Conception et simulation d'un système de synchronisation d'ordre fractionnaire

2è

4*

_la+

o.1/

o

Z_

République

Afgérien

^"

*^r*^*fffi@

Ministère

de

l'Enseignement Supérieur

et

de

la

Recherche

Scicntifique

Université Mohamed

Seddik

BEN

YAIIIA

de

Jijel

Faculté

des Sciences

&

de

la Technologie

Département

d'Electronique

_,---

,

---.

i'-'r,nffiilï,

*vW:.i

Mémoire

de

fin

d'Etudes Pour

I'Obtention

du

Diplôme

de

Master

en

Electronique

Option

:

Electronique

et Systèmes

de

Communication

Thème

Conception

et

Simulation

diun

système de

svnchronisation

doordre

fractionnaire

Encrdré par

: IU- Karim

KEMIH

Réalisé

par

:

Mlle. I{alima BOURENANE

M.

Ismail

ZAROUR

Pronotion

2017

#\

w

-C

ma

tr6

manVere

qu'-Je

remercfu

à

cefuiquim'a

h

finaâmcntje

ou&bin&nr

mfuz

an

rnot

2etzcaces

mère

gu'A&6

_biarotège,

_â

_ménzoire

û

/lu/

acarr&

_ses

_mdsfucorûs

_et,on

_yarte

,Para{tr,

mas-1?ères

_sæur4

_mes

_{6eaur1fi.ères}

_et

ntAr

'ucs

_tcgars?oar

_leurs

sautûqns,

â

6onne

_{aole en me}

_rqzVehnt

_que

ifait

_{totgftrurt ês}

_{grran4siÊmrnes...}

.*/erc

i 3/iîcnz

.KOUR

AS

tottts

ceux

qu

/

antVarticqé

_&imès

é

ce

trayaldayec

_un

_coruel/'ou

tVarulmcs

_camaraâs

_&

chsse,

nzs

arn/t...

fth

lLîte cont{nue.

toute

ma

zAnoun

2é,:ûrcace

à ma mère

manyère

_et

i.1&,mi&

_ainsiqae

qui

_mintt

_soatenu

_et

hg&metéru&s

Je

&d7z

ce

Introduction

_{générale ...}

Références

_{bibliogrephiq}

Chapitre

_I

:-Etâ!

de

part

l.l

Introductiotr

_sur

_les

1.2 Sy6tènes

_dyramiq

1,3 Systèmes _dynâmi 1.4 _{Technlques de} 1.4.1 Espace de phas 1.4.2

Notion

_d'

1.4,3

L'erposatrt

de

1.5 IntroductioD

_sur

_te!

1.6

Repr&entrtion

de

la

1.7 Fonctioos

_spéciliq

La fonction

La

fonction

beta :

Lâ fonclion

l.E

Opénteur

de

dériy

1.8.1 Dérivée de 1.8.2 Dérivée de 1.8.3 Dérivée de 1.8.4

Propriétés

i

1.9

_{Conclusiont ...,...,,....}

Référetrces

bibliographiq

Chapitre 2 :

Dt{t

de

I'art

sur

Sommaire

les systèmes

_chaotque

_et

_{fraclionnâiics._---...,....4}

Systèmes

chrotiques:

...,...,,_,--_.-_-..-...,..,,

5

ou cormportement

_{chaotiqu€sr...,...,...}

7

fracliontraircs:,,...,...-_.-__,--.-_._..--...11

pour

h

dérivadon

_{frâctio||raire;...,...,.,...,-.,-._-....,..,...14}

frectionnaiires,

_DéIinitions

_et

_{propriétés!.-...15}

...',,..'.'22

,7r

))t

2.4

Type

de ta

77.'

2.3.3 2.4.2

La

2,43La

2.4,7

L'anti

2.5

Conclusion..

Références

_bibliogra

3.3 Présentation

_du

2.1

Inlroductiotr...,.

2.2

_{Comept et}

par

_{coupf age}

_{lbidirectionnel...,,.,....,....,}

- - - -

--

-...,....27

par corpf

ag€

unidirectiomel,.,..,..-.,_...-

_

_{-- --}

_-

_-,,,...27

2.3

Méthod$

_de

2.3.1

Synchronis

_{pâr décomposiitiot}

_du

systèm€...,..,...,r--.--.,...,...29

par

_le

_conlrôle

_aciif

.,,...,...30

psr

_{la méthod0 du}

_{Backstepping,...,....,n.-..-..---,---31}

2.4,1

La

synchronisa

2.4.4

La

synch 2.4.5

Le

synch 2.4,6

La

synchro

3.1

InMuction,...,...

3.2

Présentrton

de

ta

3.4

Application

de

la

Liu,,...,,.,...,...

3.5.

Sbrulator

_du

_circuit

Cbapitre3

:

_{Corceptiotr et}

_d'un

système de

cynchronisations

_d'ordre

frâctionnaire..,,...,...

pâssi:ye....,...,...,...,,....__-.._-._-__.--.-....,,...4r

chaotique fntLctionnaire _de

_{Liu...,..._.._-...43}

passiye

pour

la

syrchronisaton

du _{système de}

i<t

3.53.

Sch

3,5.4,

Scb

3.5.1.

_La

_réctisation

circuit

d'âtph.

_{ou bien le}

_celcul

_d,

de Lr

conmarrde

passive...-.-.-._._...1---.--...53

3.5.5,

Schémads 3.5.6.

_Simuladon

_de

rynchronbati

on du

système,.,_....,...-.1...,...54

3.6.

Conclusion.,..,,.

Références

_{bibliograpbiq}

Concluslon

_{généra|e....,..}

r/i

Figure

2.3

Figure

3.1

Figure

3.2

Figure

3.3

Figure

3.4

Figurc

3.5

Figure

_3.6,

Figure

3.7

Figur€

3,8

Figure

3,9

Figure

3.10

Figure

3.ll

(Xttt,xt

Figure

_3.12

(Yq,Yg.

Figure

3.13 (Zm.Zs)

(Xm,Xs)

(Ym,Ys)-(Zm,Zs)...,.

Vii 57

Table

_des

_figu

Figure

l,l:

_Atfacteul

_de

Figure

1,2 : Divergence

Figure

_{2.1 : Schémas dc}

Figù€

_{2.2 : Struchre de} Pecora et

Carloll

L'attrcateur sgrchroni L'uniré de

système

_{fnrctionnaire}

_de

_Liu

_{...,...,.,...,.,...44} Schéma de la _{ion de syrchronisation}

sous

Simulink...,,,....,...4g

5 _{de deux systèmes chaotiques}

fractionnalres

_saff

_commande4g

de derlx systèïles chaotiques _{fiactionnaires avec comnrande4g} oe cnaurede

(.t)=

I.os,

(b)=r_

.,.

