Operator theory on tent spaces

HAL Id: tel-01350629

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01350629

Submitted on 1 Aug 2016

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Operator theory on tent spaces

Yi Huang

To cite this version:

Yi Huang. Operator theory on tent spaces. Analysis of PDEs [math.AP]. Université Paris-Saclay, 2015. English. �NNT : 2015SACLS100�. �tel-01350629�

U

NIVERSITÉ

P

ARIS

-S

ACLAY

École doctorale de mathématiques Hadamard (EDMH, ED 574) Établissement d’inscription : Université Paris-Sud

Laboratoire d’accueil : Laboratoire de mathématiques d’Orsay, UMR 8628 CNRS

THÈSE DE DOCTORAT EN MATHÉMATIQUES

Spécialité :

Mathématiques fondamentales

Yi HUANG

THÉORIE DES

OPÉRATEURS SUR LES

ESPACES DE

TENTES

Date de soutenance : 12 novembre 2015

Après avis des rapporteurs : FRÉDÉRICBERNICOT (Université de Nantes) SVITLANAMAYBORODA (Université du Minnesota)

Jury de soutenance :

PASCALAUSCHER (Université Paris-Sud) Directeur de thèse FRÉDÉRICBERNICOT (Université de Nantes) Rapporteur ALINEBONAMI (Université d’Orléans) Examinatrice GUYDAVID (Université Paris-Sud) Examinateur SYLVIEMONNIAUX (Université Aix-Marseille) Examinatrice

Thèse préparée au

Département de Mathématiques d’Orsay

Laboratoire de Mathématiques (UMR 8628), Bât. 425 Université Paris-Sud 11

Résumé

Nous donnons un mécanisme de type Calderón-Zygmund concernant la théorie de l’extra-polation pour des opérateurs d’intégrale singulière sur les espaces de tentes. Pour des opéra-teurs de régularité maximale sur les espaces de tentes, nous donnons des résultats optimaux en exploitant la structure des opérateurs intégraux de convolution et en utilisant des estimations de la décroissance hors-diagonale du semi-groupe ou de la famille résolvante sous-jacente.

Nous appliquons des techniques précédentes d’analyse harmonique et fonctionnelle pour estimer sur les espaces de tentes certains opérateurs d’intégrale évolutionnelle, nées de l’étude des problèmes aux limites elliptiques et des systèmes non-autonomes du premier ordre.

Mots-clefs : Espaces de tentes, opérateurs d’intégrale singulière, extrapolation, régularité

4

OPERATORTHEORY ONTENTSPACES

Abstract

We give a Calderón-Zygmund type machinery concerning the extrapolation theory for the singular integral operators on tent spaces. For maximal regularity operators on tent space, we give some optimal results by exploiting the structure of convolution integral operators and by using the off-diagonal decay estimates of the underlying semigroup or resolvent family.

We apply the previous harmonic and functional analysis techniques to estimate on tent spaces certain evolutionary integral operators arisen from the study of boundary value elliptic problems and first order non-autonomous systems.

Keywords : Tent spaces, singular integral operators, extrapolation, conical maximal regularity,

En premier lieu, je tiens à remercier Professeur Pascal AUSCHER pour avoir accepté de m’encadrer pour ma thèse. Il a été pour moi un directeur de thèse exemplaire, et il est toujours disponible. Tout d’abord, sa passion pour les problèmes d’analyse harmo-nique et d’équations aux dérivées partielles m’ont conforté dans mes goûts mathéma-tiques. De plus il a su me motiver, me proposer des sujets de recherche qui correspon-daient exactement à mes souhaits, me former à la recherche et partager avec moi toute son expérience. J’ai énormément appris à ses côtés tant sur le plan mathématique que sur le milieu de la recherche. Pour tout cela, je lui suis très reconnaissant.

Je suis très honoré que les professeurs Frédéric BERNICOT et Svitlana MAYBO-RODA aient porté de l’intérêt à mes travaux et aient accepté de rapporter sur ma thèse. Je remercie les différents membres du jury, les professeurs Aline BONAMI, Guy DAVID et Sylvie MONNIAUX. Leurs œuvres fondamentales sur, par ordre, mesures de Carle-son, opérateurs d’intégrale singulière et régularité maximale, m’inspirent toujours du-rant la préparation de ma thèse. Pas de doute, leurs œuvres vont continuer à me moti-ver dans ma recherche future en analyse.

Je remercie une bourse de CSC (China Scholarship Council, No. 2011604034) et, partiellement, ANR-HAB (Harmonic Analysis at its Boundaries, ANR-12-BS01-0013), pour supporter mes etudes doctorales à Orsay. Je remercie aussi les professeurs Chema MARTELL (à Madrid) et Christophe THIELE (à Bonn) d’avoir m’a accueilli pendant mes séjours en dehors de la France.

Je n’oublierai jamais toutes ces années passées sur le campus de l’université Paris-Sud. J’ai beaucoup apprécié l’accueil chaleureux et les rapports que j’ai eus avec toutes les personnes du département de mathématiques, en particulier Mme Catherine Ar-din, Mme Valérie BLANDIN-LAVIGNE et Mme Martine THOUVENOT. Je tiens aussi à remercier Professeur Dachun YANG et son groupe de l’université normale de Pékin pour m’a formé du premier pas à l’analyse harmonique réelle. Je remercie Jonathan SONDOW pour ses encouragements constants des années de Pékin à Paris. Je remercie enfin Professeur Huicheng YIN de l’université normale de Nankin pour son invitation. Je voudrais remercier l’ensemble des doctorants que j’ai côtoyée avec un très grand plaisir. Je souhaite particulièrement remercier des jeunes analystes, Alex, Cruz, Doro-thee, Henri, Jonas, Li (=), Mihalis, Mikko, Moritz, Sebastian, Shaoming (Õ ) et Ste-phan, et remercier des doctorants chinois à Paris, Bangxian (¶H), Haiyan (w’), Shen (˝), Shu (), Xiangyu (Xâ), Xinyi (#✏), Xun („) (et Chenqiuwen), Yangqin(l¶), Yanqi (fG), Yinshan (≈q), Yiwen ( á), Yueyuan ( ⌃), Zhi (z), Ziyang (+3), et

8

des autres camarades plus jeunes (Bingxiao, Bo, Ça˘grı, Cong, Guangqu, Guokuan, Sai, Songyan, Weichen, Weikun, Xiaodong (et Hongshu), Yang, Yeping, Zheng (et Xiaohua) etc). Je voudrais aussi remercier mes amis à Pékin (Beijing), Chao (Ö), Chunxu (%∏), Sha (é), Shuyang (✓l), Xiaodan (S9), Yufeng (â) et Zhenyu ( \), qui m’ont accepté tel que je suis depuis des années, pour leur joie de vivre et leur gentillesse.

Bien sûr, je ne pourrai jamais suffisamment remercier ma famille, mes parents et mon grand frère Si HUANG (ƒ ), pour m’avoir toujours encouragé et m’avoir sou-tenu. Enfin, merci à ma fiancée Qingyun GUI (BRë) pour avoir fait le plus difficile durant ces trois années, et pour savoir me supporter au quotidien. Merci pour tout ce que l’on partage, en somme merci de rendre ma vie si agréable. Je ne peux pas attendre pour construire notre petite famille à Nankin (Nanjing). Plus Belle “Flavie” !

Sincèrement un très grand

MERCI

à tous ceux qui ont contribué à cette thèse d’une façon ou d’une autre, par exemple, mes héros — analystes Akihito UCHIYAMA (Öq ∫, 1948–1997) et ToSIO KATO (†‰O+, 1917–1999), chimiste LAVAZZA, et musicien Zhi LI (N◊) — pour créer un monde fabuleux où je peux me faire plaisir.

