etude de structure planaires blindées en tenant compte de l'épaisseur métallique des rubants

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MENTOURI - CONSTANTINE

FACULTE DES SCIENCES DE L'INGENIEUR DEPARTEMENT D'ELECTRONIQUE N° d’ordre :

Série :

MEMOIRE

Présenté en vue de l'obtention du diplôme de

Magister

En ELECTRONIQUE THEME OPTION Micro onde Présenté par : Menzri Djemâa

Devant le jury:

v Président: M

r

A.Benghalia Prof Univ Constantine

v Rapporteur : M

r

M.Riabi Prof Univ Constantine

v Examinateur : M

r

A.Chaabi Prof Univ Constantine

M

r

T.Benhbiles M.C Univ Constantine

Soutenu le :27 / 06 / 2007

A 9H

LE PUBLIC EST CORDIALEMENT INVITE

Etude des structures planaires

blindées en tenant compte de

l’épaisseur métallique des rubans

Introduction générale

1

Depuis une quarantaine d'années, l'électronique a connu un essor dans de nombreux domaines, tels que l'informatique, l'automatisme ou encore le secteur médical. Cependant, la principale raison de cet essor est l'explosion des télécommunications (communication par satellites, téléphonie mobile,…) dans le monde, tant dans le domaine militaire que civil.

Cela à pour conséquence une adaptation perpétuelle des systèmes électroniques à une intégration très forte des composants,et à une montée en fréquence causée,notamment,par l'encombrement croissant des bandes allouées et l'augmentation importante du débit nécessaire. Ces évolutions devant intervenir à moindre coût, et des critères de plus en plus sévères sont donc imposés à toutes les fonctions classiques de l'électronique.

Ainsi, de nouvelles solutions sont à envisager, et parmi elles, la recherche de nouveaux matériaux est une des plus prometteuses.

De l’avis des physiciens, inverser le parcours de la lumière et la faire voyager à une vitesse supérieure à la vitesse de la lumière, c’est un peu comme réécrire l’électromagnétisme et modifier les lois de Snell-Descartes. Autant dire qu’il s’agit là d’un champ d’exploration riche et passionnant.

Cette prouesse repose sur l’utilisation de matériaux artificiels, aux propriétés nouvelles, qui portent le nom des métamateriaux. Parmi les caractéristiques de ces matériaux composites artificiels, leur capacité à présenter un indice de réfraction négatif, ainsi que la vitesse de phase et la vitesse de groupe. Ceci renforce l'espoir de voir une onde réfractée « aller à reculons » et dépasser la vitesse communément admise de la lumière.

Le concept de métamateriau fut évoqué pour la première fois dans le domaine de l'optique en 1968 , quand le physicien russe Victor Veselago[1] introduit la notion de matériaux main gauche (Left Handed Metamaterial) pour designer les milieux de propagation pour lesquels le vecteur d’onde K et le vecteur de poynting S sont antiparallèle faisant ainsi référence au triéde inverse des vecteurs K , H , E .

Introduction générale

2

Il envisagea de façon théorique la possibilité de créer artificiellement un matériau présentant une permittivité et une perméabilité relatives négatives, donc un indice de réfraction négatif. Les premiers essais concluant de réalisation de ces métamateriau à indice de réfraction négatif ont vu le jour dans les années 90 grâce aux travaux de John Pendry[2]. Depuis, la recherche dans ce domaine a connu un essor considérable.

Le concept de métamateriau est très vaste dans la mesure ou ces matériaux présentent des topologies très différentes formées par des constituants très variés. Il existe, cependant, un point commun à ces métamateriau: ils ont tous des propriétés électromagnétiques très différentes de celles présentées par les matériaux naturels:cette différence résulte d'un assemblage particulier de matériaux constitutifs usuels, c’est-à-dire ayant des propriétés physiques connues. Ainsi, des métamateriau présentant des permittivités et/ou perméabilités relatives négatives dans une bande de fréquences donnée peuvent être obtenus alors que leurs constituant(inclusion conductrices et matrice diélectrique isolante) ont des propriétés électromagnétiques conventionnelles.

En 2001[3], il a été démontré qu’une onde électromagnétique peut se propager dans un milieu d’indice optique négatif. Une onde incidente franchissant la surface de séparation du vide et d’un tel milieu est réfractée selon un angle négatif, ce qui n’avait jamais été observé auparavant avec un milieu classique.

Ces structures étaient théoriquement considérées comme capable de montrer non seulement l’indice de réfraction négatif, mais aussi de reproduire l'image d'un objet en "champ proche"(même si l'objet est plus petit que la longueur d'onde de la lumière qui l'éclaire) par une superlentille plate, permettant ainsi l'augmentation de la capacité d'un microscope, ce qui représente un progrès pour l'imagerie biologique et médicale.

Depuis la fin du XIXIéme siècle, toutes les améliorations techniques réalisées en microscopie se sont heurtées à l’existence d’un véritable « mur » de résolution exprimé par le critère de Rayleigh, qui interdit à l’image d’un point d’être ponctuelle. Même dans le meilleur instrument optique, l’image d’un point ne peut être qu’une tache circulaire. Si l’on observe donc deux points trop rapprochés l’un de l’autre, leurs deux taches-images se recouvrent et il n’est pas possible de les distinguer individuellement.

Introduction générale

3

Ce phénomène fixe une résolution limite au microscope. Le critère de Rayleigh en détermine l’ordre de grandeur :on ne peut pas voir d’objet de dimension inférieure à la longueur d’onde du rayonnement utilisé pour l’observer. Alors pour observer des objets de dimension inférieure, il semble donc indispensable d’utiliser des longueurs d’ondes inférieures aux longueurs d’onde lumineuses.

Il existe les SNOM, pour « scanning near-field optical microscopes », qui sont capables d'aller sous cette limite pour produire une image en deux dimensions de la surface d'un objet ligne par ligne. Mais seulement en intervenant au contact de l'objet. Le principe de cette méthode repose sur la transformation par diffraction des ondes évanescentes en ondes progressives pour être récupérée par une fibre optique. En effet, en plongeant une pointe sub-longueur d'onde dans le champ proche de l'objet observé,les ondes évanescentes présentent sur sa surface vont être partiellement transformées en onde progressives et pouvoir se propager, avec les informations qu'elles contiennent,jusqu'au détecteur. Cette dernière remarque montre que la résolution pourra être d'autant plus grande que le détecteur pourra s'approcher plus prés de l'objet. Donc,ces microscopes ne peuvent pas être employés lorsque le contact avec l'échantillon observé risque de le détériorer,surtout quand celui-ci est fragile comme par exemple un échantillon biologique telles des cellules vivantes.

