Etude de l'écoulement tridimensionnel et transfert de chaleur d'un fluide traversant un coude

Texte intégral

(1)___________________________________________________________________________. REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE MENTOURI - CONSTANTINE FACULTE DES SCIENCES DE L'INGENIEUR DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE. MEMOIRE Présenté en vue d'obtenir le diplôme de MAGISTER en Génie Mécanique Option : Thermo-Fluides. Etude de l'écoulement tridimensionnel et le transfert de chaleur d'un fluide traversant un coude. Par Mr GACI FARID. Soutenu le: Devant le jury : Président Mr M.KADJA Rapporteur Mr Z.NEMOUCHI Examinateur Mr S.BOUDEBOUS Examinateur Mr K.TALBI. Professeur Professeur M.C M.C. Univ. Mentouri-Constantine Univ. Mentouri-Constantine Univ. Mentouri-Constantine Univ. Mentouri-Constantine. _______________________________________________________________________ 1.

(2) ___________________________________________________________________________. Dédicace Je dédie ce mémoire à mes chers parents à ma femme et mes deux enfants Lyna et Abderrahmane à mon frère à mes soeurs à mes amis à tous mes collègues de travail. _______________________________________________________________________ 2.

(3) ___________________________________________________________________________. REMERCIEMENTS Derrière ce travail se cache la présence, le support et l'ouverture de mon encadreur de thèse, le Pr. ZOUBIR NEMMOUCHI, à qui je dois énormément. J'ai particulièrement apprécié ses encouragements, ses conseils et la liberté qu'il m'a accordée dans la poursuite de mon travail. Je lui suis aussi très reconnaissant pour m'avoir beaucoup appris dans le domaine scientifique. Je remercie le Pr. MAHFOUD KADJA, pour avoir accepté d'intervenir comme président du jury. J'exprime ma gratitude envers le Dr. SAADOUNE BOUDEBOUS, qui a accepté d'agir en tant qu'examinateur pour cette thèse et je le remercie énormément de ses conseils très constructifs et de sa contribution à l'élaboration de ce mémoire. Je tiens aussi à remercier le Dr. KAMEL TALBI, et avec qui j'ai eu de l'aide, ainsi pour sa participation à l'évaluation du présent travail.. Enfin... il y a une foultitude de personnes qui ont souvent été présentes durant ces deux années et qui ont contribué à rendre le quotidien d’un Thésard bien plus que supportable... je dirai même plus : fort agréable. _______________________________________________________________________ 3.

(4) ___________________________________________________________________________. SOMMAIRE. Nomenclature………………..…………………………………………………………………...IV Introduction et étude bibliographique 1. Introduction…………………………………………………………………………….……….1 2. Etude bibliographique…………………………………………………………………………..1 3. Objectif du travail…………..………………………………………………………………....13 4. Contenu du mémoire…………………………………………………………………………..13 Chapitre I : Description et applications Chapitre II : Formulation mathématique 2.1. Ecoulement laminaire…………………………………………………………………….…23 2.1.1. Equation de continuité………………………………………………………………….…23 2.1.2. Equations de transport de quantité de mouvement………………………………………..23 2.1.3. Equation de l’énergie……………………………………………………………………...24 2.2. Les écoulements turbulents………………………………………………………………….24 2.2.1. Equation de continuité…………………………………………………………………….25 2.2.2. Equations de transport de quantité de mouvement………………………………………..25 2.2.3. Equation de l'énergie………………………………………………………………………25 2.3. Les modèles de turbulence…………………………………………………………………..26 2.3.1. Le modèle k-ε standard……………………………………………………………………26 2.3.2. Le modèle RSM (Reynolds Stress Model)……………………..…………………………28 2.3.2.1. Equations de transport des contraintes de Reynolds…………………………………….28 2.3.2.2. Modélisation du transport diffusif turbulent ( DT,ij )…………………………………….29 2.3.2.3. Modélisation de la corrélation pression/taux de déformation ( фij )…………………….30 2.3.2.4. Modélisation de l'énergie cinétique turbulente………………………………………….31 2.3.2.5. Modélisation du taux de dissipation…………………………………………………….31 2.3.3. Procédure de résolution…………………………………..……………………………….32. _______________________________________________________________________ 4.

(5) ___________________________________________________________________________. 2.3.3.1. Equations des paramètres moyens…………………………………………………........34 2.3.3.2. Equations des paramètres turbulents…………………………………………………….34 Chapitre II1 : Procédure de résolution par FLUENT 3.1. Introduction…………………………………………………………………………...…….37 3.2. Le prépocesseur GAMBIT …………..……….…………………………………………….37 3.2.1. Les géométries….......………………………………………………………………...…...38 3.2.2. Le maillage…………………………………………………………………………...…...40 3.2.3. Les conditions aux limites…………………..………………………………….…………42 3.3. Le code FLUENT……...……………………………………………………………………43 3.3.1. Le solveur…………………………………………………………….…………………...43 3.3.2. Le Post-processing..……………………………………………………………………….44 3.3.3. Les condition aux limites …………………………………………………..……………..45 3.3.3.1.L'entrée……………………………………………………………………………...45 3.3.3.2. La sortie……………………………………………………………………………........46 3.3.3.3. Traitement près de la paroi…...……....……….………………………………………...46 3.3.3.3.1. Champ moyen................................................................................................................47 3.3.3.3.2. Champ turbulent............................................................................................................47 3.3.3.3.3. Les contraintes de Reynolds..........................................................................................48 3.3.3.3.4. Champ thermique...........................................................................................................48 3.3.4.Schémas de discrétisation ………….…………...………………………………………...50 Chapitre IV : Résultats et discussion 4.1. Validation de la procédure de calcul..………………………………………….……………52 4.1.1. Effet du maillage……………….…………………………………………….……………52 4.1.2. Validation…………………………………………………………………….……………53 4.2. Ecoulement laminaire……………………………………………….………………………55 4.2.1 Coude à 90° de section carrée…………………………….………………………………..55 4.2.1.1. Champ dynamique…………….………………………………………………………...55 4.2.1.2. Champ thermique……………..…………………………………………………………63 4.2.2. Coude à 90° de section circulaire……………......................…………….……………….66 4.2.2.1. Champ dynamique ……………………………………………………………...………66 4.2.2.2 Champ thermique…………..…………………………………………………………….66 4.3. Ecoulement turbulent………………………………………………………………………..70. _______________________________________________________________________ 5.

