Variables aléatoires du livre
Situation A page 308
1) L’univers est constitué des 9 lettres du mot ALEATOIRE. La lettre A et la lettre E sont comptées deux fois car il y a deux cartons pour chacune d’elles. En cas de doute, imaginons que le premier A est écrit en rouge et le deuxième en bleu (idem pour la lettre E).
2) D’après le jeu, le gain peut être égal à 10, 5 ou −8.
Les valeurs possibles de 𝑋 sont donc −8, 5 et 10 dans l’ordre croissant.
3) Les issues réalisant l’événement {𝑋 = 5} que l’on note aussi [𝑋 = 5] sont les consonnes : L, T et R.
4) Il y a 3 consonnes sur les 9 lettres du mot ALEATOIRE, la probabilité de {𝑋 = 5} est donc : 𝑃(𝑋 = 5) =3
9= 1 3
5) L’événement {𝑋 = 10} est réalisé par l’issue O, sa probabilité est donc : 𝑃(𝑋 = 10) =1
9
L’événement {𝑋 = −8} est réalisé par les issues A, E, A, I, E, sa probabilité est donc : 𝑃(𝑋 = −8) =5
9
Valeurs 𝑘 de 𝑋 −8 5 10
Probabilité 𝑃(𝑋 = 𝑘) 5
9
1 3
1 9
On remarque, et ce n’est pas surprenant, que : 5
9+1 3+1
9=9 9= 1
6) Notons 𝑉 (respectivement 𝐶 ) l’événement « Maëlys obtient une voyelle (resp. une consonne) au ième tirage ».
On peut représenter cette situation par un arbre de probabilité :
𝑃(𝑌 = −3) = 𝑃(𝑉 ∩ 𝑉 ) =3 4×3
4= 9
16 , 𝑃(𝑌 = 5) = 𝑃(𝐶 ∩ 𝐶 ) = 1 4×1
4= 1 16
3 4
1 4
3 4 1 4
1 4
𝑉
𝐶
𝑉
𝑉 𝐶
𝐶
3 4
𝑃(𝑌 = 0) = 𝑃(𝑉 ∩ 𝐶 ) + 𝑃(𝐶 ∩ 𝑉 ) =3 4×1
4+1 4×3
4= 6 16= 3
8
On peut regrouper ces valeurs dans un tableau comme à la question 5) :
Valeurs 𝑘 de 𝑌 −3 0 5
Probabilité 𝑃(𝑌 = 𝑘) 9
16
3 8
1 16
Vérification : 9 16+3
8+ 1 16= 16
16= 1
N°1 page 307 : Rappels :
Moyenne∶ 𝑥̅ = 𝑥 × 𝑓 + 𝑥 × 𝑓 + ⋯ + 𝑥 × 𝑓 où les 𝑥 sont les valeurs de la série et les 𝑓 les fréquences associées.
Écart-type : 𝜎 = 𝑥 × 𝑓 + 𝑥 × 𝑓 + ⋯ + 𝑥 × 𝑓 − 𝑥̅
1) Pour la série A :
𝑥̅ = −5 × 0,2 + (−1) × 0,3 + 0 × 0,1 + 1 × 0,1 + 3 × 0,3 = −0,3
𝜎 = (−5) × 0,2 + (−1) × 0,3 + 0 × 0,1 + 1 × 0,1 + 3 × 0,3 − (−0,3) = √8,01 ≈ 2,83 Pour la série B :
𝑥̅ = −3 × 0,1 + (−1) × 0,4 + 0 × 0,2 + 1 × 0,2 + 2 × 0,1 = −0,3
𝜎 = (−3) × 0,1 + (−1) × 0,4 + 0 × 0,2 + 1 × 0,2 + 2 × 0,1 − (−0,3) = √1,81 ≈ 1,35 2) Elles ont la même moyenne mais les écart-types sont différents.
Les valeurs de la série B sont moins dispersées autour de la moyenne, ce n’est pas étonnant : l’écart- type est plus faible.
N°2 page 307 :
1) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 1 4×2
3= 1 6 2) 𝑃 (𝐵) =2
3
3) 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴̅ ∩ 𝐵) =1 6+3
4×1 2= 1
6+3 8= 4
24+ 9 24=13
24 4) 𝑃 (𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵) = 1 6 13 24
=1 6×24
13= 4 13
N°3 page 307 :
1ère méthode : Le 6 n’est pas sorti, il y a donc 2 chances (le 2 ou le 4) sur 5 (le 1, 2, 3, 4 ou 5) que l’événement F soit réalisé : 𝑃(𝐹) = .
