Exemples de croisements de deuxième espèce dans le diagramme d'énergie d'un atome habillé par des photons de radiofréquence

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Exemples de croisements de deuxième espèce dans le

diagramme d’énergie d’un atome habillé par des photons

de radiofréquence

G. Grynberg, J. Dupont-Roc, S. Haroche, C. Cohen-Tannoudji

To cite this version:

G. Grynberg, J. Dupont-Roc, S. Haroche, C. Cohen-Tannoudji. Exemples de croisements de deuxième

espèce dans le diagramme d’énergie d’un atome habillé par des photons de radiofréquence. Journal

de Physique, 1973, 34 (7), pp.537-558. �10.1051/jphys:01973003407053700�. �jpa-00207415�

EXEMPLES

DE

CROISEMENTS

DE

DEUXIÈME

_ESPÈCE

DANS

LE DIAGRAMME

D’ÉNERGIE

D’UN

ATOME

HABILLÉ

PAR

DES

PHOTONS

DE

_{RADIOFRÉQUENCE}

G.

_GRYNBERG,

J.

_DUPONT-ROC,

S. HAROCHE et C. COHEN-TANNOUDJI

Laboratoire

de

_{Spectroscopie}

Hertzienne de

_l’ENS,

24,

rue

Lhomond,

75005

_Paris,

France

(Reçu

le 28 décembre

₁₉₇₂₎

Résumé. 2014 Les résultats obtenus dans le

précédent article,

concernant l’existence de

plusieurs

types de croisements de

niveaux,

sont illustrés sur les

diagrammes d’énergie

d’atomes habillés par des

photons

de

radiofréquence,

de

_{polarisations}

diverses.

Une étude détaillée des

_symétries

du

système

global

atome +

_{radiofréquence}

permet de classer

simplement

tous les croisements de

première espèce

et certains croisements de deuxième

_{espèce (liés}

à des

_{symétries ponctuelles).}

A

_partir

d’une formulation

_quantique

du théorème de

_Majorana,

on

identifie les autres croisements comme étant des croisements de deuxième

espèce

de tous ordres

(croisements

de

_Majorana).

On

_présente

enfin une étude

_{expérimentale}

des

_propriétés

d’une réso-nance observable au

_voisinage

d’un croisement de

Majorana.

Abstract. 2014 The results obtained in the

preceding

article

concerning

the existence of various types of level

crossings

are illustrated on the energy

diagrams

of atoms dressed

by

RF

photons

of various

_{polarizations.}

By studying

the

_symmetries

of the _{total system} atom + RF

field,

one determines all the

cros-sings

of the first kind and some

_crossings

of the second kind

_(related

to

_point

symmetries). Using

a _quantum formulation of

_{Majorana’s theorem,}

one identifies all the other

_crossings

with

crossings

of the second kind of all orders

_{(« Majorana’s crossings »). Finally,}

an

_{experimental study}

of the

properties

of a resonance observable near a

_{Majorana’s crossing}

is

_presented.

Classification

Physics Abstracts 13.20 - 05.20

1. Introduction. - Nous

avons, dans un

précédent

article

_{[1 ],}

étudié et classé les différents

_types

de

croi-sements de niveaux

_{susceptibles d’apparaître}

dans le

diagramme d’énergie

d’un

_système

_{quantique lorsqu’on}

fait varier un

_paramètre

_coo dont

_dépend

le hamiltonien Je du

_système.

Nous avons vu _{que pour}

_distinguer

les différentes

sortes de croisements se

produisant

entre deux niveaux

1

à >

et

b

>,

il est utile de considérer des

_expressions

de la forme :

Chacune de ces

expressions

fait intervenir une chaîne

d’états _propres

_{intermédiaires}

_{1 il >, 1 E2 >,}

...,

1

kn

> de 3£ et

_{relie â}

>

_{à )}

_b

> par la succession des

produits

scalaires de

_chaque

état avec la dérivée du suivant _par

_rapport

_{à coo.}

_Quand

toutes les chaînes ainsi définies sont

_{identiquement}

_nulles,

_quelle

_que

soit la suite d’états intermédiaires

_envisagée,

les deux

nivaux

1 a

>

et

b

>

varient,

lorsqu’on

balaie coo,

dans des _sous-espaces

_orthogonaux.

Ils sont alors de

symétries

différentes et le croisement de niveaux est

dit de

_{première espèce. Lorsque}

l’une des chaînes

précédentes

est non

identiquement

nulle,

il n’est

plus

possible

d’assigner

une

_symétrie

différente aux deux niveaux

_qui

ne varient

_plus

dans des _sous-espaces

stables

_orthogonaux.

Le croisement est alors dit de deuxième

espèce.

Si toutes les chaînes faisant intervenir moins

_{de p}

états intermédiaires sont

_{identiquement}

nulles et si une chaîne

_{à p}

états intermédiaires est

effectivement différente de

_zéro,

les deux niveaux

1

a >

et

b

> sont dits d’ordre

_{relatif p}

et le croisement de deuxième

_{espèce qu’ils}

forment est d’ordre p. Nous

avons enfin montré que certains croisements de

deuxième

espèce

d’ordre

_zéro,

tels _que

peuvent

être liés à une

_symétrie

accidentelle du

hamil-tonien,

existant au

point

de croisement coo =

coo, seulement et ne subsistant _{pas pour les} autres valeurs du

_paramètre

_coo.

La classification

_précédente

est intéressante dans la

mesure

_où,

suivant la nature du

_croisement,

les

pro-priétés physiques

du

_système

au

voisinage

de 000 =

cooc

peuvent

être très différentes. Nous avons montré en

particulier,

dans le cas d’un croisement de

_première

espèce,

que si le

système

se trouve initialement

_préparé

dans

l’état

1 if

> pour une valeur _{coo coo,,} et si l’on balaie _coo

_{jusqu’au point}

de croisement et

_au-delà,

le

système

ne

_peut,

quelle

_{que soit la vitesse du}

balayage,

passer dans

l’état

b

> ;

lorsqu’au

contraire le

croi-sement est de deuxième

_espèce,

le passage à travers

le

_point

de croisement ne

_peut

s’effectuer

adiabati-quement

_{(c’est-à-dire}

sans transition irréversible vers

1

b

_»

que si la variation du

paramètre

coo est sufh-samment

_lente,

la vitesse du

_balayage

devant être d’autant

_plus

_{faible que l’ordre du croisement de} deuxième

espèce

est

_plus

bas.

