Le formuLairempsi, mp

j’intègre

mathématiques

physique

chimie

sciences de l’ingénieur

informatique

www.dunod.com 6493233

isBn 978-2-10-051941-5

lionel porcheron ingenieur de l’enseeiht à toulouse.

• Toutes les formules et définitions du pro- gramme de mpsi et mp en mathématiques, physique et chimie.

• pour chaque formule : la signification des termes, les unités, les limites d’usage.

• de très nombreux schémas, des exemples et des conseils.

• un index fourni pour trouver rapidement l’information recherchée.

L’outil indispensable pour réviser !

Le formuLaire mpsi, mp

lionel porcheron

4

édition Lionel Porcheron

4

édition

Le formuLaire mpsi, mp

1 500 formules

de mathématiques, physique et chimie

Le formu Laire mpsi, pm

Porcheron 13x18.indd 1 4/08/08 14:56:59

LE FORMULAIRE MPSI, MP

9782100519415_lim_P01-04 Page I Mardi, 5. août 2008 3:14 15

9782100519415_lim_P01-04 Page II Mardi, 5. août 2008 3:14 15

LE FORMULAIRE MPSI, MP

1 500 formules de mathématiques, physique et chimie

4 ^e édition Lionel Porcheron

Ingénieur de l’ENSEEIHT à Toulouse

9782100519415_lim_P01-04 Page III Mardi, 5. août 2008 3:14 15

© Dunod, Paris, 2000, 2003, 2004, 2008

9782100519415_lim_P01-04 Page IV Mardi, 5. août 2008 3:14 15

ISBN 978-2-10-053787-7

Table des matières

Avant-propos IX

Chapitre 1 : Mathématiques 1

1. Algèbre 1

1.1 Relations 1

1.2 Structures algébriques 2

1.3 Nombres entiers, nombres rationnels 5

1.4 Arithmétique dansZ ₇

1.5 Polynômes et fractions rationnelles 8

1.6 Généralités sur les applications 11

1.7 Applications linéaires – Espaces vectoriels 12 1.8 Matrices – Déterminants – Systèmes linéaires 17

1.9 Espaces vectoriels euclidiens 22

1.10 Réduction des endomorphismes 26

2. Analyse 27

2.1 Espaces vectoriels normés 27

2.2 Nombres réels 31

2.3 Nombres complexes 32

2.4 Suites 34

2.5 Fonctions réelles de la variable réelle 35

2.6 Dérivation 38

2.7 Intégration 41

2.8 Équations différentielles 44

2.9 Séries 47

2.10 Séries entières 51

2.11 Suites et séries d’applications 52

cDunod.Laphotocopienonautoriséeestundélit.

Chapitre 0 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51 Page VI

VI Table des matières

2.12 Séries de Fourier 57

2.13 Fonctions de plusieurs variables 58

3. Géométrie 59

3.1 Courbes du plan 59

3.2 Propriétés métriques des courbes 64

Chapitre 2 : Physique 65

0. Éléments de mathématiques 65

0.1 Différentielles 65

0.2 Équations différentielles 66

0.3 Coniques 68

1. Électronique 69

1.1 Lois générales 69

1.2 Régime variable 70

1.3 Montages avec amplificateur opérationnel 73

2. Thermodynamique 76

2.1 Gaz parfait 76

2.2 Premier et second principes de la thermodynamique 77

2.3 Changements de phase d’un corps pur 81

2.4 Machines thermiques 83

2.5 Diffusion thermique 85

2.6 Rayonnement thermique 86

3. Mécanique du point 88

3.1 Cinématique 88

3.2 Changement de référentiel 90

3.3 Lois générales de la mécanique 91

3.4 Oscillateurs 95

3.5 Mouvement d’une particule chargée 98

3.6 Systèmes de deux points matériels 99

4. Mécanique du solide 101

4.1 Cinématique du solide 101

4.2 Théorèmes généraux de la dynamique 103

4.3 Contacts entre les solides 104

5. Optique 105

5.1 Généralités 105

5.2 Optique géométrique 106

5.3 Interférences lumineuses 109

5.4 Interféromètre de Michelson 112

5.5 Autres dispositifs d’interférences 115

5.6 Diffraction des ondes lumineuses 116

6. Électromagnétisme 118

6.1 Électrostatique 118

6.2 Magnétostatique 121

6.3 Équations de Maxwell dans le vide 123

6.4 Conduction métallique 125

6.5 Induction dans un circuit fixe avecBBBvariable 126 6.6 Induction dans un circuit mobile soumis à BBB stationnaire 128

6.7 Matériaux magnétiques 129

7. Ondes 131

7.1 Oscillateurs couplés 131

7.2 Équation de d’Alembert - Ondes stationnaires 132

7.3 Ondes électromagnétiques dans le vide 134

7.4 Dispersion – Absorption 137

7.5 Ondes électromagnétiques dans les milieux matériels 138

Chapitre 3 : Chimie 141

1. Atomistique 141

1.1 Spectroscopie 141

1.2 Modèle ondulatoire 142

1.3 Atome polyélectronique 143

1.4 Architecture moléculaire 145

1.5 Orbitales moléculaires 147

2. Cinétique 148

3. Cristallographie 150

3.1 Généralités 150

3.2 Mailles et sites dans les cristaux métalliques 150

3.3 Cristaux ioniques 152

4. Thermodynamique 153

4.1 Fonctions d’état 153

4.2 Potentiel chimique 154

4.3 Grandeurs standards de réaction 155

4.4 Équilibres chimiques 157

4.5 Équilibres liquide–vapeur 160

4.6 Réactions d’oxydoréduction 163

5. Matériaux métalliques 165

5.1 Diagrammes d’Ellingham 165

5.2 Diagrammes potentiel-pH 166

5.3 Courbes intensité–potentiel 168

5.4 Corrosion 170

Annexe A : Primitives usuelles 173

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Chapitre 0 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51 Page VIII