.,...,...,...51

,l

J-deur _{trajectoirr:s dans le plan}

de _{phase ..._.,,,...9} : _{(a) unirdirectionnel, (b) bidirectionngj...}

...28 isation pæ décomposition en sous_syltème _{proposee par}

maîùe esclave p-C _{du système}

de Lorcnz,..,....,....,...,....,...35

que de la cornrnancle passive...,...,...,..,...53

lque Simulation _{de la syrrchronisation du sjJsteme....,...54}

Schéma Schéma Schéma Schéma

I Schéma él(

:

L'allure

du chaotique dr: l'émetteur et le récapteur sans commande

L'allure

du _{chaotique de l'émetleur et le recepteur}

sa4s cofiImande

L'allure

du _{chaotique de l,émetteul et le récepteu.}

sarls commancle

Figure

3,14 :

L,allure

du _{chaotiqut' de}

_l'dmeneu

_{et le récepteur}

avec comm{mde

Figure

3.15

:

L'allue

du _{chaotique de l'émetteul et lç récepteul ayçç commande}

Figure

3.16 :

L'allure

du _{chaotique de}

_l'émetteu

In

oduction

Les sysêrnes

d

non ljtréaires à dynamique _{complexe qnt tardivement}

_fait

l'objet

d'intens€s

_et

_{exploratiolls}

_{donnant naissance}

_{à la}

_fhmeuse

_théorie

_du

chaos _[

_{1]. Iæ}

développ rmpoÉant cles travaux

sul

les systèmes

non

linéaires

et

a

conduit à la découverte de la dynamique chaotique, par Lorenz

en

_{l96p [2].}

Ce demicr a évideûca l'exti ême sensibilité

aux pertubptions

_d'wr

_sirnple

été

le

premier

à

mettre modèle de

calcul de la

d'impact à ce

momentlà

ion

atmosphérique.

Le travail

de l_nre{|,z n'a eu que peu ce n'est _{qu'êu début des années 1970, que lqs recherches sur le}

cbaos ont

vé

tablement

Li

et Yorl( ont été les premiers à

utilisçr

le terme ,'chaos,,

plus

corrplique

que

l'équilibre,

le péripdique _et le

quasi-pow

exprimer un com périodique [3].

<

_{This is}

an paradox

ftom which,

one

day, usefirl

conpequences

will

be drawn. > çe

qui

se traduit

( C'cst

uû _{lpaladoxe apparent à}

partir

d1.quel, un

jour,

les consequences

utiles

en nt tùées >, Ces mots sont

la

rcponse de

Leibniz

à

la

lettr,e de

ui

posé la question sûvante

(

_Que fâire si

l'prdre

sera de lt

/

2

L'Hopital

dans laquelle on

?"

D.

Plusiçu$

auteurs

herue

de

naissancç du mathématique datant de

ce1le

lettre

datée

en

30

septemh€

1695

_[4],

connme

ftactionnale. Donc

le

calcul

ûactionùaiæ

est

un

sùiet

de

300

âûs. Ce sujet peut être considéré comme

un

viieux

roman et encore nouveau

Il

est

m

vieux

sujet, à

partb

de

certaints

spéculations de

c.W.

L€ibniz

(t695,

1697) L. Euler ( I 730),

il

a été développé jusqu'à _[ros

jours

_[5] .

En

1990, Pecora et

pow la

première

fois

_[6]

ont

présonté

le

concept

dç "s,ïchrcdisation

du

chaos"

chaotiques idenxiques avec

et inlxoduit

Wle

méthode

pow

synchronis]er

deux

systemes des conditions

initiales

ditrércntes.

A

partif

de cette date,

la

syncbronisation des chercheurs dans des

chaotiques est deyenue

de plus

en plug

intéressante aux

générale

différents, Iæ problème de concevoir un sy$tème imitateur du comportçmcnt

d'un

autre ohaoti,iLue,

est

appelé

la

synchronisation,

Les

deux systèmes chaotiques sont aplelés respectivement, systèmî

malûe (ddve)

et système esclave (slave) _[5].

L'objectif

pdncipal

de

travail

dans

ce

mémoire

dc

fin

d'étudeb

est d'étudier

le

phénomène

de

la

d'un

s)stème

chaotique

d'ordre fr{ctionnaire par

la

ve et de conce\,oir le

circdt

de synchronisatibn. méthode de commarde

Afin

de bien prés€nte _toavail,

troùLs _{avons organisé de}

Ia façon

Iuivante :

Le

premier

nohons de base _{sur les}

ou

rous

introduirons

définitions

assez

_clai

I

Dans

la

première

_partie

_{nous évoq{rerons}

hièvement

_les

nes d],)umiques _{ainsi que les systèmes}

{lnaniques

cl,eotiques

série

de

Lléfinitions

_qui

_{nous permelhont}

de

donner

des

sur

le

phénofiLène

_du

_{chaos, les}

caractéris4ques _{du chaos seront}

uxième

_{partie serll}

_consacr€

aux élémeqs

de

base duL calcul hisûolique

et

quelques _concepts

_{prélimin{ires}

seront

_inhoduits

Laplace, la _{fc,qction garnma et la fonction}

de

Minrg-Leffler

_oui

des sysû)mes _chaotiques

_{tactionnailes}

rout ça apÈs

un

cette commanle

_poul

_syncfuoniser

_deux

_systemes

chaotique

cc

chapitre,

_{le circuit}

_de

_{synchronisatiolr}

sous

Multisim

_cst

la

théorie _{des équations}

_{différentielles}

ftactioluaire:1. Trois

apFoches

(G!ûnwald_

_ikov,

_{Riemann-Liouville}

et

Caputd

_à

_fa

généralisation _des

notons

de dérivation _{ensulte oonsidérées.}

Le

deurième

_:

_Il

_est

_délié

_à

_la

_{synchronisation}

des systèmes chaotiqu€s fractionnaires. Nous a

introduit

la notion de synohrcnisatior _et

_lef

_{ditérernts méthodes}

aussi présentées.

_La

fractionnaire,

_un

comme la lransformée

joue

_{un rôle}

_important

el

tnes

dç

la

historique _de cÈ

puis,

à

I'application

de

fractiornailes.

_A

_{la fin}

développé.

Le

troisième

_:

_{est consacré}

à

_{la pÉsçntation de}

_la

_coûmarde

_pû$sive.

