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Conserving and decaying energy for finite-strain three-dimensional solids with rotational degrees of
freedom in nonlinear dynamics
Abir Boujelben, Adnan Ibrahimbegovic
To cite this version:
Abir Boujelben, Adnan Ibrahimbegovic. Conserving and decaying energy for finite-strain three-
dimensional solids with rotational degrees of freedom in nonlinear dynamics. Comptes Rendus Mé-
canique, Elsevier, 2018, 346 (7), pp.571-580. �10.1016/j.crme.2018.04.006�. �hal-01996646�
C. R. Mecanique 346 (2018) 571–580
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Comptes Rendus Mecanique
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Model reduction, data-based and advanced discretization in computational mechanics
Conserving and decaying energy for finite-strain
three-dimensional solids with rotational degrees of freedom in nonlinear dynamics
Conservation et dissipation d’énergie dans les solides tridimensionnels en grandes transformations avec des degrés de liberté rotationnels en
dynamique non linéaire
Abir Boujelbena, Adnan Ibrahimbegovicb
aSorbonneUniversités,UniversitédetechnologiedeCompiègne,LaboratoireRobervaldemécanique,CentrederecherchesdeRoyallieu, CS 60319,60200Compiègnecedex,France
bSorbonneUniversités,UniversitédetechnologiedeCompiègne,LaboratoireRobervaldemécanique,ChairofComputationalMechanics, CentrederecherchesdeRoyallieu,CS 60319,60200Compiègnecedex,France
a r t i c l e i n f o a b s t r a c t
Articlehistory:
Received4May2017 Accepted23January2018 Availableonline9May2018
Keywords:
3Dsolids Nonlineardynamics
Largedisplacementsandrotations Conserving/decayingalgorithms
Mots-clés : Solide3D
Dynamiquenonlinéaire Grandestransformations
Algorithmedeconservation/dissipation
Inthiswork,wedesignatime-steppingscheme,whichcanensureeitherconservationof energyordissipationofenergyofhigh(unresolved)modesfornonlineardynamicanalysis.
The latter is neededto improve the performance instress computation and long-term numericalstability.Finiteelementimplementationdetailsaregivenforfinite-strainthree- dimensional solid model with independent rotational degrees of freedom. The addition ofarotationfieldrequires aparticular choiceoflarge strain measures,allowingoneto separatelargerotationandlarge displacement.Severalnumericalsimulationsillustratea verysatisfyingperformanceoftheproposedtime-steppingscheme.
©2018PublishedbyElsevierMassonSASonbehalfofAcadémiedessciences.Thisisan openaccessarticleundertheCCBY-NC-NDlicense (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).
r é s um é
Danscetarticle,nousdévelopponsunschémaimplicited’intégrationtemporelle capable d’assurer, soitla conservationde l’énergie, soit ladissipation de l’énergied’un système dynamique non linéaire. Ce dernier est particulièrement intéressant pour améliorer la stabilité numérique pour le calcul sur un grand intervalle du temps. L’implémentation de la méthode des éléments finis est présentée en détail pour un modèle de solide tridimensionnelen grandes transformations qui fait intervenir des degrésde libertéde rotationindépendants.Lapriseencomptedelarotationimpliqueunchoixjudicieuxde la mesuredesgrandes déformations pour séparerlesgrands déplacements desgrandes
E-mailaddresses:abir.boujelben@utc.fr(A. Boujelben),adnan.ibrahimbegovic@utc.fr(A. Ibrahimbegovic).
https://doi.org/10.1016/j.crme.2018.04.006
1631-0721/©2018PublishedbyElsevierMassonSASonbehalfofAcadémiedessciences.ThisisanopenaccessarticleundertheCCBY-NC-NDlicense (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).
rotations.Laperformanceduschémaproposéestillustréeàtraversdenombreuxexemples desimulations.
©2018PublishedbyElsevierMassonSASonbehalfofAcadémiedessciences.Thisisan openaccessarticleundertheCCBY-NC-NDlicense (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).
Versionfrançaiseabrégée
L’analysedynamique nonlinéaire s’effectue généralementpardesschémas d’intégrationtemporelle,enprivilégiantles schémasimplicitestelsqueceluideNewmark,carilsn’imposentpasderestrictionssévèrespourlechoixdupasdetemps.