Une autre méthode pour augmenter le pouvoir de résolution des systèmes d'imagerie, consiste à utiliser le système de « superlentille » qui permet de voir des détails jusqu’à vingt fois plus fin que la longueur d’onde utilisée, tout en offrant une résolution supérieure à celle permise par la technologie actuelle. Le caractère métallique et l’extrême minceur de la superlentille expliquent cette précision, prédite par la théorie depuis 2000[4] .

Cette technique pourrait donner à voir les processus biologiques en temps réel au sein d'échantillons de tissu vivants:par exemple les interaction entre protéines, qui, aujourd'hui, ne peuvent être étudiées qu'indirectement.

Cependant la superlentille ne diffuse pas les ondes évanescentes avec assez d'intensité pour qu'un œil humain puisse voir l'image directement; alors les prochaines recherche devront conformer la lentille de manière à ce qu'elle puisse véhiculer les ondes sur des distances plus grandes et les transmettre,par exemple,via une fibre optique.

Introduction générale

4

Dans ce travail nous avons utilisé une couche plane de métamatériaux main gauche ayant une constante diélectrique et une perméabilité magnétique négatives pour montrer qu'il est possible d'élaborer des lentilles plates parfaites, permettant de s'affranchir de la limite de diffraction imposée par le critère de Rayleigh, par amplification des ondes évanescentes.

La conception du dispositif se fait à partir de la simulation de la propagation des ondes électromagnétiques au sein de la structure et de la réfraction négative aux interfaces. Ces simulations sont effectuées dans le domaine temporel et spatial en résolvant les équations de Maxwell par la méthode des différences finies pour déterminer les différents paramètres.

Ce travail est divisé en trois chapitres:

Le premier chapitre est une synthèse bibliographique sur les composites artificielles Le deuxième chapitre est un générique pour le troisième chapitre, on a introduit, les

superlentille leur définition, caractéristiques techniques, les propriété physiques et optiques ainsi que les formes analytiques des équations de :

Focalisation du champ proche

Propriété de coefficient de réflexion et de transmission (les ondes évanescente) La fonction de transfert.

Le dernier chapitre est consacré à l’application d’une méthode numérique pour calculer les différents paramètres de la superlentille. La FDTD présentée par Yee en 1966[5] semble à l'heure actuelle la plus apte à répondre à nos besoins. Nous avons détaillé le principe de cette dernière, en abordant les principaux points clés,à savoir le principe de base de la méthode,la discrétisation des équations de Maxwell dans le domaine temporel et spatial,le critère de stabilité liant le pas spatial et le pas temporel,sans lequel les schémas divergent, les conditions aux limites .Nous avons terminé ce chapitre par l’utilisation d’un algorithme FDTD, qui nous a permis de calculer d’une façon relativement simple les différents paramètres de la superlentille, à savoir, l’amplification des ondes évanescentes, les coefficients de transmission et de réflexion, le champ proche incident et transmis et la fonction de transfert, sans passer par la simulation électromagnétique.

Annexe 1 : critère de stabilité

Annexe 1 : Critère de stabilité

Le schéma numérique présenté au chapitre III, issu de la discrétisation des équations de Maxwell par la méthode des différences finies, ne peut fonctionner que sous la contrainte d’un critère de stabilité. Pour cela, nous allons établir le critère de stabilité à partir de l’équation de de Helmoltz, discrétisée au sens des différences centrées.

Dans un repère cartésien, l’équation de Helmoltz s’écrit :

(A1,1)

Où W est la composante d’un champ arbitraire électrique ou magnétique. En discrétisant, à l’aide des différences centrées, l’équation (A1, 1), nous obtenons la forme :

2 1 1 2 2 2 2

)

,

,

(

)

,

,

(

2

)

,

,

(

1

)

1

,

,

(

)

,

,

(

2

)

1

,

,

(

)

,

1

,

(

)

,

,

(

2

)

,

1

,

(

)

,

,

1

(

)

,

;

(

2

)

,

,

1

(

t

k

j

i

W

k

j

i

W

k

j

i

W

c

z

k

j

i

W

k

j

i

W

k

j

i

W

y

k

j

i

W

k

j

i

W

k

j

i

W

x

k

j

i

W

k

j

i

W

k

j

i

W

n n n n n n n n n n n n

∂

+

−

=

∂

−

+

−

+

+

∂

−

+

−

+

+

∂

−

+

−

+

− + (A1 ,2)

La première incrémentation pour la valeur des champs électriques à l’instant n=2 utilise le champ à n=1 et n=0. La valeur du champ à n=0 est connue par les conditions initiales. Par ailleurs, la valeur à n=1 n’est pas connue, et doit être prise en compte tout en maintenant la Stabilité de l’algorithme durant l’incrémentation du temps.

La composante du champ donnée par l’équation (A1.2) peut être modélisée par :

( , ) ) , , ( n jAi B Ck n e D k j i

W = + + j= −1 A, B, C sont réels (A1, 3)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t W c z W y W x W ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

Annexe 1 : critère de stabilité

Où l’amplitude de D doit être plus petite que l’unité pour que le champ électrique soit borné. Prenons n = 1 et introduisons l’équation (A1.3) dans celle donnée par (A1.2) et en éliminant les termes des champs communs, nous obtenons :

(A1,4)

En arrangeant et utilisant l’identité d’Euler dans les champs de l’équation (A1.4), nous obtenons : 1 0 2 sin 2 2 sin 2 2 sin 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 + =               −     −       − − C dz dt c B dy dt c A dx dt c D D (A1,5)

En imposant que le champ soit borné, la racine de D donnée par l’équation (A1.5) devient : ₁ 2 sin 2 2 sin 2 2 sin 2 1 1 2 2 2 2 2 2 ≤     −     −       − ≤ − C dy dt c B dy dt c A dx dt c (A1,6)

L'équation (A1.6) peut être représenté de la façon suivante:

( )

2 1 sin 2 sin 2 sin 2 2 2 2 2 2 2 _≤             + + dz C dy B dx A cdt (A1,7)

Ceci nous conduit à la relation suivante entre le pas temporel et les pas spatiaux. La relation A1.7 est valable quelque soit les constantes de propagation choisies k ,_x k ,_y k . En _z

majorant les sinus par 1, dans la relation, on obtient « le pas d'échantillonnage » du schéma numérique d'ordre 2*2: 2 2 2 1 1 1 1 dz dy dx dt + + ≤ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 dt D D c z e e y e e x e e D jC jC jB jB jA jA − + =       ∂ + − + ∂ + − + ∂ + − − − −

Annexe 2 : La Dispersion Numérique

Annexe 2 : La Dispersion Numérique

Si on définit la relation de dispersion comme étant k(ω)avec k le vecteur d’onde

et ω la pulsation, on constate que cette relation calculée a partir du champ discrétise

Diffère de celle exprimée avec le champ continu. Ceci se traduit par une vitesse de propagation de l’onde (vitesse de phase) dans l’espace discret qui dépend de la direction de propagation et qui est toujours inférieure a la vitesse de la lumière. Cette dispersion

non physique est un défaut du a l’algorithme de FDTD. Il peut permettre de quantifier l’erreur due a la discrétisation du champ électromagnétique.