··· R ··· É ··· G ··· U ··· L ··· A ··· R ··· I ··· T ··· É ··· ··· M ··· A ··· X ··· I ··· M ··· A ··· L ··· E ··· °! HUANG Yi ƒ   18 septembre 2015_p Le Guichet

RÉSUMÉ 4

REMERCIEMENTS 7

0 INTRODUCTIONGÉNÉRALE: TROISFAMILLES DESOPÉRATEURS 13

0.1 Opérateurs d’Intégrale Singulière . . . 14

0.2 Opérateurs de Régularité Maximale . . . 18

0.3 Calcul Opérationnel Holomorphe . . . 20

I S

INGULAR

I

NTEGRAL

O

PERATORS

—— C

ALDERÓN

-Z

YGMUND

T

HEORY

27

1 Calderón-Zygmund decompositions in tent spaces and weak-type endpoint bounds for two quadratic functionals of Stein and Fefferman-Stein 29 1.1 Introduction . . . 30

1.2 Proof of Theorem1.1.1 . . . 32

1.3 Proofs of Corollaries1.1.2and1.1.3 . . . 34

1.4 Proof of Lemma1.1.6 . . . 37

Bibliography . . . 37

2 Singular integral operators on tent spaces: a Calderón-Zygmund theory and weak-type endpoint estimates 41 2.1 Introduction . . . 43

2.2 A tent-space Calderón-Zygmund theory . . . 46

2.2.1 Calderón-Zygmund decompositions (CZD) in tent spaces . . . 48

2.2.2 Proof of Theorem2.2.1via (CZD) . . . 49

2.2.3 Hardy-Littlewood embeddings (HLE) for tent space functions . . . 52 9

10 TABLE DES MATIÈRES

2.2.4 Proof of Theorem2.2.2via Theorem2.2.1and (HLE) . . . 55

2.3 Relation with the extrapolation method by atomic decompositions . . . . 55

2.4 Proof of Theorem2.1.6via Theorems2.2.1-2.2.2 . . . 57

2.4.1 Proof of Lemma2.4.2. . . 58

2.4.2 Proof of Lemma2.4.3. . . 59

2.5 Remarks . . . 62

Bibliography . . . 63

II M

AXIMAL

R

EGULARITY

O

PERATORS

—— S

TABILITY OF

R-

ANALYTICITY

67

3 Maximal regularity in tent spaces and improved Blunck-Kunstmann criteria for the extrapolation of R-analyticity 69 3.1 Introduction . . . 71

3.2 Main tools on R-analyticity . . . 76

3.2.1 Vertical Maximal Regularity (VMR) . . . 76

3.2.2 R-boundedness and Schur estimates . . . 76

3.2.3 Reverse Hölder Inequalities (RHI) . . . 77

3.3 Proof of Theorem3.1.7 . . . 77

3.3.1 First approach: change of apertures and (VMR) . . . 77

3.3.2 Second approach: atomic decompositions and R-boundedness . . 80

3.3.3 Analytic interpolation . . . 81

3.3.4 Proof of Lemma3.2.3on (RHI) . . . 82

3.4 Generalized Gaussian estimates . . . 83

3.4.1 Divergence form elliptic operators . . . 84

3.4.2 Non-divergence form elliptic operators . . . 84

3.4.3 Proof of Theorem3.1.8 . . . 85

3.5 Extrapolation of R-analyticity . . . 85

3.5.1 Proof of Theorem3.1.9on R-boundedness . . . 85

3.5.2 Relation with Blunck-Kunstmann criteria . . . 85

III H

OLOMORPHIC

O

PERATIONAL

C

ALCULUS

—— A

NALYSIS OF

/

ON

W

HITNEY

A

VERAGES

89

4 Weighted tent spaces with Whitney averages: strong factorization, complex

interpolation and duality 91

4.1 Basic notation and chapter structure . . . 92

4.2 Definitions of the tent spaces . . . 93

4.3 Coincidence and change of geometry . . . 95

4.4 Multiplication and factorization . . . 99

4.5 quasi-Banach complex interpolation . . . .101

4.6 Multipliers and standard duality . . . .104

4.7 Proof of Theorem4.4.2on factorization . . . .108

Bibliography . . . .112

5 Weighted conical maximal regularity estimates for perturbed first order Dirac operators and application to Cauchy non-integral formulas 117 5.1 Introduction . . . .120

5.2 Complements on functional calculus . . . .124

5.2.1 R-boundedness . . . .125

5.2.2 Local coercive inequalities . . . .126

5.2.3 Off-diagonal decay . . . .126

5.3 Review of Hardy spaces . . . .130

5.3.1 General theory . . . .131

5.3.2 Duality . . . .132

5.3.3 Molecular theory . . . .132

5.3.4 Identification . . . .133

5.4 Duality in trace spaces . . . .134

5.4.1 Proof of Lemma5.4.1 . . . .136

5.4.2 Proof of Lemma5.4.2 . . . .139

5.4.3 Proof of Lemma5.4.3 . . . .139

5.5 Proof of Theorem5.1.1: stability . . . .142

5.5.1 Singular parts . . . .143

12 TABLE DES MATIÈRES

5.5.3 Intermediate weights . . . 145

5.5.4 Endpoint weights . . . 149

5.5.5 Dual claims . . . 152

5.6 Extensions of Theorem5.1.1: extrapolation . . . 153

5.6.1 Extrapolation by analytic interpolation . . . 155

5.6.2 Extrapolation by atomic decompositions . . . 156

5.7 Cauchy non-Integral Formulas . . . .157

5.7.1 Review of first order formalism . . . 157

5.7.2 Construction of weak solutions . . . 159

5.8 Appendix. Singular integrals on tent spaces . . . .160

5.8.1 Proof of Lemma5.5.1. . . .160

5.8.2 Proof of Lemma5.5.2. . . .164

Bibliography . . . .166

INDEX& SYMBOLES 171

N.B. 1) La dépendance entre des chapitres (i) Chapitre1est nécessaire pour Chapitre2. (ii) Chapitre4est nécessaire pour Chapitre5. (iii) Chapitre5s’inspires de Chapitre3.

Voir l’Introduction Générale pour la relation précisée.

N.B. 2) Dans chaque chapitre les notations (en particulier lesquels sur des espaces de tentes et la décroissance hors-diagonale) sont rappelés et les bibliographies sont préparés. Par conséquent, ils peuvent être lus séparément.

N.B. 3) Pour la raison de 2), notre index s’affiche que par sa première apparition.

äP_{(Tchouang-Tseu) ª 369–286 av. J.-C.}

Ce que nous connaissons est peu de chose ; ce que nous ignorons est immense.

Pierre-Simon Laplace (¢) 1749–1827

Introduction

Générale

Nous sommes intéressés dans cette thèse par le problème d’extrapolation des trois types d’opérateurs sur les espaces de tentes. Par ordre, ils sont

Partie I – Opérateurs d’Intégrale Singulière. Partie II – Opérateurs de Régularité Maximale. Partie III – Calcul Opérationnel Holomorphe.

Nous développons quelques outils pour les étudier.

Abstract

Un Petit Plan (Q & R)

-Avant de passer à l’aspect technique, je vous invite à quelques questions générales que je me demandais durant la préparation de cette thèse. Je pense que le lecteur vou-drait également les connaître. Les réponses ci-dessous sont selon mes compréhensions personnelles. Il y a certainement beaucoup d’autres réponses.

(Q1). Pourquoi avons-nous besoin des espaces de tentes ?