Une autre distinction intéressante entre croisements de

_première

et de deuxième

_{espèce apparaît lorsque}

le hamiltonien du

_système

_peut

se diviser naturellement en une

_partie

non

_{perturbée Jeo,}

dont on connaît les

états propres et les

_énergies,

et une

perturbation

V,

petite

devant

_{JCo. Envisageons}

un croisement de

pre-mière

_espèce

de

_Jeo

entre deux

_niveaux

_a

>

et

b

> de

_symétries

différentes,

c’est-à-dire associés à des valeurs propres distinctes

_la

et

_lb

d’un

_opérateur

de

symétrie

L,

indépendant

de _coo et commutant avec

_Jeo.

Si

_{V respecte}

la

_symétrie,

c’est-à-dire si l’on a

_{[ V,}

L] = 0,

le

_couplage

ne connecte à aucun ordre les niveaux

1

a _>

_et

_b

_>, et les deux niveaux

_perturbés

â

>

et

b

>

qui

se déduisent

de

_a

>

et

b

> par

branche-ment de la

_{perturbation V}

continuent à former un

croisement de

_première

_espèce

dans le

_diagramme

d’énergie

de JC. Pour exciter une cohérence entre ces

niveaux et _{par voie de}

_conséquence

observer un

_signal

de croisement de

niveaux,

nous avons vu

_qu’il

est

alors nécessaire d’exciter

_également

une

_{superposition}

linéaire des deux niveaux non

_perturbés

_a

_>

_et

_b

_>,

c’est-à-dire encore d’effectuer un pompage transversal dans la base des états _propres non

perturbés

de

Jeo.

Supposons

maintenant au contraire

que V

ne

respecte

pas la

symétrie

L([V,

L] *

_0).

Les deux

niveaux

a

>

et

b

>

peuvent

alors être

_couplés

par la

perturbation,

ce

_qui

a en

_général

pour effet de les repousser et de conduire à un anticroisement de

niveaux de Je. Nous avons vu

_cependant

_que, si le

couplage entre

a

>

et

b

> s’effectue indirectement par l’intermédiaire

d’états

[ 1 >, [ j >

différents de

1

a >

et

b

>,

il

_peut

se trouver que le

couplage

s’annule

_juste

au

_point

de croisement sous l’enët d’une

interférence destructive entre

_plusieurs

_{processus. Les}

niveaux de

_X,

dont la

_symétrie

_par

_rapport

à L n’est

plus

définie,

continuent alors à se croiser _{pour former} un croisement de deuxième

_espèce.

Pour exciter une

cohérence entre les deux niveaux

_qui

se croisent et

détecter un

_signal

au

_point

de

croisement,

il n’est

alors

plus

nécessaire d’effectuer un _pompage cohérent

dans la base des états non

_perturbés

et une

simple

excitation des

_populations

du

_système

dans cette base

est suffisante pour détecter le croisement de niveaux

de Je. On observe alors un

_signal

résonnant dont

les

propriétés

sont, comme nous l’avons vu,

intermé-diaires entre celles des

_signaux

de croisements de niveaux ordinaires

_{(de première espèce)}

et des

_signaux

d’anticroisements : comme _pour un

anticroisement,

le

signal correspond, lorsqu’on

balaie wo, à un transfert résonnant de

_populations

entre des niveaux non

per-turbés de

Jeo ;

comme _pour un

_signal

de

croisement,

sa

largeur

tend vers zéro

_lorsque

la

_largeur

naturelle r

des niveaux

_d’énergie

concernés s’annule

_(alors

_qu’il

subsiste une

_largeur

_intrinsèque

_{proportionnelle}

au

couplage

entre les niveaux

_qui

s’anticroisent dans le

cas d’une résonance

d’anticroisement).

Le but du

présent

article est d’illustrer les considé-rations

_{précédentes}

en étudiant les différents

croise-ments de niveaux

_{qui apparaissent}

dans le

_diagramme

Zeeman d’un atome habillé

_[2]

_par des

_photons

de

radiofréquence. Rappelons

que l’atome habillé est le

système

global

constitué _par un niveau

_atomique

de

spin

J en interaction avec un mode du

_champ

électro-magnétique quantifié.

Le

_diagramme

_d’énergie

d’un tel

_système

_présente

un

_grand

nombre

d’anticroise-ments et de croisements de niveaux dont il est

possible,

comme nous allons le

voir,

de modifier à volonté le nombre et la

_position

en variant la

taille du

_spin

J du niveau

_atomique

ou encore

la

_polarisation

de la

_{radiofréquence.}

La

_grande

richesse en croisements de niveaux de son

_diagramme

d’énergie,

ainsi que la

possibilité

de détecter ces

croisements _par des

_{expériences simples}

de _pompage

optique,

font ainsi de l’atome habillé un

_système

quantique particulièrement

bien

_indiqué

_pour la clas-sification et l’étude des différents

_types

de croisements de niveaux.

Le

_{diagramme d’énergie}

de l’atome habillé se déduit de la connaissance de son hamiltonien

_qui

est

constitué de trois termes.

- Un hamiltonien

propre au

_système

_atomique

placé

dans un

_{champ magnétique statique Ho, égal}

à

coo

J ,

avec _Wo = -

Ya Ho

où

Ya est le

_rapport

gyro-magnétique

du niveau

_(ocJ)

considéré.

-

Un hamiltonien propre au

_champ

de radiofré-quence

coa’a

où west la

pulsation

du

_champ

de

radio-fréquence, a

et

a’

étant

_{respectivement}

les

opérateurs

d’annihilation et de création d’un

_photon

dans le mode considéré.

- Un terme d’interaction entre l’atome et le

champ

égal

à

_ÂJ(af:

+ a+

E*)

où E est la

_polarisation

du

_champ

de

_{radiofréquence}

et Z un coefficient de

_couplage

dont on

_peut

montrer

_{[2], [3] qu’il}

est

_égal

à Ya

H,12

-,ln

(Hl

est

_{l’amplitude}

du

_champ

de

_{radiofréquence}

classique

et n le nombre moyen de

photons

dans le mode

considéré).

