par l’entreprise.

2

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

−500

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

ordinateurs fabriqués

O

a. Par lecture graphique, déterminons combien d’ordinateurs l’entreprise doit fabriquer et vendre en une journée si elle veut un bénéfice d’au moins 2 500(.

Les solutions devant être entières, l’entreprise doit fabriquer et vendre entre 5 et 16 ordina- teurs par jour.

b. Une grande surface veut acheter des ordinateurs. Elle propose au choix deux contrats à cette entreprise :

• contrat A : acheter 300 ordinateurs à fabriquer en dix jours ;

• contrat B : acheter 100 ordinateurs à fabriquer en cinq jours.

L’entreprise a intérêt à choisir le contrat B. En effet si elle choisit le contrat A, cela l’obligera à fabriquer trente ordinateurs par jour et perdra par jour 500 euros, tandis qu’avec, le contrat B, elle fabriquera 20 ordinateurs par jour et ainsi elle gagnera 1 500 euros par jour.

EXERCICE3 4 points

1.

A1

0,7

0,95 C

0,05 C

A2

0,15 0,8 C

0,2 C

A3

0,15 0,96 C

0,04 C 2. Justifions quep(A2)=0,15.

Nous savons quep(A1)+p(A2)+p(A3)=1, en outrep(A2)=p(A3). Par conséquent 0,7+2p(A2)=1 d’oùp(A2)=0,15.

3. La probabilité que la tomate prélevée ait le bon calibre et provienne du troisième producteur est notée

p(C∩A3). Orp(C∩A3)=p(A₃)×pA3(C)=0,15×0,96=0,144.

4. Montrons que la probabilité que la tomate prélevée ait le bon calibre est égale à 0,929.

p(C)=p(A1∩C)+p(A2∩C)+p(A3∩C)=p(A1)×pA1(C)+p(A2)×pA2(C)+p(A3)×pA3(C) p(C)=0,7×0,95+0,15×0,8+0,15×0,96=0,665+0,12+0,144=0,929

5. La tomate prélevée est hors calibre. Le contrôleur affirme : « Cette tomate provient très probable- ment du deuxième producteur ».

Calculonsp_C(A2)=p(A2∩C)

p(C) =0,15×0,2

1−0,929 ≈0,4225.

Pour comparer calculonsp_C(A1)=p(A1∩C)

p(C) =0,7×0,05

1−0,929 ≈0,4930.

Par conséquent le contrôleur a tort, elle provient plus probablement du premier producteur.

4

1. La suite (Un) est géométrique de premier termeU0=10 et de raisonq=3, alors :

a. U4=22 b. U4=810 c. U4=10×3³ d. U4=10+3×4

2. La suite (Vn) est arithmétique de premier termeV0=0 et de raisonr=5 alors la somme V0+V1+ · · · +V10est égale à :

a. 0 b. 50 c. 250 d. 275

Une ville a décidé d’augmenter de 10 % ses logements sociaux chaque année. En 2012 elle avait 150 lo- gements sociaux. Pour tout entiern, on notean le nombre de logements sociaux dans cette ville en (2012+n). On a donca0=150.

3. On aura alors :

a. a1=135 b. a3=180 c. a3=195 d. an=150×1,10ⁿ .

4. L’instruction manquante est :

a. a+10×i b. a×0,1 c. a×1,1 d. 10×i

5. La ville souhaite au moins doubler le nombre de ses logements sociaux. Cet objectif sera dépassé en :

a. 2015 b. 2017 c. 2020 d. 2022

remarque : Il est bien entendu que l’objectif sera aussi dépassé en 2022 mais pas pour la première fois.