Une

conclusion

mémoire.

e

et

quelqrrcs perspectives

_sont

_donnÉes

_à

_la

_fin,Ce

irences

_{bibfrngragfri}

AflMËD,

lnalyse

_{des Systèmes}

Non-. L'univ€rsité

_ABOU

_BEKR

Systenes

_dlnzmiques

_et

_chaos,

these

ÊÀdille, Fon.ttion togirtique

_et

sqtellitqiles,l,Âémore

_de

_magister,

Fractional _{ceûculus; basic theory and} of Mathematics

LNAM,

_{Mexico, August}

_(z

<

Dynamique

chaotique

_à

_derive

Constanrj ne, (20 _I |

).

Carroll. ,,Syndbonizqtion

_in

_chaotic

sys 821-824. (1990).

[I]

ABDUL

Complexes.

_Méaoire

[2]

rrAMAtzrA

Constanrine- _{l -, (2013).}

[3]

conÀ,IrDr

_Di

chifrenent

_deï

Constanrioe. (20 I

0)

[4] D. del-Castillo-Presented _{at the}

[5]

MENACER

_Tidjani

magistère.

_Udversité

[6]

L.M.

Pecora

_et

_T.L.

Letters,yol.

_64,fLo.9, à Dynamiques . (200e).

doctorat,

w.jvercite

chaotique

pout

ité

Mentoud

Physical _Review de

Chapitre

Etat

_de

I

Dans ce chapitre,

q,rès

et lews

propriétés

ser1,eû A carcctërlser

_le

le cqlcul des _dërivées

sur

les systèmes

_c

rq,WI

sur Ie$ systèmes dlnamiques

_et

nous prése,?tons

_le;

_diîërents

_ourils

.haotique, EnEuite nous

aotiques

îonnuires

systèmes cheotiques

1.1

Introduction

_s

_r

_{les systèmes}

cùaotiques

En

1892,

le

_Henri

_.Poincaré

a

démonbé

qpe

_{certai:ûs s)/stèmes}

mécaniques, _dont

_I'

_temporelle

est gouvemée par _{des équaûons Haniltordennes,}

peuvent exhiber _{un chaotique}

I

l].

En

1963, le _{ogiste E.N,}

_l,orera

decouvre que même un simple ensemble de

trois _{équations (non}

_li

couplées de, premier _{ordre) peut}

_{dorner lieu}

à des traiectoires complètement chaoti

Le mot chaos

l'espace

_vide

_infini

Les Romains ont

chose d'informe, _dans I'harmonie

_Il]

chaos

déteministe

_dans

En

1975, les du chaos

_[2].

Cependant les

p€rmethe

_de

_c Alexandrc Lyapounov.

Il

existe

plusiews

équivalentes,

_mais

_elles

cortextes

sci€ntifiques,

d'application

comme _les l'économie.

du

chaos dét0rministe _esl

peut

aiûsi

troùvÊr

le

de

plus

en

pllils

_utilisé

_{dan$ des}

chaos

darc

pfusieurs

_domaines

la

chimie,

la

_liologie

_ou

erLcore

c son origine ,lu

_krme

(

_{Iûoo ),}

_utilisé

pa! les Grecs pour _décrire

ils

ont

supposé _{l,cxistence avant l,émergqnoe}

de

butes

choses.

le telm€

er _{inl,irprtrté I'idée sor$-japentc}

_plur

corcevoir

_quelquç

quel

*

_croient"ils

_--

_I'architecte

du mondq

_{a introduit l,,rrdre}

_et

Ainsi,

Lorenz a

mis

en évidence un des _{pfemiers exemlrgs de} systèmes dissipatifs

_l3l.

Tieû-

YiÊn

_Li

_{et James}

_{A. yorkç}

_{ont trouvés le nom}

de ceftainii

scientifiques

_bien

_{avant cgtte décorLvertc} vont

dynamique

_ohaotique,

_comme

_ceux

{,Henri

pbincrré

et

itions possibles _{du chaos. Ces définitioqs}

ne

so

pas loltres

vels

_{çertdns points corrmuns}

_{c4ractérisant}

aitlsi

le

chaos. Ci-dessous, nous

_d'une

_{manière suçcincte quelquos paractéristiques}

cui

permettent de comprendre points _{marquants d'un}

système chaotique

_[4],

Le

concept

1.2 Systèmes

Un système fois

_[5]r

)

Causale:

Ou

>

Déterministe

_; present va c

L'évolution

distinctes ;

Une

évolution

pratique à long terine.

U

semble aléatoire _[6].

différentielle

Une

évolution

_{dans le tetr|ps}

_:

L'étudc

_{théorique de ces modares discrets}

est _{car eue}

_pcrlnet

de methe en _{évidence des}

_résultab

_importants,

qu

se

_souvent

_aux

évolutiots dlnaniques

_continuelr.

_Elle

est represenlée par _{le e général des}

aiquations aux _{ditërences finie.}

1,3 Systèmes

_dynam

_ues

_chaotiques

La définition

qu'

peut

donner

_ilx

_{chaos est}

_que

_c,est

_un

_plrénomènc

qui

pcut

apparaitre dans les s _dynamiques

_{,lûelministes}

_non

linéaires.

Il

présen1e _{ua æpect}

fondamental

_{d'instabilité}

_le

_aux

conrlitiom initiales,

ce

qui

le

reFd

imprériictit,le

_en

est une

_{smrctffe qui}

_{évolue au cours}

pu _{remps de fàçon à la}

avemr ne dép{:nd que de _{phénomènes du pass€}

ou du présent

'est-à-dire

qu'à pairir

d.Lrne

_{condition iniriale}

_donn<ie

â l.inst

nr

à _{chaque instant ultérieur}

uo et un seql

_ftat

_lirnr

possible.

du système dynamique _{peut alois se}

modéliÊer de

deL\

_façons

continue dans

le

temps

r

Représentés

_{par une}

_é(p4tion

auhe caractéristique du système chaotiqr,æ _{e$ son évolution}

_qui

Nous présentons q _{caractéristiqucs qui}

_pemettent

de corFprendre les points marquants

d'un

système

_t2l.

>

Déterministe:

Un

non

probabilistes.

système chaotique a des règles fondamentalçs _{détemtinistes et}

déterminisme

_est

_la

_capacité

_à

(

_prédtfe

₎

_le

_fiitul

d,ur

phénomène

_à

parti

_d'un

_{évènement p€ssé}

_{ou présert.}

L,évolution

irégulièrL.