En tenant

_compte

de ces trois

termes, on obtient :

Les

_figures

1 et 2 donnent un _aperçu du tracé des niveaux propres de Je en fonction du

_champ

magné-tique

Ho,

pour diverses

polarisations

de la

radio-fréquence,

et dans le cas

_{respectivement}

d’un niveau

cas de

polarisation particulièrement simples (champs

de

_{radiofréquence}

tournant

_{perpendiculaire}

à

_Ho,

ou

linéaire

_parallèle

à

_{Ho, figures}

la,

2a et

_lb,

_2b),

_pour

lesquels

on

_peut

_{diagonaliser rigoureusement R [2],}

la détermination du

_{diagramme d’énergie}

de l’atome habillé se fait par une méthode

_approchée.

Si le

_champ

de

_{radiofréquence}

n’est pas trop

intense,

on a une

allure assez bonne des niveaux

_d’énergie

en

considé-rant le terme V d’interaction entre l’atome et le

_champ

comme une

_perturbation

vis-à-vis de :

Les états propres de

JC,,

d’énergie

mcvo + nw sont

simplement

les

états

m, n

>

_{représentant}

l’atome dans le sous-niveau Zeeman m en

_présence

de n

pho-tons. Ces niveaux sont

_{représentés}

_par les

_lignes

droites

en

_pointillé

sur les

_figures

1 et 2. Ils constituent des

diagrammes

qui présentent

une infinité de croisements

de niveaux. Ces croisements

_apparaissent

pour les

FIG. 1. - Variations _en fonction du champ magnétique

sta-tique des niveaux d’énergie d’un spin i habillé par des photons RF

de diverses _{polarisations.}

FIG. 2. - Variations

en fonction du champ magnétique sta-tique des niveaux d’énergie d’un spin 1 habillé par des

pho-tons RF de même _polarisation que dans la figure 1.

valeurs du

_champ

_magnétique

_{telles que cvo} =

/?0153

dans le cas d’un

spin 2 (p entier).

Si le

spin

est

supé-rieur

_{à 1 (J}

= 1

par

exemple,

voir

Fig. 2),

il

existe,

en

plus

des croisements

_{précédents,}

des croisements dans des

_champs

_{fractionnaires}

_{tels que coo} =

pco/q

[croi-sements demi-entiers _coc, =

(2 p

₊

1 ) co/2

_{pour J} =

1].

Quand

on

_rajoute

le terme de

_couplage

V,

la forme du

_{diagramme d’énergie}

est modifiée :

_lorsque

les niveaux

_qui

se croisent se trouvent

_couplés

entre eux

directement ou indirectement par

V,

il

apparaît

un

anticroisement de niveaux de 3£. Les anticroisements

ne

_peuvent

_provenir,

comme nous le montrons

_plus

loin,

que des croisements entiers de

Jeo,

de la forme coo =

pco. Si les

niveaux

m, n

>

et

m’,

n’ > de

Jeo

qui

se croisent ne sont au contraire _pas

couplés

entre

eux _par la

_perturbation

_V,

les niveaux de J6 continuent

de se

croiser,

le

point

de croisement étant

éventuelle-ment

_déplacé

par

rapport

à celui de

Jeo.

On obtient ainsi les

_{configurations}

de niveaux des

_figures

1 et 2

qui

ont été étudiés en détail dans des

publications

précédentes [2], [4].

Les différents croisements et anticroisements de niveaux

_apparaissant

sur les

_diagrammes

des

_figures

1

et 2 sont associés à divers

_types

de résonance

magné-tique

bien connus. Aux anticroisements coo =

pco

correspondent

des résonances

magnétiques

à un ou

plusieurs

quanta

[5].

Le

_{système, préparé}

initialement dans l’état non

_perturbé

_{m, n}

_>,

_peut

en

effet,

_par

perturbés, qui

se traduit

précisément

par l’existence de

l’anticroisement,

se retrouver à un instant t ultérieur

dans un

_{état ) m’, n - p}

>. Ce processus

correspond

à une transition

atomique m -

m’ avec

_absorption

de p photons

de

_{radiofréquence.}

Les résonances

corres-pondantes

s’observent,

comme toutes les résonances

d’anticroisements,

en _pompage

_longitudinal

dans la base non

_perturbée

des états propres de

_Jeo

(on

doit,

par un

procédé

de

préparation quelconque, peupler

différemment les états

_{atomiques m}

et m’ ce

_qui

a

pour effet de créer une différence de

_populations

entre

états

mn

>

et

m’, n - p

_{> ).}

Toutes ces résonances d’anticroisements

_{possèdent également}

la

caracté-ristique importante

d’avoir une

_{largeur dépendant}

de

l’intensité de la

_{radiofréquence, qui}

ne s’annule _pas

lorsque

la

_largeur

naturelle r des niveaux

_atomiques

tend vers zéro.

Les croisements de niveaux de l’atome habillé sont

associés

_quant

à eux à des résonances

magnétiques

de _{cohérence d’un genre} différent. Elles

_{correspondent}

à la variation

_résonnante,

_lorsqu’on

balaie _coo, d’une observable

_atomique

_possédant

un élément de matrice

non nul entre _{les états propres} de l’atome habillé

_qui

se croisent. Un certain nombre de ces croisements

ont

_déjà

fait

_l’objet

d’études

_théoriques

ou

expérimen-tales au cours de ces dernières années. Il

s’agit

de

divers croisements de niveaux observables sur un

spin 2

avec un

champ

de

radiofréquence parallèle

au

champ statique (résonances

paramétriques)

[6]

ou

perpendiculaires

au

_{champ statique [7] (résonances}

coo =

2pco)

_{ou encore} des croisements de niveaux

observables sur un

_{spin t}

ou sur un

_spin

1 en

_présence

d’un

_champ

RF tournant

_{perpendiculaire}

à

_Ho

[résonances

coo = 0 et coo = 2 _{co sur un}

spin t [8] ;

résonances coo co, coo =

0,

OJo =

w12,

coo = 3

co/2,

coo = 2 co, coo - 3 OJ observables sur un

spin

1

[2],

[9],...]

ou encore des résonances de

_spectre

demi-entier

coo =

(2 p

₊

1) m/2

observables _{sur un}

spin J> 2

avec un

champ

de

radiofréquence

en

_polarisation

Q

_[10].