(R). Les espaces de tentes ont été inventés par Coifman, Meyer et Stein dans [CMS83] pour donner une nouvelle preuve du théorème de Coifman, McIntosh et Meyer sur les intégrales de Cauchy. En outre, comme expliqué dans [CMS85], ils four-nissent un cadre pour étudier de nombreux objets d’analyse harmonique, par exemple, les fonctions carrés, les espaces de Hardy et la dualité de Carleson.

(Q2). Pourquoi des espaces de tentes avec des moyennes de Whitney ? 13

(R). Certains espaces fonctionnels avec des moyennes de Whitney ont été introduits par Dahlberg dans [Dah86] et par Kenig et Pipher dans [KP93] dans l’étude des pro-blèmes elliptiques aux limites avec des coefficients peu réguliers. Avec [Dah86,KP93] inclus, nous élargissons le cadre de [CMS85] dans Chapitre4.

(Q3). Théorie des Opérateurs sur les Espaces de Tentes – motivation et objectif ? (R). Cela est nécessaire en extrapolant les résultats de la solvabilité obtenus par Au-scher et Axelsson dans [AA11] pour des problèmes elliptiques aux limites. Cette extra-polation sera abordée dans Chapitre5. L’objet central dans [AA11] est un opérateur de régularité maximale associé aux opérateurs de Dirac du premier ordre.

(Q4). Qu’est-ce que nous avons pour les autres opérateurs de régularité maximale sur les espaces de tentes ?

(R). Pour les opérateurs de régularité maximale associés aux opérateurs elliptiques d’ordre deux, nous développons dans Chapitre3une théorie de régularité maximale (conique) sur les espaces de tentes. Ceci est plus impliqué que des résultats de régula-rité maximale (classique) obtenus par Blunck et Kunstmann dans [BK02].

(Q5). Que pouvons-nous attendre pour les opérateurs d’intégrale singulière (mo-delés sur les opérateurs de régularité maximale) sur les espaces de tentes ?

(R). ll est bien connu que les espaces de tentes sont la réalisation d’extensions har-moniques des espaces de Hardy. On peut s’attendre à une théorie d’opérateurs d’inté-grale singulière sur les espaces de tentes. Cette théorie a été partiellement réalisée en [AKMP12]. Nous donnons une théorie de type Calderón-Zygmund dans Chapitre1et Chapitre2, donc étendons [AKMP12]. Cela nous aussi amène à étendre certains résul-tats classiques de C. Fefferman dans [Fef70] et de C. Fefferman et Stein dans [FS72].

Maintenant, on va commenter en détail par l’ordre de l’apparition des chapitres.

0.1 Opérateurs d’Intégrale Singulière

—— Théorie de Calderón-Zygmund

La première partie de cette thèse est consacrée à améliorer les articles : [Aus11], P. Auscher, « Change of angle in tent spaces », C. R. Math. Acad. Sci. Paris, vol. 349, (2011), et [AKMP12], P. Auscher, C. Kriegler, S. Monniaux et P. Portal, « Singular integral operators on tent spaces », J. Evol. Equ., vol. 12, (2012).

L’objet que nous intéresse est l’opérateur d’intégrale singulière que l’on peut dé-crire comme suit : T est un opérateur borné sur L2(R_+£Rn) = L2(R₊;Rn), où R_{+= (0,1),} tel que pour f une fonction à valeurs dans L2(Rn) et à support borné dans R₊, et, pour

T (f )t =

Z

0

K (t, s)fsd s,

où fs= f (s,·), et K (t, s), 0 < s < t < 1, est un noyau satisfaisant pour une constante C

kK (t, s)kL(L2_(Rn_{)) ∑ C} 1

t ° s.

On dit que T 2 SIO+_{. Donc la “singularité” pour le noyau de T arrive quand s = t.} Le but principal de cette partie, c’est de comprendre les remarques à la fin de l’in-troduction de l’article [AKMP12] concernant SIO+agissant sur les espaces de tentes,

“Calderón-Zygmund theory does not seem to be an appropriate machinery to study singular integral operators (on tent spaces) ...”

Nous remarquons que l’utilisation des décompositions atomiques des espaces de tentes dans [AKMP12] s’inspire de [Aus11]. Cela nous amène aussi à considérer un pro-blème posé dans [Aus11].

À la recherche de cette théorie de Calderón-Zygmund sur les espaces de tentes, nous bénéficions beaucoup des articles de Blunck et Kunstman concernant la théorie des opérateurs sur les espaces de Lebesgue : [BK02] sur la régularité maximale, [BK03] sur les opérateurs de Calderón-Zygmund, et [BK04] sur la transformée de Riesz.

Chapitre 1. Dans ce chapitre, nous prouvons une certaine décomposition de type Calderón-Zygmund pour les fonctions des espaces de tentes de Coifman-Meyer-Stein. Comme application, nous donnons une preuve unifiée des généralisations dans les es-paces de tentes des estimations faibles de type “endpoint” de C. Fefferman pour les “grandes fonctions carrées” et des estimations faibles de type “endpoint” de C. Feffer-man et E. M. Stein pour les fonctions maximales de boîtes.

Plus Précisément -Posons R1+n

+ = (0,1) £ Rn. Rappelons que pour p 2 (0,1), l’espace de tente Tp est défini comme l’ensemble des fonctions f 2 L2_loc°R1+n₊ ¢satisfaisant

kf kTp:= 0 B @ Z Rn 0 B @ œ |x°y|<t |f (t, y)|2d td y_t1+n 1 C A p/2 d x 1 C A 1/p < 1.

Dans le cas p = 1, l’espace de tente T1 _{(de type Carleson) est défini comme} l’en-semble des fonctions f 2 L2_loc°R1+n₊ ¢satisfaisant

kf kT1:= sup (x,r )2R1+n + 0 B @ œ ‡ B(x,r ) |f (t, y)|2d td y_t 1 C A 1/2 < 1. 15

Pour (r, x) 2 R1+n₊ , on rappelle que l’objet b

B :=©(t, y) 2 R1+n+ : B(y, t) Ω B(x,r ) ™

est appelé la tente sur (la boule) B(x,r ) avec la hauteur r . Posons N₊= {1,2,···}.

Théorème 0.0.1. Pour toutes f 2 Tp_{, 0 < p < 1, et tous l > 0, il existe C = C(n,p) > 0}

alors on peut trouver une famille des boules {Bi}i 2N+ dans R

n _{et une décomposition de}

type Calderón-Zygmund

f = g + X

i 2N+

bi,

avec la propriété suppbiΩ cBi, 8i 2 N+, et des estimations kg kT1∑ Cl,

kbikp_Tp∑ Clp|Bi|, 8i 2 N+,

et _X

i 2N+

|Bi| ∑ Cl°pkf kp_Tp.

De plus, les supports des bi sont mutuellement disjoints.

Et puis, nous définissons pour ∏ > 1 et pour f mesurable

S_∏§_{(f )(x) :=} 0 B @ œ R1+n₊ µ _t |x ° y| + t ∂∏n |f (t, y)|2d td y_tn+1 1 C A 1/2 , x 2 Rn.

Utilisant ces dernières décompositions, on obtient le corollaire suivant.

Corollaire 0.0.2. Soit ∏ > 1. Alors S§

∏ est borné de T

2/∏_{dans L}2/∏,1_.

Ici, on rappelle que L2/∏,1 est un espace de Lorentz (dans Rn). Ce résultat est une généralisation d’une estimation dans la thèse de C. Fefferman [Fef70].

Chapitre2. Nous proposons une théorie d’extrapolation de type Calderón-Zygmund pour les opérateurs sous-linéaires agissant sur l’échelle des espaces de tentes intro-duits par R. R. Coifman, Y. Meyer et E. M. Stein dans [CMS85]. Comme application, nous prouvons des estimations faibles étendant l’article [AKMP12].