VIII Table des matières

Annexe B : Développements limités 175 Annexe C : Formules trigonométriques 177

1. Angles remarquables 177

2. Relations trigonométriques 178

Annexe D : Opérateurs vectoriels 181

1. Notations 181

2. Gradient 182

3. Divergence 183

4. Rotationnel 183

5. Laplacien 184

6. Relations entre les opérateurs 185

7. Théorèmes géométriques 186

Annexe E : Unités et constantes fondamentales 187

1. Unités du Système International 187

1.1 Unités principales du système international 187 1.2 Unités secondaires du système international 188 1.3 Unités courantes du système international 188

1.4 Multiples décimaux pour les unités 188

2. Constantes fondamentales 189

3. Ordres de grandeurs 189

Annexe F : Constantes chimiques 191

Annexe G : Tableau périodique 193

Index 197

Avant-propos

La quatrième édition de ce formulaire rassemble les principaux résultats des cours de mathématiques, de physique et de chimie établis tout au long des deux années de classes préparatoires dans la filière MP. Cette nouvelle édi- tion, s’améliore encore un peu avec l’apparition de la couleur. Ce formulaire s’avérera fort utile aussi bien pendant votre « prépa » que lorsque la période fatidique des concours approchera.

Il a été scindé en trois parties : les parties relatives aux mathématiques, à la physique et à la chimie, chacune d’entre elles rassemblant les principaux résultats établis en cours pour chacune des filières auxquelles s’adresse cet ouvrage. À la fin de l’ouvrage, figurent en annexes les données qui ne sont pas nécessairement à connaître, mais qui sont néanmoins fort utiles au quo- tidien.

Un effort tout particulier a été fait pour rendre ces formules les plus « li- sibles » possible en détaillant la signification de chaque symbole et en pré- cisant bien à chaque fois les conditions d’application de ces formules. Sou- lignons tout de même que l’apprentissage de ces formules ne se substitue pas à l’apprentissage du cours...

Merci à tous ceux qui ont accepté de collaborer à cet ouvrage et en particu- lier à Pascal OLIVEet Jean-Marie MONIER pour leur consciencieuse relec- ture respective des parties physique et mathématiques, à Bruno COURTET

pour avoir parfaitement assuré le suivi de ce nouveau venu dans la collec- tion « J’intègre ».

Lionel PORCHERON

[email protected]

cDunod.Laphotocopienonautoriséeestundélit.

Chapitre 0 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51 Page X

Chapitre 1

Mathématiques

1. Algèbre

1.1 Relations

Propriétés d’une relation binaire SoitRune relation binaire dansE; elle est dite : réflexivesi et seulement si∀x∈E,xRx

symétriquesi et seulement si∀(x,y)∈E²,xRy=⇒yRx antisymétriquesi et seulement si∀(x,y)∈E²,

xRy

yRx =⇒x=y transitivesi et seulement si∀(x,y,z)∈E³,

xRy

yRz =⇒xRz Relation d’ordre

Une relation binaireRdeEest diterelation d’ordresi et seulement si Rest réflexive, antisymétrique et transitive.

Relation d’équivalence

Une relation binaireRdeEest unerelation d’équivalencesi et seule- ment siRest réflexive, symétrique et transitive.

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Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51 Page 2

2 [1] Mathématiques

Classe d’équivalence

SoitRune relation d’équivalence dansE; pourx∈E, on appelleclasse d’équivalencedex(moduloR) l’ensemble défini par :

cl_R(x) ={y∈^E,xRy} Ensemble-quotient

On appelleensemble-quotientdeEparR, et on noteE/R, l’ensemble des classes d’équivalence moduloR:

E/R={cl_R,x∈E}

1.2 Structures algébriques

Lois de compositions

On appelle loi interne toute application deE×E→E.

Un loi∗est dite associative si et seulement si :

∀(x,y,z)∈E³,x∗(y∗z) = (x∗y)∗z Une loi∗interne est dite commutative si et seulement si :

∀(x,y)∈E²,x∗y=y∗x

On dit queeest un élément neutre pour∗si et seulement si :

∀x∈E,x∗e=e∗x=x

On appelle symétrique dex∈Eun élement deEnotéx⁻¹vérifiant : x⁻¹∗x=x∗x⁻¹=e

On dit querHEest stable par∗si et seulement si :

∀(x,y)∈H²,x∗y∈H Groupe

Un ensemble muni d’une loi interne(G,·) est ungroupesi et seule- ment si :

–·est associative ;

–·admet un élément neutre :e;

– tout élément deGadmet un symétrique pour la loi·.

Si la loi·est commutative, on dit que le groupeGest abélien ou com- mutatif.

Sous-groupe

Soit(G,·)un groupe. Une partieHdeGest unsous groupedeGsi et seulement si :

–Hest stable par la loi·; –Hcontient l’élément neutre ; –∀x∈H,x⁻¹∈H.