Cependant, dans lecas des systèmes raides où laréponse est dominée par unegrande différence des modesà basse et à haute fréquences,ces schémasnesontpassuffisants pourgarantir lastabilitédu calculnumérique. Pour surmonterce problème,nousdévelopponsunschémad’intégrationquigarantitlaconservationdel’énergieàchaquepasdetempsetqui permet,encasdebesoin,deforcerladissipationnumériquedelacontributiondeshautesfréquences.
Dans cetravail,nousnousintéressonsplusparticulièrementàl’implémentationde laméthodedesélémentsfinispour leschémaproposédemodèledesolidetridimensionnelengrandestransformationsquifaitintervenirdesdegrésdeliberté rotationnels indépendants.Lapriseencomptedesrotationsimpliqueunchoixspécifiquedelamesuredeladéformation : la déformation de Biot. Lesapproximations discrètes des champsde déplacement et de rotation sont obtenues par une interpolationlinéairestandard.Afind’homogénéiserl’approximationdesmesuresdedéformation,onfaitappelàlaméthode desmodesincompatibles,permettantd’augmenterl’ordredel’approximationduchampdedéplacementparl’additiond’un champdedéplacementamélioré(quadratique).
Leproblèmeestprésentésousuneformulationvariationnellerégulariséeengrandesdéformations,avecuneformequa- dratiquesimpledutermed’inertie–voirl’Éq. (3).Cedernierestexpriméentermesdedéplacements,tandisquelechamp derotationcontribueuniquementauxmesuresdeladéformation.Ceciimpliquelaprésenced’unblocdetermesnulsasso- ciésauxdegrésde libertéderotationdanslamatrice masse,provoquant desmodesenfréquencesinfinies.Pourcontrôler l’effet indésirable de ces modes,nous proposonsd’abord d’introduireuneforme régulariséedestermes d’inertie associés aux degrés deliberté de rotation,afind’éviterla présencedesfréquences infinies.Ensuite,nousexploitons leschémade conservationd’énergieafind’assurerlastabilitéducalcul,mêmeencasdedominationde modesàhautesfréquences,qui apparaissentcommelerésultatdelarégularisation.
Le schémaproposéest basésurleschémade point milieu,enyapportant quelques modificationsafinde satisfairele caractèreconservatif.D’unepart,cesmodificationsconcernentuneexpressionalternativedelarelationdecomportementen tn+1
2 sousformealgorithmique,detellesortequeletermede déformationdanslaformulationvariationnellecorresponde à l’incrément de l’énergie potentielle – voirles Éqs. (12) et (13). D’autre part,une approximation spécifique du vecteur de vitesselinéairepermetd’égaliser letermed’inertieetl’incrémentde l’énergiecinétique–voirlesÉqs. (10) et(11).En supposant queleseffortsextérieurssontconservatifs,laconservationd’énergie estbienassurée. Unautreenjeus’impose lors de la construction du schémad’intégration : c’est l’approximation du champ de rotation,qui est extrêmement non linéaire.Dansunedémarchedesimplification,onretientuneapproximationlinéaire.
Une autre alternative proposéepour contrôler les problèmes d’instabilité causés par des systèmes d’équations raides consiste à introduireunedissipationnumérique deshautesfréquences àchaque pasdetemps.L’originalité de ceschéma réside dansl’additiondestermesdissipatifs–voirlesÉqs. (18) et(20) – sanstoucheràl’algorithmedéfinidanslecasde la conservationd’énergie,de manièreà ceque lesdeux schémaspuissentpartager lemêmeespace de stockagepour les variablesinternes.Autrementdit,lesmodificationsconcernentseulementl’actualisationduvecteurdevitesseetlarelation algorithmiqueducomportement.
Enconclusion,laconservationouladissipationdel’énergietotaleestunepropriétéimportantedesschémasd’intégration temporelle,particulièrementpourdescalculssurungrandintervalledetemps,oùl’onsouhaiteatténuerl’effetindésirable deshautesfréquencessurledéclenchementd’instabilités,sansoublierlacontributiondelarégularisationdemassedansle casdusolide3Davecdesdegrésdelibertéderotation.D’ailleurs,cemodèleserévèlefavorablepourl’analysedestructures combinées d’éléments solides et d’éléments structures, d’autant plus que plusieurs travaux antérieurs ont été réalisés à proposdelaconservationd’énergied’élémentspoutres.