(6) ___________________________________________________________________________. 4.3.1. Coude à section carrée …………………………………………….……………………...70 4.3.1.1. Champ de vitesse moyenne……………………………………….…………………….70 4.3.1.2. Champ de Pression……………….……...……………………………………………...70 4.3.1.3. Coefficient de frottement………………………………………………………………..71 4.3.1.4. Champ de température………….……………………………………………………….71 4.3.1.5. Contours du nombre de Nusselt..………………………………………………………..71 4.3.1.6. Champ de l'énergie cinétique turbulente ……………………………………………..…72 4.3.1.7. Contraintes de Reynolds…………………………………….……………………..……72 4.4. Ecoulement turbulent tridimensionnel dans un coude à 180°………………...………...….81 4.4.1. Energie cinétique turbulente ……………………………………………………………..82 4.4.2.Champ de contraintes de Reynolds…………………………...……………………..…..…82 4.4.3. Champ thermique.................................................................................................................90 Conclusion ………………………………………………………………………………………92 Références bibliographiques……………………………………………………….………....….93. _______________________________________________________________________ 6.

(7) ___________________________________________________________________________. NOMENCLATURE. A. Surface (m2). C1ε C2ε Cμ Cs. Constantes. Cij. Terme convectif. Cf. Coefficient de frottement pariétal. DT,ij. Diffusion turbulente. DL,ij. Diffusion moléculaire. f. Face. g. Accélération (m/s2). Gk. Terme de production de l'énergie cinétique turbulente. k. Energie cinétique turbulente (m2/s2). kf. conductivité thermique. ni nj nk. Composantes du vecteur unitaire. Nfaces. Nombre de faces d'une cellule. Nu. Nombre de Nusselt (= hL/ kf). P. Pression (Pa). Pij. Termes de production des contraintes de Reynolds. Pr. Nombre de Prandtl (= μcp/ kf). SΦ. Terme source. t. Variable temps (s). T tp. Températures (K). Ui. Composante de la vitesse moyenne suivant la direction i (m/s). u'i. Composante de vitesse fluctuante suivant la direction i (m/s). V. Volume d'une cellule (m3). xi. Coordonnées. y. Distance par rapport à la paroi (m). Lettres grecques δ. Kronecker Delta. _______________________________________________________________________ 7.

(8) ___________________________________________________________________________. ε. Taux de dissipation de l'énergie cinétique turbulente. ε ij. Tenseur de dissipation. η. Coordonnée locale normale à la paroi. θ. Coefficient pour le schéma Quick. κ. Constante de Von Karman. λ. Coordonnée locale binormale à la paroi. μ. Viscosité dynamique (kg/ms). μt. Viscosité dynamique turbulente ((kg/ms). ν. Viscosité cinématique (m2/s). νt. Viscosité cinématique turbulente (m2/s). ρ. Masse volumique (kg/m3). σ k σ ε σt. Nombres de Prandtl turbulent associés à k , ε et T respectivement. σ. Nombres de Prandtl laminaire. τ. Coordonnée locale tangentielle à la paroi. τij. Tenseur de contraintes. ГΦ. Coefficient de diffusion. Φij. Corrélation Pression /Taux de déformation. ΔS. Vecteur de déplacement de la cellule amont vers la face f. ∇φ. Gradient du scalaire φ. (∇φ ) n. Gradient du scalaire φ dans la direction normale à la face f. _______________________________________________________________________ 8.

(9) ___________________________________________________________________________. INTRODUCTION ET ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE. 1. Introduction Depuis plus d’un siècle déjà, il a été reconnu que les conduites courbes jouent un rôle important comme éléments de machines dans différents domaines d'engineering. En effet, les écoulements laminaires et turbulents internes, au niveau des coudes, ont été un sujet de recherche d’une grande importance et représentent un intérêt pratique pour l’ingénieur motivé par l'augmentation du transfert de chaleur et/ou la réduction de la perte de charge. Différents travaux expérimentaux et numériques ont été menés pour caractériser ces écoulements complexes. Les travaux numériques sont réalisés, dans leur majorité, en utilisant différents codes de calcul pour la simulation et l'optimisation du processus d'écoulement, parmi lesquels le logiciel FLUENT représente un outil permettant des études numériques, de grande qualité, de la plupart des phénomènes physiques possibles en mécanique des fluides, dans différents domaines industriels et de recherche. L’étude des écoulements turbulents dans les conduites courbes de différentes sections et de formes diverses est un problème ouvert présentant des enjeux technologiques importants et reste motivante pour une partie de la recherche sur la mécanique des fluides. 2. Etude bibliographique Eustice (1911) a effectué pour la première fois des expériences de visualisation de l’écoulement de fluide dans des coudes à sections circulaires. Il a ainsi formulé que les vecteurs vitesses peuvent être décomposés en une composante axiale et une composante (u + v) caractérisant la vitesse de l’écoulement secondaire. Un mouvement hélicoïdal promouvait le mélange des particules véhiculées. La distorsion du profil de l’écoulement causée par la courbure du coude est associée à une augmentation de la résistance. Cette dépendance de résistance a été confirmée par un travail expérimental effectué par White (1929).. _______________________________________________________________________ 9.

(10) ___________________________________________________________________________. Dean (1927) a montré théoriquement pour des petites courbures, dans un écoulement laminaire complètement développé, la dépendance des particules à un paramètre dynamique adimensionnel caractérisant le mouvement secondaire noté De = (Dh/2Rc)1/2Re, (De:nombre de Dean, Dh: diamètre hydraulique, Rc: rayon de courbure, Re: nombre de Reynolds) Il a posé donc les fondements analytiques des écoulements secondaires. L'intensité du mouvement secondaire augmente avec Re et le rapport de la courbure (Dh/2Rc). En 1928, ses recherches sur l’instabilité des écoulements ont montré qu’une paire de cellules contrarotatives demeure dans les coudes et non pas dans les conduites droites. Il confirme et relie un tel phénomène à l’effet de la courbure. Hawthorne (1951) a montré que l’écoulement secondaire peut avoir lieu dans un écoulement de fluide complètement non visqueux comme résultat d’une distribution non uniforme de la vitesse en amont de la courbure. Lyne (1970) est l'un des premiers à traiter le cas d'un écoulement provoqué par une pulsation dans une conduite courbe. Il a mis en exergue l'influence d'un paramètre de fréquence sur l'écoulement secondaire. La nature de ce type d'écoulement est caractérisée par le paramètre α =a (ω/ν)1/2 , (ω: pulsation (s-1); a: rayon de la conduite (m); ν: viscosité cinématique du fluide considéré (m2/s)) Rowe (1970) a présenté une étude expérimentale d'un écoulement turbulent à travers un coude de 180°. Il a rapporté que le retour du fluide se génère localement près de l'angle 90° sous la condition d'un nombre de Reynolds égal à 2,36.103. Humphrey et al (1977) ont procédé à l'étude expérimentale d'un écoulement laminaire dans un coude à 90° de section carrée et de rayon de courbure de 9.2cm, pour un nombre de Reynolds égal à 790 correspondant à un nombre de Dean De=368. Ils ont utilisé la LDA (laser Doppler Anemometry) pour mesurer le champ de vitesse et la visualisation de l'écoulement afin d'identifier qualitativement les caractéristiques de l'écoulement. Les résultats obtenus confirment (ou mesurent) que l'endroit de la vitesse maximale se déplace du centre du conduit vers la paroi externe. Par contre, dans le plan 90° cette même vitesse est localisée à 85٪ de la largeur du. _______________________________________________________________________ 10.