2ème méthode : 𝑃 (𝐹) =𝑃(𝐹 ∩ 𝐸) 𝑃(𝐸) =
2 6 5 6
= 2 6×6
5=2 5
N°4 page 307 : 1)
2) 𝑃(𝐹 ∩ 𝐹 ) = × = 3)
𝐹 𝐹 Total
𝐹 9
16
3 16
3 4
𝐹 3
16
1 16
1 4
Total 3
4
1
4 1
𝐹
𝐹
)
𝐹
𝐹 𝐹
𝐹
)
N°5 page 307 :
𝑃(𝑅 ∩ 𝑉 ) + 𝑃(𝑉 ∩ 𝑅 ) = 5 12× 7
12+ 7 12× 5
12= 70 144= 35
72
N°6 page 307 :
Afin d’effectuer les calculs, il est nécessaire de rajouter le total de chaque ligne et colonne :
Seconde Première Terminale Total
Filles 230 180 140 550
Garçons 190 160 100 450
Total 420 340 240 1000
1) 𝑃(𝐺) = = 0,45 2) 𝑃(𝑃𝑅) = = 0,34 3) 𝑃 (𝑇) = =
4) 𝑃 (𝐺) = =
N°7 page 307 :
1) Cette formule renvoie la somme de deux nombres aléatoires compris entre 0 et 3.
2) On peut imaginer le lancer de deux dés tétraédriques (à 4 faces numérotées de 0 à 3) dont on fait la somme des résultats.
3) =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6)+ ALEA.ENTRE.BORNES(1;6)+ ALEA.ENTRE.BORNES(1;6).
𝑅
𝑉
)
𝑅
𝑅 𝑉
𝑉
)
𝐽
𝐽
𝐽 𝑅
𝑅
𝑅
𝑉 𝑅
𝑉
𝑉
𝑉
𝑋 = 4 + 4 = 8 𝑋 = 4 + 1 = 5 𝑋 = 4 − 5 = −1
𝑋 = 1 + 4 = 5 𝑋 = 1 + 1 = 2 𝑋 = 1 − 5 = −4
𝑋 = −5 + 4 = −1 𝑋 = −5 + 1 = −4 𝑋 = −5 − 5 = −10 N°8 page 307 :
a) 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) = 0,6 × 0,8 = 0,48 et 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,5 ≠ 0,48 : les événements A et B ne sont pas indépendants.
b) 𝑃(𝐶 ∪ 𝐷) = 𝑃(𝐶) + 𝑃(𝐷) − 𝑃(𝐶 ∩ 𝐷) = 𝑃(𝐶) + 𝑃(𝐷) − 𝑃(𝐶) × 𝑃(𝐷) = 0,1 + 0,46 − 0,1 × 0,46
= 0,56 − 0,046 = 0,514
N°1 page 315 :
On note 𝑋 le gain algébrique à l’issue des deux tirages.
On peut utiliser un arbre pour répertorier les issues possibles et déduire les valeurs de 𝑋 associées :
Les valeurs possibles de 𝑋 sont donc : −10 ; −4 ; −1 ; 2 ; 5 et 8.
N°2 page 315 :
Si le résultat de la pièce donne face, le dé donne 1, 2, 3 ou 4.
Si le résultat de la pièce donne pile, le dé donne 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
𝑋 prend donc les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Les 4 premières valeurs s’obtiennent de deux façons différentes mais 5 et 6 ne peuvent s’obtenir qu’en cas de « face ».
Construire un arbre de probabilités est un peu lourd mais il peut être utile pour les calculs de probabilités.
𝑃(𝑋 = 1) = 𝑃(𝐹 ∩ 1) + 𝑃(𝑃 ∩ 1) =1 2×1
4+1 2×1
6= 5 24 𝑃(𝑋 = 2) = 𝑃(𝐹 ∩ 2) + 𝑃(𝑃 ∩ 2) =1
2×1 4+1
2×1 6= 5
24 𝑃(𝑋 = 3) = 𝑃(𝐹 ∩ 3) + 𝑃(𝑃 ∩ 3) =1
2×1 4+1
2×1 6= 5
24 𝐽
𝑋 = 10 + 10 = 20
𝑋 = 10 − 2 = 8
𝑋 = −2 + 10 = 8
𝑋 = −2 − 2 = −4 𝑃(𝑋 = 4) = 𝑃(𝐹 ∩ 4) + 𝑃(𝑃 ∩ 4) =1
2×1 4+1
2×1 6= 5
24 𝑃(𝑋 = 5) = 𝑃(𝑃 ∩ 5) =1
2×1 6= 1
12 𝑃(𝑋 = 6) = 𝑃(𝑃 ∩ 6) =1
2×1 6= 1
12
On regroupe ces valeurs dans un tableau récapitulatif :
𝑥 1 2 3 4 5 6
𝑃(𝑋 = 𝑥 ) 5 24
5 24
5 24
5 24
1 12
1 12
Vérification : + + + + + = 1 N°3 page 315 :
Un jeu de 32 cartes compte 4 rois, 4 reines et 4 valets : 12 figures sur 32 cartes.