Prenons l’exemple de la propagation d’une onde plane, de vecteur d’onde k, dans un

espace 1D. Si on introduit l’expression discrète de cette onde dans l’équation de Helmholtz :

₂ 2 2 2 2 ₁ t E c x E ∂ ∂ = ∂ ∂ (A2,1)

En faisant les simplifications nécessaires on trouve la relation de dispersion :

cos( ) (cos( ) 1) 1 2 + −       = δ δ ωdt cdt k (A2,2)

On constate qu’en faisant tendre dt et δ vers 0, on retrouve

c

k=ω

L’erreur introduite par rapport `a la vitesse réelle de la lumière est de l’ordre de 1% dans le

cas d’un pas spatial 10

λ

δ = . Cette erreur dépend de l’angle de propagation par rapport au maillage. Elle est minimale pour un angle de propagation de 45°. Cette erreur introduit un déphasage non souhaite ainsi qu’une distorsion des pulses.

Pour diminuer cette erreur on peut réduire le pas spatial (Diviser le pas spatial par 2 diminue l’erreur d’un facteur 4). On peut aussi choisir d’utiliser un modèle de différence

Annexe 3 : La Propagation Dans Les PML

Annexe 3 : La Propagation Dans Les PML

En 2D, si on note ( , *, , *) y y x x σ σ σ

σ l’absorption électrique et magnétique suivant la direction x et y, dans les PML, le champ électromagnétique vérifie ces équations :

(A3,1)

Si on considère la propagation d’une onde sinusoïdale arrivant dans les PML, on montre que les composantes du champ seront de la forme :

y cG x cG cG y x t j x y

e

e

e

ε ϕ σ ε ϕ σ ϕ ϕ ω

ψ

ψ

sin cos ) sin cos ( 0 − − + −

=

(A3,2) ϕ l'angle d'incidence 0 * 0 * 2 2 / 1 / 1 / 1 / 1 sin cos ωµ σ ωε σ ωµ σ ωε σ ϕ ϕ y y y x x x y x j j W j j W W W G − − = − − = + = (A3,3)

avec pour le champ électrique ψ₀ =E₀

zy zx z x zy y zy y zx x zx zy zx y x y zy ZX x y x E E E y E H t H x E H t H x H H E t E y H H E t E + = ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ − = + ∂ ∂ ∂ + ∂ − = + ∂ ∂ ∂ + ∂ = + ∂ ∂ * 0 * 0 ) ( ( σ µ σ µ σ ε σ ε

Annexe 3 : La Propagation Dans Les PML

et pour le champ magnétique

0 0 0 0 0 _µ ε ψ = H _zx + H _yz = E

On constate que l’intensité du champ décroît exponentiellement quand on avance dans les PML.

L’impédance des PML est

G

Z 0 1

ε µ

=

Si la zone centrale a une permittivité ε et une conductivité nulle, son impédance est de

ε µ0

Pour réaliser une adaptation d’impédance entre les deux milieux et éviter l’apparition

de réflexions non physiques, il faut que G = 1, ce qui est vérifie quelque soit la pulsation si

0 * 0 * µ σ ε σ µ σ ε σ_{X x} y y et = = .

Cette adaptation d’impédance avec les PML n’est pas réalisable si la zone centrale a une absorption non nulle. On constate aussi que l’adaptation d’impédance est valable quelque soit l’angle d’incidence ϕ .

Annexe 4: Champ proche incident et transmis

Le champ proche incident :

∫

( )

( )

( )

∞     − = 0 0 sink x k k xˆ i x k cos zˆ z ik exp u E _x x z x x kx

(A4,1)

( ) ( )

k a cosk b ,k ik . sin k u _{x x z x} x kx =_π = 4 Sachant que :

( ) ( )

0 0 〉 = −

∫

∞ ε ε ε real avec a arctg dk k exp k ka sin

(A4,2)

1)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

∫

∫

∞ ∞

π

=

=

o x x x z x x o x x z kx oz

dk

x

k

cos

b

k

cos

x

ik

exp

k

a

k

sin

dk

x

k

cos

z

ik

exp

u

E

4

(

)

(

)

_{( )}

∫

∞













+

+

−

π

=

o x z x x x

x

cos

k

a

b

cos

k

x

b

_exp

_ik

_z

_dk

k

a

k

sin

2

4

(

) (

) (

) (

_{) ( )}

∫

∞

−









+

+

−

+

+

−

+

−

−

π

=

o x x x x x x x z 0

exp

k

z

dk

2

)

b

x

(

ik

exp

)

b

x

(

ik

exp

)

b

x

(

ik

exp

)

b

x

(

ik

exp

k

a

k

sin

2

E

(

)

(

)

(

)

(

)

























−

+

−

+

+

−

+

−

+

+

+

−

+

+

−

−

π

=

∫

∫

∫

∫

∞ ∞ ∞ ∞ o x x x x o x x x x o x x x x o x x x x

dk

))

b

x

(

i

z

(

k

exp

k

a

k

sin

dk

))

b

x

(

i

z

(

k

exp

k

a

k

sin

dk

))

b

x

(

i

z

(

k

exp

k

a

k

sin

dk

))

b

x

(

i

z

(

k

exp

k

a

k

sin

1

. ) b x ( i z a g tan ar ) b x ( i z a g tan ar ) b x ( i z a g tan ar ) b x ( i z a g tan ar Eoz       − + + − − + + + + + − π =1

(A4,3)

2)

( )

_x o x z kx ox u exp ik z sin(k x)dk E

∫

∞ =

∫

(

)

∞

−

π

=

o x x x x x x

dk

z

k

exp

)

b

k

cos(

)

x

k

sin(

k

a

k

sin

4

∫

(

)

∞

−













+

+

−

π

=

o x x x x x x

dk

z

k

exp

)

b

x

(

k

sin

)

b

x

(

k

sin

k

a

k

sin

2

4

Annexe 4: Champ proche incident et transmis

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x x x x

)

x x

o x

x _{expik(x b) exp ik (x b) expik(x b) exp ik(x b) exp( kz)dk}

k a k sin iπ + − − + + − − − − − =1

_∫

∞

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

(

)