(11) ___________________________________________________________________________. conduit, comptée à partir de la paroi interne. Les vitesses secondaires représentent 65٪ de la vitesse moyenne. Johnston (1978) a conclu que les mouvements secondaires peuvent être expliqués, en termes de réponse à l’élément de fluide visqueux, à un déséquilibre entre l’accélération centripète et le gradient de pression radial de l’écoulement moyen induit par la courbure externe. Mayle et al (1979) ont rapporté des mesures sur le taux de transfert de chaleur pour une couche limite située sur les parois concave et convexe. Ils ont trouvé que le transfert de chaleur sur la surface convexe était moindre que celui sur la surface plane ayant le même nombre de Reynolds et les mêmes caractéristiques de turbulence. Par contre, le transfert de chaleur de la surface concave augmentait par rapport à celui de la surface plane. Yee et al (1980) ont présenté une étude numérique du transfert de chaleur d'un écoulement laminaire stationnaire dans un coude à 90°. Elle a pour but la caractérisation des effets de la géométrie du conduit, les conditions d'entrée de la vitesse et de la température sur le transfert de chaleur en considérant le rôle du mouvement secondaire durant la période du développement de l'écoulement. Les calculs sont basés sur les formes elliptiques des équations de transport gouvernant l'écoulement. Humphrey et al (1981), en utilisant la LDA , ont effectué une étude expérimentale de l'écoulement turbulent dans un coude à 90° de section carrée et de rayon de courbure de 9.2 cm pour débit d'eau égal à 1.42 kg/s. Les conclusions tirées de cette étude sont : -. Les vitesses moyennes de l'écoulement secondaire, causées principalement par le champ de pression, atteignent des valeurs supérieures de 28٪ celles de la vitesse moyenne. Ces vitesses moyennes sont largement responsables de la convection des contraintes de Reynolds dans le plan longitudinal.. -. L'énergie cinétique turbulente prédomine près du rayon externe de la paroi. A l'angle 90°, et près du rayon interne de la paroi le terme [uӨur. ∂U ] est positive et ∂r. représente une contribution négative à la production de l'énergie cinétique turbulente.. _______________________________________________________________________ 11.

(12) ___________________________________________________________________________. Une étude expérimentale est entreprise par Enayet et al (1982), en utilisant la LDA pour des écoulements laminaires et turbulents à travers un coude à 90°, de section circulaire et de diamètre égal à 48mm. Pour des nombres de Reynolds 500 et 1093 (laminaires) et 43.103 (turbulent), les mesures sont faites dans les stations 30°,60°,90° et à une distance de 6 Dh en aval du coude. Les résultats obtenus montrent un développement de l'écoulement secondaire sous forme d'une paire de cellules contrarotatives dans la direction de l'écoulement et une migration de l'écoulement principal de la paroi intérieure en amont du coude vers la paroi extérieure en son aval. Taylor et Whitelaw (1982) ont procédé aux mesures des composantes orthogonales de la vitesse et des contraintes de Reynolds associées dans un coude 90° de section carrée en utilisant la L.D.V ( Laser – Doppler Velocimetry) pour des nombres de Reynolds 790 et 40.103 . Les résultats montraient que les couches limites avant l’entrée du coude à 0,25 Dh et 0,15 Dh créent, respectivement, une valeur de la vitesse de 60٪ et 40٪ de celle de la vitesse moyenne. Ils en ont conclu que l’épaisseur de la couche limite à 0,15 Dh est importante au développement de l’écoulement secondaire, principalement dans la première moitié du coude. Berger et Talbot (1983) ont élaboré un mémento contenant tous les travaux expérimentaux et numériques sur les écoulements dans les conduites courbées avec des formes de sections différentes. Chang et al (1983) ont employé l’anémométrie laser pour mesurer le développement de l’écoulement turbulent dans les coudes en U de section carrée. Ils ont fourni des données expérimentales détaillées, et ont montré que l’écoulement secondaire produit une structure d’écoulement tridimensionnelle très complexe. Hille et al (1985) ont utilisé le système LDA pour mesurer les vitesses longitudinales et radiales d'un écoulement laminaire dans la section carrée à l'angle 180° du coude. Les mesures révèlent un second vortex le long de la paroi externe, entre les plans 108° et 171° pour des nombres de Dean compris entre 150 et 300.. _______________________________________________________________________ 12.

(13) ___________________________________________________________________________. L'étude de Hoffman et al (1985) sur les couches limites bidimensionnelles indique que la courbure convexe a une influence stabilisante (réduit le transport turbulent) contrairement à celle de la courbure concave, et qu’aucun modèle de turbulence n’a pu représenter réellement et avec précision l’effet de la courbure. Johnson et Launder (1985) ont mesuré les distributions de la température et du nombre de Nusselt sur la paroi du coude en U. Le résultat expérimental (pour un nombre de Reynolds Re = 56030) montre que le rapport entre les coefficients de transfert de chaleur au milieu des surfaces concave et convexe à l’angle 90° est de 2 : 1. Moore et Adhye (1985) ont défini les écoulements secondaires comme des effets imprévisibles de l’écoulement tridimensionnel qui conduisent à des pertes inexpliquées. Azzola et al (1986) ont effectué deux études expérimentale et numérique de l'écoulement dans un coude en U, de section circulaire. En utilisant la LDA, la vitesse longitudinale moyenne change faiblement après l'angle 90°, par contre la vitesse circonférentielle n'atteint jamais le régime développé. Entre l'angle 90°et X/D=5. Le développement numérique est basé sur la troncation "semi elliptique" des équations de Reynolds avec le modèle k-ε utilisé pour quantifier le champ de contraintes turbulentes. En aval du coude, le taux de rétablissement de l'écoulement est très lent. Azzola et al (1986) ont trouvé par la technique de mesure de la LDA que l'intensité de l’écoulement secondaire dans les conduites circulaires courbes est relativement faible par rapport à celle dans des conduits courbes à section carrée. Winters (1987) a constaté une paire de vortex additionnelle près de la paroi externe pour un écoulement développé dans un conduit courbe à section rectangulaire pour un nombre de Dean de 92. De plus, il a montré que si le nombre de Dean est compris entre 92 et 136 la solution demeure instable. Iacovides et al (1990) ont utilisé l’anémométrie à fil chaud pour les mesures dans les conduits courbes ayant la même forme du coude, avec une section d’entrée petite par rapport à. _______________________________________________________________________ 13.

