Lire le début de la thèse

Lire

le début

de la thèse

5.3

Etude paramétrique

5.3.1

Introduction

Dans cette section nous quantifions l’influence de chacun des paramètres sans dimension. Pour cela deux cas principaux vont être étudiés. L’un avec les nombres sans dimension suivants : Ar = 3.54, λ = 1, Bo = 1,

ζ = 1, ζ∗ = 9 et l’autre avec Ar = 35.4, λ = 1, Bo = 1, ζ = 0.11, ζ∗ = 9, appelés respectivement cas 1 et cas

2. Dans chacun des cas nous ferons varier un seul paramètre de manière à quantifier son effet. Ces deux cas correspondent à des situations industrielles idéalisées. Dans l’industrie pétrolière il est nécessaire de contrôler les caractéristiques du mélange qui est pompé. Pour cela des sondes de différentes géométries sont utilisées pour contrôler les propriétés du fluide (Cartellier et Achard, 1991; Oliver, 1998). Oliver (1998) et Pearson (2001) ont identifié l’ordre de grandeur des nombres sans dimension associés à ce problème. Le nombre de Reynolds est proche de 100 et le constraste de densité proche de 0. Le cas 2 a pour objectif de décrire cette situation idéalisée. L’autre situation industrielle qui nous intéresse ici est l’élimination d’impuretés dans l’industrie métallurgique. Le mélange est composé de laitier de masse volumique ρ_{≃ 3000 kg/m}3_{et de métal de masse volumique ρ≃ 7000}

kg/m3_{, tandis que le nombre de Reynolds des particules est de l’ordre de l’unité (Shannon et al., 2008). Les}

particules sont plus légères que le métal et remonte sous l’effet de la flottabilité. L’objectif est de les évacuer du bain métallique. Ce problème correspond au cas 1.

5.3.2

Détails numériques

Le domaine utilisé dans cette section est un cylindre de rayon 14Rp et de longueur 48Rp. 100 mailles sont distribuées par diamètre de sphère. 200 points sont uniformément distribués de r_{= 0 à r = 4R}p, puis 400 dans la région extérieur selon une loi arithmétique. Les conditions à la limite sur chacune des parois sont des conditions de symétrie. L’interface est initialement placé à 20Rpdu haut du cylindre. La sphère est lâchée à 1 diamètre du bord le plus haut. Cette faible distance n’a cependant pas d’incidence sur la phase d’accélération de la sphère pour les nombres d’Archimède considérés5_.

5.3.3

Influence du rapport de viscosités

Nous étudions dans un premier temps l’influence du rapport de viscosités. A notre connaissance seuls Geller et al. (1986) ont étudié l’influence de ce paramètre et seulement dans le régime des écoulements rampants.

5.3.3.1 Cas 1

Observations La figure 5.38 montre la chute d’une sphère au travers d’une interface fluide-fluide pour trois

rapports des viscosités différents. Pour les trois cas on observe le développement d’une longue colonne quasiment cylindrique. Cette colonne s’étire jusqu’à ce que se produise le pincement : à la base pour λ_{= 1 et 10, juste} au-dessus de la sphère pour λ _{= 0.1. Les simulations s’arrêtant au moment où la sphère atteint le fond du} domaine, on ne connaît pas l’évolution de la colonne après pincement. Cependant pour le plus grand rapport de viscosités, la goutte entraînée pince par ses extrémités. Ce mécanisme sera étudié plus en détails dans le prochain chapitre.

On note l’apparition d’une onde gravitaire à l’interface. Celle-ci s’explique principalement par l’entraînement de fluide dans la colonne qui, sous l’effet de la force de flottabilité, vient soulever l’interface. Quand le rapport des viscosités diminue, l’amplitude de cette onde augmente. Cela s’explique par deux facteurs. Premièrement, quand λ est grand, l’écoulement dans la colonne est de type Poiseuille et entraîne donc moins de liquide que pour

5. Des tests complémentaires ont montré que cette distance n’avait d’impact que sur les cas à faible nombre d’Archimède i.e.