Toutes ces résonances ont _pour

_{caractéristique}

essentielle d’avoir une

largeur intrinsèque

proportion-nelle à

_T,

_qui

s’annule

_lorsque

la durée de vie des niveaux devient infinie. Toutes ont _{pour leur}

observa-tion nécessité l’utilisation _{d’un pompage}

_atomique

transversal

_(en

excitant des cohérences

_atomiques

entre

états

m

>

et

m’

>

différents,

on

_prépare

le

_système

dans une

_{superposition}

cohérente d’états propres non

perturbés

du hamiltonien

_£0).

Ce dernier

_point

laisse supposer que les croisements de niveaux correspon-dants de l’atome habillé sont de

_première

_espèce.

La

question

qui

se _pose immédiatement est alors de savoir s’il en est de même de tous les croisements de niveaux observables sur les

figures

1 et 2. Nous allons

montrer

_qu’il

n’en est rien et

_qu’il

existe en

fait,

suivant

la taille du

_spin

et la

_polarisation

de la

_{radiofréquence,}

des croisements de deuxième

_espèce

de différents ordres. Alors _{que les} croisements de

_{première espèce}

sont constitués par des niveaux de

symétries

différentes

qui

ne

_peuvent

se _{repousser, les niveaux}

_qui

constituent

les croisements de deuxième

_espèce

dans le

_diagramme

de l’atome habillé _{n’ont pas} de

_symétrie

bien

_définie,

et leur

_{non-répulsion provient}

d’une interférence destructive au

_point

de croisement entre

_plusieurs

modes de

_couplage

différents. Nous verrons

_qu’à

ces

croisements,

qui

sont en fait des anticroisements

empêchés,

sont associées des résonances

_magnétiques

aux

_propriétés

intermédiaires entre celles des transi-tions à

_plusieurs

_quanta

et celles des résonances

magné-tiques

de cohérence

_{précédemment}

observées : d’une

part,

elles

_{correspondent}

à un transfert résonnant de

populations

entre les niveaux

_atomiques

sous l’effet

du

_couplage

avec la

_{radiofréquence ;}

d’autre

_part,

elles

ne

_présentent

_par

_{l’élargissement}

de

_{radiofréquence}

caractéristique

de transitions à

_plusieurs

_quanta.

Pour arriver à une classification

_simple

des différents

croisements de niveaux de l’atome

_habillé,

il va nous

falloir,

pour commencer, faire une étude détaillée des

symétries

du

_système

_global

atome +

_{radiofréquence.}

Cette étude nous

_permettra

de classer aisément les croisements observables sur un

_{spin 2}

habillé

_{(§ 2).}

Afin d’étendre la classification obtenue au cas d’un

spin

de taille

_quelconque,

nous

développerons

ensuite une formulation

_quantique

du théorème de

Majo-rana

(§ 3).

Nous

préciserons

alors les conditions

d’observation des résonances de cohérence aux

diffé-rents croisements de l’atome

_habillé,

et nous décrirons

quelques

expériences

nous

_ayant

_permis

de vérifier

les

_{points prévus}

par la théorie

(§ 4).

2. Etude des croisements de niveaux d’un

_{spin t}

habillé à

_partir

des

_symétries

du

_système

_global

« atome

+

champ

de

_{radiofréquence}

». - Pour diverses

pola-risations du

_champ

de

_{radiofréquence,}

le hamiltonien 3£ =

_Xo

+ V de l’atome habillé commute avec un

certain

_opérateur

_indépendant

du

_paramètre

coo ; ceci traduit l’existence d’une

_symétrie

du

_système

atome +

_champ

de

_{radiofréquence indépendante}

du

champ statique appliqué

aux atomes. On

_peut

alors associer un bon nombre

_quantique

de

_symétrie

à chacun

des niveaux propres de

Jeo

et de Je. Les différents croisements de niveaux de

_Jeo

_{correspondant}

à des nombres

_quantiques

de

_symétrie

différents restent

des croisements de

_première

_espèce

du hamiltonien

complet

Je. S’il n’existe pas

d’opérateur

de

_symétrie

commutant,

quel

que soit coo, avec

Je,

mais si l’on

peut

trouver _pour une valeur

_{particulière}

_coo,,, du

paramètre

coo un

_opérateur

de

symétrie

entraînant une

dégénérescence,

les niveaux

_d’énergie

de Je se croisent

nécessairement en _WOc, formant un croisement de

deuxième

_espèce

dont il nous reste à

_préciser

l’ordre. L’étude des diverses

_symétries

de

_Je,

valables

_quel

que soit le

_{champ statique}

ou seulement _pour certaines

valeurs

_{particulières}

de ce

_champ,

se révèle donc utile

pour

répertorier

l’ensemble des croisements de niveaux de

_{première espèce}

et certains croisements de deuxième

espèce

dans les

_diagrammes

_d’énergie

de l’atome habillé. Il se trouve d’ailleurs que l’on obtient ainsi

diagrammes

d’énergie

d’un

_{spin 2 représentés}

sur la

figure

1,

et

_{qui correspondent}

évidemment au cas le

plus simple

d’atome habillé que l’on

puisse

étudier. 2. 1 LES SYMÉTRIES DU SYSTÈME GLOBAL SE CONSER-VANT POUR TOUT _Wo. - Pour certaines

dispositions

simples

du

_{champ statique}

_Ho

et du

_champ

de

radio-fréquence H1(t),

le

_système

_global

atome +

radiofré-quence

présente

une

_symétrie

évidente. C’est le cas

des

_{polarisations}

x,

a +

et u de la

radiofréquence :

2. 1. 1 Polarisation : invariance par rotation du

système

global

autour de Oz. -

Plaçons-nous

tout

d’abord dans le cas où l’on balaie le

_champ

magné-tique

parallèlement

au

_champ

de

_{radiofréquence (ces}

deux

_champs

étant

_appliqués

le

_long

de

Oz ;

voir

Fig. 3a).

Dans ces

conditions,

toute rotation du

_système

global

autour de Oz est manifestement une

_opération

de

_symétrie.

Ce résultat évident

peut

se vérifier en

remarquant

que le

champ

de

_{radiofréquence,}

dont le

moment

_cinétique

le

_long

de Oz est

_nul,

reste invariant dans une telle

_symétrie

et _que le hamiltonien

3£n

=

wa+ a

_{+ coo}

Jz

₊

ÂJz(a

₊

a+)

_commute avec la

composante

du moment

_{cinétique atomique J., quel}

que soit coo :

Comme

conséquence

de cette

_{symétrie, m}

est un bon

nombre

_quantique.