(14) ___________________________________________________________________________. celle de la sortie, et ont rapporté que l’effet de l’épaisseur de la couche limite à l’entrée est minime. En 1996, Iacovides et al ont effectué une étude numérique de l'écoulement turbulent tridimensionnel d'un fluide à travers un coude à 180° stationnaire et rotatif. Les résultats montrent que le fluide commence à se décoller à partir de l'angle 90° et se rattache à la station 2Dh en aval du coude. Les niveaux de turbulence tendent à être supprimés des côtés externes du coude dû à l'accélération de l'écoulement du fluide. Arnal et al (1992) ont fait l'étude d'un écoulement laminaire instationnaire se développant dans un conduit en U de section carrée en utilisant la LDA. Pour un nombre de Reynolds Re=1400, l'écoulement à l'entrée du coude est stationnaire, mais à l'angle 90° il développe une composante oscillatoire du mouvement le long de la paroi externe. Les vortex se développent comme résultat de l'instabilité centrifuge de l'écoulement sur la paroi externe. L'anémométrie à fil chaud a été utilisée par Belaidi et al. (1992). pour étudier le. développement de l'instabilité de l'écoulement dans un coude 90° de section rectangulaire et obtenir les mesures détaillées de la vitesse dans le plan de symétrie du conduit pour différents rapports de courbure. Plus le nombre de Dean augmente, plus l'instabilité centrifuge se développe et les vortex de Dean sont observés à osciller le long de la paroi interne. L'angle du coude où cette instabilité se développe dépend du nombre de Reynolds, tandis que la fréquence de l'instabilité dépend du rapport de courbure du coude. Et plus le rapport de courbure du coude croit plus l'instabilité de l'écoulement apparaît dans les petites positions radiales pour des nombres de Reynolds faibles. Un écoulement pulsé à basse fréquence d’un fluide incompressible visqueux a été étudié numériquement par Thiriet et al (1992) dans un coude à 90°, de parois rigides et de section droite circulaire et constante, par la méthode des volumes finis. Les valeurs des paramètres adimensionnels gouvernant l’écoulement sont : un rapport d’amplitude de 1,25, un paramètre de Womersley de 4, un nombre de Reynolds de 358, un nombre de Dean de 113 ; le nombre de Strouhal varie entre 0,05 et 0,45. Aucune inversion du courant principal n’est observée, et un unique vortex dans chaque demi-section droite apparaît. Les effets sur les tubes droits, l’un précèdent et l’autre suivant le coude sont caractérisés par un décalage du pic de vitesse axiale vers le bord interne du tube en amont et la persistance de l’écoulement secondaire sur une. _______________________________________________________________________ 14.

(15) ___________________________________________________________________________. longueur de plusieurs diamètres en aval. Les courants transversaux sont de très faible intensité quand la vitesse débitante de l’écoulement pulsé est beaucoup plus petite que la vitesse moyenne (composante stationnaire). Le cisaillement axial dont le maximum est situé sur le bord externe de la majeure partie du coude augmente en aval de la section d'entrée du coude, puis reste constant sur une longueur d’environ huit fois le diamètre. Le maximum de la contrainte de cisaillement circonférentielle est localisé légèrement vers le coté externe du coude, et il est beaucoup plus faible que celui de la contrainte axiale (20 à 28 %). Les valeurs de ces contraintes augmentent pendant la phase accélératrice. La région à faible cisaillement est située au bord interne du coude sauf dans une courte zone d’entrée. Cependant, la présence d’un coude ne favorise le dépôt de particules solides circulantes que pendant la période de cycle à forte vitesse par rapport à une conduite rectiligne. Sotiropulos et Patel (1992) ont développé les calculs de l'écoulement turbulent dans des coudes à 90° avec différentes formes de sections (circulaire, carré), par le modèle k-ε , en utilisant deux méthodes numériques différentes, l'une analytique et l'autre basée sur les différences finies. Dans les deux cas la structure complète de l'écoulement est bien prédite, mais l'effet du mouvement secondaire sur le développement de l'écoulement et les effets de la courbure de la paroi sur la turbulence à l'intérieur des couches limites sont sous estimés. Les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement ont été résolues pour un écoulement stationnaire d’un fluide incompressible visqueux dans un coude (angle à 90°), de parois lisses et rigides et de section droite uniforme et circulaire, par la méthode des volumes finis par Thiriet et al (1993). Les conditions limites en entrée pour l’écoulement laminaire sont soit un profil parabolique, soit un profil uniforme de vitesse axiale, pour des valeurs du nombre de Dean compris entre 140 et 430. Un calcul numérique de l’écoulement turbulent a été effectué pour un nombre de Reynolds égal à 22 100 avec un profil de vitesse uniforme en entrée du modèle. La vitesse axiale dépend non seulement de la valeur du nombre de Dean, mais aussi du nombre de Reynolds et de la courbure du tube séparément. Le profil de vitesses est perturbé pour de très faibles courbures. L’écoulement secondaire se développe sur une région plus étendue du coude et le cisaillement pariétal est plus élevé quand le nombre de Reynolds augmente. Le coude affecte le cisaillement pariétal en amont et en aval. La présence d'un coude dans une conduite fait croître le temps de résidence des particules en suspension par. _______________________________________________________________________ 15.

(16) ___________________________________________________________________________. rapport aux valeurs prises dans un tube droit isolé uniquement dans l’élément de conduite droit situé en aval du coude Cheah et al (1994) ont mené une étude expérimentale basée sur la LDA d'un écoulement turbulent à travers une conduite courbe à 180°, de section carrée (5x5cm) et de rayon de courbure égal à 3.25cm. Ils ont effectué des mesures de vitesses tangentielles en plusieurs stations du plan médian du coude. Kim et Patel (1994) : ont procédé à une expérience de l’écoulement de fluide à travers un canal haut et étroit coudé à 90°. Le virage à gauche génère un gradient de pression qui s’exerce de façon quasi uniforme sur toute la hauteur. Le fluide à basse vitesse prés du fond, ayant moins d’inertie, est dévié plus rapidement que le reste de l’écoulement. Cela génère un mouvement secondaire complexe (dans le plan perpendiculaire à l’axe de la conduite) Une étude numérique a été développée par Li et al (1994) concernant l’écoulement et le transfert de chaleur d’un fluide à travers un coude en U de section carrée et d'un rapport de courbure Rc / D = 0,65. Quatre approches différentes de modélisation de la turbulence ont été testées. Les comparaisons des profils de la vitesse indiquent que le modèle de turbulence est raffiné successivement, le début de la séparation de l’écoulement le long de la paroi interne du coude est mieux prévu. Dans les calculs numériques à travers les coudes en U de forte courbure, il est devenu nécessaire d’utiliser la fermeture du second ordre afin de pouvoir reproduire correctement la séparation de l’écoulement à l’intérieur de tels coudes. Sata et al (1994) ont développé le système PTV (Particle Tracking Velocimetry) pour mesurer l’écoulement d’air, et l’ont appliqué à l’écoulement turbulent dans des conduits courbes à section carrée. Ils ont ainsi pu obtenir les distributions instantanées des vecteurs de vitesses dans un volume tridimensionnel. Mees et al. (1996) ont observé le début de l'apparition des. cellules de l'écoulement. secondaire au dessus du nombre de Dean 350. Une paire additionnelle aussi apparaît le long du rayon externe de la courbure.. _______________________________________________________________________ 16.