)

. ) b x ( i z a g tan ar ) b x ( i z a g tan ar ) b x ( i z a g tan ar ) b x ( i z a g tan ar 1 E dk ) b x ( i z k exp k a k sin dk ) b x ( i z k exp k a k sin dk ) b x ( i z k exp k a k sin dk ) b x ( i z k exp k a k sin i 1 ox x o x x x x o x x x x o x x x x o x x x       − + − − − + + + − + − π =               − + − − − − − + + + − − + − − π =

∫

∫

∫

∫

∞ ∞ ∞ ∞

(A4,4)

⇒

∑

(

)

± − ± − π = ) b x ( i z a tan ar xˆ i zˆ R 1 E_{0 e}

(A4,5)

Le champ transmis :

(

)

(

)

∫

+∞ ∞ −     − − = sink x dk . k ik x k cos zˆ d ik exp U d ik exp Tp E _{x x} x z x z k z T _x ( A4,6)

Tp

=

exp

(

−

2

ik

_z

d

)

=

exp

(

2

k

_x

d

)

(

ε

=

−

1

)

1)

(

)

(

x

)

x x k Tz

U

exp

k

z

2

d

cos

k

x

dk

E

x

∫

+∞ ∞ −

−

−

=

( )

( )

( )

( )

      − + − + − − − + − + − + + − − = b x i d z a tan ar b x i d z a tan ar b x i d z a tan ar b x i d z a tan ar E_Tz 2 2 2 2 1 π (A4,7) 2)

(

(

)

)

_x x z x x k Tx

dk

k

k

x

k

sin

d

2

z

k

exp

iU

E

∫

_x +∞ ∞ −

−

−

=

( )

( )

( )

( )













−

+

−

−

−

−

−

+

+

+

−

−

+

−

−

π

=

b

x

i

d

2

z

a

tan

ar

b

x

i

d

2

z

a

tan

ar

b

x

i

d

2

z

a

tan

ar

b

x

i

d

2

z

a

tan

ar

i

1

E

_Tx (A4,8) ⇒

(

)

(

x b

)

i d 2 z a tan ar xˆ i zˆ R 2 1 E_{T e} ± − − − π =

∑

± (A4,9)

Chapitre 1 : Milieux à permittivité et perméabilité artificielles

5

I.1.Introduction

Les métamatériaux sont des composites artificiels structurés, hétérogènes et parfois multi-échelles à base d’inclusions diélectriques et métalliques, qui présentent des permittivités et des perméabilités artificielles.

Ces métamatériaux, dont la structure est petite comparée à la longueur d'onde, peuvent être décrits, dans certaines gammes des fréquences, par des paramètres ε & µ homogènes; présentant les propriétés peu communes non produites en matériaux normaux. En particulier, il est possible de concevoir des dispositifs de telle manière que leurs constantes diélectrique efficace et perméabilité soient négatives, ayant pour résultat un indice de réfraction efficace négatif.

Le concept de perméabilité artificielle date depuis les années 1980. Récemment Pendry a introduit deux notions nouvelles, ou tout du moins revisités, qui concerne en premier lieu le comportement diélectrique des matériaux métalliques dilués [6][7] en second lieu la possibilité de réaliser des matériaux à perméabilité négative à partir de constituants non magnétiques[8].

Ces deux notions sont liées car, dans les meilleurs des cas, on obtient un composite principalement diélectrique ou magnétique dans une seule direction et pour une certaine polarisation.

I.2. Classifications Des Composites Artificiels

I.2.1 Composites à inclusions non résonantes

Leur fonctionnement ne repose pas sur la résonance dipolaire. La polarisation artificielle provient alors de la géométrie et de la profondeur de pénétration de l'onde dans la partie métallique du composite. L'effet pelliculaire est le paramètre critique de ces composites.

Parmi ces composites on peut citer:

I.2.1.1 composites à inclusions tubulaire métalliques creuses

Un phénomène de perméabilité artificielle de relaxation peut être observé dans un composite métallique non magnétique. Le réseau de tubes métalliques creux infiniment long séparés par un diélectrique est l’exemple le plus simple de ce phénomène. En appliquant un champ magnétique extérieur H0 parallèle aux cylindres, en basse fréquence il pénètre dans le

Chapitre 1 : Milieux à permittivité et perméabilité artificielles

6

tube et le champ à l’intérieur est égale au champ à l’extérieur est la perméabilité effective vaut 1+j0.

Lorsque la fréquence augmente l’effet pelliculaire apparaît et un phénomène d’écrantage se produit, le champ incident ne pénètre plus dans le tube et le champ à l’intérieur vaut 0, le composite est diamagnétisme, et la formule générale de la perméabilité donnée par la référence [8] ainsi qu’une étude détaillée est :

1 0 2 2 2 1 1 −       ₊ − = µ ω σ π

µ

i _r

d

r

eff (I, 1)

σ : Résistance du cylindre métallique par unité de surface. d : distance entre les cylindre (la période).

r : le rayon du cylindre.

La forme générale de la perméabilité est donnée par la figure (I.2), il s’agit d’une relaxation que d’une résonance de la perméabilité et on remarque que µeff toujours positive est inférieur

à 1.

FigureI.1 : réseau de tubes métalliques creux. d

H

E

Chapitre 1 : Milieux à permittivité et perméabilité artificielles

7

Figure I.2 : Perméabilité d’un composite à base de tubes métalliques creux.

I.2.1.2 Composites à inclusions filaires en réseau cubique

La permittivité effective des matériaux métalliques soumis à une excitation électromagnétique peut être décrite par un formalisme de Drude :

















−

=

₂ 2 0

1

ω

ω

ε

ε

p eff (I, 2)

ωp : pulsation plasma du matériau métallique.

ω : La pulsation de travail. eff p

m

e

n

0 2 2

ε

ω

=

(I, 3)

n : densité des électrons e : charge d’électron. ε0 : permittivité du vide.

meff : masse effective de l’électron.

On constate que la permittivité relative du matériau est négative en dessous de la pulsation plasma et positive au dessus. Pour un métal homogène, la fréquence plasma est très élevée, elle

se situe dans l'ultraviolet du spectre elle est de l'ordre de 1015 HZ dans l'aluminium. Réel µ

Imagµ µ

Chapitre 1 : Milieux à permittivité et perméabilité artificielles

8

La permittivité de l'aluminium d'après le model de Drude est donnée sur la (Figure I, 3). Pour les basses fréquences la permittivité est négative et les ondes électromagnétiques ne se propagent pas pour ω=ωp, est dans ce cas la permittivité est nulle.