1. Introduction
Thedynamic analysisofgeometricallynonlinearproblemsdominatedbyhigh-frequencymodesisextremelydifficultto solvebyusingstandardimplicittime-steppingschemes,suchasNewmark’smethod.Toresolvethisimportantissue,avery active researchhavebeenelaboratedonconservingor/anddecayingenergytime-steppingschemesfornonlineardynamics ofrods[1–3] andshell-likestructures[4,5] undergoinglargeoverallmotion.Themainmotivationoftheseapproachesisto ensurethesatisfyingcomputationalperformanceinthecaseofstiffproblems,mainlyforlong-termresponse.
In this paper, we are interested in the regularized variational formulation for the nonlinear dynamics of three- dimensional solid with independent rotational degrees of freedom. The formulation is set in a fixed frame, featuring a
A. Boujelben, A. Ibrahimbegovic / C. R. Mecanique 346 (2018) 571–580 573
simplequadraticformofthekineticenergy.Thelatterisexpressedonlyintermsofthedisplacementfield,sincetherota- tionfieldisinvolvedjusttocomputethelargestrainmeasures.Thisleadstothepresenceofzerotermsinthemassmatrix associated withtherotational degreesoffreedom requiring infinitefrequencies anddisrupting thecomputation stability.
Therefore, we seek to constructan energy conserving time-steppingscheme to overcome the deficiency of (unresolved) high-frequency participation.Thisscheme isbased onthe mid-pointapproximation.The pertinentmodifications that are neededto enforce theenergy conservationare algorithmic constitutive equationsand appropriate choice ofrotation and velocityupdates.
In seeking to improve the robustness of the scheme stability performance, we propose to redesign the energy con- serving scheme by introducing desirableproperties ofcontrollable dissipation in highermodes. The main idea is to add regularizedtermstoalgorithmicstressresultantsandvelocityupdates,andtoassurean artificialenergydissipation ofthe high-frequencymodes.
Theoutlineofthepaperisasfollows.Inthenextsection,wepresenttheregularizedvariationalformulationindynamics oftheproposedenhanced3Dsolidundergoinglargeoverallmotion.InSection 3,weexamineindetailtheformulationand theimplementationofatime-steppingenergyconserving/decayingschemesfortheproposedmodel.A setofillustrativenu- mericalsimulationsispresentedinSection4,showinganexcellentperformanceoftheproposedscheme.Someconcluding remarksaregiveninSection5.
2. Variationalformulationsandfiniteelementimplementation
2.1. Hamiltonprincipleindynamics
We consider a three-dimensional solid model with rotational degreesof freedom undergoing overall large motionin geometricallynonlinear dynamic problems.TheBiot strain His chosen todefine strain measures:H=R(I+D)−I.The latterintroduces explicitlythe rotationtensorR definedthroughthe polardecompositionofdeformation gradient [6].In orderto improvethe performanceof thediscrete approximation,the enhanced displacementgradient isdefinedthrough thedisplacementgradientD,givenasa sumofthestandarddisplacementgradient ∇uandofan enhanceddisplacement gradientdprovidedbythemethodofincompatiblemodes.