(17) ___________________________________________________________________________. Tamamidis et al (1996). ont rapporté une étude sur les écoulements tridimensionnels. visqueux et incompressibles en utilisant deux méthodes de calcul numérique basées sur la compressibilité artificielle et la pression. Chaque méthode est appliquée à la prévision des écoulements laminaires dans des conduites fortement incurvées (coudes 90°) de sections carrées et circulaires. Les résultats numériques de chaque méthode sont comparés aux données expérimentales disponibles. La précision, l’indépendance du maillage, le comportement de convergence, et l’efficacité des calculs numériques de chaque méthode sont examinées. Des simulations numériques d'écoulement stationnaire laminaire de fluide caractérisé par un comportement rhéologique rhéofluidifiant, ont été effectuées par Thieret et al (1996) dans un coude (angle de courbure de 90°, rapport de courbure de 1/10) et une bifurcation plane symétrique (angle de bifurcation de 70°, rapport de sections de 0.8). La méthode des éléments finis a été employée. Le fluide est supposé suivre un comportement newtonien généralisé; représenté par la loi de Carreau, adaptée aux faits d'observation. Les champs de grandeurs hydrodynamiques sont comparés aux champs obtenus lorsque le comportement est newtonien. Tout modèle d'écoulement de sang doit, à priori, prendre en compte le comportement nonnewtonien du fluide. Une recherche numérique et expérimentale menée par Gijsen et al (1998) sur l'entrée instable de l'écoulement dans un tube incurvé de 90° est présentée pour étudier l'impact des propriétés non newtoniennes du sang sur la distribution des vitesses. Pour le calcul numérique, un modèle de Carreau Yasuda a été utilisé pour adapter le comportement amincissant du cisaillement de la solution de Xanthan "Xanthan gum solution". Les propriétés viscoélastiques n'ont pas été prises en considération. Mokrani et al (1998) ont utilisé dans une étude expérimentale sur une série de conduits courbes dont les plans de courbure successifs sont alternés de 90°, pour mettre en relief l'influence des perturbations géométriques sur les cellules de Dean. Cette investigation montre que les cellules formées se détruisent et se reforment à chaque changement d'orientation de la force centrifuge. Les trajectoires des particules sont, par conséquent, régulièrement modifiées.. _______________________________________________________________________ 17.

(18) ___________________________________________________________________________. Silva et al (1998) ont procédé à une analyse hydrodynamique et thermique, par une méthode numérique, d'un écoulement laminaire dans des canalisations courbes à section rectangulaire ou elliptique. Un rapport de courbure est maintenu constant. Le nombre de Dean est varié entre 30 et 400 et pour plusieurs nombres de Reynolds et différentes formes de sections ayant un rapport hauteur/largeur compris entre 0.7 et 1.4. Les équations de Navier-Stokes et de la conservation de l'énergie sont résolues en utilisant la méthode des volumes finis, avec un système de coordonnées généralisées, adaptées aux conditions limites géométriques. Les profils de températures et de vitesses axiales et normales sont analysés, ainsi que le transfert thermique et les pertes de pression. Les résultats sont validés par comparaison avec les données issues de la littérature. Sudo et al (1998) ont élaboré une investigation expérimentale sur l'écoulement turbulent dans un coude à 90° de section circulaire. Les composantes longitudinales, radiales et circonférentielles de la vitesse moyenne, ainsi que les fluctuations turbulentes ont été obtenues en utilisant la technique de l'anémométrie à fil chaud, pour un nombre de Reynolds égal à 6.104. Le champ de vitesses de l'écoulement secondaire, et les distributions des contraintes de Reynolds dans différentes sections du coude ont été illustrés. En 2001, ils ont mené une étude expérimentale d'un écoulement turbulent stationnaire dans un coude de section carrée, pour un nombre de Reynolds égal à 4.104 et un rapport de courbure de 4. La conclusion a été la suivante: -. Le fluide est accéléré près de la paroi interne, et est décéléré près de la paroi externe entre les angles 0° et 30°.. -. Un retour de fluide entre les angles 30° et 90°.. Les corrélations de la vitesse fluctuante, i.e, les contraintes de Reynolds prennent une évolution compliquée selon le développement complexe de l'écoulement du fluide. Un code de calcul basé sur les volumes finis est élaboré par Chakravarthy et al (2000) pour étudier l'écoulement turbulent de l'air à travers un coude en U. Les résultats sont obtenus en considérant deux cas différents du coude : stationnaire et rotatif. Un transfert de chaleur est mis en évidence en imposant aux parois une température de 700 K. Les résultats du champ dynamique sont comparés avec ceux de l'étude expérimentale de Cheah et al [9].. _______________________________________________________________________ 18.

(19) ___________________________________________________________________________. Chung et al (2001) ont montré que la séparation de l'écoulement qui a lieu à la sortie de la courbure du coude et à nombre de Reynolds faible peut causer un écoulement oscillatoire en aval. Ces auteurs ont montré dans une autre étude (en 2002) que ces oscillations affectent significativement le transfert de chaleur convectif laminaire. Gauthier et al (2001) ont perfectionné une étude de visualisation du courant de fluide dans un coude à 90° et ont observé le début de l'instabilité pour un nombre de Reynolds Re=340, sans pour autant ont considéré l'écoulement secondaire. Kim et al (2002) ont présenté une analyse de l'écoulement turbulent et le transfert de chaleur au niveau de la paroi de sortie d'un coude à 90° de section carrée. Ils ont étudié particulièrement l'influence de l'écoulement secondaire, la vorticité et les conditions aux limites sur le transfert de chaleur. Les cellules contrarotatives peuvent transporter la masse, la quantité de mouvement et l'énergie de la partie concave vers la partie convexe. La structure de l'écoulement secondaire dans un conduit hélicoïdal a été étudiée par Yamamoto et al (2002) en employant, d'une part, un calcul numérique d'une trajectoire de particules de fluide et, d'autre part, une expérience en utilisant une technique de visualisation par fumée. Une bonne concordance a été obtenue entre les résultats de l'expérience et le calcul numérique. Bubolz et al (2003) ont présenté l'effet de vortex de Dean sur le flux de filtration et l'efficacité du processus de filtration des membranes tubulaires incurvées et hélicoïdales. Des simulations numériques ont montré deux effets positifs importants de l'écoulement secondaire sur le flux du filtrat et le procédé de filtration. Un effort de cisaillement accru de la paroi a été remarqué causant un dépôt de particules et un transfert de masse élevé. Fellouah et al (2003) ont présenté une étude numérique de l’écoulement laminaire et de l’instabilité dans les conduites courbes à section rectangulaire à l’aide du code de calcul FLUENT lors du passage de fluides complexes. Une subroutine basée sur le modèle de Papanastasiou (1987), a été développée, afin de tenir compte d’un comportement rhéologique du type Herschel-Bulkley. Après validation de la méthodologie numérique, des calculs ont été. _______________________________________________________________________ 19.