Groupe commutatif –(Z/_nZ^,+)est un groupe commutatif.

– l’applicationpn: Z→(Z/_nZ) x7→x modn

, appelée surjection canonique, est un morphisme surjectif de groupes.

Générateurs du groupe

Les générateurs du groupe(Z/_nZ^,+)sont les ˆk, aveck∈Zetk∧n= 1.

Groupe monogène – Groupe cyclique

– Un groupeGest ditmonogènesi et seulement s’il admet un généra- teur, c’est-à-dire si et seulement s’il existea∈Gtel queG=<a>

– Un groupeGest ditcycliquesi et seulement siGest monogène et fini.

Anneau

Un ensembleAmuni de deux lois internes notées+et·est unanneau si et seulement si :

–(A,+)est un groupe commutatif, d’élément neutre 0_A; –·est associative et admet un élément neutre 1_A; –·est distributive par rapport à+, c’est-à-dire :

∀(x,y,z)∈A³,x·(y+z) = (x·y) + (x·z); (x+y)·z= (x·z) + (y·z). Si·est commutative, on dit que l’anneauAestcommutatif.

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4 [1] Mathématiques

Anneau intègre

On dit qu’un anneau(A,+,·)estintègresi et seulement siAest com- mutatif et :

∀(x,y)∈A²,(x·y=0_A)⇒(x=0_Aouy=0_A)

Sous-anneau

Soit(A,+,·)un anneau ;Bune partie deAest unsous-anneausi et seulement si :

–(B,+)est un sous groupe de(A,+); –Best stable par·;

– 1_A∈^B.

Idéal d’un anneau commutatif

Iest dit unidéaldeA, anneau commutatif avecI⊂Asi et seulement s’il vérifie les propriétés :



 I6=∅

∀(x,y)∈I²,x+y∈I

∀a∈A,∀x∈I, ax∈I

Corps

Un ensemble(K,+·)muni de deux lois internes est uncorpssi et seule- ment si :

–(K,+,·)est un anneau commutatif ;

– Tout élément deK\{0_K}est inversible par la loi·.

Espace vectoriel

Un ensemble Eest dit unK-espace vectoriel, si Eest non vide et si on dispose de deux lois, une loi interne notée+, et d’une loi externe (K×E→E) vérifiant :

(E,+)est un groupe abélien

1.∀(λ,µ)∈K²,∀x∈E,(λ+µ)x=λx+µx 2.∀^λ∈K,∀(x,y)∈E²,λ(x+y) =λx+λy 3.∀(λ,µ)∈K²,∀x∈E,λ(µx) = (λµ)x 4.∀x∈E, 1x=x

Algèbre

On appelleK-algèbre tout ensembleAmuni d’une loi interne notée+, d’une loi externeK×A→Aet d’une loi interne notée∗vérifiant : 1.(A,+,·)est unK-espace vectoriel

2.∗est distributive par rapport à+

3.∀^λ∈K,∀(x,y)∈A²,λ(x∗y) = (λx)∗y=x∗(λy)

Cette algèbre est associative si et seulement si∗est associative, com- mutiative si et seulement si∗est commutative, unitaire si et seulement siAadmet un élement neutre pour∗^.

1.3 Nombres entiers, nombres rationnels Factorielle – Définition n!=

∏

k=1

k n! : factoriellen Par convention : 0!=1 Permutations

cardS(n) =n! n! : factorielle n, nombre de per- mutations d’un ensemble àn élé- ments

Arrangements

A_n^p= ^n!

(n−p)!

(n,p)∈N²avecp6_n

On note A^p_nle nombre d’arrange- ments depéléments à partir d’un ensemble de n éléments (c’est-à- dire le nombre de p-uplets com- posés d’éléments deux à deux dis- tincts)

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Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51 Page 6

6 [1] Mathématiques

Combinaisons

C_n^p= ^n!

p!(n−p)!

(n,p)∈N²_avecp6_n

On appelle combinaison (notée C_n^p) toute partie de cardinalpd’un ensemble ànéléments.

Combinaisons – Propriétés C_n^p=Cⁿ⁻_n ^p ∀(n,p)∈N×N

C_n^p+C_n^p+1=C_n+1^p+1 ∀(n,p)∈N×Z Binôme de Newton

(x+y)ⁿ=

∑

C_n^kx^ky^n−k

n∈N

(x,y)∈ A²etxy=yx, avecAun anneau commutatif

Divisibilité

Soit(a,b)∈Z², on dit queadivisebsi et seulement si il existec∈Z tel queb=ac.

Division euclidienne

∀(a,b)∈Z×N^∗,∃^!(q,r)∈Z²tel quea=bq+ret 06_r<b.

Qest archimédien

∀^ε∈Q^∗_+,∀A∈Q^∗_+,∃N∈N^∗_,Nε>A Qest dense

x<y=⇒(∃z∈Q/x<z<y) ∀(x,y)∈Q²

1.4 Arithmétique dansZ

Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

Soit(x1, . . . ,x_n)∈Zⁿ, une famille d’entiers relatifs non tous nuls ; la fa- mille des diviseurs communs à tous les(x_i)_i∈[1,n]admet un plus grand élément appeléplus grand commun diviseur.

Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

Soit(x1, . . . ,x_n) ∈ Nⁿ; la famille des multiples communs non nuls aux(x_i)_i∈[1,n]admet unplus petit élément appelé plus petit commun multiple.