L’ingrédient principal dans l’établissement de cette théorie d’extrapolation est 1) l’utilisation de certaines décompositions de type Calderón-Zygmund dans des espaces de tentes, qui sont obtenues dans chapitre1, et dans l’application de cette théorie abs-traite à la classe des opérateurs d’intégrale singulière sur les espaces de tentes qui a été considérée dans [AKMP12], 2) l’utilisation de certains plongements de type Hardy-Littlewood pour les fonctions des espaces de tentes.

Soit m 2 N+et Ø 2 R. Posons A ( f )(x) :₌ 0 B @ œ R1+n₊ 1 B≥x,tm1¥(y) tmn |f (t, y)| 2_tØ_{d td y} 1 C A 1/2 , x 2 Rn.

Nous définissons T_Øp,2,m, 0 < p < 1, par kf k_Tp,2,m Ø := ∞ ∞A (f )∞∞_{Lp< 1,} et définissonswT_Øp,2,m, 0 < p < 1, par kf kw_Tp,2,m Ø := ∞ ∞A (f )∞∞_{Lp,1< 1.}

Soit 1 ∑ r1 ∑ r2 ∑ 1. Posons 4c := ©(t, s) 2 R2₊| t 6= s™. Une famille d’opérateurs {K (t, s)}_(t,s)24c Ω L°L2(Rn)¢, satisfait à la décroissance Lr1° Lr2 hors-diagonale, avec

homogénéité m 2 N+et ordre de décroissance M > 0, si

k1FK (t, s)1Ef kLr2 .|t ° s|°1° n m(_r11°_r21) ø 1 +dist(E,F ) m |t ° s| ¿°M k1Ef kLr1

pour tous les ensembles de Borel E,F Ω Rn, tous (t, s) 2 4c et toutes f 2 Lr1_{\ L}2_.

Soit 1 ∑ q ∑ 2. On dit T 2 SIO+

m,q,M si T 2 SIO+et son noyau associé K satisfait à la

décroissance Lq° L2hors-diagonale avec homogénéité m et ordre de décroissance M.

Théorème 0.0.3. Soit m 2 N+et Ø < 1. Soit T 2 SIO+m,q,M avec 1 ∑ q ∑ 2, M >2mn et soit pM < 1 donné par M =_mn ≥ 1 pM ° 1 2 ¥

. Soit q0_{l’exponent dual de q.} (1) Si q0_∑ 2n m(1°Ø)ou de façon équivalente n 2m ∏ ° Ø_{° 1} 2 + n m µ₁ q ° 1 2 ∂ ,

alors T s’étend en un operator borné sur T_Øp,2,m quand 1 ∏ p > pc, où

pc = 4n 2n + m(1 ° Ø)q0∏ 1. (2) Si q0_> 2n m(1°Ø)ou de façon équivalente n 2m < ° Ø_{° 1} 2 + n m µ₁ q ° 1 2 ∂ , 17

alors T s’étend en un operator borné appliquant Tpbc,2,m

Ø dans

w_Tpbc,2,m

Ø , donc borné sur

T_Øp,2,m quand 1 ∏ p > bpc, où bpc= max°pM, epc¢et

e

pc= _2n 2n q + m(1 ° Ø)

< 1.

Donc (1) est dans [AKMP12] mais notre preuve est un peu différente. L’inégalité de type faible dans (2) est notre résultat. Nous remarquons que les espaces de tentes Tp, 0 < p < 1, peuvent être considérés comme des fonctions de Lp(Rn) à valeurs dans L2°R1+n₊ ¢. La théorie de type Calderón-Zygmund que nous avons établie dans Tp°R1+n₊ ¢diffère de celle dans Lp(Rn) à valeurs dans L2°R1+n₊ ¢.

0.2 Opérateurs de Régularité Maximale

—— Stabilité de R-analyticité

Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à l’opérateur de régularité

maxi-male : soit©e°t§™

t>0un semi-groupe analytique, on pose M+_§(F )t=

t

Z 0

§e°(t°s)§Fsd s (0.0.1)

où la fonction F appartient à l’espace de tente Tp avec 0 < p ∑ 1. Donc, M+ § et un opérateur d’intégrale singulière dans la classe SIO+.

On peut considérer trois types de générateurs analytiques pour §. Ils sont 8 > > < > > :

1) Opérateurs elliptiques complexes L = °divAr

2) Racines carrées d’opérateurs elliptiques complexes pL

3) Opérateurs de Dirac perturbés d’ordre un _|DB0| et |B0D|. 1) Pour des opérateurs elliptiques d’ordre deux, L = °divAr dans Rn, le semi-groupe de la chaleur a des estimations de décroissance Lq_{° L}2 hors-diagonale ex-ponentielle. Avec des estimations de décroissance hors-diagonale assez rapide nous avons une décomposition efficace pour les opérateurs de régularité maximale et nous pouvons prouver pour M+

L la bornitude satisfaisante dans les espaces de tentes.

2) La méthode de [AKMP12], qui utilise des estimations de décroissance hors-diagonale de type Lq_{° L}2_{, bénéficie évidemment de la croissance linéaire de l’ordre}

Mq2:= 1 + n µ₁ q ° 1 2 ∂

en _q1, ainsi leur théorie est adaptée à M+_p

L. Certaines adaptations (non incluses dans

cette thèse) sont nécessaires pour prendre soin du cas quand q est proche de 2. 18

Chapitre3. Nous donnons une condition suffisante pour la régularité maximale dans les espaces de tentes, c’est-à-dire, la bornitude dans les espaces de tentes des opéra-teurs de régularité maximale.

En particulier, pour un opérateur elliptique L de 2m-ordre, à valeurs complexes, pas nécessairement sous forme de divergence, sur Rn_{, avec m et n deux entiers plus}

grand que 1, nous montrons dans ce chapitre que les opérateurs L-associés de régu-larité maximale M+_L s’étendent en des opérateurs bornés sur l’espace de tente parabo-lique Tp,2,2m_{((0,1) £ R}n_{) pour}

°

p_°¢_§:= np°

n + mp° < p ∑ 1,

avec p°2 [1,2) étant la borne inférieure de q, pour lequel le semi-groupe analytique complexe©e°zL™

z2S±, ± 2 (0,º/2), où

S±=

n

tei µ: t > 0,|argµ| < ±o,

satisfait certaine décroissance Lq(Rn) ° L2(Rn) hors diagonale d’ordre assez grande. La partie intéressante réside dans la bornitude dans les espaces de tentes pour p_°< p < 2, et nos outils sont particulièrement conçus pour prendre soin du cas

° p_°¢0∑_mn, où 1 p_°+ 1 ° p_°¢0= 1.

Ceci complète ainsi la théorie d’extrapolation récente de [AMP12] et [AKMP12]. Nos hypothèses sur la décroissance Lq(Rn)°L2(Rn) hors diagonale du semi-groupe analytique sont plus faibles que celles requises par les critères d’extrapolation de Blunck-Kunstmann [BK02] et de Kunstmann [Kun08] de la R-analyticité du générateur analytique dans Lp(Rn) et de la régularité-Lp(Rn) maximale pour q < p < 2.