La probabilité d’obtenir une figure est donc au départ de =
Mais attention : il n’y a pas remise de la carte avant le deuxième tirage ! Notons 𝑋 le gain algébrique en euros à l’issue des deux tirages.
Être perdant à ce jeu signifie obtenir 2 cartes sans figure et donc perdre 4€. Tous les autres cas sont gagnants.
La probabilité de cet événement est : 20
32×19 31= 95
248≈ 0,38 𝐹
𝐹
)
𝐹
𝐹 𝐹
𝐹
)
𝑋 = 2 + 2 = 4
𝑋 = −1 + 2 = 1
𝑋 = 2 − 1 = 1
𝑋 = −1 − 1 = −2 N°4 page 315 :
Attention piège !!!
Le joueur mise 1€ puis les gains possibles sont donnés dans le tableau.
En notant 𝑋 le gain algébrique du joueur (après avoir retranché la mise initiale), les valeurs possibles sont 4, −1 et −9 :
𝐸(𝑋) = 4 × 0,4 + (−1) × 0,5 + (−9) × 0,1 = 1,6 − 0,5 − 0,9 = 0,2
En jouant un grand nombre de parties, le gain à ce jeu, en moyenne, est de 20 centimes. Le jeu est donc favorable au joueur (ne rêvez pas, ça n’existe pas dans la vraie vie !).
N°5 page 315 :
La probabilité d’obtenir une boule jaune est au départ de et celle d’obtenir une boule verte est de . Mais attention : il n’y a pas remise de la carte avant le deuxième tirage !
Notons 𝑋 le gain algébrique en euros à l’issue des deux tirages.
On obtient ainsi le tableau suivant :
𝑘 −2 1 4
𝑃(𝑋 = 𝑘) 10
28
15 28
3 28
Remarque : j’ai délibérément laissé qui pouvait se simplifier en mais le calcul de l’espérance est plus simple avec des fractions de même dénominateur.
𝐸(𝑋) = −2 ×10
28+ 1 ×15
28+ 4 × 3
28=−20 + 15 + 12
28 = 7
28= 0,25 L’espérance n’étant pas nulle, le jeu n’est pas équitable.
𝐽
𝑉
𝐽
𝐽 𝑉
𝑉
)
N°6 page 315 :
On mise une somme d’argent x qui sera retranchée au gain obtenu : On gagne alors 9 − 𝑥 euros en cas de multiple de 3 (3 ou 6)
On « gagne » −3 − 𝑥 dans les 4 autres cas (1, 2, 4 ou 5)
𝑘 −3 − 𝑥 9 − 𝑥
𝑃(𝑋 = 𝑘) 2
3
1 3
𝐸(𝑋) = (−3 − 𝑥) ×2
3+ (9 − 𝑥) ×1
3=−6 − 2𝑥 + 9 − 𝑥
3 = −3𝑥 + 3
On cherche la valeur de 𝑥 donnant une espérance nulle : 3 𝐸(𝑋) = 0 ⇔ −3𝑥 + 3 = 0 ⇔ 𝑥 = 1
Conclusion : ce jeu est équitable si la mise de départ est de 1€ (les gains sont alors de 8€ ou −4€)
N°7 page 315 :
Avant de calculer la variance puis l’écart-type de la loi 𝑌, il est indispensable de calculer son espérance :
𝐸(𝑌) = −1 × 0,3 − 2 × 0,6 + 3 × 0,1 = −0,3 − 1,2 + 0,3 = −1,2
𝑉(𝑌) = (−1 − (−1,2)) × 0,3 + (−2 − (−1,2)) × 0,6 + (3 − (−1,2)) × 0,1 = 𝟐, 𝟏𝟔 Autre calcul avec l’autre formule :
𝑉(𝑌) = (−1) × 0,3 + (−2) × 0,6 + 3 × 0,1 − (−1,2) = 𝟐, 𝟏𝟔 Enfin l’écart-type : 𝜎(𝑌) = 𝑉(𝑌) = √2,16 ≈ 𝟏, 𝟒𝟕
N°8 page 315 : Pour le jeu 1 :
𝐸(𝑋) = −2 × 0,3 + 1 × 0,6 − 1 × 0,1 = −0,1
𝜎(𝑋) = (−2 − (−0,1)) × 0,3 + (1 − (−0,1)) × 0,6 + (−1 − (−0,1)) × 0,1 = 1,89 ≈ 1,37 Pour le jeu 2 :
𝐸(𝑌) = −1 × 0,3 + 0 × 0,6 + 2 × 0,1 = −0,1
𝜎(𝑌) = (−1 − (−0,1)) × 0,3 + (0 − (−0,1)) × 0,6 + (2 − (−0,1)) × 0,1 = 0,69 ≈ 0,83 Ces deux jeux ont la même moyenne mais deux écart-types différents.
