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Ce que vous devez retenir

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

PanaMaths [ 1 - 3 ] Juin 2009

Fiche PanaMaths (Terminale S) Croissances comparées

Ce que vous devez connaître ou savoir-faire pour aborder ce cours

Æ Les principales règles de calcul des limites de fonctions ; Æ Les fonctions logarithme népérien et exponentielle.

Ce que vous devez retenir

1. Les limites en +∞ :

Pour n entier naturel non nul :

lim lnn 0

x

x x

+

→+∞ =

On dit que « toute puissance entière (naturelle) l’emporte sur le logarithme népérien ».

En fait, on retiendra : ln

lim 0

x

x

→+∞ x = , la limite ci-dessus en découlant immédiatement.

Pour n entier naturel :

lim

x x n

e

→+∞x = +∞

On dit que « l’exponentielle l’emporte sur toute puissance (naturelle) ».

On remarque que le résultat reste valable lorsque la puissance est négative (mais dans ce cas, on n’a plus affaire à une forme indéterminée …)..

On retiendra : En +∞ :

• L’exponentielle croît plus vite que toute puissance ;

• Toute puissance croît plus vite que le logarithme népérien.

2. La limite en −∞ (n entier naturel) :

lim n x 0

x x e

→−∞ =

On retiendra :

En −∞ l’exponentielle décroît plus vite que toute puissance.

(2)

PanaMaths [ 2 - 3 ] Juin 2009

3. La limite en 0 (n entier naturel non nul) :

0 0

lim nln 0

x x

x x

>

=

En fait, on retiendra :

0 0

lim ln 0

x x

x x

>

= , la limite ci-dessus en découlant immédiatement.

Ce que vous devez savoir faire

Il est important de savoir se ramener à l’une des situations mentionnées ci-dessus ! Exemple 1

Considérons la fonction f définie sur \* par :

( )

5 34

44 e x

f x x

= + . On demande : lim

( )

x f x

→+∞ .

Pour tout x réel non nul, on a :

( ) ( )

5 3 5 3 3 5 3 4 5 3 5 4 3 5

4

4 4 4 4 4 4 4 4

5 5

44 44 44 44 5 44 5 5 44 5

x x x x x x

e e e e e e e e e e e

f x x x x x x x

+ ×

= = = × = × = × × = ×

×

L’idée directrice de la démarche ci-dessus est de faire apparaître au dénominateur une puissance de l’argument (5x) de l’exponentielle.

Posons : X =5x. On a alors :

( )

5

4 4

lim lim

5

x X

x X

e e

x X

→+∞ = →+∞ = +∞.

Or

4 3

5 0

44

e > , d’où :

( )

( )

4 3 5 4 3

4 4

5 5

lim lim lim

44 5 44

x X

x x X

e e e e

f x x X

→+∞ →+∞ →+∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜⎝ × ⎟⎠= ⎜⎝ × ⎟⎠= +∞

Finalement :

( )

lim

x f x

→+∞ = +∞

Exemple 2

Considérons la fonction f définie sur \*+ par : f x

( )

=sin lnx x. On demande :

( )

0 0

limx x

f x

>

.

Pour tout x réel strictement positif, on a :

( )

sin ln sinx ln

f x x x x x

= = x

(3)

PanaMaths [ 3 - 3 ] Juin 2009

Or, on a :

0

limsin 1

x

x

x = et

0 0

lim ln 0

x x

x x

>

= .

Finalement :

0

( )

0

lim 0

x x

f x

>

=

Ce à quoi vous devez faire particulièrement attention !

On prendra garde de ne pas confondre les résultats valables en −∞ et ceux valables en +∞ !

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