Ar =0.35. Cependant même si la phase d’accélération est perturbée, la sphère a le temps d’atteindre sa vitesse terminale avant

1 -1 0 (a) 1 -1 0 (b) 1 -1 0 (c)

Figure 5.38. Séquence d’images montrant l’influence du rapport de viscosités dans la configuration 1. A gauche : λ = 10,

∆t = 177 (intervalle de temps entre deux images normalisé par √Rp/(gζ∗)). Au milieu : λ = 1, ∆t = 29.7.

A droite : λ = 0.1, ∆t = 14.8.

λ≪ 1 où l’écoulement est de type bouchon. Deuxièmement, l’énergie de l’onde est évidemment plus facilement

dissipée dans le fluide inférieur pour λ_{≫ 1.}

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -20 -10 0 10 20 up z₋ λ= 10 λ= 1 λ= 0.1 (a) 0 5 10 15 20 -20 -10 0 10 20 Ve z₋ (b) 0.1 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 h z₋ (c)

Figure 5.39. Evolution de quelques grandeurs normalisées pour différents rapport de viscosités dans le cas 1. A gauche :

vitesse de la sphère. Au milieu : volume entraîné par la sphère. A droite : évolution du film interstitiel.

Évolution de quelques grandeurs Le volume entraîné par la sphère augmente de manière importante avant

que la sphère n’atteigne l’interface. De manière intéressante, cette augmentation initiale est approximativement la même pour tout les rapports de viscosités. Ceci est en accord avec les conclusions théoriques de Lee et al. (1979) et Berdan et Leal (1982), qui montrent qu’à l’ordre dominant, la différence de contraintes normales sur l’interface ne dépend pas du rapport des viscosités. Le volume maximal entraîné ne semble pas être contrôlé par le rapport de viscosités dans ce cas. La figure 5.39 (a) montre la vitesse de la sphère en fonction de sa position. Avant d’arriver à l’interface, la sphère a atteint sa vitesse terminale. En z− = 0, elle décélère pour atteindre

une vitesse minimale et réaccélere ensuite. Cela signifie qu’une force ascendante apparaît quand elle traverse l’interface, qui provient de la force capillaire ou de la force de flottabilité. L’épaisseur du film interstitiel dépend manifestement du rapport de viscosités (figure 5.39 (c)). Ainsi le drainage est plus efficace pour les grands λ, ce qui n’est pas surprenant, car la vitesse de glissement à l’interface est plus importante.

5.3.3.2 Cas 2

Observations Nous étudions ici l’influence du rapport de viscosités pour un plus grand nombre d’Archimède

et un plus petit rapport de densités. La figure 5.40 montre que ces trois cas donnent lieu à des configurations d’entraînement colonnaire. Pour le plus grand rapport de viscosités, la colonne a une large base, tandis que pour le plus petit λ une collerette apparaît le long de la colonne. A l’arrivée de la sphère, l’interface semble moins déformée que dans le cas précédent. Pour aucun de ces cas il n’y a apparition de vorticité positive qui témoignerait d’un drainage de la colonne. Pour le plus petit λ, l’interface semble pincer avant que le drainage de la colonne n’ait débuté.

1 -1 0 (a) 1 -1 0 (b) 1 -1 0 (c)

Figure 5.40. Séquence d’images montrant l’influence du rapport de viscosités dans la configuration 1. A gauche : λ = 10,

∆t = 11.8. Au milieu : λ = 1, ∆t = 5.9. A droite : λ = 0.1, ∆t = 5.9. 0 0.5 1 1.5 2 -20 -10 0 10 20 up z₋ (a) 0 5 10 15 20 25 30 -20 -10 0 10 20 Ve z₋ λ= 0.1 λ= 1 λ= 10 (b) 0.1 1 -3 -2 -1 0 h z₋ (c)

Figure 5.41. Evolution de quelques grandeurs normalisées pour différents rapports de viscosités dans le cas 2. A gauche :

vitesse de la sphère. Au milieu : volume entraîné. A droite : évolution de l’épaisseur du film.