TheequationsofmotionareobtainedbyappealingtotheclassicalHamiltonprinciple[7]:
(i) T(u)=
V
1
2u˙·ρu˙dV (ii) (u,R,d)=
V
{1
2symm[R(I+D)−I] ·Csymm[R(I+D)−I] +1
2skew[R(I+D)−I] ·γskew[R(I+D)−I] −P·d}dV−
V
u·fdV
(1)
where P is the first Piola–Kirchoffstress tensor, conjugated tothe enhanced displacement gradient d,whereas γ isthe regularization parameter. We emphasize that the kinetic energy is expressed onlyin terms ofdisplacement field, which impliesthepresenceofzeromassesassociatedwiththerotationdegreesoffreedom.Thisleadstoinfinitefrequenciesand the extremestiffproblemwithall the difficultiesthat itwill impose.These difficultiesare morepronounced inthe case ofa 3D solidelement capable ofrepresentingmorevibration modescomparedto structureelements. Forthat reason, in additionofaenergyconserving time-steppingscheme,itisparticularlynecessaryto addthemassmatrixcontributionof theangularaccelerationinordertoreduce theinfluenceofinfinitefrequencies.Thiscontributionispresentedintheform ofaregularizedexpressionforkineticenergy,equaltoasimilarquadraticformbutmultipliedbyacoefficient αthatvaries from0 to 1. Therefore,one can attenuatethe high-frequency contentinthe structuralmotionsimply bychoosing larger valuesforthemassregularizationparameterα.
Forcomputationalefficiency,wefurtherswitchtothecompactformmatrixnotation,detailedinAppendixA.Wedenote by andL thestressresultants,energyconjugatestothesymmetricparte andtheskew-symmetricpart ωofthestrain measureswritteninamatrixform,respectively,
(u,R,d):=C e(u,R,d);L(u,R,d):=γ ω(u,R,d) (2)
Then,thecorrespondingvariationalequationscanbewrittenas
δu δw
·r(u,R,d,p):=
V
δu·ρu¨dV+
V
{δe·Ce(u,R,d)+δω·γω(u,R,d)} −
V
δu.fdV=0
δd·h(u,R,d,p):=
V
{δd·(R)Ce(u,R,d)+δd·(R)γω(u,R,d)−δdp}dV=0 δp·g(u,R,d,p):=
V
{δpd}dV=0
(3)
2.2. Discreteapproximation
The discreteapproximationsforthestandarddisplacementfieldandtherotationfield areconstructedaccordingtothe standardisoparametricinterpolationforan8-node3Dsolidelementwith
u(x,t)= 8 I=1
NI(x)uI(t)≡Nue(t);w(x,t)= 8
I=1
NI(x)wI(t)≡Nwe(t) (4)
where NI arethestandardshapefunctions,whileuI andwI arethecorrespondingnodalvalues.
Theenhanceddisplacementgradientareapproximatedbyusingderivativesoftheincompatibledisplacement α
d(x,t)=
Nim
J=1
GˆJ(x)αJ(t)≡ ˆG(x)αe(t),Gˆ=
Gˆ1,Gˆ2,Gˆ3 , GˆI=
⎡
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣
∂MI
∂x1I3
∂MI
∂x2I3
∂MI
∂x3I3
⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦
(5)
where M1=(1−ξ2), M2=(1−η2) and M3=(1−ζ2) are chosen as quadratic polynomials. In order to ensure the convergenceofincompatible modemethodinthespiritofpatchtest [8],weimpose that
VGˆdV=0,eliminatingP from thevariationalequations.
3. Energyconserving/decayingschemes 3.1. Energyconservingscheme
Inthissection,weseektodesignatime-steppingschemethatensuresenergyconservation.Atatypicaltimetn,theval- uesofunandRn areknown.Thecorrespondingvaluesattimetn+1arecomputedineachstepindependentlyforsingle-step schemes:forthedisplacementvector,wehavesampleadditiveupdates
un(i++11)=u(ni+)1+u(ni+)1 (6)
where u(ni+)1 is the incremental displacement at each iteration (i). The rotation update is somewhat more involved in that we havetochoose betweenvariouspossibilities ofparameters forrotationrepresentation[9].Ingeometrically exact beam theory,SimoandTarnow proposed to usethe materialrotation vector withCayleytransform mappinginorder to assure rotationupdates [10].However, we optedfora quaternion representationthat reducestherotation tensorto four parameters (see, e.g.,[11]),providingamore efficientcomputational procedureby replacingthe matrixmultiplicationby thequaternionalgebra.Then,therotationalupdatescanbewrittenbyusingtheaxialvectorofincrementalrotationwn(i+)1 as
Rn(i++11)=(2q((in++11))20−1)I3+2q(0i(+n+1)1)[q(ni++11)×I3] +2qn(i++11)⊗q(ni++11)
q(0i(+n+1)1)=q(w0i)(n+1)q(0i()n+1)−q(wi)(n+1).q(ni+)1;q(ni++11)=q(w0i)(n+1)qn(i+)1+q(0i()n+1).q(wi)(n+1)+q(wi)(n+1)×q(ni+)1 {q(w0i)(n+1),q(wi)(n+1)} = {cos(w(ni+)1
2 ),sin(w
(i) n+1
2 )
w(ni+)1
w(ni+)1};w(ni+)1=(w(ni+)1.w(ni+)1)12
(7)
Weassumethatthedisplacementandrotationfieldareexpressedattn+1
2 byalinearapproximation.Thisplaysacrucial roleinthedesignoftheproposedschemenamelyfortherotationfield,whichishighlynonlinear.