Plus Précisément

-Nous définissons l’espace de tente Tp,2,m(d td y), 0 < p < 1, comme l’espace de toutes les fonctions L2_loc°R1+n₊ ¢avec

kF kTp,2,m_{(d td y)}:= 0 B @ Z Rn 0 B @ œ R1+n₊ 1_B(x,t1/m_)(y) tn/m |F (t, y)| 2_{d td y} 1 C A p/2 d x 1 C A 1/p < 1,

et définissons l’espace de tente T1,2,m_{(d td y) comme l’espace de toutes les fonctions} L2_loc°R1+n₊ ¢avec kF kT1,2,m_{(d td y)}:= sup (r,x)2R1+n+ 0 @ r°n rm Z 0 Z B(x,r ) |F (t, y)|2d td y 1 A 1/2 < 1. 19

Une famille d’opérateurs uniformément bornés dans L2(Rn), {T (z)}_z2A, A Ω C, est satisfaire à la décroissance Lq° Lr hors-diagonale, avec homogénéité m, si 8M > 0,

∞ ∞1B2T (z)1B1f ∞ ∞_r.|z|°mn ≥₁ q°1r ¥ø 1 +dist(B1,B2) m |z| ¿_°M∞ ∞1B1f ∞ ∞_q

pour toutes les boules B1,B2Ω Rn, tous z 2 A et toutes f 2 Lq(Rn) \ L2(Rn). Théorème 0.0.4. Soit 1 ∑ q < 2 et supposant mq0 _{∑ 2n alors q}

§ = _2n+mq2nq ∏ 1. Soit ©

e°t§™

t>0un semi-groupe analytique dans L2(Rn).

I) Supposons que la famille dérivée©t§e°t§™

t>0 satisfait à la décroissance L2° L2

hors-diagonale avec homogénéité m. Supposons que©e°t§™_t>0satisfait à la décroissance Lq_°L2hors-diagonale avec homogénéité m. Alors M+

§, originalement défini comme dans (0.0.1), s’étend en un opérateur borné sur Tp,2,m(d td y) pour q_{§< p ∑ 1.}

II) Supposons que ©e°z§™

z2S±, pour un 0 < ± < º/2, satisfait à la décroissance

Lq_°L2hors-diagonale avec homogénéité m. Alors M+

§, originalement défini comme dans (0.0.1), s’étend en un opérateur borné sur Tp,2,m(d td y) pour q_{§< p ∑ 1.}

Ce théorème permet d’améliorer les résultats obtenus dans [AKMP12]. L’ingrédient pour la preuve permet d’améliorer le critère de la R-analyticité dans [BK02].

0.3 Calcul Opérationnel Holomorphe

—— Analyse de/sur Moyennes de Whitney

Posons N = (1 + n)m. Rappelons que l’opérateur de Dirac du premier ordre D :=

∑

0 divx

°rx 0

∏

et la multiplication B02 L1°Rn;L°CN¢¢. Le formalisme fondé par Auscher-Axelsson-McIntosh [AAM10], et puis, développé par Auscher-Axelsson [AA11] nous permet de transformer le système (d’ordre m) elliptique sous forme divergence d’ordre deux

divt,xA(t, x)rt,xu = 0

en un système non-autonome du premier ordre @_{tF + DB0F = D(EF ).} Ici, A 2 L1°_R1+n

+ ;L °

CN¢¢vérifie une condition d’ellipticité, F est liée au gradient de u par

∑ rxu

@Au

∏

, et B est associé à A par une certaine relation algébrique. La perturbation

E = B0° B est bornée, et dans certains cas, vérifie une condition de Carleson. 20

> > > > > > > < > > > > > > > : S+,"_DB 0(EF )t= t Z 0 ¥+_"(t, s)e°(t°s)|DB0|_¬+_(DB 0)D(EF )sd s S°,"_DB 0(EF )t= 1 Z t ¥°_"(t, s)e°(s°t)|DB0|_¬°_(DB 0)D(EF )sd s où ¥±

"(t, s) se rapprochent des fonctions caractéristiques des intervalles (0, t) et (t,1)

quand " ! 0, et on pose SDB0= lim_"!0 ≥ S+,"_DB 0° S °," DB0 ¥ .

La définition rigoureuse de SDB0 nécessite le calcul opérationnel holomorphe. En

même temps, les projecteurs ¬±_(DB

0) nécessite le calcul fonctionnel holomorphe.

Chapitre4. Dans ce chapitre, nous introduisons une nouvelle échelle d’espaces de tentes qui couvre, les espaces de tentes de Coifman-Meyer-Stein et de Hofmann-Mayboroda-McIntosh, et quelques autres espaces de tentes considérés par Dahlberg, Kenig-Pipher et Auscher-Axelsson pour les systèmes elliptiques rugueux. Les factorisa-tions au sein de nos espaces de tentes, avec des applicafactorisa-tions à l’interpolation complexe dans le cas Banachique ou quasi-Banachique, aux espaces de multiplicateurs ponc-tuels et à la dualité, sont établies. De cette façon, nous unifions et étendons les résultats correspondants obtenus par Coifman-Meyer-Stein, Cohn-Verbitsky et Hytönen-Rosén.

Nous ne rappelons pas les résultats de ce chapitre, qui nécessitent beaucoup de définitions. On remarque que ces factorisations (fortes) sont inspirées par [AB79] et [CV00]. Ce chapitre se trouve dans un article à paraître dans Math. Z. (2015).

Chapitre5. Ce chapitre peut être plus ou moins considéré comme une continuation sous l’aspect d’analyse harmonique du mémoire récent [AS14] — P. Auscher et S. Stahl-hut, A priori estimates for boundary value elliptic problems via first order systems, Mars 2014 — dans le cas des coefficients t-dépendants pour les systèmes elliptiques. Son but principal est d’extrapoler dans des espaces de tentes, des estimations de régularité maximale pondérées a priori obtenues par P. Auscher et A. Axelsson dans [AA11].

Par exemple, nous montrons dans ce chapitre que l’opérateur de régularité maxi-male associé à l’opérateur de Dirac perturbé B0D, défini formellement par

F 7! t Z 0 B0De°(t°s)|B0D|¬+(B0D)Fsd s ° 1 Z t B0De°(s°t)|B0D|¬°(B0D)Fsd s, 21

s’étend en un opérateur borné sur une échelle d’espaces de tentes elliptiques pondérés T_Øp°R1+n₊ ;C(1+n)m¢, où m est le nombre d’équations, pour

p_{°< p < p+} et Ø 2 (°1,1), et modulo une hypothèse sur l’action des ¬±_(DB

0) sur certains espaces, pour max ( np_° n +1°Ø₂ p_°,1 ) < p < p+ et Ø 2 (°1,1),

où°p_°, p₊¢est l’intervalle des p 2 (1,1) pour lesquels B0D admet un calcul fonctionnel holomorphe borné dans Lp°_Rn_;C(1+n)m¢_{. Rappelons que ¬}±_(B

0D) sont les projections spectraux de l’opérateur bisectoriel B0D, et

|B0D| = B0D°¬+(B0D) ° ¬°(B0D)¢ est le générateur du semi-groupe analytique©e°t|B0D|™

t>0sur L2

°

Rn;C(1+n)m¢. Dans le cas Ø = °1, nous montrons comment appliquer les résultats de dualité de [HR13] et du chapitre4pour obtenir des estimations similaires de régularité maximale.

Remarquons que l’opérateur

sgn(B0D) = ¬+(B0D) ° ¬°(B0D),

étroitement lié au problème de la racine carrée de Kato résolu par P. Auscher et al. [AHL+_{02], provoque la principale difficulté dans l’analyse de l’opérateur de régularité} maximale ci-dessus. Au niveau technique, nos arguments révèlent que la théorie L2 des opérateurs de Dirac est suffisante dans l’estimation d’une partie singulière se rap-portant à l’opérateur de régularité maximale. Les restrictions sur l’intervalle de p d’ex-trapolation proviennent d’une partie régulière. Plus précisément, pour la partie singu-lière, nous faisons l’usage de l’extrapolation dans les espaces de tentes (théorie L2_{) de} P. Auscher et al. dans [AMP12], et pour la partie régulière, nous faisons l’usage de l’ex-trapolation dans les espaces de tentes (théorie Lp) de P. Auscher et al. dans [AKMP12] et développons les techniques d’extrapolation conçues dans le chapitre3.