Evolution quantitative La figure 5.41 montre que le volume entraîné ne décroit pas durant la totalité de la

simulation, contrairement au cas 1. Cela provient du rapport de densités qui est moindre. De plus, pour les trois

λ, on ne note pas de diminution substantielle de la vitesse à l’arrivée de la sphère à l’interface contrairement au

cas 1. Cependant, pour λ_{= 10, quand la sphère atteint z−= 0 sa vitesse chute brutalement. L’épaisseur du film} diminue plus vite que dans le cas précédent car le nombre d’Archimède est 10 fois plus grand.

5.3.3.3 Discussion sur le rôle du rapport de viscosités

Pour des sphères traversant des interfaces à vitesse constante, Geller et al. (1986) observent que le rapport de viscosités contrôle le taux de drainage du film, ainsi que les déformations de l’interface. Cependant ce rapport ne semble pas contrôler le volume entraîné. Nos conclusions vont dans le même sens. Il s’avère que le volume entraîné différe peu entre les différents cas, tandis que le drainage du film est piloté par ce paramètre. Même si l’augmentation de λ peut contribuer à la flottaison, celle-ci ne peut avoir lieu que si la condition nécessaire (équations 4.32 et 4.42) est satisfaite. Enfin, la diminution de λ contribue à l’apparition d’ondes à l’interface.

5.3.4

Influence du nombre d’Archimède

5.3.4.1 Cas 1

Observations Pour les trois cas de la figure 5.42, on observe des situations d’entraînement colonnaire, avec

une colonne de forme cylindrique. Toutefois les déformations de l’interface ne sont pas les mêmes à l’arrivée de la sphère en z_{= 0 : plus le nombre d’Archimède augmente, moins l’amplitude des déformations est importante.} Par ailleurs, l’apparition d’ondes est elle aussi conditionnée par le nombre d’Archimède. Plus l’inertie augmente,

0.1 -0.1 0 (a) 1 -1 0 (b) 1 -1 0 (a)

Figure 5.42. Séquence d’images montrant l’influence du nombre d’Archimède dans la configuration 1. A gauche : Ar =

0.35, ∆t = 141. Au milieu : Ar = 3.5, ∆t = 29.7. A droite : Ar = 35, ∆t = 149.

plus l’amplitude de ces ondes est importante. Pour les trois cas la colonne s’étire de manière importante, avant que le pincement n’ait lieu à sa base.

La figure 5.42 révèle aussi l’augmentation avec Ar de l’advection de la vorticité vers l’aval (le haut), qui peut donner lieu à des interactions avec l’écoulement dans la colonne.

0 0.2 0.4 0.6 0.81 1.2 1.4 -20 -10 0 10 20 up z₋ Ar= 0.35 Ar= 3.5 Ar= 35 (a) 0 5 10 15 20 -20 -10 0 10 20 Ve z₋ (b) 0.1 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 h z₋ (c)

Figure 5.43. Evolution de quelques grandeurs normalisées pour différents nombres d’Archimède dans le cas 1. A gauche :

vitesse de la sphère. Au milieu : volume entraîné. A droite : évolution de l’épaisseur du film.

Evolution de quelques grandeurs Le volume entraîné ne croît pas du tout de la même manière pour les trois

valeurs du nombre d’Archimède (figure 5.43 (b)). Plus Ar est faible, plus le volume entraîné par la sphère quand elle est encore loin de l’interface est important. De plus, la position de la sphère à partir de laquelle le drainage commence augmente avec Ar. Cependant le volume maximal entraîné ne semble guère dépendant de ce paramètre. La vitesse des sphères est elle aussi fortement impactée par le nombre d’Archimède. Il est également à noter que pour les cas Ar_{= 0.35 et Ar = 3.5 la vitesse atteint un minimum après avoir traversé le plan z−= 0,} ce qui résulte encore une fois des effets capillaires et de flottabilité. Dans le cas Ar_{= 35, l’accélération évolue} brusquement quand la sphère atteint la position z_{−= 0.}

D’après la figure 5.43 (c) l’épaisseur du film interstitiel est moins importante à une position donnée quand

Araugmente, ce qui est consistant avec le fait que les effets inertiels facilitent le drainage.