Nombres premiers entre eux

Soient(x1, . . . ,xn) ∈(Z^∗)ⁿ, ces nombres sont premiers entre eux si et seulement si ils vérifient la propriété : pgcd(x1, . . . ,xn) =1.

Théorème de Bezout

Soient(x1, . . . ,xn) ∈(Z^∗)ⁿ, pour que tous ces entiers soient premiers entre eux, il faut et il suffit qu’il existe (u1, . . . ,u_n) ∈ Zⁿ _{tel que}

∑

x_iu_i=1.

Théorème de Gauss a|bc

pgcd(a,b) =1 =⇒a|c ∀(a,b,c)∈(Z^∗)³ Produit du PGCD par le PPCM

pgcd(a,b)·^ppcm(a,b) =|a·b| ∀(a,b)∈(Z^∗)²

Nombres premiers

On dit qu’un entierp∈ Nestpremiersi et seulement sip> 2 et s’il vérifie :

∀a∈N^∗_,(a|p=⇒(a=1 oua=p)) Décomposition en nombres premiers

Tout entiern∈N\ {0, 1}admet une décomposition unique en un pro- duit de nombres premiers à l’ordre près des facteurs.

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8 [1] Mathématiques

1.5 Polynômes et fractions rationnelles

Support d’une suite – Définition d’un polynôme

Pour toute suite(an)_n∈NdeK^N, on apelle support l’ensemble desn∈ N_{tels quean}6=0.

On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients constants toute suite deK^Nà support fini.

Polynôme à une indéterminée

On noteK[X]le corps des polynômes à une indéterminéeXà valeurs dans K. Tout élémentP deK[X]peut s’écrire sur la base canonique (Xⁿ)_n∈Nsous la forme :P=

∑

n

a_nXⁿ.

Degré d’un polynôme – Définition

degP=max{n∈N/an6=0} degP: degré du polynômeP

Degré d’un polynôme – Propriétés

deg(P+Q)6_max(degP, degQ)

(P,Q)∈K[X]

Lorsque degP6=degQ, alors : deg(P+Q) =max(degP+degQ) deg(PQ) =degP+degQ

Produit PQ=

∑

n

cnXⁿ cn=

∑

p=0

apb_n−p

P=

∑

n

anXⁿ∈K[X] Q=

∑

n

bnXⁿ∈K[X]

Composition P◦Q=P(Q) =

∑

n

anQⁿ

P◦Q: polynôme composé P=

∑

n

anXⁿ∈K[X] Q∈K[X]

Dérivation P^′=

∑

n>1

nanXⁿ⁻¹ P=

∑

n

anXⁿ∈K[X] P^′: polynôme dérivé deP Division euclidienne

∀(A,B) ∈ (K[X])²,∃!(Q,R) ∈ (K[X])²/A = BQ+R avec degR <

degB.

Q: quotient de la division euclidienne deAparB R: reste de la division euclidienne deAparB

Divisibilité dansK[X]

On dit que Adivise Pdeux polynômes deK[X] si et seulement s’il existeQ∈K[X]tel queP=AQ.

On appelle plus grand commun diviseur de(P_k)_k∈[1,n]∈(K[X]\ {⁰}), le polynôme de plus haut degré parmi les diviseurs desP_k.

Soient(P,Q)∈(K[X])², ils sont dits premiers entre eux si et seulement si leur plus grand commun diviseur est 1.

Propriété de Gauss : Soient A,Bet Ctrois polynômes non nuls de K[X]: siAdiviseBCet siAetBsont premiers entre eux, alorsAdivise C.SiAest premier avecBet avecC, alorsAest premier avecBC

Égalité de Bezout pour deux polynômes

SoientAetBdeux polynômes non nuls deK[X]. Ces deux polynômes sont premiers entre eux, si et seulement si il existe un unique couple (U,V)de polynômes deK[X]tels que :

AU+BV=1 Polynôme irréductible

Un polynômeP∈K[X]est ditirréductiblesi et seulement si degP>₁ et siPn’admet comme diviseurs que les éléments non nuls du corpsK et les multiples de lui-même.

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Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51 Page 10

10 [1] Mathématiques

Fonction polynomiale À tout polynômeP=

∑

n

anXⁿon associe lafonction polynomiale: Pe:ξ7→

∑

n

anξⁿ.

Racine d’un polynôme

Pe(α) =0 αest appeléeracinedu polynôme P∈K[X]si elle vérifie la propriété ci-contre.

Soit(α)_i∈I famille des racines deux à deux distinctes du polynômeP.

Ce polynôme peut alors s’exprimer sous la formeP=Q

∏

i∈I

(x−^αi)^mi oùm_iest la multiplicité de la racineα_ietQun polynôme n’ayant pas de zéro dansK.

Multiplicité d’une racine d’un polynôme

Pe^(m−1)(α) =0 Pe^(m)(α)6=0

α est une racine P de multipli- citémsi elle vérifie la propriété ci- contre.

Polynôme scindé

Un polynômeP∈K[X]est ditscindésurKsi et seulement si il existe λ ∈ K\ {0}et une famille d’éléments non nécessairement distincts (x_i)_i∈[1,n]tels que :

P=λ

∏

(X−x_i)

Théorème de d’Alembert & Conséquence

Le corpsCest algébriquement clos : tout polynôme non constant de K[X]admet au moins un zéro dansC

Conséquence :Tout polynôme non constant est scindé surC. Fraction rationnelle – Définition

R=

∑

anXⁿ

∑

bnXⁿ

R∈K(X): fraction rationnelle K(X) : corps des fractions ration- nelles

(a_n,b_n)∈K²: coefficients

Zéros et pôles d’une fraction rationnelle SoitR= ^P

Q ∈K(X)avec(P,Q)∈K[X]², une fraction rationnelle.