(20) ___________________________________________________________________________. réalisés lors du passage d’un fluide non-newtonien dans les conduites courbes de section carrée et rectangulaire à fort rapport d’allongement afin d’étudier l’instabilité de Dean. Munch et al (2003) se sont intéressés a` la simulation d’un ´écoulement turbulent compressible dans une conduite de section carrée avec une courbure. Le but est de prédire, grâce a` la Simulation des Grandes Échelles (S.G.E), les structures tourbillonnaires tridimensionnelles se développant a` l’intérieur des canaux de refroidissement des moteurs de fusée qui sont responsables des phénomènes d'échange de chaleur avec la paroi chauffée. . Trois simulations sont menées : une première dite ”isotherme” avec une température uniforme sur les quatre parois, et deux autres avec chauffage, où la température est augmentée sur la paroi concave, ou convexe. Les simulations dans des configurations avec courbure montrent qu’une instabilité de type centrifuge se développe sur la face concave générant deux tourbillons longitudinaux qui se déplacent, plus loin en aval, vers la paroi convexe. Ces simulations ont permis d'évaluer l’impact de ces structures sur le transfert de chaleur et réciproquement. Timite et al (2003) ont simulé à l'aide du code de calcul FLUENT, un écoulement pulsé dans un conduit courbe (coude) de section circulaire. Ils ont étudié, en particulier, l'instabilité de Lyne. Dans un premier temps, les calculs ont été réalisés dans le cas d'un tube droit et validés à l'aide de l'étude de Womersly (1954). Les distributions radiales de la vitesse axiale, ainsi que de l'écoulement secondaire ont été obtenues dans le conduit courbe pour différentes valeurs du paramètre de fréquence α =a (ω/ν) et à différentes phases de pulsation. Il résulte de cette investigation que le paramètre de fréquence α modifie le profil de l'écoulement, et par conséquent, influence l'écoulement secondaire. Munch et Métais (2005) ont évalué l'influence du rapport d'aspect de la section sur les écoulements turbulents compressibles et tridimensionnels par la Simulation des Grandes Echelles, se développant dans des conduits courbes de section rectangulaire. Les résultats montrent que ce paramètre modifie l'intensité et la localisation des tourbillons, et donc indirectement le transfert de chaleur lorsqu'un chauffage est appliqué sur la paroi convexe.. _______________________________________________________________________ 20.

(21) ___________________________________________________________________________. Une analyse numérique a été développée par Sugiyama et Hitomi (2005). pour un. écoulement turbulent tridimensionnel dans un coude à 180°, en utilisant le modèle algébrique des contraintes de Reynolds (ARSM). Les résultats sont comparés avec les données expérimentales pour confirmer la validité de cette méthode. Il a été mis en évidence que la méthode est capable de prédire quantitativement et qualitativement une caractéristique expérimentale. 3. Objectifs du travail Les objectifs du présent travail ont été les suivants : L'étude numérique des écoulements laminaires et turbulents dans des coudes à 90° et 180°, de sections circulaires et carrées, avec et sans transfert de chaleur en utilisant le code de calcul commercial FLUENT. Une attention particulière a été accordée au comportement des structures tourbillonnaires tridimensionnelles se développant à l'intérieur des conduites courbes. Les effets des écoulements secondaires et des zones de recirculation sur le frottement et le transfert de chaleur ont été mis en évidence. La performance du modèle de turbulence a été évaluée quant à la prédiction des cellules contrarotatives et des zones de recirculation au niveau des coudes. La majeure partie du code de calcul FLUENT a été maîtrisée, ainsi que son préprocesseur GAMBIT conçu pour le maillage des configurations géométriques tridimensionnelles complexes 4. Contenu du mémoire Ce mémoire comprend quatre chapitres répartis comme suit : Le premier chapitre est consacré à une description générale des différentes conduites courbes et leurs applications dans le monde industriel. Le deuxième chapitre présente la formulation mathématique adaptée aux équations régissant les champs dynamique et thermique de l'écoulement du fluide. Le troisième chapitre expose la description du problème et la procédure de résolution par le code de calcul FLUENT. Une description générale du code est insérée. Le quatrième chapitre discute les résultats obtenus concernant les champs de vitesse, de pression, de température et de paramètres de la turbulence de l'écoulement tridimensionnel du fluide considéré.. _______________________________________________________________________ 21.

(22) ___________________________________________________________________________. CHAPITRE I DESCRIPTION ET APPLICATIONS. _______________________________________________________________________ 22.

(23) ___________________________________________________________________________. CHAPITRE I DESCRIPTION ET APPLICATIONS. Aujourd'hui, l'étude des écoulements laminaires et turbulents en mécanique des fluides, plus particulièrement dans les conduites courbes, offre une palette d'applications extrêmement diversifiée: - L'industrie du transport des fluides, figure (1.1). - Les systèmes de refroidissement aussi bien pour la puissance des véhicules que pour la miniaturisation des composants électroniques, figure (1.13). - La mécanique de propulsion, figure (1.3;5). - La biotechnologie, figure (1.11;12). - etc.,… C'est une composante obligée d'un grand nombre de projets et de programmes pluridisciplinaires.. Figure1.1. Industrie du transport des fluides. _______________________________________________________________________ 23.

(24) ___________________________________________________________________________. Dans le domaine expérimental, les difficultés rencontrées pour caractériser quantitativement ces écoulements à travers les conduites courbes, en particulier les écoulements secondaires, ont conduit les chercheurs en mécanique des fluides, à développer des méthodes numériques de simulation des écoulements. On peut citer, en plus, des applications dans les secteurs de l’aérodynamique, l’aéronautique, l’hydraulique, les échangeurs de chaleur, figure (1.2), les turbomachines, figure (1.3), les cimenteries, figure (1.4), la biotechnologie du secteur médical, la combustion, figure (1.5), et plus largement tous les procédés faisant intervenir la mécanique des fluides.. Figure1.2. Les échangeurs de chaleur. Figure 1.4. Les cimenteries. Figure1.3. Les turbomachines. Figure 1.5. La combustion (Propagation d'une flamme à travers un canal courbe). _______________________________________________________________________ 24.