5.3.4.2 Cas 2

Observations Nous considérons maintenant l’influence du nombre d’Archimède dans le cas 2 (figure 5.44). Les

trois configurations correspondent à un entraînement colonnaire. Les colonnes sont plus larges à la base que dans les cas précédents et prennent des formes coniques plutôt que cylindriques. Sur la séquence d’images de la figure 5.44, elles ne pincent pas. Elles sont cependant plus fines au-dessus de la sphère et il est probable que le pincement se produise dans cette région. On observe que le volume de la goutte qui se forme en amont de la sphère augmente avec le nombre d’Archimède.

0.1 -0.1 0 (a) 1 -1 0 (b) 1 -1 0 (c)

Figure 5.44. Séquence d’images montrant l’influence du nombre d’Archimède dans la configuration 2. A gauche : Ar =

0.35, ∆t = 2.4. Au milieu : Ar = 3.5, ∆t = 0.59. A droite : Ar = 53, ∆t = 5.9. 0 0.5 1 1.5 2 -20 -10 0 10 20 up z₋ (a) 0 10 20 30 40 50 -20 -10 0 10 20 Ve z₋ (b) 0.1 1 -2 0 2 4 6 8 10 h z₋ Ar= 0.35 Ar= 3.5 Ar= 35 Ar= 53 (c)

Figure 5.45. Evolution de quelques grandeurs normalisées pour différents nombres d’Archimède dans le cas 2. A gauche :

vitesse de la sphère. Au milieu : volume entraîné. A droite : évolution de l’épaisseur du film.

Evolution de quelques grandeurs Pour les quatre configurations, la vitesse de la sphère est peu influencée

par la présence de l’interface (figure 5.45). Le volume entraîné croit de manière importante bien avant que la sphère n’arrive à l’interface quand Ar diminue. Le volume maximal est sensiblement équivalent dans les cas

Ar = 1 et Ar = 10, même si l’on note un décalage de la position de la sphère correspondante. Cela signifie

comme précédemment que plus Ar augmente, plus la profondeur à laquelle le drainage de la colonne commence est importante. Enfin, l’évolution du film suit les tendances déjà rencontrées plus haut.

5.3.4.3 Discussion sur l’effet du nombre d’Archimède

Le nombre d’Archimède contrôle les déformations de l’interface aussi bien avant que pendant la traversée. Ce-pendant le volume maximal entraîné est peu influencé par ce paramètre. Par contre, son influence est importante sur le volume de la goutte entraînée ainsi que sur l’évolution de l’épaisseur du film.

De manière à quantifier plus précisément le déplacement initial de l’interface pour différent nombres d’Archi-mède, nous avons calculé la distance entre l’interface et la sphère quand celle-ci atteint la position z_{−= −Rp} (figure 5.46). Le modèle établi dans le chapitre 4 dans le régime d’Oseen prédit une décroissance de l’amplitude de ce déplacement en 1_{/Re ∼ 1/Ar. Il semble que la décroissance observée soit beaucoup plus faible et évolue} comme Ar−0.3. Cette différence provient probablement des limitations du modèle qui néglige complètement les effets capillaires, de flottabilité, ainsi que les variations de vitesse de la sphère.

1 0.1 1 10 100 h( z− = − Rp ) Ar Cas 2 Cas 1 Ar0.3

Figure 5.46. Evolution en fonction du nombre d’Archimède de la distance entre la sphère et l’interface quand la sphère

atteint la profondeur z−= −Rp. 0.1 -0.1 0 (a) 0.1 -0.1 0 (b) 0.1 -0.1 0 (c)

Figure 5.47. Séquence d’images montrant l’influence du nombre de Bond dans la configuration 1. A gauche : Bo = 0.1,

∆t = 14.1. Au milieu : Bo = 10, ∆t = 42.4. A droite : Bo = ∞, ∆t = 28.3.

