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. The element w = s

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Academic year: 2022

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(1)

Type E

6

. The element w = s

1

s

3

s

4

s

3

s

2

s

4

s

5

s

6

is 9-regular. If the order of q mod ℓ is 9, the characters of the principal ℓ-block in the cohomology of X(W ) are arranged in the following way:

i 8 9 10 11 12 13 14 15 16

H

ic

(X(w ), Q

ℓ

) St q

2

φ

20,20

q

3

φ

64,13

q

4

φ

90,8

q

5

φ

64,4

q

6

φ

20,2

q

8

Id θq

4

E

6

[θ]

θ

2

q

4

E

6

[θ

2

]

The Brauer tree is

St φ

20,20

φ

64,13

φ

90,8

φ

64,4

φ

20,2

Id

E

6

[θ]

E

6

[θ

2

]

Type E

7

. The element w = s

7

s

6

s

5

s

4

s

5

s

2

s

4

s

3

s

1

is 14-regular. If the order of q mod ℓ is 14, the characters of the principal ℓ-block in the cohomology of X(W ) are arranged in the following way:

i 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

H

ic

(X(w ), Q

ℓ

) St q

2

φ

27,37

q

3

φ

105,26

q

4

φ

189,17

q

5

φ

189,10

q

6

φ

105,5

q

7

φ

27,2

q

9

Id

− q

3

D

4,ε2

− q

4

D

4,rε2

− q

5

D

4,rε1

− q

6

D

4,ε1

iq

9/2

E

7

[i]

−iq

9/2

E

7

[−i]

The Brauer tree should be

1

(2)

2

St φ

27,37

φ

105,26

φ

189,17

φ

189,10

φ

105,5

φ

27,2

E

7

[i]

E

7

[−i]

Id D

4,ε1

D

4,rε1

D

4,rε2

D

4,ε2

Type E

8

. The element w = s

8

s

7

s

6

s

2

s

4

s

5

s

3

s

4

s

1

s

3

is 24-regular. If the order of q mod ℓ is 24, the characters of the principal ℓ-block in the cohomology of X( W ) are arranged in the following way:

i 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

H

ic

(X(w ), Q

ℓ

) St q

2

φ

35,74

q

3

φ

160,55

q

4

φ

350,38

q

5

φ

448,25

q

6

φ

350,14

q

7

φ

160,7

q

8

φ

35,2

q

10

Id

− q

3

D

4,φ′′

2,16

− q

4

D

4,φ′′

8,9

− q

5

D

4,φ12,4

− q

6

D

4,φ′

8,3

− q

7

D

4,φ′ 2,4

θq

4

E

6

[θ]

φ1,3

θq

5

E

6

[θ]

φ2,2

θq

6

E

6

[θ]

φ′′1,3

θ

2

q

4

E

6

[θ

2

]

φ1,3

θ

2

q

5

E

6

[θ

2

]

φ2,2

θ

2

q

6

E

6

[θ

2

]

φ′′1,3

iq

5

E

8

[i]

−iq

5

E

8

[−i]

− θq

5

E

8

[ − θ]

−θ

2

q

5

E

8

[−θ

2

]

The Brauer tree should be

(3)

3

St φ

35,74

φ

160,55

φ

350,38

φ

448,25

φ

350,14

φ

160,7

E

8

[− θ]

E

8

[ − θ

2

]

φ

35,2

D

4,φ′

8,3

D

4,φ12,4

D

4,φ′′

8,9

D

4,φ′′

D

4,φ′ 2,16

2,4

Id

E

8

[i]

E

8

[−i]

E

6

[θ]

φ1,3

E

6

[θ

2

]

φ1,3

E

6

[θ

2

]

φ2,2

E

6

[θ]

φ2,2

E

6

[θ

2

]

φ′′1,3

E

6

[θ]

φ′′1,3

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