Chemin de Bellerive 16 1007 Lausanne
NOM : ______________________ Prénom : _____________________
EXAMENS D’ADMISSION AUX GYMNASES VAUDOIS SESSION 2017
ÉCOLE DE MATURITÉ
ANNÉE : 1
REANNÉE
BRANCHE : MATHÉMATIQUES
SIGLE : 1M-MAT EXAMEN : ÉCRIT
Date / Horaire : vendredi 28 avril / 13h30-16h30
Matériel autorisé : calculatrice TI-30 ECO RS, règle, équerre, rapporteur, compas
Consignes : - Le candidat rédige les solutions directement sur les
feuilles de données dans l’espace prévu à cet effet
sous chaque question (il n'utilise pas la couleur rouge).
Calculer et donner la r´eponse sous forme de fraction irr´eductible.
a)
✓2 5 +8
7
◆
·
✓ 2 3
◆
b) 1 22
13 55 : 1
5
Probl` eme 2 . 2 pts
Evaluer l’expression ci-dessous pour a = 3, b = 1 et c = 3
2. Donner la r´eponse sous forme de fraction irr´eductible.
ab c (2a)2
E↵ectuer et r´eduire au maximum les expressions suivantes.
a) (x+ 2)(x 1)(x+ 7)
b) (3x 5)2 (10 x)
Factoriser le plus possible.
a) x2 9x+ 20
b) 5xy4 20xy2
c) 9x2 24x+ 16
d) (x 1)(x2+x+ 3) (x2 6)(x 1)
R´esoudre les ´equations suivantes.
a) 3 x
8 +x= x+ 5 4
b) 6x2+ 7x 5 = 0
c) 2(7 x) + 1 = (2x 3)2
R´esoudre le syst`eme suivant. (
5x+ 7y= 3 3x+y= 5
Harpagon casse sa tirelire qui ne contient que des pi`eces de 2 francs et de 5 francs. Il compte 228 pi`eces en tout. Il constate que la somme totale dont il dispose suffit tr`es exactement `a s’acheter le nouveau smartphone de ses rˆeves qui coˆute 579 francs. Calculer le nombre de pi`eces de 2 francs et de 5 francs que contenait sa tirelire.
Probl` eme 8 . 2 pts
Sur une carte `a l’´echelle1:50’000, la route menant du village de Coto✏ens `a celui de Papaples mesure 225 mm.
Quelle est la longueur r´eelle de cette route en kilom`etres ?
Un cycliste suit une route dont l’inclinaison par rapport `a l’horizontale est de 7 . La distance horizontale correspondant `a son trajet est de 2,8 km. A la fin de son e↵ort, quelle sera la distance parcourue indiqu´ee par son compteur ? Donner la r´eponse au m`etre pr`es.
3 4
12
x
↵
a) D´eterminer la longueur du cˆot´ex`a l’aide des valeurs donn´ees de la figure ci-dessus.
b) Calculer la mesure de l’angle↵de la figure.
12
A B
5
C E
D
4
y
Dans la figure ci-dessus, les segmentsEB etDC sont parall`eles et les valeurs donn´ees sont exprim´ees en cm.
a) Montrer que les trianglesAEB etADC sont semblables.
b) En d´eduire la mesure de la longueury. Donner la r´eponse arrondie au millim`etre pr`es.
Rappel : 1Go (1 Gigaoctet) contient 1000 Mo (M´egaoctets).
Un op´erateur t´el´ephonique propose trois types d’abonnements mensuels : Forfait A :0 franc, sans donn´ees incluses, chaque Mo coˆutant 5 centimes.
Forfait B :10 francs, sans donn´ees incluses, chaque Mo coˆutant 2 centimes.
Forfait C :110 francs, donn´ees illimit´ees.
a) A combien revient le forfait B si l’utilisateur charge 2 Go de donn´ees ?
b) D´eterminer la fonction exprimant le prix, en centimes, du forfait A selon le nombre xde Mo de donn´ees charg´ees.
c) D´eterminer l’expression math´ematique du prix, en centimes, du forfait B en fonction du nombrexde Mo de donn´ees charg´ees.
d) A partir de quelle quantit´e de donn´ees charg´ees (en Mo), le forfait B revient-il moins cher que le forfait A ?
Un artiste jongle avec trois solides di↵´erents :
6cm
C1 C2 P
4cm h
8cm
• un cubeC1 d’arˆetea= 6cm
• un cubeC2 dont on connaˆıt la surface ext´erieure totale : 294 cm2
• un parall´el´epip`ede rectangleP de base 8 cm⇥4 cm et de hauteurhcm, dont le volume est de 160 cm3. a) Quel est le volume du cubeC1?
b) Quelle est la longueur de l’arˆete du cubeC2?
c) Quelle est la hauteurhdu parall´el´epip`ede P?
La fa¸cade avant d’une maison a la forme d’un rectangle de 12 m⇥5 m, surmont´e d’un triangle isoc`ele de hauteur 2,5 m et de base ´egale `a la lar- geur du rectangle. Cette fa¸cade comporte deux fenˆetres identiques de 2 m⇥1,5 m, une porte de 1 m⇥2 m et un œil-de-bœuf (une fenˆetre ronde) de 0,8 m de diam`etre (voir dessin). On d´esire peindre cette fa¸cade en blanc, sauf ´evidemment les fenˆetres, la porte et l’œil-de-bœuf. Quelle est la surface totale qu’il faudra peindre ? Donner la r´eponse en m2arrondie au centi`eme.
2 m
1,5m
1 m
2m
12m
5m2,5m
0,8 m
Dans le plan, on donne les points O,G,Aet P, ainsi que la droite d. Construire `a la r`egle et au compas (les traits de construction doivent ˆetre visibles)
a) le pointG0, image deGpar la rotation d’angle120 autour deO.
b) le pointA0, image deApar l’homoth´etie de centreOet de rapport 2.
c) le pointP0, sym´etrique du pointP par rapport `a la droited.
G
A O
P
Un funiculaire part de sa station inf´erieure situ´ee `a 825 m d’altitude. Il circule `a une moyenne de 20 km/h et met 6 minutes pour parcourir le trajet qui le m`ene `a la station sup´erieure.
Partie A
a) Quelle est la distance qui s´epare les deux stations (mesur´ee le long du rail) ?
Partie B -La distance horizontale entre les deux stations est de 1,8 km.
b) A quelle altitude se trouve la station sup´erieure ?
c) Quelle est la pente du parcours ?
On donne les dix fonctions suivantes f1(x) = x2+x
f2(x) =x2 6x+ 9 f3(x) = 2x 4
f4(x) = 3 f5(x) = 3x 4 f6(x) =x2+x+ 6
f7(x) =x2 4x+ 4 f8(x) = 3
f9(x) =x2 x 6
f10(x) = 3x+ 4
Noter, sous chaque repr´esentation graphique, le num´ero de la fonction qui lui correspond.
2
4 2 4 6
2 4 6 2 4 6
...
2
4 2 4 6
2 2 4 6
2
4 2 4 6
2 4 6 2 4 6
...
2
4 2 4 6
2 2 4 6
2
4 2 4 6
2 4 6 2 4 6
...
2
4 2 4 6
2 2 4 6