5.3.5

Influence du nombre de Bond

5.3.5.1 Cas 1

Observations Les figures 5.47 montrent l’évolution du système pour trois nombres de Bond. Pour le plus petit,

la sphère est capturée par l’interface tandis que pour les deux autres on observe un entraînement colonnaire. Pour Bo= 0.1, la sphère subit un petit rebond à l’interface puisque l’on observe des iso-contours de vorticité positive de part et d’autre de l’interface. La vorticité diffuse ensuite et la seule source de cisaillement provient du drainage du film. Il y a peu de différence entre les cas Bo _{= 10 et Bo = ∞, et le pincement n’a pas lieu} durant la simulation (pour Bo_{= 1 la colonne pince à sa base (figure 5.42 (b))). Il y a de grande similitude entre} les colonnes obtenues ici à grand nombre de Bond, et celle décrite par Camassa et al. (2010), dans des fluides stratifiés en densité. La colonne est dans ce cas très étirée et prend une forme cylindrique.

Évolution de quelques grandeurs Sur la figure 5.48 on peut voir que dans le cas Bo= 0.1 la vitesse de la sphère

chute de manière soudaine. Dans les deux autres cas, la vitesse minimale atteinte par la sphère augmente avec le nombre de Bond. Cela témoigne de l’importance de la force capillaire, lorsque la sphère chevauche l’interface. De manière remarquable, pour les trois nombre de Bond 1, 10, ∞, le volume entraîné évolue de manière quasi-identique et sa valeur maximale apparaît quasi-indépendante de Bo. Pour les nombres de Bond les plus grands, on note des oscillations du volume entraîné aux temps longs correspondant à l’apparition d’ondes de gravité.

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 -20 -10 0 10 20 up z₋ (a) 0 5 10 15 20 -20 -10 0 10 20 Ve z₋ (b) 0.1 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 h z₋ Bo= 0.1 Bo= 1 Bo= 10 Bo= ∞ (c)

Figure 5.48. Evolution de quelques grandeurs normalisées pour différents nombre de Bond dans le cas 1. A gauche :

vitesse de la sphère. Au milieu : volume entraîné par la sphère. A droite : évolution de l’épaisseur du film.

5.3.5.2 Cas 2 1 -1 0 (a) 1 -1 0 (b) 1 -1 0 (c)

Figure 5.49. Séquence d’images montrant l’influence du nombre de Bond dans la configuration 2. A gauche : Bo = 0.01,

∆t = 4.7. Au milieu : Bo = 0.1 , ∆t = 7.85. A droite : Bo = ∞, ∆t = 8.6.

Observations La figure 5.49 montre des traversées pour différents nombres de Bond. Pour le plus petit la

colonne pince rapidement à cause des forts gradients de pression capillaire. Pour Bo _{= 0.1, le pincement a} lieu au-dessus de la sphère. Des iso-contours de vorticité positive apparaissent et témoignent d’un mouvement ascendant du fluide dans la colonne, dû aux gradients de pression capillaire. Le cas Bo_{= ∞ est très proche du} cas Bo_{= 1, ce qui signifie qu’au-delà d’un certain seuil ce paramètre n’a plus d’influence sur la traversée. On} peut noter que le volume de liquide entraîné par la sphère augmente avec le nombre de Bond quand on passe de Bo_{= 0.01 à Bo = 0.1, ce qui est en accord avec le modèle proposé par Pitois et al. (1999), mais s’oppose au} nôtre. Pour Bo_{= 0.01 le volume de la goutte entraînée est V}g≈ 1.5Vp tandis que pour Bo= 0.1 on a Vg≈ 2Vp. Cela montre l’importance de l’emplacement de la zone de pincement, qui n’est pas du tout prise en compte par notre modèle statique.

Evolution de quelques grandeurs La figure 5.50 montre que la vitesse de la sphère décroit fortement lors de

la traversée pour le plus petit nombre de Bond, mais que pour tout les autres cas elle est peu influencée par ce paramètre. On note aussi une forte augmentation du volume entraîné pour le plus petit nombre de Bond, car la minimisation de l’énergie de l’interface force celle-ci à se déformer sur une vaste zone. Pour les autres cas, le volume entraîné augmente de manière identique au cours de la traversée. L’épaisseur du film semble quant à elle peu influencée.

0 0.2 0.4 0.6 0.81 1.2 1.4 1.6 -20 -10 0 10 20 up z₋ (a) 0 10 20 30 40 -20 -10 0 10 20 Ve z₋ Bo= ∞ Bo= 1 Bo= 0.1 Bo= 0.01 (b) 0.1 1 -3 -2 -1 0 h z₋ (c)

Figure 5.50. Evolution de quelques grandeurs normalisées pour différents nombres de Bond dans le cas 2. A gauche :

vitesse de la sphère. Au milieu : volume entraîné. A droite : évolution de l’épaisseur du film.