un+1
2 =1
2(un+1+un);Rn+1
2 =1
2(Rn+1+Rn) (8)
A. Boujelben, A. Ibrahimbegovic / C. R. Mecanique 346 (2018) 571–580 575
Thetimediscretizationoftheweakformoftheequationsofmotionisestablished,usingthemid-pointruleapproxima- tion.
(i)
ϑ
δu·ρu¨n+1 2 dϑ+
ϑ
{δe(un+1 2,Rn+1
2,dn+1 2)·n+1
2 +δω(un+1 2,Rn+1
2,dn+1 2)·Ln+1
2}
−
ϑ
δu.fn+1 2 dϑ=0 (ii)
ϑ
{δd·(Rn+1 2)n+1
2 +δd·(Rn+1 2)Ln+1
2}dϑ=0
(9)
wherethelinearaccelerationu¨n+1
2 iscomputedusingthemid-pointapproximationas
¨ un+1
2=u˙n+1− ˙un
t ; ˙un+1= −˙un+ 2
tun+1 (10)
Byusingtheresultin(10),thefirsttermin(9)(1)canbewrittenasthecorrespondingincrementofkineticenergy
T=
V
δu·ρu¨n+1
2 dV=
V
t
2 (u˙n+1+ ˙un)·ρ 1
t(u˙n+1− ˙un)dV=Tn+1−Tn (11) Toensurethattherestof(9)(1)givestheincrementofinternalenergy,thestressresultantsattn+1
2 mustbecomputedwith aparticularchoiceofalgorithmicconstitutiveequations
alg
n+12=1
2C (en+1+en); Lalgn+1
2 =1
2γ (ωn+1+ωn) (12)
whichleadsto
int=
V
{δe(un+1 2,Rn+1
2,dn+1 2)·alg
n+12 +δω(un+1 2,Rn+1
2,dn+1 2)·Lalg
n+12}dV
=
V
{1
2(en+1−en)·C(en+1+en)+1
2(ωn+1−ωn)·γ(ωn+1+ωn)}dV
=int|n+1−int|n
(13)
Withoutlossofgeneralityforourpurpose,weassumethattheexternalloadingisobtainedfromapotential,assuringthat ext=ext|n+1−ext|n.Thus,withtheresultsin(11) and(13),wegettheform(9)(1)
δu δw
·r(un+1,Rn+1,dn+1)=0→ n+1 ext|n+1+int|n+1
+Tn+1=n+Tn (14)
Byusingthevariationofstrainmeasures,thevariationalequationsin(9) arerewrittenas
(i)
V
δu·ρu¨n+1
2 dV+
V
{y(δu)+ [Y(un+1
2)+Dn+1
2]δw} · {(Rn+1 2)alg
n+12 +(Rn+1 2)·Lnalg+1
2
}
−
V
δu.fn+1 2 dV=0 (ii)
V
{δd·(Rn+1 2)alg
n+12 +δd·(Rn+1 2)Lalg
n+12}dV=0
(15)
whichassuresenergyconservation.
3.2. Energydecayingscheme
Anotheralgorithmicmodificationisproposedheretocontroltheeffectofthehigh-frequencycontributionbydeveloping a time-stepping energy-decaying scheme. In particular, the latter serves as a filter to remove the high-frequency noise, whichcannotberesolvedforaparticularfiniteelementmeshoneach timestep.First,adissipationtermisaddedtothe kineticenergythroughthedisplacementfieldapproximation