La motivation de Pendry [6][7],est de fabriquer un composite qui présent la même réponse diélectrique qu’un métal, mais dans le domaine du Ghz plutôt que dans le visible.

Pendry tente de contraindre les électrons libres du métal à se déplacer, dans une direction donnée en choisissant la topologie filaire. Il construit pour cela des réseaux de fils cubique avec un champ hyperfréquence normalement incident et parallèle aux fils.

La fréquence plasma est proportionnelle à la densité de charges libres et inversement proportionnelle à leur masse, l’un des moyens de ramener la fréquence plasma dans des bandes de fréquences est de diminuer très fortement la densité de porteurs libres et conjointement d’augmenter leur masse.

La concentration en métal de ces composites est très faible : la période est de l’ordre du centimètre et le rayon des fils utilisé de l’ordre du micron.

FigureI.3 : Permittivité de l’aluminium selon le modèle de Drude.

1 Fréquence GHz 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 Réel εeff Imag εeff ε

Chapitre 1 : Milieux à permittivité et perméabilité artificielles

9 E

H

a

FigureI.4 : Réseau de fils cubique.

2 4 6 8 10 12 14 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6

FigureI.5 : permittivité d’un réseau de fils cubique. ε

Réel ε Imag ε

Chapitre 1 : Milieux à permittivité et perméabilité artificielles

10

I.2.2 composites à inclusions dipolaires résonantes

I.2.2.1 dipôles résonants chargés par des éléments électroniques

Plusieurs auteurs proposent des travaux sur le concept d’inclusions chargées par des composants électroniques mêmes il s’agit des travaux purement théoriques. Parmi eux, on trouve Ziolkovski[9] qui présente des composites constitués d’antennes de petites dimensions vis à vis de leur longueur d’onde reliées à des circuits électroniques de charge permettant de contrôler leur propriétés.

Auzanneau et Ziolkovski [10] modélisent les dipôles par des générateurs et des impédances équivalentes. Une impédance de charge est rajoutée un parallèle au dipôle. Pour l’antenne dipôle dessinée sur la figure ( I.6) la permittivité est donnée par :

(

)

z

z

k

L in e j − + = ω ε 1 (I, 4)

Où k, est une constante géométrique positive,zin et zL les impédances du dipôle et de la

charge(circuit équivalent figure (I.7).Cette formule est obtenue en calculant le moment dipolaire équivalent du dipôle défini par :

∫

−

=

0 0

)

(

1

l l z

a

dz

z

I

j

p

ω

(I, 5)

Ou I (z) est le courant parcouru le dipôle de hauteur 2l0 selon l’axe OZ On déduit qui est le

moment par unité de volume si le courant est constant et vaut I0 :

I

l

a

z V j p ω 0 0 = _{(I ,6)}

Où V est le volume élémentaire du dipôle

FigureI.6 : Dipôle électrique chargé par une impédance ZL . ZL

Chapitre 1 : Milieux à permittivité et perméabilité artificielles

11

FigureI.7 : Circuit équivalent au dipôle électrique chargé par une impédance.

La simplicité de la formule (I, 4) en fait sa pertinence : on peut grâce aux lois de mélange en déduire une permittivité effective du composite globale de manière analytique. Cependant, quelle valeur attribuer au volume V de l’inclusion ? On peut se demander si celle-ci doit être la valeur du volume géométrique ou bien une valeur différente, un volume « électromagnétique ».

De ces travaux, il faut donc retenir qu’il est possible d’établir des modèles analytiques simples de ces composites à partir de l’impédance du dipôle.

Dipôles et charges actives

Tretyakov [11] propose d’aller plus loin en introduisant des élément électroniques actifs aux bornes des dipôles. Les équations qui dérivent la permittivité d’une antenne dipôle électrique chargée sont les même que celles d’Azumaneau. Cependant, il introduit une notion de longueur effective leff pour le dipôle électrique et l’équation devient :

) ( 1 2 l in eff z z j nl + + = ωε ε (1, 7)

Où n est la concentration en inclusion. Cette longueur permet de cerner la « dimension » électromagnétique » de l’inclusion, qui diffère de la dimension géométrique et dépend de la fréquence de l’onde incidente. Parallèlement, il donne la perméabilité effective d’une boucle en fonction de l’impédance qui la charge :

l in z z s n j + − =1 0 2 ω µ µ (I,8) Où S est la section de la boucle

Afin d’atteindre des paramètres ε et µ négatifs, un inverseur d’impédance est utilisé en parallèle à la charge afin de simuler une inductance négative. L’impédance réalisée par ce

ZL e

Chapitre 1 : Milieux à permittivité et perméabilité artificielles

12

circuit vaut en effet : Zinv=-Z1Z2/Z3. On peut alors simuler des inductances ou des capacités

négatives.

Une molécule active est ainsi constituée naturellement, les milieux dont les paramètres effectifs sont négatifs simultanément présentent de fortes pertes. Avec des systèmes actifs, ces pertes pourraient être compensées. De plus à peu près n’importe quelle fonction d’impédance peut être synthétisée à l’aide de circuits actifs. Des composites artificiels actifs non linéaires sont également envisagés. Il faut enfin signaler que dans le domaine des composites à bande interdite photonique, des composants électriques ont également été insérés.

FigureI.8: Circuit inverseur d’impédance à amplificateur opérationnel.

I.2.2.2 Les Swiss roll

Nous prenons le même arrangement des cylindres creux mais nous les remplaçons par des cylindres constitués d’un enroulement métallique. L’importance est qu’il n’ y à aucun courant qui circule dans le l’enroulement sauf par l’effet capacitif.

Dans cet exemple la perméabilité effective donnée par la référence [2] est :

2 3 2 2 0 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 1 1 ω π µ ω σ π µ − − − + − = N r dC N r a r eff (I, 9)

Si nous utilisons les valeurs suivantes :

r=2.0 mm a=5.0 mm d=0.1 mm N=11 Z1 Z3 Zinv

Chapitre 1 : Milieux à permittivité et perméabilité artificielles 13 Nous trouvons 2 3 2 2 0 ) 1 ( 2 − = N r dC π ω Hz x f 9 0 1 0 =(2 ) =0.380 10 − _ω π Si nous diminuons N : Hz

f

9 0=8.50×10

Chapitre 1 : Milieux à permittivité et perméabilité artificielles

14

Figure I.9 : Perméabilité effective d'un Swiss Roll pourρ=2Ωetρ=10Ω

I.2.2.3 boucles ouvertes (Split Ring Resonator)

Si on considère un matériau magnétique, on observe qu’il se comporte comme un ensemble de dipôles magnétiques. Ses propriétés magiques s’étendent sur une large bande de fréquence : les ferrites, par exemple, peuvent présenter une perméabilité constante sur une plusieurs centaines de Mhz, ces dipôles magnétiques trouvent leur origines au niveau atomique dont les moments magnétiques engendrés par les charges en mouvement. Cependant, les martiaux magnétiques bruts ont également leurs limites, notamment fréquentielles : au delà de quelques gigahertz il n’existe aucun magnétisme naturel exploitable en fréquence sur une large bande.