L’écart-type est plus élevé pour le jeu 1 ce qui signifie que les valeurs du jeu 1 sont plus dispersées autour de la moyenne. Autrement dit, le jeu 1 est plus risqué que le jeu 2.
N°2 page 322 :
C’est une loi de probabilité donc la somme des 3 probabilités de la 2ème ligne du tableau est égale à 1.
𝑘 +𝑘 2+𝑘
3= 1 ⇔ 6𝑘 + 3𝑘 + 2𝑘
6 = 1 ⇔ 11𝑘
6 = 1 ⇔ 𝑘 = 6 11 Les trois probabilités du tableau sont donc respectivement :
6 11; 3
11 et 2
11 dont la somme est bien égale à 1.
N°5 page 322 :
Deux valeurs du tableau se complètent très facilement : 𝑃(𝐴 ) = 1 − 0,8 = 0,2
𝑃 (𝐴 ) = 1 − 0,9 = 0,1
Il reste donc à déterminer 𝑃 (𝐴 ) et 𝑃 (𝐴 ).
Utilisons la donnée 𝑃(𝑋 = 5) = 0,18.
D’après les données de l’énoncé :
𝑃(𝑋 = 5) = 𝑃(𝐴 ) × 𝑃 (𝐴 ) + 𝑃(𝐴 ) × 𝑃 (𝐴 )
⇔ 0,18 = 0,8 × 0,1 + 0,2 × 𝑥
⇔ 0,18 = 0,08 + 0,2𝑥
⇔ 0,2𝑥 = 0,10
⇔ 𝑥 =0,10
0,2 = 0,5
Conclusion : 𝑃 (𝐴 ) = 0,5 et 𝑃 (𝐴 ) = 0,5 aussi.
N°6 page 322 :
Sur les 10 mots de cette citation, un seul n’a qu’une lettre (« à »), 3 ont 2 lettres (« ne », « de » et « il »), 3 ont 4 lettres (« rien », « sert », « faut »), un seul a 5 lettres (« point ») et enfin deux d’entre eux ont 6 lettres (« courir » et « partir »).
Notons 𝑋 la variable aléatoire donnant le nombre de lettres du mot tiré au hasard. Elle admet 5 valeurs possibles : 1, 2, 4, 5 et 6.
𝑘 1 2 4 5 6
𝑃(𝑋 = 𝑘) 1
10
3 10
3 10
1 10
2 10
𝐸(𝑋) = 1 × 1
10+ 2 × 3
10+ 4 × 3
10+ 5 × 1
10+ 6 × 2 10=36
10= 𝟑, 𝟔 En moyenne, on peut espérer obtenir 3,6 lettres sur le carton tiré.
Ne soyez pas perturbé par le nombre décimal (même s’il est plus logique de manipuler des nombres entiers), c’est une moyenne, il est rare d’obtenir un nombre entier pour la moyenne…
N°8 page 322 :
On complète d’abord la ligne des probabilités, la somme des 3 doit être égale à 1 : 1
6+1
3+ 𝑝 = 1 ⇔ 𝑝 = 1 −1 3−1
6=3 6=1
2 𝐸 = 𝑥 ×1
6+ 2 ×1
3+ 5 ×1
2=𝑥 + 4 + 15
6 = 𝑥 + 19 6 𝐸 = 0 ⇔ 𝑥 + 19 = 0 ⇔ 𝒙 = −𝟏𝟗
N°9 page 322 :
La probabilité manquante pour X est 0,2 et pour Y, 0,4.
𝐸(𝑋) = −1 × 0,5 + 0,5 × 0,3 + 2 × 0,2 = 0,05 𝐸(𝑌) = −2,5 × 0,2 + 0 × 0,4 + 2 × 0,4 = 0,3
𝜎(𝑋) = (−1 − 0,05) × 0,5 + (0,5 − 0,05) × 0,3 + (2 − 0,05) × 0,2 = 1,57575 ≈ 1,26 𝜎(𝑌) = (−2,5 − 0,3) × 0,2 + (0 − 0,3) × 0,4 + (2 − 0,3) × 0,4 = 2,76 ≈ 1,66
Le gain moyen est plus important pour le jeu B, il est plus intéressant si l’on joue un grand nombre de parties mais le calcul des écart-types montre qu’il est plus risqué.