5.3.5.3 Discussion sur l’effet du nombre de Bond

Dans la gamme de paramètres étudiée, le nombre de Bond contrôle la transition entre flottaison et chute de la sphère, mais pas le volume entraîné ni la décroissance de l’épaisseur du film interstitiel. Cependant, même si ce paramètre ne joue pas un rôle majeur dans l’évolution du volume entraîné, celles de la colonne aux temps longs ainsi que la localisation de la zone de pincement en dépendent fortement.

5.3.6

Influence du contraste de densité des fluides

5.3.6.1 Cas 1 0.1 -0.1 0 (a) 0.1 -0.1 0 (b) 0.1 -0.1 0 (c)

Figure 5.51. Séquence d’images montrant l’influence du rapport des densités fluide dans la configuration 1. A gauche :

ζ_{= 4, ∆t = 35.4. Au milieu : ζ = 0.11 , ∆t = 21.2. A droite : ζ = 10}−4_{, ∆t = 21.2.}

Observations Sur la figure 5.51 nous présentons trois configurations correspondant à des rapports des densités

différents. Pour la plus grande valeur de ζ la sphère est retenue à l’interface, tandis que pour les ζ plus faibles elle emmène avec elle une colonne de liquide léger. La base de celle-ci est plus large quand ζ diminue. Le rapport de densité a donc un impact important sur la colonne qui tend à minimiser le volume entraîné. Pour ζ _{= 4} le temps de drainage du film est important et l’on observe un resserrement du film au point de raccord avec la solution extérieure, caractéristique des configurations statiques (Jones et Wilson, 1978). Des iso-contours de vorticité positive apparaissent quand ζ diminue. Il semble qu’ils se développent en premier lieu à la base de la colonne, là où l’étirement est le plus faible.

-0.2 -0.10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 -20 -10 0 10 20 up z₋ (a) 0 10 20 30 40 50 60 70 -20 -10 0 10 20 Ve z₋ ζ= 10−4 ζ= 0.1 ζ= 1 ζ= 4 (b) 0.1 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 h z₋ (c)

Figure 5.52. Evolution de quelques grandeurs normalisées pour différents rapports de densités fluides dans le cas 1. A

gauche : vitesse de la sphère. Au milieu : volume entraîné. A droite : évolution de l’épaisseur du film.

Evolution de quelques grandeurs La figure 5.52 (a) montre la vitesse de chute de la sphère. Pour ζ_{= 4, cette}

vitesse décroit très rapidement. Dans ce cas on note un léger rebond de la sphère à l’interface (la vitesse de la sphère devient ascendante). L’influence de l’interface sur la vitesse décroit avec ζ.

Le volume entraîné par la sphère augmente quand le contraste de densité diminue. Si la pente décrivant cette augmentation est la même pour les deux contrastes les plus faibles, le volume maximal diffère en revanche d’au moins 50%.

La figure 5.52 (c) montre que pour une position donnée, l’épaisseur du film interstitiel est plus faible quand le contraste de densité augmente. En effet, la mobilité de l’interface n’est pas la même et le gradient de pression hydrostatique tend à drainer le film.

5.3.6.2 Cas 2 1 -1 0 (a) 1 -1 0 (b) 1 -1 0 (c)

Figure 5.53. Séquence d’images montrant l’influence du rapport de densité fluide dans la configuration 2. A gauche :

ζ_{= 4, ∆t = 11.8. Au milieu : ζ = 1, ∆t = 5.9. A droite : ζ = 10}−4_{, ∆t = 7.86.}

Nous reprenons le même problème dans le cas 2 (figure 5.53). Pour ζ= 4, des iso-contours de vorticité positive apparaissent quand la sphère arrive à l’interface. Cette vorticité positive résulte de la création d’un bourrelet qui forme ensuite une onde de gravité. Le pincement a lieu pour une position de la sphère encore proche de l’interface initiale. Pour les contrastes de densité plus faibles, le pincement apparaît bien plus tardivement. Pour le plus grand contraste de densité, la colonne se fragmente en gouttes.