Le magnétisme artificiel propose de palier ce problème. Les travaux de Pendry [2] portent sur le magnétisme crée par des conducteurs non magnétique. Dans cet article Pendry détaille un dispositif appelé « Split Ring Resonator », en français « résonateur à anneau fondu » ils sont ici imbriqués et les fentes sont opposées. A partir de ce motif générique plusieurs autres structures ont été proposées que ce soit en tirant parti des deux faces d’un substrat de dépôt sur une surface conformée ou la réalisation de motifs de forme carrée. L’essentiel est le fabrication de boucles de courant qui ne sot pas les motifs chiraux planaires tel que la lettre Ω proposé par Engheta [12].

Chapitre 1 : Milieux à permittivité et perméabilité artificielles

15

Pendry a montré que ce type de motif, s’il est périodisé, tout en respectant des dimensions très inférieurs à la longueur d’onde permet de réaliser un milieu de perméabilité relative négative et ceci dans une bande de fréquence souvent très étroite.

La perméabilité d’un tel milieu s’écrit :

3 2 2 0 2 2 2 ln 3 2 1 1 r d C lC r l j a r eff πω µ ω σ π µ − + − = (I, 10) σ : Résistance métallique. r : rayon de la boucle . l : distance entre les SRR.

A la fréquence de résonance est

3 2 2 0 ₂ ln 3 r d C lC π ω =

La forme typique de la résonance de ces matériaux est donnée sur la figure I.11.

On reconnaît un comportement résonant centré sur 13.5 Hz. A cette fréquence peu de matériaux magnétiseur présentent une perméabilité.

On peut remarquer qu’on peut réaliser une perméabilité artificielle à partir d’un seul anneau, l’intérêt du deuxième anneau fendu à l’opposé du premier est la réduction de la polarisabilité magnétoélectrique de l’inclusion parce qu’elle présente un effet bianisotrope.

Chapitre 1 : Milieux à permittivité et perméabilité artificielles

16

Figure I.11: Perméabilité effective d'un SRR

I.3. Le Milieu Main Gauche ou (LEFT HANDED METAMATERIAL)

La première réalisation d’un milieu « main gauche » été en 2001 par Shelby et al[3]. Veselago [1] a étudié de manière théorique la propagation dans tel matériau qui se caractérise par sa permittivité et sa perméabilité magnétique simultanément négative. Puisque dans ce cas le champ électrique E et le champ magnétique H et le vecteur d’onde K forment un triplet indirect, il a également montré que K et S (vecteur de Poyting) sont antiparallèles ainsi la groupe et de la vitesse phase était opposées et par conséquent un indice de réfraction négatif (angle de réfraction négatif).

Les conséquences de l’obtention d’un matériau à n<0 sont multiples Veselago avait prédit l’inversion

• L’effet Doppler • L’effet Cerenkov

Figure I.12:onde plane dans un Figure I.13: onde plane dans un

milieu main gauche milieu droit isotrope

E H S K E K S H

Chapitre 1 : Milieux à permittivité et perméabilité artificielles

17

I.4. Conclusion

Au terme de ce chapitre, il apparaît que l’appellation métamatériaux est générique et regroupe plusieurs types de matériaux généralement des composites. Nous avons essayé de les classer selon le concept de résonance.

Dans un premier temps, nous avons cité des travaux récents effectués sur les composites à inclusions dipolaires résonantes, ils traitent exactement

de boucles ouvertes : qui présente un motif de deux anneaux métalliques imbriqués dont la perméabilité effective peut être négative dans une bande de fréquence très étroite. Ces boucles ouvertes placées dans un plasma à permittivité négative permettent de concevoir des milieux main gauche.

De dipôles électroniques ou magnétiques résonants chargés par des éléments électroniques éventuellement actifs.

Puis dans un deuxième temps, nous exposons des travaux relatifs à inclusions non résonantes :

Inclusions tubulaires métalliques creux infiniment longues. Réseaux de fils parallèle longs.

Chapitre II Les superlentilles

18

II.1. Introduction

La résolution des systèmes d'imagerie médicale conventionnels est déterminée par les phénomènes de diffraction et reste trop éloigné des besoins des scientifiques qui travaillent à l'échelle submicronique. Or cette résolution est soumise à la limite de Rayleigh: on ne peut pas produire d'un point source une image de dimension très inférieure à la longueur d'onde de la lumière.

La possibilité d'avoir une lentille parfaite dont la résolution n'est pas limitée par les conditions de diffraction classique a été le sujet le plus discuté par la communauté scientifique pendant ces dernières années.

Des progrès décisifs ont été accomplis avec la mise en œuvre de plusieurs techniques d'imagerie, telle que la microscopie optique, en champ proche qui permet de faire des observations avec une résolution de quelques dizaines de nanomètres (en dessous de 400 nanomètres, les tissus peuvent être endommagés). Dans ce cas, on détecte les composantes non radiatives du champ électromagnétique présentes au voisinage d'une surface (les ondes évanescentes) qui sont porteuses d'information sur les propriétés physiques des détails de l'objet étudié inférieurs à la longueur d'onde. La collection de ces ondes se fait au moyen d'une fibre optique amincie au voisinage de la surface de l'objet étudié, de manière quasiment ponctuelle. Il est donc nécessaire de déplacer la sonde optique sur l'ensemble de l'objet pour obtenir une image, en gardant un contrôle très précis de la distance sonde – surface, ce qui peut prendre plusieurs minutes et rend quasiment impossible l'étude de nano-objets en mouvement.

Une autre méthode pour augmenter le pouvoir de résolution des systèmes d'imagerie, consiste à utiliser le système de « superlentille » qui permet de voir des détails jusqu’à vingt fois plus fin que la longueur d’onde utilisée tout en offrant une résolution supérieure à celle permise par la technologie actuelle. Le caractère métallique et l’extrême minceur de la superlentille expliquent cette précision, prédite par la théorie depuis 2000 [3].

Chapitre II Les superlentilles

19

II.2. Limitation des performances des lentilles conventionnelles

Les lentilles optiques, pendant des siècles, ont étés un des principaux outils scientifiques. Leur fonctionnement est basé sur les lois classiques du système optique : la nature de la surface de focalisation de la lumière qui doit être incurvée par vertu du contraste d'indice de réfraction.