Ces résultats de régularité maximale conique pondérés a priori pour les systèmes elliptiques d’ordre un, ont des répercussions sur certaines formules de Cauchy non-intégrales qui nous permettent de construire des solutions faibles pour les systèmes el-liptiques t-dépendants. De cette façon nous étendons les résultats de A. Rosén [Ros14].

Plus Précisément

-Pour 0 < p < 1 et Ø 2 R, nous définissons T_Øp (analogue pondéré de Tp) comme l’espace de toutes les fonctions L2_loc°R1+n₊ ;CN¢avec

kF kT_Øp:= 0 B @ Z Rn 0 B @ œ R1+n₊ 1B(x,t)(y) tn |F (t, y)| 2_tØ_{d td y} 1 C A p/2 d x 1 C A 1/p < 1. 22

kF kT_Ø1,Æ:= sup (r,x)2R1+n + 0 @r°(n+2Æ) œ (0,r )£B(x,r ) |F (t, y)|2tØ_{d td y} 1 A 1/2 < 1.

On a l’identification des espaces “dual” : pour q 2 (1,1) ≥

T_Øq¥0_{= T°Ø}q0, et pour q 2 (0,1], Æ = n≥_q1° 1¥

≥

T_Øq¥0_{= T°Ø}1,Æ, avec la dualité donnée par

hF,Gi := œ

R1+n₊

F (t, y)G(t, y)d td y. Cette dualité diffère de celle utilisée dans [CMS85].

On a des résultats de régularité maximale conique suivant.

Théorème 0.0.5. Supposant E 2 L1_. (i) Pour Ø 2 (°1,1) et p°< p < p+on a ∞ ∞SDB0(EF ) ∞ ∞_Tp Ø .kEk1kF kT p Ø. (ii) Pour Ø 2 (°1,1) et ep_{°< e}p < ep₊on a ∞ ∞SDB0(EF ) ∞ ∞≥ T_°Øpe ¥0.kEk1kF k≥T_°Øpe¥0.

Ici, dans (i i ),°pe_°, ep₊¢est l’intervalle des p 2 (1,1) pour lesquels B§

0D admet un calcul fonctionnel holomorphe borné dans Lp°Rn;C(1+n)m¢.

Remarquons que (p_°, p₊) = (1,1) pour B0= I .

Quand Ø = ±1, il faut supposer une condition de type Carleson sur E, où on peut utiliser Chapitre4pour traiter la multiplication EF , et on a des résultats similaires, dès que, on modifie l’espace où vivent F et SDB0(EF ). Donce les cas Ø = ±1 comptent une

analyse de SDB0± E sur des moyennes de Whitney. Sous certaines hypothèses

concer-nant l’action sur Tpdes projecteurs spectraux ¬±_{(DB0), on peut améliorer le théorème} ci-dessus pour p ou ep hors de l’intervalle d’existence pour le calcul fonctionnel.

Ces résultats de régularité maximale conique sont motivés par la représentation des solutions de l’équation du premier ordre non-autonome sous la forme

F =°I ° SDB0E

¢_°1

e°t|DB0|_h+ _(0.0.2)

où h+_{est dans un espace de Hardy associé à DB}

0identifié à l’espace de Hardy associé à D pour les valeurs de p prises ici. Enfin nous remarquons que (0.0.2) est une intégrale de Cauchy, par rapport à la situation classique comme dans [Ros14, Example 1.5].

Bibliographie

[AA11] Pascal Auscher and Andreas Axelsson, Weighted maximal regularity esti-mates and solvability of non-smooth elliptic systems I, Invent. Math. 184 (2011), no. 1, 47–115. MR 2782252 (2012c :35111) pages 14, 20, 21

[AAM10] Pascal Auscher, Andreas Axelsson, and Alan McIntosh, Solvability of elliptic systems with square integrable boundary data, Ark. Mat. 48 (2010), no. 2, 253–287. MR 2672609 (2011h :35070) pages 20

[AB79] Éric Amar and Aline Bonami, Mesures de Carleson d’ordre Æ et solutions au bord de l’équation ¯@, Bull. Soc. Math. France 107 (1979), no. 1, 23–48. MR 532560 (80h :32032) pages 21

[AHL+_{02] Pascal Auscher, Steve Hofmann, Michael Lacey, Alan McIntosh, and Ph.} Tchamitchian, The solution of the Kato square root problem for second or-der elliptic operators on Rn, Ann. of Math. (2) 156 (2002), no. 2, 633–654. MR 1933726 (2004c :47096c) pages 22

[AKMP12] Pascal Auscher, Christoph Kriegler, Sylvie Monniaux, and Pierre Portal, Sin-gular integral operators on tent spaces, J. Evol. Equ. 12 (2012), no. 4, 741–765. MR 3000453 pages 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22

[AMP12] Pascal Auscher, Sylvie Monniaux, and Pierre Portal, The maximal regularity operator on tent spaces, Commun. Pure Appl. Anal. 11 (2012), no. 6, 2213– 2219. MR 2912744 pages 19, 22

[AS14] Pascal Auscher and Sebastian Stahlhut, A priori estimates for boundary va-lue elliptic problems, preprint (2014), 90. pages 21

[Aus11] Pascal Auscher, Change of angle in tent spaces, C. R. Math. Acad. Sci. Paris

349 (2011), no. 5-6, 297–301. MR 2783323 (2012e :42037) pages 14, 15

[BK02] S. Blunck and P. C. Kunstmann, Weighted norm estimates and maximal regularity, Adv. Differential Equations 7 (2002), no. 12, 1513–1532. MR 1920543 (2003k :34107) pages 14, 15, 19, 20

[BK03] Sönke Blunck and Peer Christian Kunstmann, Calderón-Zygmund theory for non-integral operators and the H1 functional calculus, Rev. Mat. Ibe-roamericana 19 (2003), no. 3, 919–942. MR 2053568 (2005f :42033) pages 15

[BK04] S. Blunck and P. C. Kunstmann, Weak type (p, p) estimates for Riesz trans-forms, Math. Z. 247 (2004), no. 1, 137–148. MR 2054523 (2005f :35071) pages 15

[CMS83] R. R. Coifman, Y. Meyer, and E. M. Stein, Un nouvel éspace fonctionnel adapté à l’étude des opérateurs définis par des intégrales singulières, Har-monic analysis (Cortona, 1982), Lecture Notes in Math., vol. 992, Springer, Berlin, 1983, pp. 1–15. MR 729344 (85j :42032) pages 13

13, 14, 16, 23

[CV00] W. S. Cohn and I. E. Verbitsky, Factorization of tent spaces and Hankel ope-rators, J. Funct. Anal. 175 (2000), no. 2, 308–329. MR 1780479 (2001g :42047) pages 21

[Dah86] Björn E. J. Dahlberg, On the absolute continuity of elliptic measures, Amer. J. Math. 108 (1986), no. 5, 1119–1138. MR 859772 (88i :35061) pages 14 [Fef70] Charles Fefferman, Inequalities for strongly singular convolution operators,

Acta Math. 124 (1970), 9–36. MR 0257819 (41 #2468) pages 14, 16

[FS72] C. Fefferman and E. M. Stein, Hp spaces of several variables, Acta Math. 129 (1972), no. 3-4, 137–193. MR 0447953 (56 #6263) pages 14

[HR13] Tuomas Hytönen and Andreas Rosén, On the Carleson duality, Ark. Mat. 51 (2013), no. 2, 293–313. MR 3090198 pages 22