SiPetQsont deux polynômes premiers entre eux : - on appellezérosdeRles zéros deP.

- on appellepôlesdeRles zéros deQ.

Décomposition en éléments simples

R= ^P

S^α₁¹× · · · ×S^α_nⁿ R=E+

∑

i=1 α_i j=1

∑

Cα_i,j

S_i^j

R ∈ K(X) : une fraction ration- nelle

S^α_i ⁱ ∈ K[X] : polynôme irréduc- tibles premiers deux à deux entre eux.∀i,α_i∈N^∗

E∈K[X]: partie entière deR

1.6 Généralités sur les applications

Application injective

∀(x,y)∈E² (f(x) = f(y) =⇒x=y)

Une application f est diteinjec- tivesi et seulement si elle vérifie la propriété ci-contre.

Application surjective

∀y∈^F, ∃x∈E/f(x) =y

Une application linéaire f de E dans F est dite surjective si et seulement si elle vérifie la pro- priété ci-contre.

Composition de fonctions injectives, de fonctions surjectives

g◦finjective ⇒ finjective

g◦fsurjective ⇒gsurjective fetg: deux applications

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Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51 Page 12

12 [1] Mathématiques

1.7 Applications linéaires – Espaces vectoriels

Espace vectoriel – Définition

SoitEun ensemble muni d’une loi interne notée+, d’une loi externe K×E→Enotée·telles que :

(E,+)est un groupe abélien

∀^λ∈K,∀(x,y)∈E²,λ(x+y) =λx+λy

∀(λ,µ)∈K²,∀x∈E,(λ+µ)x=λx+µx

∀(λ,µ)∈K²,∀x∈^E,λ(µx) = (λµ)x

∀x∈E, 1x=x

Un tel ensemble est appeléK-espace vectoriel.

Sous-espace vectoriel

SoitEunK-espace vectoriel etF ⊂ E.Fest ditsous-espace vectoriel deEsi et seulement si il vérifie les propriétés suivantes :

(1)F6=∅

(2)∀(x,y)∈F²,x+y∈F (3)∀^λ∈^K,∀x∈^F,λx∈F

Sous-espace engendré par une partie

Vect(A) = ^\

F⊂E,F⊃A

F

E:K-espace vectoriel A⊂E

Vect(A) : sous-espace vectoriel engendré parA

Autrement dit, Vect(A)est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A ou, si A 6= ∅, l’en- semble des combinaisons linéaires des éléments deE.

Somme directe de sous-espaces vectoriels

E=

∑

i∈I

E_i

∀(i,j)∈I² E_i∩

∑

j6=i

E_j={0}

(E_i)_i∈I : famille de sous-espaces vectoriels d’un espace vectorielE.

Si la somme desE_ivérifie les deux propriétés ci-contre, elle est dite directe.

Dans ce cas :∀x∈ E, il existe une unique décomposition x =

∑

i∈I

x_i avecx_i∈E_i.

Sous-espaces vectoriels supplémentaires

E=^M

i∈I

E_i

(E_i)_i∈I : famille de sous-espaces vectoriels d’un espace vectorielE.

Ils sont ditssupplémentairessi et seulement s’ils sont en somme di- recte et que leur somme est égale à E.

Famille génératrice

Soit(x_i)_i∈Iune famille de vecteurs d’un espace vectoriel deEsurK.

On dit que cette famille estgénératricesi et seulement si tout élément xdeEpeut s’exprimer comme combinaison linéaire desx_i, c’est-à-dire qu’il existe une famille(λ_i)_i∈Itelle que :x=

∑

i∈I

λ_ix_i. Famille libre

i

∑

λ_ix_i=0=⇒ ∀i∈^I,λi=0

(x_i)_i∈I: famille de vecteurs deE (λ_i)_i∈I: famille de scalaires deK Une famille estlibresi elle vérifie la propriété ci-contre.

Propriétés fondamentales des familles

– Toute sur-famille d’une famille génératrice d’une famille génératrice est génératrice.

– Toute sous famille d’une famille libre est une famille libre.

– Si(x1, . . . ,xn)libre et(x1, . . . ,xn,xn+1)liée, alorsxn+1=

∑

i=1

λ_ix_i – Une famille comportant le vecteur nul est liée.

Base d’un espace vectoriel – Définition

UnebasedeEest une famille de vecteurs(x_i)_i∈IdeElibre et généra- trice.

Autres formulations : une base est une famille libre maximale ou en- core une famille génératrice minimale.

Théorie de la dimension

UnK-espace vectoriel est dit dedimension finiesi et seulement siE admet au moins une famille génératrice de dimension finie.

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie, alors : 1.Eadmet au moins une base de dimension finie.

2. Toutes les bases deEsont finies et ont le même cardinal appelédi- mensiondeEet noté dimE.

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14 [1] Mathématiques

Théorème de la base incomplète

SoitEunK-espace vectoriel de dimension netF = (x1, . . . ,xr)une famille libre deE. Il y a au moins une façon de compléterF parn−r vecteurs d’une base deEpour obtenir une base deE.