_Ainsi,

dans le cas d’une

polari-sation de la

_{radiofréquence,}

les croisements entre

niveaux de

_Jeo

de m différents restent tous des

croi-sements de

_première

_espèce

de Je. Il

_s’agit

en fait

de tous les croisements de niveaux _coo =

pro de la

figure

la.

_{L’interprétation physique}

de ce résultat

est très claire et tient à la conservation du moment

FIG. 3. -

Disposition relative du champ magnétique statique Ho

et du champ RF H l. a) Polarisation 7r. _b) Polarisation u+. c) Polarisation Q.

cinétique

du

_système

_global.

Les deux états _propres

1

+ t, n > et 1 - t, n + p > de Jeo qui

se croisent

en _coo =

pcv ne

_peuvent

être

_couplés

_par aucun pro-cessus à

_plusieurs

_quanta,

puisque

les p

photons qui

seraient absorbés ou émis lors d’un tel _processus, et

_qui

transportent

un moment

_cinétique

_nul,

ne

_pourraient

fournir l’unité de moment

_angulaire

nécessaire à la transition

_atomique

Am = 1.

REMARQUE. -

Le fait que tous les croisements de niveaux de l’atome habillé sont, pour cette

polarisa-tion de la

_{radiofréquence,}

de

_{première espèce apparaît}

clairement si on considère l’ordre relatif des niveaux :

les états propres du

système

global

ne

_dépendent

_pas en

_effet,

dans ce _cas, de

l’amplitude

du

_champ

sta-tique

[2].

Il en résulte _que toutes les

_quantités

de la db

forme

_â

_{1 dd1)}

sont

_{identiquement}

_nulles,

et _que

dwo

deux niveaux

_quelconques

de l’atome habillé

_(en

parti-culier ceux

_qui

se

_croisent)

sont d’ordre relatif infini. 2.1.2 Polarisation _{u, :} invariance _{par rotation} du

système

global

autour de Oz. - Il existe

un autre cas

d’invariance de l’atome _{habillé par rotation} autour

de l’axe Oz : c’est celui où le

_champ

de

_{radiofréquence}

tourne à la vitesse

_angulaire

co dans un

_plan

perpen-diculaire à

_{Ho, aligné}

lui-même le

_long

de Oz

_(voir

Fig. 3b).

Ce résultat

_physiquement

évident se vérifie en constatant _que le hamiltonien

commute avec le moment

_{cinétique J.}

+

a+a

_(en

effet

a+a,

c’est-à-dire le nombre de

_photons

de

radio-fréquence,

n’est autre _que le moment

_cinétique

du

champ habillant, puisque chaque photon

Q+ a un

moment

_cinétique

+ 1 le

_long

de

_{Oz) :}

comme

_conséquence

de cette

_{symétrie, m}

+ n est un

bon nombre

_quantique

dans le cas d’une

_polarisation

a+ de la

radiofréquence.

Il en résulte que les

croise-ments de niveaux de

_Jeo

de

_(m

+

n)

différents restent

des croisements de

_première

_espèce

de l’atome habillé. Les croisements s’effectuant tous sur un

_{spin -1}

entre

niveaux _{tels que Am} = ₊

1,

_tous les croisements de

JCo

tels que

An :0

1,

c’est-à-dire tels que

co, =A

co, sont

donc des croisements de

_{première espèce}

dans le

diagramme d’énergie

de la

_figure

lb. Il

_s’agit

en fait

de tous les croisements de niveaux du

_diagramme.

L’existence de ces croisements de niveaux de

_première

espèce

résulte ici encore de la nécessité de conserver

le moment

_cinétique

du

_système

_global

au cours des

transitions de

_{radiofréquence : chaque photon}

u,

transportant

une unité + 1 de moment

_angulaire,

le seul processus de

couplage possible correspond

à

l’absorption

d’un

_photon

avec transition de l’atome

de

_{l’état - 2}

à +

2.

Ainsi,

seuls les

_{niveaux 1 - t, n}

>

et

1

+

_{t, n -}

1 >

peuvent

être

_couplés

entre eux

(résonance magnétique ordinaire),

et tous les

croise-ments entre niveaux de

_{Jeo 1 - t, n}

>

et

1

+

_{t, n - p}

>

avec

_{p e}

1 doivent rester de

_{première espèce}

en

pré-sence du

_couplage

V.

REMARQUE. - On

_peut

traduire les considérations de

_{symétrie précédentes}

en termes d’ordre relatif des niveaux : seuls les états de même valeur de

_(m

+

_n)

étant

couplés

par

V, m

+ n reste un bon nombre

quantique

pour les états propres de 3C. Les états propres associés à des valeurs de

(m

+

_n)

différents

LE JOURNAL DE PHYSIQUE. 2014 _T.

sont d’ordre relatif infini. Les deux états associés à la même valeur de

_(m

+

_{n) (m}

= +

i)

forment _un

anti-croisement en _coo = _{w, et sont} donc d’ordre relatif

zéro.

2.1.3 Polarisation a: _{invariance par}

_réflexion

du

système

global

par rapport au

_plan

xOz. - Etudions

maintenant le cas d’un

champ

de

radiofréquence

linéaire

_{Hl parallèle}

à

_Ox,

et donc

_{perpendiculaire}

au

_{champ statique Ho dirigé}

le

_long

de Oz

_{(Fig. 3c).}

S’il l’on fait une

_symétrie

_par

_rapport

au

plan xOy

perpendiculaire

à

_{Ho (et qui}

contient donc

_{Hl) J,,}

vecteur

_axial,

reste invariant et en

_conséquence

le hamiltonien non

_{perturbé £0}

=

coo

J,

+

coa’a ne

change

pas non

_plus,

_puisque

le nombre de

_photons

ne varie pas dans cette

_opération.

Par contre,

7x

se

change

en - JX ;

mais comme

_Hl

se transforme manifestement en -

_Hl,

le terme de

_couplage

V = -

y«

H1x J.