_du

comportem€nt

_d'un

_{chaotique etit du aux non linéadtés,}

>

L'impréyisible

_{: raison de}

_la

_{sensibilité aux conditions}

initiales, quj

peuyent êtle connues _{à un}

_degé

_fioi

_{d€, précision.}

>

L'irrégutarité

instables (ou chaotiques,

)

Trois

degrés

>

L!

notr-lin

Un système

La

seDsibilité

Initial

pcÙvent

final.

L'aspect

aléa aléatoires.

L'identificatior

d'observations

peut

se

linéair€s tels que

_[7]

:

I'

1.4.1 Espace de phases

comportement _d}'rrami

variables d'état.

Ordre caché comprenant un nombrc

_inîri

_{de modèles périodioues} uvements),

_C,:t

_{ordre caché}

_forme

l.inûasrrucûre

_{des rysæmes}

lib€rté

;

Solt

sulfisants

_pour

_{donner naissaace}

au

chaos. Un

système coûtinu _{moins de trojs}

degrés de liberté

_te

_{peut etre chaotique.}

1,4

Techniques

_de

_tion

_du

_comportement

chaofiques

:

Un

_{système chaotique est un système}

dynamique non linéaire. ne peut pas être _chaotique.

conditions

initi.les

_r

_Dc

_très

_petits

_changcments

sur

l,état

a

ces contLportements _radicalement

difÊérents

dalls

son état

;

Tous les ét?ls

d'un

_{système chaodque présenterlt des aspects}

caractérjstiques

_des

_systèmes

_non

_linéaires

_à

partir

grâce

à

des

outils

issus

_du

_{domaine des dynamiques}

non des _{phæes, les exposants de Lyapuoov,}

la

notioî

attnctrice.

du

sysême

e!,t

_{ainsi relié}

_à

_{l,évolution de}

_chacune

de

ces

Un système d est

caraçté

sé par un certain nombre de variables d,état,

_qui

off

la

propriété

_de

_{complèteme[t}

l'état du

système

_à

_un

_{rnstant donné.}

_Le

Cet espace est _{I'espace de phase ou chaque}

_{point définit}

un état et

le

Doint associé à cet état décrit traJ€ctoire, appiré _{également une}

_{olbite [5],}

1.4.2

Notion

d'attracteur

L'étude

du _asymptotique

_d'u[l

_système

dynamique

régl

p

un

flot

d'équations

_{dilférentielles}

_{linéaircs révèle}

ùès

souvent

_{la notion}

_d,athacteur.

_défini

comme l'ensemble _{de I'espace des phases}

convergent _{ûoutes les} à des

_{soldions di}

)

Le

point

fréquence _nulle.

>

Le

cycle

limit€

une seule

_ftéq

!

Le

_{tore supra}

ayant

r

périodique).

>

I'attneteur

dit

chaotique, cause de

la

divergence hès _{Foches. Pour cettc} divergeoce _{ou de con} caxaclérisent

_{le taux}

_de proches

_[5].

par un

spectre

_de

puisssnc€

_continue

_et

_{une fonction}

d'autocorrélation _{'annulant trcs}

Epidement.

Figurc

_l.l:

l\.tûacteur _{de Lorentz}

1.4.3

L'exposant

_de

_punov

Prédire

l'évolution

_{dans te temps}

_{l,un

_système

chaotique _est

_difficile

_{à réaliser}

à ectoires du s),slème.

_II

_{existe quatre cas}

de figures _{corespondants}

r du

_{flot, mettlnt}

_{en éyidence}

des attractcurs

_dilïerenls

[5]:

:

coûespoudatt _{à unc solution}

stationnarrc coDstante, donc de

rcre||r

_{: calactérisanl un régime périodiqpe,}

la

solrtion

possède de base.

r

(r>2) :

cet ôffracteur conespond _{à ua}

_égime

_{quasi_périodique}

rs de _{base inddpendantes (cas}

_le

_plus

simpfe

r_2,

dynarnique

_bi

: cet attracteu! _{est associé à un compofllement quast_aléatoire}

de _{deux tra.iectoires démarrant de deux pooditions}

initiales

on se toume _{vers la mesure ou l,estimation}

de

la

vitesse de cette vitesse est domée par les

exposa{s

de Lyapunov

qui

ion

do deurt

tajectoires

_{ayant des condltions}

_initiales

hès

Deux tajectoircs

_le

_plan

_{de phase}

_initialement

sepaées

p4r

un

taux

z

sont séparées, _{après un}

_tenps^l

_,2

I

"zl"

e^

|

zrl

De

ce représente

_le

fait,

er

l"trrnfurE,l

_**N

l

z,l

Figure

1.2 PouI un athacleùr

egaux à zéro et

leur

tro6

_{exposants de}

_L

On

consrate donc

l'illustration

de

la

chaotique ou pas).

(r.2)

tous infédeurs ou toujours _{au nooins} bleau 1,1).

très

utile

pour

si ùn système çst

"'frt

I

ll

.,

_vl

Divergenae de deux tlajectoires _dans

_le

chaotique, le$ exposants de Lyapunov

est _{négativ€. Ltn athacteur étrange}

, dont un au moins doit être

positif

(voir

T

l'exposant

de

Lyapunov

_{rcprésente un}

d'ùn

système (entre-autre

_pow

_détermi

Atkacteur

Exposarts _de Lyapunov Point

_d'équilibre

4

<...<

₄

_<o

4=o

4

<...<

₄

_<0

Période _{d'ordre 2}

4=1r=o

4

<.'...<

₄

_<0

Période d'ordre

_K

3...s

_{4*t <0}

hX)

)

7t<0

H'?el

chaodque

,t>0

h>o

)

^t

<0

des _{systèmos dl,namiques selon leurs}

Tab

1.1 :

1,5

Introduction

_s

_r

_{les systèmcs}

fractionnaires

Le

calcul

_irc

_a

₃₀₀

ans d,existence

années, connaissait les

Tout

au

long

de ces

approches et

définiti

_t8l.

budons de

nonbreux

_{mathémeticiens}

_i

onr donné

plusieu$

fractionnaile,

jusqu,à

Nous

présentons

_ici

_{les principales}

étapes historiques

_{de l,plaboratior du}

calcul

1970. Nous nous

essor

dars

le

développement

_{d,applicalions}

dans

les

années

sul les ouvrages

_[9.