[KP93] Carlos E. Kenig and Jill Pipher, The Neumann problem for elliptic equations with nonsmooth coefficients, Invent. Math. 113 (1993), no. 3, 447–509. MR 1231834 (95b :35046) pages 14

[Kun08] Peer Christian Kunstmann, On maximal regularity of type Lp-Lq under mi-nimal assumptions for elliptic non-divergence operators, J. Funct. Anal. 255 (2008), no. 10, 2732–2759. MR 2464190 (2010e :35126) pages 19

[Ros14] Andreas Rosén, Cauchy non-integral formulas, Harmonic analysis and par-tial differenpar-tial equations, Contemp. Math., vol. 612, Amer. Math. Soc., Pro-vidence, RI, 2014, pp. 163–178. MR 3204863 pages 22, 23

S

INGULAR

I

NTEGRAL

O

PERATORS

—— C

ALDERÓN

-Z

YGMUND

T

HEORY

1

Calderón-Zygmund decompositions in

tent spaces and weak-type endpoint

bounds for two quadratic functionals of

Stein and Fefferman-Stein

In this chapter, we prove some Calderón-Zygmund type decompositions for Coifman-Meyer-Stein tent space functions. These decompositions will be used in Chapter2in the study of certain singular integral operators on tent spaces. As ap-plication we give a unified proof for tent space generalizations of C. Fefferman’s endpoint weak-type estimates for grand square functions and of C. Fefferman and Stein’s endpoint weak-type estimates for box maximal functions.

Abstract

Contents

1.1 Introduction . . . . 30 1.2 Proof of Theorem1.1.1. . . . 32 1.3 Proofs of Corollaries1.1.2and1.1.3 . . . . 34 1.4 Proof of Lemma1.1.6. . . . 37 Bibliography . . . . 37

30 INTRODUCTION

1.1 Introduction

Let R1+n_{+ = R+£ R}n, with R_{+= (0,1). For t > 0 and y 2 R}n, (t, y) denotes a point in R1+n_{+ . Let B(x, t) Ω R}n_{be the open ball which is centered at x 2 R}n_{and has radius t > 0.} For 0 < p ∑ 1, let k · kpbe the Lp(Rn) quasi-norm. Denote by L2_loc°R1+n₊ ¢the

collec-tion of locally square integrable funccollec-tions in R1+n₊ . For 0 < p < 1 and Æ > 0, we say an L2_loc°R1+n₊ ¢function f belongs to the Æ-apertured tent spaceÆ_Tp

2 if kf kÆ_Tp 2 := ∞ ∞A(Æ)_{(f )}∞_∞ p< 1, where A(Æ)(f )(x) := 0 B @ œ R1+n₊ 1B(x,Æt)(y) tn |f (t, y)| 2d td y t 1 C A 1/2 , x 2 Rn. (1.1.1)

Note that the scale of Æ-apertured tent spaceÆ_Tp

2 has equivalent quasi-norms for dif-ferent Æ, that is, for any L2_loc°R1+n₊ ¢function f we have1

kf kÆ_Tp

2 ' kf kØT

p

2, 0 < p < 1, 0 < Æ,Ø < 1. (1.1.2)

We omit the aperture parameter Æ in A(Æ)andÆ_Tp

2 if Æ = 1. Let b

≠:=©(t, y) 2 R1+n₊ | B(y, t) Ω ≠™

be the tent over the set ≠ Ω Rn. Let |E| be the volume of the set E in Rn. Then we say an L2_loc°R1+n₊ ¢function f is in the tent space T₂1if

kf kT1 2 := kC (f )k1< 1, where C ( f )(x) :_{= sup} B3x 0 B @ 1 |B| œ b B |f (t, y)|2d td y_t 1 C A 1/2 , x 2 Rn. (1.1.3)

Here the supremum is taken over all the balls in Rnwhich also contain x. Note that T₂p, 0 < p ∑ 1, is the scale of Coifman-Meyer-Stein tent spaces introduced in [CMS85].

In this chapter we give some Calderón-Zygmund type decompositions for tent space functions in T₂p, 0 < p < 1. Let N§_{be the set of integers not less than 1.}

Theorem 1.1.1. For any f 2 T2p, 0 < p < 1, and any l > 0, there exists C = C(n,p) > 0 such that we can always find a family of balls {Bi}i 2N§ in Rnand a Calderón-Zygmund

type decomposition f = g +Pi 2N§bi, with suppbiΩ cBi, such that

kg kT1

2 ∑ Cl, (1.1.4)

kbikp_Tp 2 ∑ Cl p |Bi|, (1.1.5) and _X i 2N§|Bi| ∑ Cl °p_{kf k}p T₂p. (1.1.6)

Moreover, the supports of bi are mutually disjoint.

The number l > 0 involved in the above theorem is often called the height for the corresponding Calderón-Zygmund decomposition.

Let ∏ > 1. Define the grand square functional of Stein type as

S_∏§(f )(x) := 0 B @ œ R1+n₊ µ _t |x ° y| + t ∂∏n |f (t, y)|2d td y_tn+1 1 C A 1/2 , x 2 Rn. (1.1.7)

It can be easily verified that S_∏§is T₂2! L2bounded as ∏ > 1.

For f0in the Hardy space Hp(Rn), 0 < p < 1, and Pt(x) being the Poisson kernel

t/°_|x|2_{+ t}2¢n+12 _{, one has f = tr}

t,y°f0§ Pt¢2 T₂p. Moreover, the grand square function

g_∏§(f0) := S_∏§(f ),

which was first studied by A. Zygmund and E. Stein, satisfies the strong type estimate ∞ ∞g§ ∏(f0) ∞ ∞_p=∞_∞S§ ∏ °

trt,y°f0§ Pt¢¢∞∞_p.∞A∞ °trt,y°f0§ Pt¢¢∞∞_p (1.1.8)

if ∏ > max(1,2/p) (see [Ste70, Theorem 2, p. 91]). This result has a tent space general-ization: for 0 < p < 1 and f locally square integrable in R1+n

+ , one has ∞ ∞S§ ∏(f ) ∞ ∞ p .kA (f )kp (1.1.9)

if ∏ > max(1,2/p) (see [Aus11]). The endpoint case of (1.1.9) for ∏ > 1 and p = 2/∏ 2 (0,2) corresponds to a tent space generalization of the endpoint case of (1.1.8) for g§

∏,

the latter proved in C. Fefferman’s thesis [Fef69] (see [Fef70, Theorem 1]).

For 0 < p < 1, let Lp,1_{be the Lorentz space in R}n_{. As application of Theorem1.1.1,}

our first result is the following weak-type estimate for the quadratic functional S§ ∏. Corollary 1.1.2. Let ∏ > 1. Then S§

∏ is T 2/∏

2 ! L2/∏,1bounded.

Corollary1.1.2has a natural companion. Let ∏ > 1. Define the box maximal func-tional of Fefferman-Stein type (see [FS72, Lemma 8 and Lemma 9])

C_∏§(f )(x) := sup r >0 0 @ 1 |B(x,r )|∏ œ (0,r )£B(x,r ) t∏n°n_{|f (t, y)|}2d td y t 1 A 1/2 , x 2 Rn. (1.1.10)

32 PROOF OFTHEOREM1.1.1

Corollary 1.1.3. Let ∏ > 1. Then C§ ∏ is T

2/∏

2 ! L2/∏,1bounded. It can be verified that C§

∏ is T 2

2! L2,1bounded as ∏ > 1. This uses the relation C_∏§(f )(x).C ( f )(x), 8 x 2 Rn,

together with the weak-type estimate C : T₂2! L2,1which was given in [CMS85, The-orem 3, (b)] as a consequence of maximal theThe-orem.