=

ÀJx(a

₊

a+)

_est invariant lui aussi

dans cette réflexion. Nous montrons en fait dans

l’Appendice

1 que

l’opérateur

de

_l’espace

des états associé à la réflexion que nous venons de

_décrire,

et

qui

laisse invariant le hamiltonien

X,

est

_{l’opérateur}

On vérifie facilement _que l’état non

_perturbé

_J,

_{m, n >}

est _{état propre de S associé à la valeur propre}

(-

1 )’ - m + n.

On en déduit _que, dans le cas d’une

polarisation J

de la

_{radiofréquence,}

les croisements

entre des niveaux de

_{JCo correspondant}

à des

_parités

différentes de J - m + n sont associés à des

croise-ments de niveaux de

_{première espèce}

de Je. Comme les niveaux de

_{JCo qui}

se _{croisent pour} un

_{spin t}

corres-pondent

à un Am = _±

1,

_{on en} conclut

que tous les

croisements _{tels que dn} est

_pair,

c’est-à-dire tels _que l’on ait _cvo =

2pco,

_sont des croisements de

première

espèce

dans le

_{diagramme d’énergie}

de la

_figure

Ic. Il

_s’agit

en fait de tous les croisements de niveaux de

ce

_diagramme.

L’existence de ces croisements de

première espèce

peut

encore se déduire de la

_règle

de

conservation du moment

_cinétique

du

_système

_{global :}

chaque photon

de

_polarisation

Q

_(qui

_peut

_s’analyser

en deux

_composantes

_u, et 6 - tournant en sens

_inverse)

transporte

en effet une unité ± 1 de moment

_angulaire

le

_long

de Oz. Seul un nombre

_impair

de _processus

d’absorption

ou d’émission de

_photons

_permet

donc de réaliser une transition

_atomique

Am = _± 1 entre les

états

_{+ 2}

et -

_2.

On

_comprend

ainsi _{que les états}

1

-

t, n

>

et

1

+

_{t, n - 2 p}

> ne

_puissent

être

couplés

à aucun ordre.

REMARQUE. -

Ici _encore, les considérations de

symétrie

peuvent

se traduire en termes d’ordre relatif des

_{niveaux ; (-}

_1)1-,In

est en effet un bon nombre

quantique

non seulement _pour les états non

_perturbés,

mais aussi _pour les niveaux propres de Je. Ce nombre

quantique

à associer à un niveau donné s’obtient aisément en déterminant celui du niveau non

_perturbé

correspondant

en

_champ

_nul,

_lorsqu’on

débranche le

_couplage

entre l’atome et le

_{champ (voir Fig. 1 c).}

Si le niveau en

_question

tend vers

_l’état

₁

+

_{t, n}

>,

sa

_symétrie

est alors

_{(- 1)" ;}

s’il tend vers l’état

-L, n >,

sa

_symétrie

est

_égale

à

_1)"".

On

appellera respectivement

+

t, n

>

et

-

n

> ces

niveaux

_{(voir § suivant).}

Il est clair alors _que deux

niveaux

[

+

-1, n

>

est 1 - 2,

n’

> sont de

_symétries

différentes si n - n’ est

_pair

alors

_que

₁

+

_{2, n}

> et

,

+

t,

n’ > sont de

_symétries

différentes si n - n’ est

impair.

Ces

_couples

de niveaux sont d’ordre relatif infini. Au

_contraire,

_[

+

_{t, n}

>

et [ -

2,

n’ > si n - n’

est

_impair,

₁

+

_{-2L n>etl}

_[

+

_2,

n’ >

si n - n’ est

_pair,

sont de même

_symétrie.

On montre en

_appendice

II

qu’ils

sont

_alors,

_quel

_que soit n -

_n’,

d’ordre relatif zéro.

Une étude détaillée des autres

_{polarisations possibles}

de la

_{radiofréquence (superposition}

cohérente de

photons

cr et

_rc)

montre _{que l’on} ne

_peut

_{pas trouver}

d’autres observables L commutant _pour toute valeur du

_champ

avec le hamiltonien 3£. L’ordre relatif de deux niveaux du

_{spin t}

habillé est en effet _pour une

telle

_{polarisation égal}

à

zéro,

quel

que soit le

couple

de niveaux

_{envisagé (voir}

démonstration en

_{Appendice II).}

Il en résulte que nous venons de passer en revue tous

les

_types

_possibles

de croisements de

_première

_espèce

dans le

_{diagramme d’énergie}

d’un

_{spin t.}

Dans le cas

d’un

_champ

de

_{radiofréquence polarisé}

dans une

direction faisant un

angle quelconque

avec

_Ho

_{(Fig. Id)}

ou encore d’un

_champ

tournant dans un

plan

quel-conque non

_{perpendiculaire}

à

_{Ho (Fig. 1 e)}

aucune

règle

de

_{symétrie n’empêche}

les niveaux

_qui

se croisent

dans le

_{diagramme d’énergie}

de

_Jeo

d’être

_couplés

par V :

en

_fait,

tous les croisements de ces

_diagrammes,

deviennent des anticroisements associés à des processus de transition à

_plusieurs

quanta,

sauf le croisement de niveaux en

champ

nul

(wo

=

0)

dans le _cas d’un

champ

de

_{radiofréquence polarisé}

linéairement

_{(Fig. Id).}

Nous montrons à

_{présent qu’il s’agit}

là d’un

croise-ment de niveaux de deuxième

espèce

d’ordre

_zéro,

lié à l’existence d’une

_symétrie

accidentelle par renversement

du

_temps

du hamiltonien en

champ

nul.