_{10] pour couvrir}

la pefiode de _{1695 à 1974.}

En

1695;

_[13]

_L,

'toire du calcùl ûactionnaire aommença paF une question _{clé de} À4arquis de

_{L'Hospital il}

_{propose de générirliser}

sa

_fomule

_pour

la dérivée

_/d*

_d'un

_{de deux}

fonctioru à

n >

0et inûoduit

la ₊ otationd,,Th

.Il

_écllt

notamment que "

dll2r

₌

_&:x

_",

Er

1730

_;

Euler Leibniz _{Dans une}

_letbe

âdicle [11] où

il

(r(n

+t)

₌

zt;,

11 ç6o.1

avecp>0.

le second granC _{mathématicien à aborder}

_Iî

_questiorl

Dans son

Lt sa célèbre

_û:nction

_Gamma

_f

_qui

_génpralise

la

factorielle

en proposant rxre

déIinition

_{pour la dérivée}

_p,ordre

_a

_>

0

delÉ.

Er

1822

_{; lt3l}

transformée,

_obtient

_une transformée

_de

_Fourier rctlouve

l'identité

:

/(r)=

_a

I

l/(a)cos(

Il

remarque

ensuite

que comme :

ffcos(p(x-a1S

=

p'

ntionnons _ensuite

_{le travail}

_de

_Fourier

_qui]

grâce

_à

_{sa célèbre}

aùre

_{défirition de}

_la

_dérivée

_{d,ordre rée{.}

En

composant

_la

éelle) d'une

fonction

_/

_{avec sa}

_{transformpe inveme, Fourier}

(x-a))aaap.

_(r3)

dérivée

nième

n'èd(ne1)du

_terme

_enl

_cor

_peut

_s,écrire

,,nrf

p1x

_-a

_)+1-l

En 1823;

_[13]

tautochrone généralisé.

Entre

1832_1937 comme semblent

_I'

est la

limite

de la di

wh.

calcul tactionnairs

(le

Ésolution

_{de l,équation}

!r1",t1=o,

_!71,,1

v'

_ox-

'

La démarche d'Heaviside

foumit

_{toutefois la bonne}

T

(x,4

_{= To}

_exp(,qxp1tr)

Il

suppose ensùre que 1,2

de

Ta I En

exacte de (1.6).

Entle

1867-1868;

_Grtinwald

_puis

_Letnikov

prcposent

_{de défiair une}

dérivée

fractionnaire _comme

Le

membre _de

définir Ia

dérivee _d,

Fourier _{obtient ainsi}

_la

d'ordrei!>0de/:

)p'

coslplx

-a) +:?ldadp

_(r.s)

utilise le

r;alcùL

_{fiactionnaire pour}

_résqudre

le

problème _du

il touve

qufl

To=To/fi....

. ce

qui

_{conespond en}

_fait

_{à la dérivée}

d,or&e

la solutio[

_{en série entière,}

_il

_obtient

_fin4lement

la

solution

,garde

_ur

_sers

_si

_on

remplac€

_n

pï

_u

_>

_{O,ce qui}

pemet

_de

u

de

aos(p(x-

(r)).

_Er

_utilisant

_cette

détinition

dans (1.3),

Liouville

_{est le prernier à étudier en}

détail lp

calcul

fractionnaire,

r Ies huit

_{adcles qu,il}

_{publia entre}

lg32

et 1837

_tI3l.

de

diférences

_{finies, par analogie avec}

lê dérivée _usuelle

_qui

finie

_{(opposée à infinitésimale)}

enhe

_I

(x + h)

et

_/(j)

divisé

rtochrote d'Abel

rclevant

davantage

_du

_qas

_d,école)

_pow

la

la chaleur uniclimensionnelle _:

(r.6)

loin

d'êae rigoureuse (elle ne _{serajustifiéF qu,en}

_l9l9),

_mais

En

1892

_;

_[13]

_viside

_foundt

_c,".tte

année_là _{la première application}

concrète du

En _{1927 ;}

il

iohoduit

_{nouvelle détlinition}

N!9"

Di

_tGl="7

J

(r,7)

>

_d

_et

_{c est unr3}

_co[stante

de

normalisation.

_L,opérateur

_Âf

est

me

différence

_{finie d,}

_/,

(par exerinple.

_Alf(x)=

_{f(x)_}

f

(x_

/)

) L,avanrage d,rme

0u,

a>0,

/e[

_avec

telle

définition

par

def.

En

1970 _{; Dans}

_[l

surfaoe

d'rm

cônducteur

flux

de

diffusion

est

concentration _d,espèces

reprcduit dans

_[9],

ce

aux

autr6

erit qu,alle _{est moins restrictive}

quant à la régularité

Oldham et

Spaniû

traitent _{le problème du}

_flux

de chaleur à

la

thermique. Ils rtronûçnt que lors

_d,u!

_{phenomène de diffrrsion,}

le

à

la

_{dérivée 1,2 du} pa.ramètre _{physique (température,}

potentiel _,5lectrique,

etc). D,après l,hisûorique _{de Ross}

prcblème

_semble

_être

_à

_l,origine

de

l,exlension

_du

_çalcul

ûactionnaire _{hors du des}

mathémiatiqur:s,

En

1974

_;

_{Cette se}

_tent

_{è l'Uniyeôité}

de

New llaven

(Connecticut)

_la

première conlérence sur _{calcul fractionnaire organisée par Ross.}

Ce chapihe _{une partie prél.iminaire dans}

laquelle on rappelle des notions et des résultats

_do

_la

_{rhéoriq de I'analyse}

fonclionnelle

qul

repÉsentent _un

outil

_{indispensable dans étudc.}

1.6

Représentation

_{la dérivée}

_{fractionnaire}

On

peut

_I'opérateur

_de

fondamentale

_,Di

_{où a}

comme suit:

dc

q>o

dt"

t

sont les

limitçs

différentiation

_dans

de

I'operation

_[14.15]

une

scule

opération

L'opération

est définie

"Di

=JI

q=o

l@,fu

'.

q

<u

1.7

Fonctions

_s

)

La

foncton

fonction

pour0<zSl.

_Une Écurlenpe _{suiva.ûle ;}

r

(z

+t)

₌

zr (z).

tite

que

la

r(z)=

k-,f-'dt.

Avec:

r(l)

₌

_{Lr(o_)}

_+"o,f(z)

_{est une}

_fmction

monotone et

shictemeft

mportante de

la

fonctior

Gamma

f(4

_{est la}

Qu'en peut démontrer _{uue intégmtion par parties}

:

f(z +t\=

leut

at

_=l

-.

La fonction _Gamma

_d'

_{généralise la factorielle}

car

f(r?+l)=rt,Vn

_€rV.