(25) ___________________________________________________________________________. Plusieurs recherches expérimentales et numériques ont été menées pour étudier les écoulements secondaires (cellules contrarotatives de Dean) et les phénomènes de recirculation dans différentes géométries, figures 1.6 à 1.9. Les techniques de mesure utilisées sont en perpétuelle évolution. On cite entre autres quelques exemples d’application qui illustrent le recours à ces moyens.. Figure1.6. Formation des cellules de Dean (1927). a) l0/b0= 0. Figure1.7. Zones de recirculation et écoulement secondaire. b) l0/b0= 1. Figure 1.8. Spectres de l'écoulement dans des coude п et Z.. _______________________________________________________________________ 25.

(26) ___________________________________________________________________________. Figure1.9. Formes de coudes, pour différents δ0=l0/b0 et R0/DH ≥ 0.5 En industrie mécanique, sous certaines conditions d’écoulement, certains dispositifs peuvent être mis en vibrations fortement préjudiciables à leur résistance mécanique. Tel peut être le cas lorsqu’ils sont placés à l’aval immédiat d’un coude à 90°. L’utilisation de la PIV ou d'autres. _______________________________________________________________________ 26.

(27) ___________________________________________________________________________. techniques de mesure figures 1.10.a à d, ont permis de mettre en évidence la zone de décollement en aval du coude, figure1.10.b, et surtout la présence de tourbillons contrarotatifs similaires à des tourbillons de Dean, figure1.10.c, et responsables en grande partie de ces vibrations.. a) Mesure par PIV.. b) Comparaison des champs de vitesse obtenus en sortie du coude par modélisation statistique et PIV.. c) Visualisation des tourbillons de Dean en aval d'un coude à 90°. (d) Figure1.10. Etudes expérimentales et numériques sur les coudes. En biotechnologie, la caractérisation des écoulements passe par l’établissement des champs de vitesses dans les bifurcations pulmonaires et les trachées dont la géométrie est complexe et. _______________________________________________________________________ 27.

(28) ___________________________________________________________________________. présentant différents rapports de courbure. Le poumon est constitué d’un réseau de bifurcations dichotomiques. Des photos des modèles et un schéma de l’installation expérimentale incluant le réseau de bifurcation et la trachée sont présentés à la figure (1.11). De plus, des visualisations par tomographie laser ont permis de mettre en évidence la complexité de l’évolution des structures tourbillonnaires tridimensionnelles instationnaires dans la partie coudée aortique. Une analyse paramétrique en fonction du nombre de Dean et du paramètre de fréquence a été entreprise pour établir une classification des écoulements, figure1.12.. a) Photo et schéma de l’installation expérimentale d’un réseau de bifurcation. b) La trachée Figure1.11. Application à la biotechnologie. _______________________________________________________________________ 28.

(29) ___________________________________________________________________________. Figure1.12. Etudes expérimentale et numérique des écoulements dans un tube coudé aortique.. Dans les systèmes de refroidissement, figure (1.13), la miniaturisation croissante des composants électroniques demande une dissipation de plus en plus efficace de la chaleur qui y est générée. Il s’agit en fait d’un des principaux obstacles à surmonter afin d'augmenter la puissance des ordinateurs et de l’électronique en général. L'une des méthodes de refroidissement actuellement adaptées est basée sur la forme courbe de certains composants électroniques, figure (1.13.b), ou radiateurs, figure (1.13.a), dans les nouveaux véhicules, ce qui en fait une alternative très intéressante pour la dissipation de l’énergie et la performance des véhicules industriels. a) Les radiateurs. b) Les composants électroniques. Figure1.13. Les systèmes de refroidissement.. _______________________________________________________________________ 29.

(30) ___________________________________________________________________________. CHAPITRE II FORMULATION MATHEMATIQUE. _______________________________________________________________________ 30.

(31) ___________________________________________________________________________. CHAPITRE II FORMULATION MATHEMATIQUE Les écoulements considérés dans le présent travail sont tridimensionnels, permanents, laminaires et turbulents d'un fluide Newtonien incompressible. Ils sont régis par des équations traduisant le transport de la masse, la quantité de mouvement et l'énergie, présentées ci-après. Les propriétés du fluide sont supposées constantes. 2.1. Ecoulement laminaire : 2.1.1. Equation de continuité : Elle exprime le principe de conservation de la masse.. ∂U j ∂x j. =0. (2.1). 2.1.2. Equations de transport de quantité de mouvement : Cette équation découle de l’application de la 2ème loi de Newton à un volume de contrôle élémentaire de fluide. Elle permet d’établir des relations entre les caractéristiques du fluide, celles de ses mouvements et les causes qui les produisent.. ρU j. ∂U i ∂P ∂τ ij =− + + ρg i ∂x j ∂xi ∂x j. (2.2). Remarque : Dans FLUENT le terme visqueux est écrit comme la divergence du tenseur des contraintes visqueuses τij dont l'expression est simplifiée en utilisant la condition d'incompressibilité, soit :. ∂U ∂U τij = μ ( i + j ) et ∂xi ∂x j. ∂τ ij. ∂ 2U i =μ ∂x j ∂x 2j. (2.3). et on obtient :. _______________________________________________________________________ 31.

(32) ___________________________________________________________________________. force d'inertie. forces appliquées. ∂ 2U i ∂U i ∂P ρU j =− +μ + ρg i ∂x j ∂x i ∂x 2j terme convectif. effet de pression. (2.4). Terme effet de visqueux gravité. 2.1.3. Equation de l’énergie :. C’est l’équation de l’énergie déduite du premier principe de la thermodynamique :. ∂ ( ρU j T ) ∂x. j. =. λ ∂ 2T c p ∂x. 2 j. (2.5). 2.2. Les écoulements turbulents. Pour obtenir les équations régissant les mouvements turbulents d'un fluide, on introduit dans les équations de Navier-Stokes la décomposition de Reynolds. Cette décomposition consiste à considérer toute grandeur scalaire comme la somme d'un terme moyen et d'un terme fluctuant :. φ = Φ+ φ ' où la moyenne temporelle de φ sur la période Δt est définie par: Φ=. 1 Δt. (2.6). t + Δt. ∫ φ (t )dt. (2.7). t. On obtient, donc, pour les composantes de la vitesse, la pression et la température : u i = U i + u 'i p = P + p' t p = T + t p'. _______________________________________________________________________ 32. (2.8).