N°2 page 324 :
1) Il y a 15 issues possibles, tous les nombres entiers de 1 à 15.
L’univers Ω = {1; 2; … ; 15} = ⟦1; 15⟧
Attention : le nombre 14 est à la fois multiple de 2 et de 7, il rapporte donc 2 + 7 = 9€
𝑋 peut donc prendre les valeurs −10, 2, 7 ou 9.
2) Une seule issue réalise l’événement {𝑋 = 9} : c’est 14.
3) Les issues réalisant l’événement {𝑋 ≤ 0} sont celles qui réalisent l’événement {𝑋 = −10} : 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15
Pour compléter cet exercice, je vous propose le tableau de la loi de probabilité de 𝑋 :
𝑥 −10 2 7 9
𝑃(𝑋 = 𝑥 ) 7
15
6 15
1 15
1 15
N°5 page 324 :
1) La deuxième ligne du premier tableau contient un réel supérieur à 1 : c’est impossible car une probabilité est comprise entre 0 et 1.
2) Les 4 valeurs de la deuxième ligne sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1 : ce tableau peut représenter la loi de probabilité d’une variable aléatoire 𝑋.
3) La deuxième ligne du premier tableau contient un réel négatif : c’est impossible car une probabilité est comprise entre 0 et 1.
4) Les 4 valeurs de la deuxième ligne sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1 : ce tableau peut représenter la loi de probabilité d’une variable aléatoire 𝑋.
5) Les 4 valeurs de la deuxième ligne sont comprises entre 0 et 1 mais leur somme n’est pas égale à 1.
Conclusion : seuls les tableaux 2 et 4 peuvent représenter une loi de probabilité.
N°8 page 324 :
𝑃(𝑌 ≤ 0) = 𝑃(𝑌 = −2) + 𝑃(𝑌 = −1) =1 4+1
6= 5 12 𝑃(−1 ≤ 𝑌 < 5) = 𝑃(𝑌 = −1) + 𝑃(𝑌 = 2) =1
6+1 3=3
6= 1 2 Remarque : 5 n’est pas une valeur acceptée, l’inégalité est stricte.
𝑃(|𝑌| = 2) = 𝑃(𝑌 = −2) + 𝑃(𝑌 = 2) =1 4+1
3= 7
Remarque : |𝑌| = 2 signifie que la distance à zéro de Y vaut 2 : 𝑌 = 2 ou −2. 12
N°18 page 326 :
Les données de l’énoncé peuvent être compilées dans un tableau pour plus de clarté :
𝑘 10 20 30 40
𝑃(𝑍 = 𝑘) 1
5
𝑥 2
1
5 𝑥
La somme des 4 probabilités est égale à 1 : 1
5+𝑥 2+1
5+ 𝑥 = 1 ⇔ 3𝑥 2 =3
5 ⇔ 𝑥 =2 5 Ainsi le tableau complété donne :
𝑘 10 20 30 40
𝑃(𝑍 = 𝑘) 1
5
1 5
1 5
2 5
N°21 page 326 :
from random import randint
signifie que le programme va utiliser la fonction randint def gain()
signifie que l’on définit une fonction (dont le nom est gain) tirage=randint(1,11)
signifie que la variable tirage contient un entier aléatoire compris entre 1 et 11.
if tirage==2:
G=3
signifie que lorsque la variable tirage prend la valeur 2, la variable G prend la valeur 3.
if tirage==4:
G=-5
signifie que lorsque la variable tirage prend la valeur 4, la variable G prend la valeur -5.
else:
G=-10
signifie que lorsque la variable prend une autre valeur que 2 et 4 (à savoir 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ou 11), la variable G prend la valeur -10.
return(G)
Signifie que le programme renvoie la valeur attribuée à la variable G.
On peut donc imaginer que ce programme créée une variable aléatoire G de valeurs possibles −10, −5 et 3.
On peut également imaginer une urne contenant 11 boules numérotées de 1 à 11.
Un tirage est effectué dans cette urne et on note le résultat obtenu.
La valeur de gain 3 (on gagne 3 points ou 3€) est obtenue dans le cas où le tirage donne la boule 2 avec la probabilité .
La valeur de gain −5 (on perd 5 points ou 5€) est obtenue dans le cas où le tirage donne la boule 4 avec la probabilité .