>

La fonction

betl

1'

lo

+ z !e-'

1'''l'*

=

zt

(z).

déûoissante

rclation

de

(r.l0)

la fonction

Bêta

(qùi

est un

_{t ?e}

_d,inégalç

_{d,Euler, aù même}

gamma) est une fonction _{rernarquable définie par}

[g]

:

(r,rr)

I

ë\P.q )=

_Jt'-'

(1- tl'l-' d

0

Qui peut être liée avec

la

gamma ll(z) par la relation suivante :

a1r.6=r(p)r(q\

t(p+q)

Avec:

(r.r2)

Re(p)>0etRe(e

_>0

L&

fonctiotr

_[16]

_{: La fonction de}

Mittag-Leffler

à deux paramètres

ues

pour

_l0

_dérivation

_{fractionnalre}

nna

:

L'une

cles

_finctions

_{de base}

_du

calaul _{Aactionnâfu€ €st Ia}

d'Euler

_{f(z). t)le}

_{est définie par}

l,intégrale _suivante

_fl6i

:

(l.e)

joue

_{égalemefi rm trcs}

_impoda

demièrc _a

_&é

_i

déyeloppement

1,8

Opérateur

de

t",r(")=E#

4,(")=i

'''

,"'

= Àa-

I.(t+t)

t,"(,1=î ,'^

*';i1(h+2)

=

)duite _{par Hùmbert et}

_Agrawal

ell lg53

et elle est _{définie par}

_lç

sâie

suivant ;

,a>0,p

>0

PourB=

_I,

_nous

la fonction _{suivante :}

A partir _{de la relation}

_(l

_{3) on montre qire}

:

(1.14)

(r.rt

(1.r6)

fractonnaires,

_DéIinitions

_ô.t

_propriétés

(1.13)

kt--l

Nombreuses sont

définitions

des dérivees _{&actionnaires. Nous}

présenûons dans cette partie celles

qui

les plus populaiæs _{et les plus utilisées.}

1.8.1 Dérivée de

G

Cctte

définition

se

sur

_{I'obtention de}

_dérivées

_par

_diférences

finies.

Nous

reprenons

_ici

_la

_de

[13].

, notons

r,

l'opérateur _{de la translation â}

_guche

:

Soit

/;!

-+D

À.

pourft

thf

_o=

_rç-h).

On a ainsi ;

En notons

_;

_rj

= eo o1,

onat

rjt(t)=7(-zrt).

Concemant la dérilCe

r"0=:.;s(I@-,,

_f(1),

=!xfi1,,-'"

=mivtpt-

_fQ

_{-n)+ 71t-zn\.}

Plus généralem€nt,

_la

_r/*

_de/est

domée _{par :}

r@r(t)=ygj.1ia-4y

=ri."aif'

_,*

_t{,ii\k

=ma9r-rt'

_h-.n

_{l{ a/\}

-'

Ou;

(r\

_{_ nt}

_n@-r

trl-7lG-;J=-,î)ro.

)'

+

f(t),

(r.r8)

(r.re)

'.,,,.(n-

k+l)

Il

est _{nossible d,érendre}

I

l'(')=ïs#Ë(-r'I

_)t**t

_(r.20)

Là

€ncore, on p€ut

pour

AER'\NEThEN,

h>d.

>

Déthition

_{1.1 |} est définie par :

Vr e

0.al

_Dç

₌

_11g1

I

h_r

_hd

Ea remarquant que

_lim

Lemikov

à droite.

)>

_{Délinttion l,2}

_r

est définie par :

La

dérivée de

petit,

_{l'éyaluation}

fractionnaire sur

D

(de

1.8.2 Dérivée _de

Riemann réalise

partt

_{de la solution de}

_l,

Soit

l'équation

:

/(t)

=

-/

(r)

_{on obtient le dérivée de}

_frinwald

(r22)

]=ryr*#t"lt;-r.

Notors

c€tte rois que

[f,J*o

-.^",,

a

>0.

La _{dérivée de Grilnwald_}

letnikoiv à gauche

tl,ordre

_a

et(ry

id

_-

t(-b))

(t

_-

rn).

(r.2t)

rc=1[iÎG-'l*'o(

a>o.La

_{dérivee de}

_Gritnwald-

_letnikol

à _{droite d,ordrçs}

_a

.rr=;$#i(-l)"

)r<,."1.

etnikov présente

_lrn

_intéét

_numérique

_{éuFent. Si}

_,

est assez

l s

.(-\

e

"

U-tl'l;

yU

+ti).

permer

_{d'approxirner}

_ta

_dérivée

lien

enke

_{l'integrale fractiomaire}

_et

_la

_dédvee

_{ûactiolulaire}

à

Etion

inrégrale

d'Abel

_{[S] pour tout}

_a

_e

]0

lfl .

dt...,...,.rc > 0

Formellement

_l,

et on

multiple

l,équati

j{,-,)-"

_0i11,-,1"-,

En appliquant _le

xpartettpars

!o(s)ds.j(x-t)-"

(t-Avec _{le chângement de}

î,0v"=o;;riç

ApÈs

la

différentiation

,@=û:q*iG

devient

:

(r.24)

(1.2s)

(r26)

(r.27)

(r.2E)

(n-l)+

_Bæt

que

,>

_{Définitlon t.3 ;}

Est

appelê

la dérivé€

Prenons

0 <

_B

<

lc'est-à{ire

_est

_la

>

DéIlttition

1,4 | si

4!r@=da*i

uation

(1.20)

_{peut êt}

_e

_résolue

en

par

(r

_{- r)-"}

et en

l,intégrant

_donc

_(l

(s)d6

_{=r(.z)le_t)-"}

f

(t)dt

de

FUBINI

: ' at

=r(o)il,*-t)-" f

_@at

/

₌ r + r

(r

_-.r)

€t la fonction _{Beta on}

t)-"

_f(t)dt

anive

finalement à I'expression :

)-"rodt

a

€

_l0,l[et

_{a<r<àonal'expression}

x-t)-"

_71t1*

de

fuernann-Liouville

_{(à gauche).}

le cas général

tel

que

n-l3

_a

_{3 n}

_,

_donc

_a

entière de

a

et

_BsoD reste.