La figure 5.54 (a) montre l’évolution de l’onde de gravité formée à l’interface pour ζ_{= 4. Sa longueur d’onde est} d’environ 5Rp, très grande devant la longueur capillaire lc_{≈ R}p. La décroissance de son enveloppe évolue comme

r−1/2ce qui correspond bien à la loi d’échelle associée à une quantité d’énergie fixée en géométrie cylindrique.

Evolution de quelques grandeurs Le volume entraîné augmente fortement quand ζ diminue (figure 5.55 (b)).

Par ailleurs l’épaisseur du film décroit plus vite quand ζ augmente. Enfin on note une très forte décroissance de la vitesse pour le plus grand contraste de densité. Cette décroissance abrupte n’est pas ou peu observée pour le cas 1 où la transition est plus douce. Dans le cas 1 le nombre d’Archimède est dix fois plus faible, l’interface

1 -1 0 0 2 4 6 8 10 z r (a) 1 1 10 A m pl it ud e r S r−1/2 (b)

Figure 5.54. A gauche : évolution de l’onde en fonction de la coordonnée radiale pour trois temps t = 3, 3.5, 4. A droite :

évolution de l’amplitude maximale de l’onde en fonction de sa coordonnée radiale.

0 0.2 0.4 0.6 0.81 1.2 1.4 1.6 -20 -10 0 10 20 up z₋ (a) 0 10 20 -20 -10 0 10 20 Ve z₋ ζ= 10−4 ζ= 0.1 ζ= 1 ζ= 4 (b) 0.1 1 -3 -2 -1 0 h z₋ (c)

Figure 5.55. Evolution de quelques grandeurs normalisées pour différents rapports de densités fluides dans le cas 2. A

gauche : vitesse de la sphère. Au milieu : volume entraîné. A droite : évolution de l’épaisseur du film.

se déplace donc de manière importante avant que la sphère arrive en z−= 0. Les perturbations et forces dues

à l’interface ont le temps de se propager et d’impacter la dynamique de la sphère, ce qui n’est pas le cas pour des régimes plus inertiels. L’évolution de l’épaisseur du film interstitiel est fortement corrélée à ζ, avec une décroissance plus rapide pour de grands contrastes de densité.

5.3.6.3 Discussion

Le contraste de densité fluides contrôle beaucoup d’aspects associés à la traversée de l’interface : le volume entraîné, les déformations de la colonne, le taux de drainage du film, et bien sûr la condition de flottaison de la sphère.

5.3.7

Influence du contraste de densité solide/fluide

L’énergie potentielle apportée initialement au système est proportionnelle à la densité de la sphère. En consé-quence, on s’attend à ce que les variations de ζ∗ aient une profonde influence sur les caractéristiques de la traversée.

5.3.7.1 Cas 1

Observations Pour le plus petit contraste de densité solide/fluide, la sphère passe au travers de l’interface

(figure 5.56). Une colonne très fine apparaît derrière elle, qui se fragmente ensuite en gouttes. La sphère reste encapsulée dans une goutte de fluide léger. Pour le plus grand contraste de densité, la sphère entraîne une importante quantité de fluide léger sans qu’il y ait pincement tout au long de la simulation.

1 -1 0 (a) 1 -1 0 (b) 0.1 -0.1 0 (c)

Figure 5.56. Séquence d’images montrant l’influence du rapport de densité solide dans la configuration 1. A gauche :

ζ∗ = 4, ∆t = 28.3. Au milieu : ζ∗ = 9, ∆t = 29.7. A droite : ζ∗ = 99, ∆t = 34.2. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 -20 -10 0 10 20 up z₋ (a) 0 10 20 30 40 50 -20 -10 0 10 20 Ve z₋ ζ∗= 4 ζ∗= 99 ζ∗= 9 (b) 0.1 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 h z₋ (c)

Figure 5.57. Evolution de quelques grandeurs normalisées pour différents contraste de densité solide/fluide dans le cas

1. A gauche : vitesse de la sphère. Au milieu : volume entraîné. A droite : évolution de l’épaisseur du film interstitiel.