La valeur de gain −10 (on perd 10 points ou 10€) est obtenue dans le cas où le tirage donne une boule différente des boules 2 et 4 avec la probabilité .
Énoncé de problème possible :
Dans une urne contenant 11 boules numérotées de 1 à 11, on effectue un tirage.
Si la boule tirée est la 2, on gagne 3 points, si la boule tirée est la 4, on perd 5 points, pour toute autre boule tirée, on perd 10 points.
N°34 page 327 :
Regroupons les valeurs dans un tableau, notons e la probabilité d’obtenir « pile ». La probabilité d’obtenir « face » est donc 1 − 𝑝.
𝑘 0 1
𝑃(𝑋 = 𝑘) 1 − 𝑝 𝑝
𝐸(𝑋) = 0 × (1 − 𝑝) + 1 × 𝑝 = 𝑝 Et comme 𝐸(𝑋) =1
3, alors 𝑝 =1 3 Conclusion :
𝑘 0 1
𝑃(𝑋 = 𝑘) 2
3
1 3
Remarque : Une loi de ce type est appelée loi de Bernoulli (de paramètre ).
N°42 page 328 :
La variable k prend la valeur 0 au début de l’algorithme.
L est une liste qui sera complétée au fil de l’algorithme. Une liste est une suite de valeurs entre crochets séparées par des virgules.
Exemple de liste (hors contexte de l’exercice) : L=[1,3,5,-2,6.5,7]
Pour un nombre en écriture décimale, la virgule est remplacée par un point (6.5 par exemple).
« Tant que k<5 » signifie que l’instruction qui suit sera effectuée lorsque k prendra les valeurs successives 0, 1, 2, 3 et 4 et s’arrêtera lorsque k prendra la valeur 5.
« k←k+1 » signifie que l’on ajoute une unité à la variable k : la première instruction attribuera donc la valeur 1 à k (0+1).
« ajouter à L l’élément … » signifie qu’à chaque étape, on ajoute à la liste L la somme de deux entiers aléatoires compris entre 1 et 4.
Par exemple : si les deux nombres aléatoires obtenus sont 2 et 1, on ajoute à la liste L le nombre 3.
La liste L étant vide au départ, le nombre 3 sera le premier terme de la liste.
Si à l’étape suivante, les nombres aléatoires sont 2 et 4, on ajoutera alors 6 à la liste L. L sera alors égale à [3 ;6]…
Si vous avez bien compris le principe, la liste L sera alors constituée de 5 nombres entiers compris entre 2 et 8.
1ère étape : k=0<5 donc k=0+1=1 puis L=[3] (3 est bien sûr un exemple parmi d’autres) 2ème étape : k=1<5 donc k=1+1=2 puis L=[3,6]
3ème étape : k=2<5 donc k=2+1=3 puis L=[3,6,5] (en imaginant que les nombres obtenus sont 3 et 2) 4ème étape : k=3<5 donc k=3+1=4 puis L=[3,6,5,2] (si les nombres obtenus sont 1 et 1)
5ème étape : k=4<5 donc k=4+1=5 puis L=[3,6,5,2,7] (si les nombres obtenus sont 4 et 3) 6ème étape : k=5≥5 donc l’algorithme s’arrête !
1) Contenus possibles de la liste : L=[3,6,5,2,7]
L=[8,5,4,4,3]
L=[5,5,5,8,7]
Toute liste de 5 nombres entiers compris entre 2 et 8 est donc possible et acceptée.
2) On lance 5 fois de suite deux dés tétraédriques (4 faces numérotées de 1 à 4).
A chaque lancer, on additionne les deux numéros obtenus.
On dresse ainsi une liste de 5 nombres (compris entre 2 et 8).
N°44 page 328 :
Les résultats peuvent être compilés dans un tableau à double entrée pour plus de clarté : Dé 2
Dé 1 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Les sommes identiques sont de la même couleur (pour vous aider mais rien d’obligatoire bien sûr) On constate que le nombre 7 est le plus probable, les nombres 2 et 12 les plus rares.
Ainsi le tableau de la loi de S donne :
𝑘 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
𝑃(𝑍 = 𝑘) 1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
5 36
4 36
3 36
2 36
1 36
Il semblerait, sans calcul, que la moyenne soit égale à 7 compte tenu de la symétrie entre les valeurs.
Calculons l’espérance pour s’en assurer : 𝐸(𝑍) = 2 × 1
36+ 3 × 2
36+ 4 × 3
36+ 5 × 4
36+ 6 × 5
36+ 7 × 6
36+ 8 × 5
36+ ⋯ + 11 × 2
36+ 12 × 1 36= 𝟕 En moyenne, la somme des deux dés est égale à 7 (la valeur centrale de la loi).