2.2 UNE SYMÉTRIE « ACCIDENTELLE » DU SYSTÈME GLOBAL : RENVERSEMENT DU TEMPS EN CHAMP STATIQUE

NUL POUR UN CHAMP DE

_{RADIOFRÉQUENCE}

POLARISÉ LINÉAIREMENT. - Il est clair

que

lorsque

le

champ

de

radiofréquence

est

linéaire,

dans une direction faisant un

angle

différent de 0 et

rc/2

avec

_Ho,

aucune

_règle

de sélection sur le moment

cinétique

n’interdit aux

deux

nivaux

1

+

_{1, n}

>

et

1

-

2, n

>

qui

se croisent

en

champ

nul d’être

couplés

par V. La

polarisation

de

_{chaque photon}

peut

en effet être

analysée

comme une

superposition

cohérente des trois

types

de

pola-risation u,, a - et 77, et l’on

peut

en

fait,

_grâce

à

l’absorption

ou l’émission stimulée de l’une ou l’autre de ces

_composantes,

envisager

quatre

voies de

diffusion

du second ordre

permettant

de

_{coupler l’état}

₁

+

_{t, n}

> à

j’état j 1

-

2 n

>. Ces

quatre

voies sont schématisées

FIG. 4. - Schématisation des 4

amplitudes de diffusion per-mettant de relier

_{l’état 1}

+ i, n > à

_{l’état 1 - i, n}

>. Pour

Wo = _{0, ces} 4 _amplitudes interfèrent destructivement.

types

Raman au cours

_desquels

un

photon

de

radio-fréquence

se trouve être absorbé

_puis

réémis

_(ou

inver-sement). Cependant

on constate _{par le calcul}

_[2]

_que

les

_amplitudes

de

_probabilité

associées à ces

_quatre

processus interfèrent de

façon

destructive,

ce

_qui

empêche

les

_{niveaux 1 - t, n}

>

et

1

+

_{t, n}

> de former un anticroisement. Il se trouve en

_fait,

comme nous allons le

voir,

que la

non-répulsion

des niveaux est liée dans ce cas à une

_symétrie

_par renversement du

temps

du

_système

en

champ statique

nul. Les niveaux

qui

continuent à se croiser ne

_peuvent

alors constituer

qu’un

croisement de niveaux de deuxième

_{espèce qui}

ne

_peut

être que d’ordre zéro.

L’opérateur

antiunitaire T de renversement du

_temps

agissant

sur le

_système

global

atome +

_{radiofréquence}

est décrit en

_Appendice

I. On montre _{que, dans le} cas

d’une

_polarisation

linéaire de la

_{radiofréquence,}

il anticommute avec les

_{opérateurs a}

et

a+

Il est clair d’autre

part

que T et k ne

_peuvent

commuter

en

_{champ statique}

non nul

_puisque

le terme Zeeman

atomique

coo

J.

qui apparaît

dès que

H, :0

0

anti-commute en fait avec T

_d’après

la relation

_générale

satisfaite par le moment

_{cinétique :}

En

_{champ Ho}

_nul,

_{par contre,} le hamiltonien de l’atome habillé s’écrit :

où E est le vecteur

_polarisation

réel de la radiofré-quence.

Compte

tenu des relations

_{(2. 3)}

et

_(2.4),

on déduit

aisément que l’on a

ce

_qui

établit la

_symétrie

du hamiltonien par

renver-sement du

_temps

en

_champ

nul. Cette

_symétrie

entraîne

une

_{dégénérescence}

des niveaux de l’atome habillé en

champ

nul. Le

_système

_global

étudié est en effet constitué d’un fermion

_{(spin §),}

en

_présence

d’un

certain nombre de bosons

_(photons).

C’est donc un

système

à nombre

_impair

de fermions

_auquel

on

_peut

en

_champ

_{Ho nul,}

_appliquer

le théorème de Kramers

qui stipule

que tous les niveaux doivent être au moins

doublement

_{dégénérés,}

Dès que

Ho *

0,

la

_{dégénérescence}

_peut

être levée

ce

_{qui explique}

_{que les} niveaux de l’atome habillé se

croisent en fait en

_champ

nul. L’ordre de ce croisement

est naturellement

_zéro,

_puisque

tous les niveaux de l’atome habillé sont, dans ce cas de

_polarisation

cohérente,

d’ordre relatif zéro. Il est d’ailleurs facile de vérifier que les deux niveaux

qui

se croisent en

champ

nul sont bien d’ordre zéro

_puisque

ces deux

niveaux forment un anticroisement au

voisinage

du

champ

coo = 2 co

_{(voir Fig.}

_{l d).}

Ainsi se trouvent

_expliqués

tous les croisements de niveaux

_apparaissant

dans le

_diagramme

_d’énergie

d’un

_{spin t.}

REMARQUE. -

Si la

_{radiofréquence}

a une

polari-sation circulaire

_{(ou elliptique),}

l’atome habillé ne

possède plus

la

_symétrie

par renversement du

temps

en

_champ

nul. En

effet,

le sens de rotation de la

radio-fréquence

est inversé _{par renversement} du

temps,

ce

qui

revient à

_changer

sa

_polarisation

_{et, par} voie de

conséquence,

le hamiltonien JC. La

_{dégénérescence}

des niveaux en

champ

nul n’est alors

_{plus imposée.}

En

particulier lorsque

la

_{radiofréquence correspond}

à

une

polarisation

_cohérente,

_{superposition}

de

_photons

Q+, u-, 7T, les

quatre

voies de diffusion

_symbolisées

sur la

_figure

4 existent comme _pour un

_{champ polarisé}

linéairement,

et aucun

_argument

de

_symétrie

ne conduit

plus

les

_amplitudes

de transition

_{correspondantes}

à s’annuler : on observe alors un anticroisement des

niveaux en

_champ

nul dont l’existence se révèle par

l’apparition

d’une résonance

_magnétique

de

_type

Raman en

_champ

nul

_{[11 ].}

3. Etude des croisements de niveaux d’un

_spin

J >

_1/2

_habillé,

à

_partir

d’une formulation

_quantique

du théorème de

_Majorana.

- 3.1 LE PROBLÈME

DES CROISEMENTS DE NIVEAUX DE DEUXIÈME ESPÈCE POUR UN SPIN J

_{> 2}

HABILLÉ PAR UN CHAMP DE

RADIO-FRÉQUENCE.

- Les

symétries

du

_système

_global

atome

+

_{radiofréquence}

_que nous avons étudiées au

para-graphe précédent

sont valables

_quelle

que soit la taille du

_spin

J du niveau car elles ne

_dépendent

_que de la

forme du hamiltonien JC naturellement

_{indépendante}

de la

_grandeur

de J.

_Cependant,

_{dès que J} >

_t,

il est

impossible

de conclure au croisement ou au

non-croisement de deux niveaux

_d’énergie

de

_JCo

à

_partir

de l’examen des seules

_symétries

de X. Ce résultat

apparaît

clairement si l’on considère les

_diagrammes

d’énergie

d’un

_spin

J = 1

reproduits

_sur la

figure

2 :

3. 1. 1

_Lorsque

le

champ

de

_{radiofréquence}

a une

polarisation

cohérente,

superposition

de

_photons

Q+, cr- _{et 77,} il n’existe aucune

_opération

laissant invariante le hamiltonien du

_système.