Evolution de quelques grandeurs Plus ζ∗est faible, plus la présence de l’interface influence la vitesse de l’objet (figure 5.57 (a)). Ainsi, pour ζ∗ _{= 4, on observe une décroissance très importante de la vitesse de la sphère à}

l’interface, phénomène qui n’apparaît pas pour ζ∗_{= 99.}

Le volume entraîné évolue de la même manière pour les trois valeurs de ζ∗aux premiers instants de la traversée. Cependant le volume maximal entraîné augmente fortement avec ζ∗, tout comme la profondeur à laquelle ce maximum est atteint. Sur la plage étudiée ici, l’évolution de l’épaisseur du film interstitiel dépend peu de ζ∗.

5.3.7.2 Cas 2

Observations Pour ζ∗ _{= 1, on observe sur la figure 5.58 que la sphère entraîne une longue colonne de liquide}

léger qui pince à sa base. Ce pincement n’a pas lieu pour de plus grands contrastes de densité. Il n’y a pas de différence flagrante entre les colonnes entraînées des cas ζ∗= 9 et ζ∗= 49.

Evolution de quelques grandeurs Pour ζ∗= 9 et 49, la vitesse de la sphère n’est pas influencée par la présence

de l’interface (figure 5.59). La croissance est monotone sans véritable changement de pente. Pour le plus petit contraste de densité, on constate une importante décroissance de la vitesse après que la sphère a traversé l’interface. Le volume entraîné augmente avec ζ∗, même si le domaine numérique ne permet pas de conclure sur le volume maximal atteint pour les deux plus grandes valeurs de ζ∗. L’évolution aux temps courts du volume entraîné est similaire dans les trois cas. Enfin on note que l’évolution du film interstitiel est peu dépendante de

1 -1 0 (a) 1 -1 0 (a) 1 -1 0 (a)

Figure 5.58. Séquence d’images montrant l’influence du contraste de densité solide/fluide dans le cas 2. A gauche :

ζ∗ = 1, ∆t = 9.8. Au milieu : ζ∗ = 9, ∆t = 5.9 . A droite : ζ∗ = 49, ∆t = 9.4. 0 0.2 0.4 0.6 0.81 1.2 1.4 1.6 -20 -10 0 10 20 up z₋ (a) 0 10 20 -20 -10 0 10 20 Ve z₋ ζ∗= 1 ζ∗= 9 ζ∗= 49 (b) 0.1 1 -3 -2 -1 0 1 h z₋ (c)

Figure 5.59. Evolution de quelques grandeurs normalisées pour différents contrastes de densité solide/fluide dans le cas

2. A gauche : vitesse de la sphère. Au milieu : volume entraîné. A droite : évolution de l’épaisseur du film.

5.3.7.3 Discussion

Comme prédit par le modèle de flottaison statique (chapitre 4), le contraste de densité solide/fluide influence fortement la vitesse de la sphère lors de la traversée. Si il est suffisamment faible, la sphère peut même être capturée par l’interface. Ce paramètre influence aussi fortement le volume maximal entraîné par la sphère. En revanche il affecte peu la dynamique du film interstitiel.

En résumé

• Le rapport des viscosités λ influence fortement la vitesse de drainage du film interstitiel ainsi que les déformations de l’interface.

• Le nombre d’Archimède conditionne aussi fortement l’évolution de l’épaisseur du film interstitiel ainsi que les déformations de l’interface.

• Le nombre de Bond influence largement la dynamique de la sphère lors de la traversée de l’interface mais a peu d’effets sur l’évolution du film interstitiel.

• Le contraste de densité fluide ζ joue un rôle central : il influence les déformations de l’interface, le volume maximal atteint par la colonne entraînée, la vitesse de drainage du film interstitiel ainsi que la dynamique de la sphère.

• Le contraste de densité solide/fluide, directement lié à l’énergie potentielle injectée dans le système, influence lui aussi le volume maximal atteint par la colonne entraînée par la sphère, ainsi que la dynamique de celle-ci.

Lire

la quatrième partie

de la thèse