N°45 page 328 :
Les données de l’énoncé peuvent être compilées dans un tableau.
Il semble logique de noter 𝑥 = 𝑃(𝑋 = 0) et d’exprimer les autres en fonction :
𝑘 −2 −1 0 10
𝑃(𝑋 = 𝑘) 3𝑥 𝑥
2 𝑥 3𝑥
La somme des 4 probabilités est égale à 1 : 3𝑥 +𝑥
2+ 𝑥 + 3𝑥 = 1 ⇔15𝑥
2 = 1 ⇔ 𝑥 = 2 15 Ainsi le tableau complété donne :
𝑘 −2 −1 0 10
𝑃(𝑋 = 𝑘) 2
5
1 15
2 15
2 5
N°49 page 329 :
from random import random
signifie que le programme va utiliser la fonction random def gain()
signifie que l’on définit une fonction (dont le nom est gain) tirage=floor(random()*6+1)
signifie que la variable tirage contient un entier aléatoire compris entre 1 et 6.
Pas forcément évident à interpréter… En exercice, cette signification serait précisée.
if tirage<=2:
X=5
signifie que lorsque la variable tirage prend la valeur 1 ou 2, la variable X prend la valeur 5.
if tirage==4:
X=-3
signifie que lorsque la variable tirage prend la valeur 4, la variable X prend la valeur -3.
else:
X=-20
signifie que lorsque la variable prend une autre valeur que 1, 2 et 4 (à savoir 3, 5 ou 6), la variable X prend la valeur -20.
return(X)
Signifie que le programme renvoie la valeur attribuée à la variable X.
On peut donc imaginer que ce programme créée une variable aléatoire X de valeurs possibles −20, −3 et 5.
On peut également imaginer un lancer de dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Un lancer de dé est effectué et on note le résultat obtenu.
La valeur de gain 5 (on gagne 5 points ou 5€) est obtenue dans le cas où le dé donne 1 ou 2 (avec la probabilité = ).
La valeur de gain −3 (on perd 3 points ou 3€) est obtenue dans le cas où le dé donne la face 4 (avec la probabilité ).
La valeur de gain −20 (on perd 20 points ou 20€) est obtenue dans le cas où le dé donne la face 3, la 5 ou la 6 (avec la probabilité = ).
Énoncé de problème possible :
On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Si la face obtenue est 1 ou 2, on gagne 5 points, si la face obtenue est 4, on perd 3 points, pour toute autre face obtenue, on perd 20 points.
N°55 page 330 :
1) L’univers est constitué de tous les entiers compris entre 1 et 100.
Chaque issue a la même probabilité d’être obtenue.
Ainsi, pour tout entier 𝑘 compris entre 1 et 100, 𝑃(𝑋 = 𝑘) = .
𝑘 1 2 3 4 … 98 99 100
𝑃(𝑍 = 𝑘) 1 100
1 100
1 100
1
100 … 1
100 1 100
1 100
Pour info : Une telle loi est appelée loi uniforme.
2) 𝐸(𝑋) = 1 × 1
100+ 2 × 1
100+ 3 × 1
100+ ⋯ + 99 × 1
100+ 100 × 1 100
= (1 + 2 + 3 + ⋯ + 99 + 100) × 1 100
=100 × 101
2 × 1
100=101
2 = 50,5
Vous aurez bien sûr reconnu la formule de début d’année (chapitre sur les suites) : 1 + 2 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛 + 1)
2
Petit rappel utile pour la suite : pour compter le nombre d’entiers compris entre 𝑎 et 𝑏, on effectue le calcul 𝑏 − 𝑎 + 1.
Exemple : entre 8 et 17, il y a 10 entiers 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 et 17 (17 − 8 + 1 = 10) 3)a) 𝑃(𝑋 = 43) =
b) 𝑃(𝑋 ≤ 20) = : en effet, 20 nombres réalisent cet événement (1, 2, … , 20)
c) 𝑃(𝑋 > 61) = : les nombres 62, 63, …, 100 réalisent l’événement, ils sont au nombre de 39.
d) 𝑃(30 ≤ 𝑋 < 40) = : les nombres 30, 31, … , 39 réalisent l’événement, ils sont au nombre de 10.
e) 𝑃(𝑋 ∈ [45; 67]) = : les nombres 45, 46, … , 67 réalisent l’événement, ils sont au nombre de 23.
f) Pour calculer 𝑃{ }(𝑋 > 35), je vous propose deux méthodes :
1ère méthode : La condition {𝑋 ≤ 60} impose que l’on choisisse un nombre au hasard parmi les 60 premiers.