Base duale définition

e^∗_i(e_j) =δ_{i j}=

1 sii=j 0 sii6=j

E:K-espace-vectoriel E^∗: dual deE

B= (e1, . . . ,en)une base deE B^∗ = (e^∗₁, . . . ,e^∗_n)base deE^∗ B^{∗est appelébase dualede}B Propriétés des familles libres et des familles génératrices SoientEunK-espace vectoriel de dimensionn

– Toute famille libre deEcomporte au plusnéléments.

– Toute famille génératrice deEcomporte au moinsnéléments.

Droite vectorielle – Hyperplan

On appelle droit vectorielle tout sous-espace vectoriel de dimension 1.

On appelle hyperplan tout sous-espace vectoriel, de dimensionn−^1, d’un espace vectoriel de dimensionn.

Codimension

SoitF un sous-espace vectoriel deE, il est dit decodimension finie si et seulement siFadmet au moins un supplémentaire de dimension finie dansE.

Application linéaire – Définition

∀(x,y)∈E², ∀^λ∈K: f(x+λy) = f(x) +λf(y)

On dit quefest une application li- néaire deEdansFsi et seulement si elle vérifie la propriété ci-contre.

Forme linéaire – Définition

On appelle forme linéaire une application linéaire qui va deEdans le corps de référence :K.

Applications linéaires et famille de vecteurs

∀f ∈ L(E,F), et pour toute famille finieFd’éléments deE: –f(Vect(F)) =Vect(f(F)).

– siFest liée alorsf(F)est liée.

– sif(F)est libre, alorsFest libre.

– sifest bijective, pour toute baseBdeE, f(B)est une base deF.

Image et noyau d’une application linéaire – Définition

Imf={y∈F/∃x∈E,f(x) =y} ^{On appelle}espace vectoriel de^imageF^denoté Im^{f, le sous-}fdé- fini ci-contre.

Kerf ={x∈E/f(x) =0} ^{On appelle noyau de} f, le sous- espace vectoriel de E noté Kerf défini ci-contre.

Noyau d’une forme linéaire

Le noyau d’une forme linéaire, autre que la forme nulle, est un hyper- plan.

Rang d’une application linéaire – Définition

SoientEetFdeux espaces vectoriels surKetfune application linéaire deEdansF. Si Imf est de dimension finie, dim Imf s’appellerang def et se note rgf.

Formule du rang

dimE=rgf+dim(Kerf)

E : espace vectoriel de dimension finie

f: application linéaire rgf : rang def Kerf: noyau def

Isomorphisme – Endomorphisme – Automorphisme – Unisomorphismed’espaces vectoriels est une application linéaire deEdansFbijective.

– UnendomorphismedeEest une application linéaire deEdansE.

– Unautomorphismeest un endomorphisme bijectif. On noteGL(E) l’ensemble des automorphismes deE.

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16 [1] Mathématiques

Endomorphisme nilpotent

On dit qu’un endomorphisme f d’un K-espace-vectoriel E est nil- potentsi et seulement si :∃p∈N^∗_{tel quef}^p=0. L’ordre de nilpotence est alors le plus petitp∈N^∗tel que f^p=0.

Applications linéaires – Cas de la dimension finie (1)fisomorphisme

(2)finjective (3)fsurjective (4) rgf =n

EetF: deux espaces vectoriels de même dimensionnsurK

f ∈ L(E,F)

Les propositions ci-contre sont deux à deux équivalentes.

(1)fautomorphisme (2)finjective (3)fsurjective (4) rgf =n

E: espace vectoriel de dimension nsurK

f ∈ L(E)

Les propositions ci-contre sont deux à deux équivalentes.

Image et noyau d’une application linéaire – Propriétés fsurjective ⇐⇒Imf=F

finjective ⇐⇒^Kerf ={⁰} ^fapplication linéaire deEdansF.

Projecteur – Définition

p²=p (1)

Unprojecteurest une application linéaire vérifiant la relation (1).

pest alors le projecteur sur Imp parallèlement à Kerp.

Symétrie – Définition

s²=Id_E Unesymétrieest une application linéaire vérifiant la relation ci- contre.

p=¹₂(s+Id_E)est un projecteur.

s est la symétrie par rapport à Ker(s−Id_E), parallèlement à Ker(s+Id_E)

Une symétrie est une application linéaire vérifiant les propriétés ci- contre.

Formule de Grassman

dim(A+B) = dimA+dimB−^dim(A∩B), oùAetBsont deux sous-espaces vectoriels deEde dimensions finies.

1.8 Matrices – Déterminants – Systèmes linéaires

Ensemble des matrices

On noteMm,n(K)l’ensemble des matrices àmlignes etncolonnes.

Matrices et applications linéaires

f(e_j) =

∑

a_{i j}f_i

f: application linéaire deEdansF, deux espaces vectoriels de dimen- sion finie.