> 0

n'estpas

un enuer,

alors

nous

définis

laïratl

à*t

f

rrr"

'

Lf

(l

I

_ln-q)

Alors

:

oiJr714=,--]-|

_\n-q)

1.E.3 Dérivée _{de Ca}

Bien

que

_la

_déri

important

_dans

_lc

Caputo

(1967-1969)

problèmes appliqués en

conditions initi&les

ph

pas

le

cas

dans

la

m

comalssance _{des aonditi}

D

Défirririon

_{1.5 [g}

définis par I r(' D:.

|

_)(x)

Dérivéegauche:

₍

_o:,

Dffvée

droit€

:

₍

Ou

r=[a]+t

pour

dÊ!

particulier

_si

_0<a

_<1

{r.2e)

a

joué

_{un rôle}

aweurs

y

compds

ehe

révisé,

car

les

logie,

_{exigent des}

ques, _ce

_qui

_n'est

ville

qui

exige la

dérivées

qui

sont

qu'on

la note

o.30)

]o,

(r.3r)

a)

*ia-,r

ru,,]

'l _,

.".'--J\x-tl

-

J'v)dt

Jlx-t)

"

ftrtdt

fractionnaire au sens de Riemann_ <lu

calcul

_{fractionnaire, plusi}

rendu

compte

_{que cette définition}

_dolt

scoélasticilé,

_nécadque

_{des solides et}

er

nterprétables par _{des délivées}

pax

I'approche

de

Riemann-initiales des (lérivées _{ûactionnaires.}

soient

(aiy)(r)et

_{(oî_t)(,)}

_t""

On

définit la

dérivée ûactioanaire _de

('A;_7

)1r;

r,:spectivemenr. comme suire :

)t'r

=

[";

fro,

-i

tt#-tt]),

/.

D:

_f

_)@=l

_{o,_l}

_1'1-i

f'-'rbttx-

tt'

\Ll=0

;

n=C{pour

_a€û

_{tçls que}

_[@]est

_la

_entière

_dea.

Chapiîe

I: _

('

D:rf)U)

₌

_(D:r[.ftrl

=

(D:.f)(x)

-('Di-:f

)(x)=(Di-tr@-

='(Di,n@)-)

Définitior

1.6

_[8]:

r-l<R(a)<r

et

Caputo dç [a

foûcti

" D:

f(x)=

I\'")Dt')f(,e)

1.8.4

Propriétég

Iæs principales suivantes

_[7]:

o.op

f(t

p.o-,.f

₍

o'lafQ\

1.9 Conclusiion

Dans

ce chalitre,

on systèmes dynamiquls initiales, telles-que bs de phase, La

rctiond'

La

dernière

section

(r.32)

(r33)

(1.34)

(r3s)

et

les conditions

:

espace

ul

ftactionnaùe.

Itatl)rxt

.f'r)

(o) ,

\*-r

Fi7l7*11(:r'-ar

(à)l)G)

iffit,-o''

Cas général

soient

de!

avec

I(a)>0

e C"

(ta.bl).

La dérivée fractioruraire d.

/

notée " Df,.;r est définie par :

I i

r"\.

ffi!ft"k){*-,)*""at

des dérivtles

et

intégrales d'ordre

=

t.p

f

(t)

)=D"f

Q)=

rtit)

bs

_O)-

qD" _.f

_(t)

+ b

D'

_s

(t)

a

donné les nc'tions

de

base de systèmes

iques

qui

sont caractérisés

par

la

sensibili

ues de catacttrisation du comDortement et L'exposant dç LlTrunov,

u

chapitre

est

'lonsacrée à la théorie du

spécifiques por.Lr

_la

_{dérivation non entièrc,}

essayé

_{de donner}

lætnikov. _{de fuemann} de Grunwald

s

_{approches des dérivées}

_{liactionnaires}

(1,

[I]

ABDUL

Complexes.Mémoire

[2]

GOUMIDI Di

Chiîremett

_des

Constantine.

(20 I O).

[3]

HAMAIZTA

_Tyeb, Consrantine- I -.(2 _0l 3 _).

[4]

ALI-PACHA, A.,

sul I'Attracteur _de

_H

[5]

BENHABIB

_C communicqtions

[6]

KIHAL

Ahmed

thèse de magister,

_Uni

[7] IKHLEF

Ameur,

Nonl inéaire s _{: Mét hodes}

[8] MANCER

Tidjani€, Jrqctionnqir e,t, thèse, de

[9]

K.B.

Oldham

and J. Loudon. (1974).

ll0l

R.

Hilfer.

Threefold

I.M.

Sokolov, _editom,

(2008).

ll

ll

L.

Euler.

De

s

à

D))ndmiques . (2009).

chaotiquè

_pour

_le

té

Mentouri

de

doctorut,U\ûversité tème basé

securisation

_des | 4). de donnée, <les Systèmes I

l).

à

dërivées

Press,

York

and

R. Klages and

.

Wiley-VCH

irences

_{bihftogragfri}

AIned,

_Analyse

_{des Systèmes}

Nl

ister. L'université

_{ABOU BEKR B}

FÀdine,

_Fonttion

_logistique

_et

s

salellitaircs.

_N4émoire

_de

_magister,

Eslemes

dvnamiques

_et

_chaos,

_these

-SAID,

N.,

_{I\,I,HAMED, A.,}

_e,

_al

Chaos

Lozi. Chaos, v ttl. 5 _, no 6, p. 7 . (2009).

Etude

_d'un

_{srstéme chootique}

_poul

mémoire mastcr. Université _{de Tlçmcen. (2}

Syslèmes chqotiques

_pour

_la

_{b./ns/ilission}

ile de Mohamed

_Khider*

_{Biskra. (2013).}

Chqotifcation

_et

Applications. _{ttjniversité de Conslantine}

_.l

tsqtion _{,Ces systènes}

dyumiques

Université Constantine

_l.

(2014).

The F,"actional _Calculus.

ion to

_frrctionql

_{derivattues .}

_Iî

_G

,

Tmmpofi

i

Foundations and

bus

trsns,:entibus,

_sev

_quqrum

_term

. Imperialis l:,etropolitanae S, 36_J7. (173

ne queunt. C

onment.

Acad,.

[2]

K.B.

irvolving

[13] HOUMOR

r

Fractionnqires.

[14]

PetrâÈ.

_I,

(

Equqtions in

_Mq

qb _>, (2011).

[15j

PetâÈ.

],

and

_D,

_<<

_{tr'rauional -}

Order Chaotîc _{)) EEE Conference}

on

Emerging _Technolo Mallorca, _{Spain (2009).}

s

&

_{Fadory ,{ulomatioû ETFA,}

Septem

_22-25,

_{Paima de}

[16] F. Dubois,

A.

C. and N. Point.

Infoduction

_{é la déd fractiormairc,}

théorie et applications.

_T

_{de I'Ingénieur}

AF5l0

(2010).

[17]

Qiao

Wang et Chdotic System. Zhe

ian

_Qi,

Pqssh,ity-Bosed _Control

lor

Order Unifed

Spanier,

'lhe

_replacement

_of

fick,s

_{laws by}

_a

_fomulation

. J. Elechr:ranal. _Chem

_.

26, 331_341 Oq70).