L’événement {𝑋 > 35} est alors réalisé par les nombres 36, 37, … , 60 (il y en a 25).
Ainsi 𝑃{ }(𝑋 > 35) = =
2è méthode : 𝑃{ }(𝑋 > 35) =𝑃({𝑋 > 35} ∩ {𝑋 ≤ 60})
𝑃(𝑋 ≤ 60) = 𝑃(35 < 𝑋 ≤ 60) 𝑃(𝑋 ≤ 60) =
25 100
60 100
= 25 60= 5
12 g) Les événements étant incompatibles :
𝑃({𝑋 < 50} ∪ {𝑋 > 80}) = 𝑃(𝑋 < 50) + 𝑃(𝑋 > 80) = 49
100+ 20
100= 69 100
N°60 page 330 : 1)
𝐶 𝐿 𝑅 Total
𝑆 4 % 9 % 26 % 39 %
𝑆̅ 8 % 27 % 26 % 61 %
Total 12 % 36 % 52 % 100 %
2) a) IL y a deux types de tarif d’adhésion : 50€ ou 80€
Si à ce prix est ajouté la sortie annuelle, on obtient deux tarifs supplémentaires : 90 € et 120 €.
Ainsi, M peut prendre 4 valeurs différentes : 50, 80, 90 ou 120.
b) 𝑃(𝑀 = 50) = 𝑃(𝐿 ∩ 𝑆̅) + 𝑃(𝑅 ∩ 𝑆̅) = 0,27 + 0,26 = 0,53 𝑃(𝑀 = 80) = 𝑃(𝐶 ∩ 𝑆̅) = 0,08
𝑃(𝑀 = 90) = 𝑃(𝐿 ∩ 𝑆) + 𝑃(𝑅 ∩ 𝑆) = 0,09 + 0,26 = 0,35 𝑃(𝑀 = 120) = 𝑃(𝐶 ∩ 𝑆) = 0,04
𝑘 50 80 90 120
𝑃(𝑀 = 𝑘) 0,53 0,08 0,35 0,04
La somme des 4 probabilités est égale à 1 ce qui est plutôt rassurant.
c) 𝐸(𝑀) = 50 × 0,53 + 80 × 0,08 + 90 × 0,35 + 120 × 0,04 = 69,2
Il faut donc réduire le montant de la participation pour atteindre l’objectif. Notons 𝑥 ce nouveau montant et reproduisons le tableau associé :
𝑘 50 80 50 + 𝑥 80 + 𝑥
𝑃(𝑀 = 𝑘) 0,53 0,08 0,35 0,04
𝐸(𝑀) = 50 × 0,53 + 80 × 0,08 + (50 + 𝑥) × 0,35 + (80 + 𝑥) × 0,04
= 26,5 + 6,4 + 17,5 + 0,35𝑥 + 3,2 + 0,04𝑥 = 0,39𝑥 + 50,4 Il reste à résoudre l’inéquation 𝐸(𝑋) ≤ 65 :
𝐸(𝑋) ≤ 65 ⇔ 0,39𝑥 + 50,4 ≤ 65 ⇔ 0,39𝑥 ≤ 14,6 ⇔ 𝑥 ≤14,6
0,39 ⇔ 𝑥 ≤ 37,43
Le montant de la participation ne doit pas dépasser 37,43 € pour respecter l’objectif du directeur du club de sport.
N°71 page 332 :
Rajoutons le tableau avec les produits possibles (mais ce n’est pas obligatoire) Dé 2
Dé 1 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 24 30
6 6 12 18 24 30 36
1) L’événement [S=7] est réalisé par les issues (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2) et (6;1) L’événement [P=6] est réalisé par les issues (1;6), (2;3), (3;2) et (6;1)
L’événement A est la réunion des deux événements, il est réalisé par 8 issues (on ne compte pas deux fois les issues (1;6) et (6;1))
Ainsi 𝑃(𝐴) = =
L’événement [S=6] est réalisé par les issues (1;5), (2;4), (3;3), (4;2) et (5;1).
L’événement [P=4] est réalisé par les issues (1;4), (2;2) et (4;1)
L’événement B est la réunion des deux événements, il est réalisé par 8 issues (pas d’issue en commun) Ainsi 𝑃(𝐴) = =
Les deux événements ont la même probabilité d’être obtenus, ils sont équiprobables.
2) L’événement C est l’intersection de [S=7] et [P=6]. Deux issues réalisent les deux événements simultanément : (1;6) et (6;1)
Ainsi 𝑃(𝐶) = =
Une seule issue réalise D : c’est (2;2) donc 𝑃(𝐷) = L’événement C est donc plus probable que D.