M= (a_{i j})_{i∈[1,m]j∈[1,n]}: matrice as- sociée à l’application linéaire f B= (e_j)_j∈[1,n]: base deE B^′= (f_i)_i∈[1,m]: base deF Somme de deux matrices

γ_{i j}=α_{i j}+β_{i j}

M= (α_{i j})∈ Mmn(K) N= (β_{i j})∈ Mmn(K) M+N= (γ_{i j})∈ Mmn(K) Produit d’une matrice par un scalaire

M=λN (γ_{i j}) = (λ·^αi j)

λ∈K

M= (α_{i j})∈ Mmn(K) N= (γ_{i j})∈ Mmn(K)

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18 [1] Mathématiques

Produit de matrices











 β_1j β_2j ... β_{k j}

... β_{p j}

















α_i1α_i2· · ·^αik· · ·^αip





 γ_{i j}

M= (α_ik)∈ Mmp(K) N= (β_{k j})∈ Mpn(K) MN= (γ_{i j})∈ Mmn(K) γ_{i j}=

∑

α_ik·^βk j

Propriétés des opérations sur les matrices

(M+N)P=MP+NP (M,N) ∈ (Mmp(K))²,P ∈ Mpn(K)

(µM)(λN) =µλ(MN)

M∈ Mmp(K) N∈ Mpn(K) (λ,µ)²∈K²

(MN)P=M(NP)

M∈ Mmp(K) N∈ Mpn(K) N∈ Mnq(K) Attention :En général,MN6=NM

Transposée d’une matrice A= (a_{i j}) _i∈[1,n]

j∈[1,p]

tA= (a_ji) _j

∈[1,p]

i∈[1,n]

A∈ Mnp(K)

tA ∈ Mpn(K): matrice transpo- sée deA

Changement de base

A^′=Q⁻¹AP

A^′ : matrice d’une application li- néaire deE(dans la base baseB^′) versF(dans la base baseC^′) A: matrice de la même application linéaire deE(dans la base baseB⁾ versF(dans la base baseC) P: matrice de passage deBàB^′ Q: matrice de passage deC^àC^′ Dans le cas d’un endomorphisme, Q=P(seulement deux bases sont nécessaires).

Exponentielle de matrice

exp(A) =

+∞ k=0

∑

1 k!A^k

A∈ Mn(K)

exp(A) :exponentiellede la ma- triceA

Déterminant – Définition Un déterminant est une forme multilinéaire alternée.

Multilinéarité :(det(α₁V1, . . . ,α_nVn) =α₁· · · ·^αndet(V1, . . . ,Vn)) Alternée :V_i=V_javeci6= j=⇒det(V1, . . . ,Vn) =0

Dans une baseB= (e1, . . . ,en)deE, on note det_Bl’application : det_B(V1, . . . ,V_n) =

∑

σ∈S_n

ε(σ)a_σ(1)1· · ·a_σ(n)n AvecV_j=

∑

a_ijje_ijj

Déterminant d’un produit de matrices det(M·N) =detM·^detN M∈ Mn(K)

N∈ Mn(K) Déterminant et matrice inversible

Minversible ⇐⇒^detM6=0

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20 [1] Mathématiques

det(M⁻¹) = (detM)⁻¹ _M∈ Mn(K)inversible

Déterminant de Vandermonde

1 x1 x²₁ · · · xⁿ⁻₁ ¹ ... ... ... ... 1 xn x²_n . . . xⁿ_n⁻¹

=

∏

16j<i6n

(x_i−x_j), (x1, . . . ,x_n)∈Kⁿ

Matrice inversible – Définition

Une matriceM∈ Mn(K)est dite inversible s’il existe une matriceN telle que :

M·N=N·M=I_n

La matriceNest alors appelée inverse deMet se noteM⁻¹. Matrices inversibles

SoitA∈ Mn(K)etf un endomorphisme représenté parAdans une base. Les propriétés ci-dessous sont deux à deux équivalentes : (1)fest bijective.

(2)Aest inversible à gauche.

(3)Aest inversible à droite.

(4)Aest inversible.

(5)Aest régulière à gauche.

(6)Aest régulière à droite.

(7)Aest régulière.

Matrice des cofacteurs – Comatrice

comM= (detM_{i j})_i∈[1,n]

j∈[1,n]

comM: comatrice de M(ou ma- trice des cofacteurs)

M_{i j}: matriceM« privée » de sai^e ligne et de saj^ecolonne.

Matrice inverse

M⁻¹= ¹ detM

tcom(M)

M∈ Mn(K)matrice inversible com(M) : matrice des cofacteurs deM

Système linéaire – Définition







a11x1 +· · ·+ a1pxp = b1

... ... ...

an1x1 +· · ·+ anpxp = bn

On peut interpréter ce système comme le produit de la matrice A= (a_{i j})_{i∈[1,n]j∈[1,p]}par le vecteur X = (x_i)_i∈[1,p] (vecteur inconnu).

Ce produit est égal au vecteur se- cond membre :B= (b_i)_i∈[1,n]

Système de Cramer

∀j∈[1,p],x_j= ^detAj(b) detA

Dans le cas d’un système de Cra- mer,n=p=rgA.

Le système admet alors une so- lution unique donnée par les for- mules de Cramer ci-contre.

A_j(b)est obtenue à partir deAen remplaçant le vecteur colonne c_j parb.

Cas oùrgA=n<p

Après permutation des inconnues, on peut supposer que la matrice A^′= (a_{i j})_i∈[1,n]

j∈[1,n]

extraite deAest inversible. On établit alors le système suivant :







a11x1+· · ·+a1nxn=b1−(a1n+1xn+1+· · ·+a1pxp) ...

an1x1+· · ·+a_nnx_n=b_n−(ann+1xn+1+· · ·+a_npx_p) Ce système est de Cramer et admet donc une solution unique. Cet ensemble est un sous-espace affine de dimensionp−n.

Cas oùrgA<n

Soit on peut se ramener au cas précédent par combinaison linéaire des équations, soit le système n’admet pas de solution.