(33) ___________________________________________________________________________. Il est à noter que :. u i' = 0 p'=0. (2.9). φ '=0. En introduisant cette décomposition dans les équations instantanées, les équations du mouvement stationnaire en moyenne pour un fluide incompressible, utilisées dans notre étude s'écrivent comme suit.. 2.2.1. Equation de continuité :. ∂U j ∂x j. (2.10). =0. 2.2.2. Equations de transport de quantité de mouvement :. ρ Uj. ∂ 2u i ∂ ∂P ∂ (U i ) = − (− ρu i' u 'j ) + ρ g i +μ + 2 ∂x j ∂x i ∂x j ∂x j. (2.11). Contraintes de Reynolds. 2.2.3. Equation de l'énergie :. ∂ λ ∂ 2T ∂ ( ρU j T ) = ( − ρ u 'j t p' ) + 2 ∂x j c p ∂x j ∂x j. (2.12). Toutes ces équations peuvent être écrites sous la forme générale suivante: ∂ ( ρU j φ ) ∂x j 1. =. ∂ ∂φ ( Γφ ) + Sφ ∂x j ∂x j 2. (2.13). 3. _______________________________________________________________________ 33.

(34) ___________________________________________________________________________. terme 1 : transport de φ par convection terme 2 : transport de φ par diffusion terme 3 : production locale de φ On peut souligner que tout l'objet des différents modèles de turbulence est de modéliser ' ' ' ' le terme supplémentaire (−ρui u j ) dans les équations de quantité de mouvement et (−ρu j t p ). dans l'équation de l'énergie, afin de fermer le système d'équations à résoudre.. 2.3. Les modèles de turbulence. Il existe différents niveaux de modèles implantés dans FLUENT, se distinguant par leur degré de complexité, c'est-à-dire par le nombre d'équations de transport supplémentaires introduites pour les quantités turbulentes pour fermer le problème. Les modèles utilisés dans notre travail sont le modèle k-ε standard à deux équations et le modèle RSM à sept équations.. 2.3.1. Le modèle k-ε standard. Il est basé sur le concept de Boussinesq reliant les contraintes de Reynolds au taux de déformation moyens. ⎡ ∂U i ∂U j ⎤ 2 − ρ u i' u 'j = μ t ⎢ + ⎥ − δ ij ρ k ∂ x i ⎥⎦ 3 ⎣⎢ ∂ x j. (2.14). concernant le flux de chaleur par la turbulence :. −ρu 'j t p' =. μt ∂T σt ∂x j. (2.15). Par analogie avec la viscosité cinématique laminaire caractérisée par une vitesse (des molécules) et une distance (le libre parcours moyen), la viscosité turbulente est caractérisée par une vitesse 3. 2. u' ( k ) et une distance (l = ) où k = i . ε 2 k2. _______________________________________________________________________ 34.

(35) ___________________________________________________________________________. ν t = cμ k. k. 3 2. ε. = cμ. k2. (2.16). ε. k et ε sont obtenues à partir de leur équation de transport :. μt ∂k ∂ ∂ ⎡ ( ρ kU i ) = ⎢( μ + ) σ k ∂x j ∂x i ∂x j ⎢⎣. ⎤ ⎥ + G k − ρε ⎥⎦. (2.17). μt ∂ε ⎤ ε ε2 ∂ ∂ ⎡ ( ρεU i ) = ⎢(μ + ) ⎥ + C 1ε ( )G k − C 2ε ρ k k σ ε ∂x j ⎥⎦ ∂x i ∂x j ⎣⎢. (2.18). L'ensemble des coefficients C1ε , C 2ε , C μ est déterminé de manière empirique, alors que. σ k , σ ε , σ t sont des nombres de Prandtl turbulents relatifs au taux de dissipation, à l'énergie cinétique turbulente et à la température respectivement. Le tableau (2.1) donne les valeurs implantées dans le code FLUENT.. C1ε. C 2ε. Cμ. σk. σε. σt. 1.44. 1.92. 0.09. 1. 1.3. 0.9. Tableau 2.1. _______________________________________________________________________ 35.

(36) ___________________________________________________________________________. 2.3.2. Le modèle RSM (Reynolds Stress Model). L'une des principales limites du modèle k-ε est l'introduction d'une viscosité turbulente isotropique. Cela implique que les fluctuations de vitesse sont identiquement affectées par les gradients du champ moyen dans chaque direction. L'isotropie de la viscosité turbulente peut entraîner des résultats erronés dans le cas d'écoulements complexes. Pour ces raisons, les modélisations au second ordre se sont développées : les tensions de Reynolds sont considérées comme des grandeurs transportées susceptibles d'avoir une histoire individuelle. Ainsi, il est possible d'écrire des équations de transport pour les corrélations doubles u i' u 'j avec k comme indice de sommation. Cependant, apparaissent des corrélations d'ordre trois qu'il faut à nouveau modéliser. Le modèle de contraintes de Reynolds entraîne le calcul individuel des contraintes de Reynolds u i' u 'j en utilisant les équations de transport différentielles. Ces contraintes de Reynolds individuelles sont donc utilisées pour obtenir la fermeture du système d'équations de Reynolds (moyennées). La forme exacte des équations de transport des contraintes de Reynolds peut être dérivée en prenant les moments de l'équation exacte de quantité de mouvement. Les équations de transport des contraintes de Reynolds sont présentées ensemble avec les suppositions de modélisation nécessaires pour atteindre la fermeture.. 2.3.2.1. Equations de transport des contraintes de Reynolds :. Les équations exactes de transport des contraintes de Reynolds, ρ u i' u 'j , dans FLUENT sont écrites sous la forme suivante : ∂ ∂ ⎡ ' ' ' ∂ ( ρu k u i' u 'j ) = − ρu i u j u k + p ' (δ kj u i' + δ ik u 'j ) ⎤ + ⎦ ∂x k ∂x k ∂x k ⎣ Cij≡Terme convectif. ∂u j ⎡ ∂u i - ρ ⎢u i' u k' + u 'j u k' ∂x k ∂x k ⎣ Pij≡Production de contraintes. DT,ij≡Diffusion turbulente. ⎛ ' ∂u 'j ⎤ ' ∂u i + ⎥ + p ⎜⎜ ⎦ ⎝ ∂x j ∂x i. ' ⎞ ∂u i' ∂u j ⎟⎟ − 2μ ∂x k ∂x k ⎠. фij≡ Corrélation pression / taux de déformation. ⎡ ∂ ⎤ (u i' u 'j ) ⎥ ⎢μ ⎣ ∂x k ⎦. DL,ij≡Diffusion moléculaire. (2.19). εij≡Dissipation. _______________________________________________________________________ 36.