En

_champ

statique

non

nul,

aucune

règle

de sélection liée à une

symétrie

permanente

(valable quel

que soit

coo),

ni aucune

dégénérescence

accidentelle liée à une

_symétrie

ponctuelle

(valable

pour une valeur donnée de

_co.)

n’empêche

donc deux niveaux de

_{JCo qui}

se croisent de

cependant

que certains niveaux continuent à se croiser

lorsqu’on

applique

ce terme de

_couplage.

C’est le cas

par

exemple

de tous les niveaux

_qui

se

coupent

aux

croisements non entiers de la forme _coo =

(2 p

₊

1) ro/2.

La

_{non-répulsion}

des niveaux en ces

_points

_peut

être constatée en

_remarquant

_que le

_couplage

éventuel

entre les niveaux résulterait d’une interférence entre

plusieurs

chemins

_qui

se révèle être

_{complètement}

destructive. Ainsi les

_niveaux

₁

+

1, n

> et

1

-

1,

_n

+ 3 >

qui

se croisent dans le

_champ

coo = 3

w/2

peuvent

être

_couplés

via les

deux

chemins

symbolisés

sur la

figure

5 ;

on

_peut

montrer

_[2]

_que

les

_amplitudes

de

_{probabilités}

associées sont

_{opposées :}

FIG. 5. - Schématisation des deux

amplitudes de diffusion permettant de relier

l’état +

1, n > à

_{l’état 1 - 1, n}

+ 3 >. Pour mo £i 3 coj2, ces deux _amplitudes interfèrent

destruc-tivement.

3.1.2

_{Qui plus}

est, même s’il existe une

_symétrie

du hamiltonien

_3£,

deux niveaux de

_J6o

de même

symétrie

peuvent

continuer à se croiser

_lorsqu’on

applique

la

_perturbation

V. Dans le cas d’un

champ

de

_{radiofréquence}

en

_polarisation

u, nous avons vu

qu’à chaque

niveau de

_J6o

_peut

être associé un bon

nombre

_quantique

_{égal à (-}

_{1)1-,+n .}

Les deux niveaux de

_Jeo,

₁

+

1, n

>

et

1

-

1, n

+ 4

_>,

_qui

se croisent

dans le

_champ

_0153o = 2 _w

(Fig. 2c),

_sont manifestement

de même

_{symétrie puisque}

m et n sont

_changés

respec-tivement de deux et

_quatre

unités

_lorsqu’on

_passe d’un niveau à l’autre. Pourtant ces deux niveaux ne se

repoussent

pas et continuent à se croiser dans le

diagramme d’énergie

de 3£

_(avec

_également

le niveau

10, n

> ; voir

Fig.

2c).

Le croisement est lié ici encore

à une interférence destructive

[4]

entre les deux modes de

_{couplage représentés}

_par les

_diagrammes

de la

figure

6.

Il est donc clair que les considérations de

symétrie,

qui

suffisent à

_justifier

l’existence des différents

types

de croisement pour un

_spin

J

_{= 2}

habillé,

ne

_permettent

pas à elles seules de conclure à l’existence de ces

croi-sements dès _que J >

_t.

Il

_apparaît

en fait dans les

diagrammes d’énergie

une infinité de croisements nouveaux de deuxième

_espèce,

_qui

résultent d’une

interférence destructive entre

_plusieurs

modes de

FIG. 6. -

Schématisation des deux amplitudes de diffusion

permettant de relier

_{l’état +}

_{1, n} > à

_{l’état 1 - 1, n}

+ 4 >. Pour coo = 2

co, ces deux amplitudes interfèrent destructivement.

couplage possibles.

Cette interférence

destructive,

que

l’on observe sur un

_grand

nombre de croisements

quelle

que soit la taille du

spin

ne

_peut

être accidentelle

et doit

_répondre

à une raison

_profonde.

En

fait,

comme

il a

_déjà

été montré dans la référence

_[2],

l’existence de ces croisements nouveaux est une

_conséquence

du théorème

_important

de

_{Majorana [12] qui}

relie l’évo-lution d’un

_spin

J

_{> 2}

dans un

champ magnétique

à

celle d’un

_spin

J

_-1

de même

_rapport

gyromagné-tique plongé

dans le même

_champ.

De

façon

plus

précise,

il est

_possible

de construire à l’aide d’une

_règle

géométrique simple

les

_{diagrammes d’énergie}

d’un

spin

J habillé

_quelconque

à

_partir

de ceux d’un

spin

J =

2.

Cette

règle, qui

constitue en

_quelque

sorte

une

correspondance quantique

du théorème de

Majo-rana,

permet

de

_prévoir

d’emblée la

_position

de tous

les croisements de niveaux dans le

_{diagramme d’énergie}

d’un

_spin

J habillé. Nous

_rappelons

au

_paragraphe

suivant cette formulation

_quantique

du théorème de

Majorana

dont la démonstration

_complète

_peut

être trouvée dans la référence

_[2],

et

_{qui joue}

un rôle

essentiel dans l’étude des croisements de niveaux de l’atome habillé.

3.2 FORMULATION QUANTIQUE DU THÉORÈME DE

MAJORANA ET DÉTERMINATION DU DIAGRAMME D’ÉNER-GIE D’UN SPIN J

_{> 2}

HABILLÉ. - 3.2.1

Définition

des

multiplicités

de niveaux de l’atome habillé. - Il est

commode _pour l’étude des niveaux de l’atome habillé dans le cas J

_{> 2}

de définir des

_{multiplicités ou fuseaux}

de niveaux

_{d’énergie.}

Conformément à la définition donnée dans

_[2],

on

_{appelle multiplicité}

_(9n)

dans un

champ magnétique

Ho

l’ensemble des

_{(2 J}

+

1)

niveaux

Jmn

>

qui

se déduisent des

_états

_Jmn

> de n donné par la transformation

_adiabatique

suivante :

a)

Le

_champ

_{magnétique statique}

_ayant

une valeur

H,

donnée très

_petite,

on branche

_{adiabatiquement}

la

constante de

_couplage

entre l’atome et le

_champ.

Au cours de cette

_{opération, chaque}

état non