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22 [1] Mathématiques

1.9 Espaces vectoriels euclidiens

Produit scalaire – Définition Unproduit scalaire euclidiensur

Eest une applicationϕdeE²dans Rvérifiant :

(1)ϕest bilinéaire (2)ϕest symétrique (3)∀x∈E,ϕ(x,x)>₀

(4)∀x∈^E,ϕ(x,x) =0⇒x=0

ϕvérifiant (3) est ditepositive ϕvérifiant (4) est ditedéfinie ϕ vérifiant (3) et (4) est dite définie-positive

On note ce produit scalaire(·|·)

Forme quadratique

∀x∈E, q(x) =ϕ(x,x)

ϕune forme bilinéaire symétrique surE×E

q: E→R: forme quadratique as- sociée àϕ

Matrice associée

Mat_B(ϕ) = (ϕ(e_i,e_j))_i∈[1,n]

j∈[1,n]

Mat_B(ϕ): matrice deϕdansB B: base deE

ϕ : E×E → R: forme bilinéaire symétrique.

Expression matricielle

ϕ(x,y) =^t XAY

ϕ : E×E → R: forme bilinéaire symétrique

(x,y)∈E² X=Mat_B(x) Y=Mat_B(y) Norme euclidienne – Définition kxk2=

q

(x|x) k · k2: norme euclidienne surE x∈E

Inégalité de Cauchy-Schwarz

|(x|y)|6kxk · kyk ∀(x,y)∈E² Il y a égalité si et seulement si les vecteursxetysont liés.

Inégalité triangulaire ou de Minkowski

kx+yk6kxk+kyk ∀(x,y)∈E²

Il y a égalité si et seulement si les vecteursxetysont positivement liés ou six=0.

Relations entre produit scalaire et norme

∀(x,y)∈E²:

1.kx+yk²=kxk²+2(x|y) +kyk² 2.kx−yk²=kxk²−²(x|y) +kyk² 3.(x|y) = ¹

2

kx+yk²− kxk²− kyk² 4.(x|y) = ¹

4

kx+yk²− kx−yk²

Vecteurs orthogonaux

Soit(x,y) ∈ E², on dit que ces deux vecteurs sontorthogonauxsi et seulement si(x|y) =0.

Parties orthogonales – Orthogonal d’une partie

∀(x,y)∈A×B,(x|y) =0

A^⊥={x∈E/∀y∈^A,(x|y) =0}

x,y : deux vecteurs respective- ment deAet deB

A,B : deux parties orthogonales deE

A^⊥:orthogonalde la partieA Inégalité de Bessel

∑

j=1|(e_j|x)|²6kxk²

E: espace vectoriel préhilbertien x: vecteur deE

(e_j)_j∈[1,n] : famille orthonormale deE

Projecteur orthogonal

Kerp= (Imp)^⊥ Imp= (Kerp)^⊥

p:projecteur orthogonalsur Imp parallèlement à Kerp

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24 [1] Mathématiques

Attention : un projecteur orthogonal n’est pas une application ortho- gonale.

Diagonalisation d’une matrice symétrique

∀S∈ Sn(R), ∃(Ω,D)∈ On(R)× Dn(R), S=ΩDΩ⁻¹ Sn(R): ensemble des matrices symétriques deR On(R): groupe orthogonal

Dn(R): ensemble des matrices diagonales deR Valeurs propres de matrices symétriques

Les valeurs propres d’une matriceS∈ Sn(R)sont réelles.

Endomorphisme adjoint – Définition

∀f ∈ L(E), ∃^!f^∗∈ L(E)tel que :

∀(x,y)∈E²(f(x)|y) = (x|f^∗(y))

E: espace vectoriel euclidien L(E) : ensemble des endomor- phismes deE

f: endomorphisme deE f^∗:l’adjointdef x,y: deux vecteurs deE

Automorphismes orthogonaux, symétriques, antisymétriques

(1)f^∗= f⁻¹ (2)f^∗= f (3)f^∗=−f

Un automorphismefvérifiant : – (1) est ditorthogonal

– (2) est ditsymétrique ou auto- adjoint

– (3) est ditantisymétrique

Propriétés des adjoints

Kerf^∗= (Imf)^⊥, Imf^∗= (Kerf)^⊥ (λf+g)^∗ =λf^∗+g^∗

(g◦f)^∗ =f^∗◦g^∗ (Id_E)^∗=Id_E

(f^∗)^∗= f (f⁻¹)^∗= (f^∗)⁻¹

Matf∗=^t Matf

(f,g) ∈ L(E)²: endomorphismes deEadmettant des adjoints

f^∗: endomorphisme adjoint deE A^⊥: orthogonal deA,Aétant une partie deE

Définition et propriétés des automorphismes orthogonaux

(1)∀(x,y)∈E²: (f(x)|f(y)) = (x|y) (2)∀x∈E,kf(x)k=kxk (3)f∈ O(E)

Les propriétés (1), (2) et (3) sont équivalentes.

(1) traduit la conservation du pro- duit scalaire.

(2) traduit la conservation de la norme.

O(E) : ensemble des automor- phismes orthogonaux deE

f ∈ L(E)

Caractérisation des automorphismes orthogonaux

tM·M=InouM·^tM=In

f^∗◦f= f◦f^∗=Id_E

M : matrice orthogonale de Mn(K)

f : automorphisme orthogonal de EId_E: application identité deE I_n: matrice identité deMn(K)

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