Analyse

_du

_{Chaos dans}

_un

Système

_d.tqlatioa,

_{Difilrentielles}

! Docr,orat.

_{L,LrNtvERStTÉ}

CONSTANTn+

_E

_t.

_t2Ol;t.

Det iyatives,

_Fractionri

_Integrah,

_qnd

Frcctional

_Differcntial

by

llll'ech,

_{Assi, Janeza Trdine 9, 51000}

Rijeka,

_Croati4

Chapitre

Etot

_de

I

s/s

Dqns

_ce

_chapilre

chaotiques

brèves notions

_{sur l'.}

et

méthodes da

néthodes de nous donnerons de

rt

_{sur la synchro}

's

chaotiquesfra

présentons

_{une étude}

_srî

_ls

La

ltu

seaion

de ce

chqpitre,

nous

de

lo

synchlonisqtion.

_Lq

_{sectioh 2.2}

isatiora

_Dans

_lq

_section

_2,3

nous

des systèmes chaotiques,

_Enfn

_dans

de _{base sur les différents types de}

Ia

ation

_des

nnaires

des

systèues présentet _quelques Eur

Corcept

les prbæipates

demièrc

sectiott,

2.1

Introduction

Le

mot

,'

"lrvoç

" (chronos)

_qui

de faire

se

produire

_u

_s'cccomplir

simultanément

_(plusieurs

_faits,

plusieurs

_actions

sppartenant _{à des séries}

)

tll.

L'histoire

_de

_la

_rsaton

revient au lTeme siècle quand le célèbrc scientifioue hollandais Chdstian

supportées

par

une

périodiques _{(mème et même}

liéqr.ence). En outre,

_il

_{a remarque que}

_si

_l,oscillaton

d'Ùne des pendu.les _était

par une force exteme, elle rcvicndrait _{à son étât}

_initial.

C'était la

_{déc{uverte de la s},nclùonisation.}

La conclusion _{de Huygens sur}

la cause de cette

_lsaton

_{gst le nouvemeat}

de _{la planche en bois, malgré}

_qu,il

soit

à peine perceptible

[2].

e mouvemenl _{lreprésente donc rut}

flrible

_{accouplement des deux}

horloges. Par _dans

_le

_{contexte classique}

la

s),nchronisation

_n,est

_réservée

tlon" vi€nt

rlu grec ,, _aov ,, _(syn)

qui

veut

_dire

,,ensemble ,, _et

dire

_"tenps".

_{De plus le}

_dictomaire

la dÉfinit _{en tant qu,action}

rrs a

_{rapporlé son observation, que}

deux

horloges

_à

_pendule planche

_en

_{bois, finissaient}

par avoir les

_{mêmes oscillations}

qu'aux

_mouvements

systèmes chaotiques.

(périodique ou non) dûs

qui _{doivent êae rassemb}

Ën

resumé la

_{sation est}

_le

_changement

du qthme

des

ositillateùrs

Par

_{ailleurs Ie}

_{concept modeme}

couwe

_{egalement les}

mteractions t:iribles. Selon

pikovsky

[2],

il

y a trois conditions

pour qu'un pûénomène soit considéé _syncfuone

_[l]

_:

.

Les systèmes _{indépendamment.}

Le chatgement du Le changement _du

est dû à un ccouplement faible.

se produit _{dans une certaine gammc de d.isparité.}

Si un oscillaleur _{lentement, le second}

dewait

suiwe cette variation.

En

1983;

Chua

a

_la

question

_de

_{syncbronisatiol en}

_utilisant

des circuits électoniques _{linéaires par}

t3t.

En

1983; Fujisaka

_al

_ont

_été

_{proposés I'hypothèse}

suivante:

I,aspect pseudo aléatoirg du chaos nous â penser qu' il est impossible _{de le synchroniser [41}

En

1990

_;

_{les deux}

_Pecorl

_et

_Carroll

[5]

ont _{montré, que deux s1,s1es1çg}

se synchroniser. Cette decouverte a ouvert la voie p,cur _des chaotiques identiques

enue l'émetteur _et

_le

l'émettew

_chaotique.

but

_{de camoufler un}

_m

rcstauant à la réception

En

1992;

les sécurisée _[6.7],

Après

la

méthode chaos ont été proposées,

al

ont posé les bases

_[g]

ont

_{proposé des}

masquage chaotique. systèrne chaotique et d, de Ia çommunisation.

Dans

ce

chapitre systèmes chaotiques

2,2

Concept

et

métho

es dle

synchnDnisation

Le

concept de

déteministe

_et

possède

ts

90, de

nourbreux

_our,,l:ages

_ont

_{étë publiés}

au

liujet

de

la

ue.

Unc

raisolL importante

_de

_l,attirance

_des

clLerchejurs

_{vers la}

et Carcll

ont

permis

_de

_suggérer

_que

les

systemes chaotiques

dans

la

comn:Lunicatior;

_ou

_leur

nature

semblable

_aux

_bruits

atteinte, ril est _{possible de récupérer un message}

ûusqué par

conJidentiel en le _{superposant à}

_un

_{signal chaotique,}

et

Ie

l.

ont

_{réalisé des}

_systèmes

_de

_commumcatron

chaotique

Prrcora

et

CrLrroll _{d'auaes propositions}

pour slnchroniser le

la mé1ho,le de synchronisation généralisée dont

Rulkov

et

la

slnchrcnisation

_impulsive

[9].

Dans

_{[10], Oppenleim}

_{et al}

qu'ils ont

appelées _{commulation chaotique}

_{ou modulation}

et

et

al

dan$

_[11]

proposent

_de

_noyer

_le

_message

dans le

le

concept de synchronisation

_afin

_d,augmenter

_la

_sécurité

présentoff

_ure

_étude

_globale

_sur

_la

synch:.onisadon des

applications

_du

synchroniser le chaos.

aux

blécommunications

_et

encorc d,auûes

_{méthodes pour}

Depuis

les s).nchronisation

s;nchronisation _{des s}

chaouqu€5 est son application _{à la commurucation sécudsée.}

L€s

tavaux

de

pourraient être

utilisés améiiorerail

_la

_{sécurité le}

rcjet

des _{l,erturbations.}

_{En effet,}

_une

fôis

la

synchronisation

En

1990; Parlitz _{sa le coupla,ge}

de deux attracteurs étranges identiques, _{dans le}

rcpose

_{sut le}

_constat

_qu,un

_{système chaotique}

est

ou plusieus

exposants

_de

_Lyapunov

_positifs

_et

_qu,il

est de construire

ue

réplique identique à _{ce système et d,essaver} instable.

Il

est donc possi