Objet plan Image plan Figure II.1 : Lentille conventionnelle

Toutes les lentilles actuelles – qu’elles soient des lentilles optiques, pour les télescopes, ou des antennes utilisées pour capter les ondes radio et radar – sont limitées par un facteur clé : elles ne peuvent pas « voir », où résoudre, des détails plus petits que la longueur des ondes électromagnétiques. Par exemple, les atomes sont plus petits que les longueurs d’ondes de la lumière visible et ne peuvent donc pas être vus à l’aide de microscopes optiques.

Conventionnellement, les lentilles créent des images en capturant les ondes lumineuses émises par un objet et puis les refocaliser vers un nouvel endroit. Cependant, l'objet émet également des ondes contenant beaucoup d'information à l'échelle de la longueur d'onde, appelé onde évanescente. Il est beaucoup plus difficile de mesurer ces dernières parce qu’elles décroissent exponentiellement et n'atteignent jamais l'image plane ce qui représente un seuil dans le système optique connu sous le nom de limite de diffraction.

Donc on peut dire que le rayonnement électromagnétique émis par un objet se compose de la composante radiative et de la composante non radiative du champ proche dont l’amplitude se décroît exponentiellement avec la distance de la source.

Pour une source planaire monochromatique, le champ électromagnétique dans l'espace est donné par la relation :

(

,

)

(

,

)

exp(

)

,

t

i

y

ik

x

ik

z

ik

k

k

E

t

r

E

_{y z x y} k x y x k

ω

σ σ

−

+

+

×

=

∑

(II, 1)

En choisissant Z comme axe de la lentille, la résolution de l'équation de maxwell nous donne: k_x2 +k_y2+k_z2 =ω2/ c2 (II, 2)

Chapitre II Les superlentilles

20

Ce qui représente la valeur de la longueur d'onde la plus courte de l’image.

La fonction de la lentille est d'appliquer une correction de phase à chacun des composants de Fourier de sorte qu'à une certaine distance au delà de l'objectif les champs se focalisent, et l'image de la source apparaît. Cependant, pour des valeurs de

k_z =+i k_x2+k_y2−ω2c−2 , ω2c−2 <k2_x +k_y2 (II, 3)

le champ électromagnétique décroit exponentiellement avec z et la correction de phase ne pourra pas le reconstituer à sa propre amplitude, et l'image ne comporte généralement que les ondes de propagation. Alors la propagation des ondes est limitée à :

k_x2 +k_y2 <ω2c−2 (II, 4)

Ce qui signifie que seules les ondes propagatives peuvent contribuer à la formation de l’image. Les ondes évanescentes s’atténuent exponentiellement loin de la source et ne sont jamais détectés dans la formation de l'image formée par les lentilles conventionnelles.

Seule la partie de l’intégrale comprise entre –k et +k est utile à la focalisation: les ondes

progressives ne peuvent donc permettre au mieux qu’une résolution limitée de 2

λ

.C’est bien ce

que nous indique le critère de Rayleigh).

Donc la résolution maximum dans l'image ne peut jamais être plus grande que:

λ ω π π _{= =} ≈ ∆ c k 2 2 max (II, 5)

Si l’on veut obtenir une résolution supérieure à 2

λ

, il faut impérativement utiliser un intervalle

de valeur de k supérieur à l’intervalle

[

−k,+k

]

,donc considérer les ondes ayant des composantes k supérieur à

c ω

.De telle ondes, sont les ondes évanescentes.

Donc on peut dire que la reconstruction d'une image avec la contribution du champ proche nécessite une amplification des ondes évanescentes pour restaurer les champs à leur intensité originale. Cette amplification est rassurée par une plaquette d'un matériau dont la permittivité et la perméabilité ont des valeurs négatives.

Chapitre II Les superlentilles

21

II.3. Définition des superlentilles:

Dans le passé on a supposé que cette limitation était fondamentale, mais des travaux récents de J.B .Pendry [2] ont prouvé qu'il est possible d'élaborer des lentilles plates parfaites, permettant de s'affranchir de la limite de diffraction imposée par le critère de Rayleigh, en utilisant une couche plane de matériau main gauche ayant en même temps une constante diélectrique et une perméabilité magnétique négatives,qui se comporterai comme un «objectif parfait»,en transférant les ondes évanescentes aussi bien que les modes de propagation afin de produire une véritable image de l'objet observé, tout en démontrant l'importance des ondes évanescentes qui subissent une amplification dans la plaquette .

II.4. Constitution de la superlentille :

Typiquement la lentille est constituée d'une plaquette d'un matériaux LHM avec un indice de réfraction négatif, d'épaisseur d = x₁−x₂, caractérisée par une permittivité et perméabilité complexe ε et ₂ µ ,placé entre deux milieux d'indice de réfraction positifs ,avec ₂ des permittivités et perméabilités positives ε ,₁ µ et ₁ ε ,₃ µ respectivement ₃

FigureII.2 .Superlentille constituée d'un matériau à indice de réfraction négatif limité par

deux milieux à indice de réfraction positifs .l'objet est placé dans le milieu 1 à une distance d/2 de la surface de HLM est focalisé dans le milieu 3.

Chapitre II Les superlentilles

22

II.5. Principe de fonctionnement:

Le principe de cette lentille consiste à utiliser des plasmons de surface . Ces derniers sont des ondes de densité surfacique de charges qui se propagent à la surface d'un métal lorsqu'elle est illuminée par une onde électromagnétique. Le détecteur métallique, constitué d'une couche d'argent déposé sur un support isolant, est placé très prés de l'échantillon (objet) constitué du réseau de nanofils. Les ondes évanescentes issues de l'échantillon créent des plasmons de surface dans la fine couche métallique, qui sont ensuite détectés pour former l'image de l'ensemble de l'objet sur une résine photosensible. On obtient ainsi une image finement résolue, même, si pour l'instant le système ne permet pas de récupérer la totalité de l'information contenue dans les ondes évanescentes.

Les chercheurs [13] ont fabriqué leur lentille à partir d’un film d’argent de 35 nanomètres d’épaisseur. Ils ont choisi une source lumineuse dont la fréquence correspond à la fréquence de résonance des électrons présents à la surface de la lentille. La lumière de la source traverse le mot « NANO », dont les lettres ont été inscrites, en traits épais de 40 nanomètres, par lithographie à diffusion d’ions sur un support en chrome. Quand la lumière rencontre la lentille, les électrons entrent en résonance avec les ondes évanescentes, renforçant leur énergie. La superlentille dirige les ondes jusqu’à un dispositif photosensible qui recueille l'image.

Figure II.3: Système de «superlentille» : la couche d’argent entre l’objet et l’image de

l’objet permet d’obtenir une résolution au-delà de la limite de diffraction. La ligne rouge schématise le cheminement et le renforcement des ondes évanescentes à la traversée du

film d’argent

Chapitre II Les superlentilles

23

Figure II.4.: Figure obtenue : à gauche avec une lentille classique : à droite avec une superlentille

Ils ont ainsi démontré que l'on peut «voir» au sein de nanostrucures, des trous de 540nm en utilisant une lumière de 1µm focalisée avec la superlentille. Les trous sont environ 20 fois plus petits que la longueur d'onde de la lumière qui l'éclaire [14]

Chapitre II Les superlentilles

24

II.6. Propriété de focalisation

La lumière prend le chemin optique le plus court entre deux points.

Pour les lentilles conventionnelles, la distance la plus courte entre l'objet et l'image est:

' 3 3 ' 2 2 ' 1 1 3 3 2 2 1 1d n d n d nd n d n d n + + = + +

Les deux chemins convergent au même point parce que tous les deux correspondent à un minimum Par contre pour une lentille parfaite, la distance optique la plus courte entre l'objet et l'image égale à zéro:

' 0 3 3 ' 2 2 ' 1 1 3 3 2 2 1 1d +n d +n d =nd +n d +n d = n

Ce qui nous donne une image identique de l'objet.

II.7. Focalisation du champ proche

Un champ proche dans un matériau à indice de réfraction négatif tend à focaliser naturellement une source rayonnante dans plusieurs directions. Le dessin de (Figure II.6) apparaissant dans l’article original de Veselago [1] qui était le premier à appliquer la loi de Snell aux interfaces,pour prouver que cette structure peut provoquer une double focalisation de la lumière à l'intérieur et à l'extérieur de la plaquette.. L’article original de Pendry [2] parle non seulement de focalisation mais aussi de l’amplification des ondes évanescentes et qui permet de retrouver au point de focalisation l’ensemble des composantes émises par la source.

Chapitre II Les superlentilles

25

Figure II.6 : Focalisation du champ proche

II.7.1. Ondes évanescentes:

Les ondes évanescentes apparaissent de façon générale, comme des solutions possibles des équations de Maxwell en présence d'interfaces, planes ou non. Elles font partie d'un type très général de solutions dites de champ proche, dont on trouve maintes applications dans les technologies qui leur sont liées: les microscopies de champ proche.

II.7.1.2.Propriétés de l’onde évanescente :

Comme toute onde, l’onde évanescente est essentiellement définie par son vecteur d’onde et sa polarisation.

II.7.1.3.Le vecteur d’onde

Considérons deux milieux diélectriques d’indices n1 et n2<n1. Si l’on note OXYZ un

système de référence dans lequel le dioptre séparant les deux milieux correspond au plan OXY et dans lequel le plan d’incidence est le plan OXY, les composantes du vecteur d’onde de la partie transmise d’une onde plane qui se propage initialement dans le milieu n1 et qui se

réfléchie sur le dioptre avec un angle d’incidence θ1 s’écrivent

        = = = = = 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 sin _ 0 sin sin θ ω θ ω θ ω n n c k k n c n c k k z y x (II, 6)

Chapitre II Les superlentilles

26

Si n1 sinθ1>n2, kz devient imaginaire pur. Il y a alors réflexion totale de la lumière sur le

dioptre. L’onde transmise dans le second milieu est évanescente. Pour le cas particulier où n2=1 , les composantes du vecteur d'onde de l'onde évanescente s’écrivent :

       = θ = = θ ω = θ ω = = ω _{n sin _1 jk}~ j k 0 k sin n c sin c k k 1 2 2 1 c z y 1 1 2 x T _{(II, 7)} Dans ce cas ║kT║= c n c ω θ ω _> 1 _ sin2 2 1 . A partir de l’équation 2-7

Le vecteur d’onde de l’onde évanescente est complexe.

Le module du vecteur d’onde est supérieur à

c ω

dans le vide (pour une onde

progressive

homogène aucune des composantes du vecteur d’onde ne peut être supérieure à cette valeur) Sa composante k est imaginaire pure. _z

A cause de cette dernière propriété, l’amplitude de l’onde évanescente décroît exponentiellement en fonction de Z, nous obtenons la structure générale d’une onde évanescente d’amplitude E0

(

k

x

k

z

t

)

E

( )

k

j

(

k

t

)

j

E

E

r

=

₀

exp

_x

+

_z

−

ω

=

₀

exp

−

~

_z

exp

_x

−

ω

(II, 8)

A cause de cette décroissance exponentielle qu’elle n’est détectable que sur une distance très faible de la surface de séparation des deux milieux.

II.7.1.3.Polarisation de l’onde évanescente

Dans le cas d’une onde transverse électrique (T. E), la polarisation de l’onde évanescente ne présente pas de caractéristique particulière. Ce n'est plus le cas pour une onde transverse magnétique (T.M). Le vecteur de polarisation de l'onde incidente sur le dioptre s'écrit dans le premier milieu ErI =(−cosθ₁,0, _²sinθ₁).

La polarisation de l'onde transmise dans le second milieu s'obtient

ErT =(− 1−n₁2sin2 θ₁,0,n₁sinθ₁). (II ,9)

Chapitre II Les superlentilles 27       > θ = = − θ − = = 1 sin n E 0 Ey 1 sin n j E E 1 1 z 1 2 2 1 x T r (II,10)

Alors que la polarisation de l’onde incidente sur le dioptre était rectiligne (polarisation TM). La polarisation de l’onde évanescente est elliptique, puisque les deux composantes Ex et Ey

du vecteur polarisation, ont une longueur différente et qu’elle sont déphasées de π/2, cette ellipse est située dans le plan d’incidence Oxz (alors qu’usuellement l’extrémité du vecteur polarisation d’une onde plane tourne dans un plan qui est perpendiculaire) le grande axe de l’ellipse est supérieur a1 ce qui n’est jamais le cas avec une onde progressive.

II.7.2.Amplification des ondes évanescentes:

L'objet plan est placé dans le milieu 1 à une distance d/2 de la première face de la plaquette et l'image plane formé, dans le milieu 3 à une distance d/2 de l'autre face.

Objet plan Image plane

2d

Figure II.7:Plaquette de matériau à indice de réfraction n=-1

Figure II.8 Amplification des ondes évanescentes

Dans la limite extrême les expressions des champs électriques et magnétiques dans la région (1) pour les polarisations S et P sont :