Remark 1.1.4. The weak-type estimates in Corollary1.1.2and Corollary1.1.3are not new. Corollary 1.1.2 and the corresponding weighted norm inequalities were first proved in [AS77]2by using an integration lemma over the cones as in [CMS85, Lemma 2], which requires certain geometric properties of Rn. Our proof is direct and has the possible extension to rough geometry. Corollary1.1.3was implied by some pointwise estimates in [CW83] (see also [Bar79] and [Tor79]) proved via Carleson measures.

Remark 1.1.5. Our Calderón-Zygmund decompositions will be used in Chapter2in establishing weak-type estimates for singular integral operators on tent spaces. Use of the functional C§

∏ in operator theory on tent spaces will be given somewhere else.

In proving the above corollaries, we shall also need the following L2estimate on the bad functions {bi} which arise from the Calderón-Zygmund decomposition.

Lemma 1.1.6. Given any f 2 T2p, with 0 < p < 1. Let f = g +Pi 2N§bi be the

Calderón-Zygmund decomposition associated to the height l > 0 as in Theorem1.1.1. If 0 < p < 2 and ∏ = 2/p > 1, we have the fractional integral estimate

œ c Bi t∏n°n|bi(t, y)|2d td y t .kbik 2 T₂p.l 2_|B i|2/p. (1.1.11)

Here {Bi}i 2N§ is the family of balls found in Theorem1.1.1.

Note that the proof of the first estimate in (1.1.11) is essentially a general embedding estimate T₂p°R1+n₊ ¢,! L2°R1+n₊ , t∏n°n°1d td y¢, with 0 < p < 2. Thus the statement of this lemma can be more general, but this information will not be used in this chapter. In this regard, see Section2.2.3of next chapter for related tent space embedding results.

1.2 Proof of Theorem

1.1.1

Let M be the maximal function in Rn, that is,

M(h)(x) := sup B3x 1 |B| Z B |h|, x 2 Rn.

Fix Æ > 7. Let

≠l=©x 2 Rn: M°A(Æ)(f )p¢(x) > lp™,

thus by maximal theorem and the lower semi-continuity of M°A(Æ)(f )p¢(x), we know that ≠l is an open set with finite measure. Denote by ≠l = [i 2N§Q_i the Whitney

de-composition of ≠l into cubes, and by Bi= cQi the ball with the same center as Qi and

radius c times the diameter of Qi. We choose c sufficiently large such that

c

Biæ ¢i:= c≠l\ (Qi£ (0,1))

uniformly in i 2 N§_{. Then we let}

bi= f |¢i and g = f °

X

i 2N§

bi.

We claim that this yields the desired decomposition.

Since Æ > 7, we claim that for any x 2 Qi, there exists xi2 Ÿ(≠l), the complement of

≠in Rn, such that

A (g )(x)_{∑ A}(Æ)(g )(xi).

In fact, we can simply select xi to be an arbitrary point in the set 5Qi\ Ÿ(≠l). Recall

that in the general Whitney decomposition arguments (see [Ste70, Theorem 1, p. 167] for example) one has

diam(Qi) ∑ dist°Qi,Ÿ(≠l)¢∑ 4diam(Qi). (1.2.1)

Hence 5Qi\ Ÿ(≠l) is non-empty. With ri = diam(Qi)/2, we also have

dist(xi,Qi) ∑ 4ri and dist°Qi,Ÿ(≠l)¢∏ 2ri.

From geometrical observations, to meet sup x2Qi A (g )(x)_∑ inf xi24Qi\Ÿ(≠l) A(Æ)(g )(xi), it suffices to take Æ_>dist(xi,Qi) + diam(Qi) + 1 2dist ° Qi,Ÿ(≠l)¢ 1 2dist ° Qi,Ÿ(≠l)¢ =4ri+ 2r_r i i + 1 = 7. (1.2.2)

This proves the claim. Note that this claim is uniform in i 2 N§_.

Now for the “good” part g , with C = C(n,p) different at each step, we have kC (g )kL1∑ CkA (g )k_L1 ∑ C∞∞A (g)|≠_l ∞ ∞_L1+C∞_{∞A (g)|Ÿ(≠} l) ∞ ∞ L1 ∑ C∞∞A(Æ)(f )|Ÿ(≠l) ∞ ∞ L1+C ∞ ∞A (f )|Ÿ(≠l) ∞ ∞ L1 ∑ C∞∞A(Æ)(f )|_Ÿ(≠l) ∞ ∞ L1∑ C∏.

34 PROOFS OFCOROLLARIES1.1.2AND1.1.3

Here we mainly used in order, in the first inequality the endpoint comparison of A and C at p_{= 1 (see [}CMS85, Theorem 3 (b)]), in the third inequality the claim just proved

A (g )(x)_{∑ A}(Æ)(g )(xi) ∑ A(Æ)(f )(xi), 8x 2 Qi

and the construction f |_Ÿ(c≠l)= g , in the fourth inequality the geometrical fact Æ > 1, and

in the fifth inequality the Lebesgue differentiation theorem applied to A(Æ)(f )p. By similar geometrical observations as in (1.2.2), there exists k = k(n,c) ∏ 5 such that for any i 2 N§_{, we have the Æ-aperture tent ‡(kQ}

i)Ææ cBi, where c ≠Æ_:=©_{(t, y) 2 R}1+n + | B(y,Æt) Ω ≠ ™ .

Now for the “bad” part b, first we know that suppbiΩ cBi. With C = C(n,p,c)

differ-ent at each step, we can estimate kbik_Tp 2 ∑ ∞ ∞ ∞f |Bci ∞ ∞ ∞_Tp 2 ∑ C∞∞∞A(Æ)≥f |Bci ¥∞∞_∞ p ∑ C∞∞A(Æ)(f )|kQi ∞ ∞_{p∑ C∏|Bi|}1/p_. (1.2.3)

Here we mainly used in order, Æ > 1, ‡(kQi)Ææ cBi, k ∏ 5 and the existence of xi 2 kQi\

Ÿ(≠l), and the construction of ≠lfrom maximal function.

Moreover, by maximal theorem X i 2N§|Bi| ∑ C X i 2N§|Qi| = C|≠l| ∑ Cl°pkf kpÆ_Tp 2 ∑ Cl °p_{kf k}p T₂p, (1.2.4)

where C = C(n,p,c). The last estimate used (1.1.2).

Finally, using the fact that the Whitney cubes {Qi} are mutually disjoint (again see

[Ste70, Theorem 1, p. 167]), we see that the supports of bi are mutually disjoint.

1.3 Proofs of Corollaries

1.1.2

and

1.1.3

Proof of Corollary1.1.2. Recall that we have the T₂2_{! L}2boundedness of S§

∏ when ∏ >

1. By density of T₂2/∏_{\ T2}2in T₂2/∏it suffices to show for any f 2 T₂2/∏\ T22 Ø Ø Ønx 2 RnØØØS∏§(f )(x) > loØØØ. 1 l2/∏ Z Rn S_∏§(f )2/∏(x)d x, 8l > 0.

Let f = g +P_{i 2N}§b_i be the Calderón-Zygmund decomposition associated to the height

l > 0, the Whitney cubes {Qi}i 2N§ and the balls {B_i}_{i 2N}§ as in Theorem1.1.1, such that

By sublinearity of the quadratic functional S§ ∏

S_∏§(f )(x) ∑ S_∏§(g )(x) + S_∏§(f ° g)(x) := G1(x) +G2(x), 8x 2 Rn, then it reduces to check that Gk(k = 1,2) is in L2/∏,1.

By T₂2! L2boundedness of S_∏§, we have Ø Ø Ønx 2 RnØØØG1(x) > l/2oØØØ.l°2kS_∏§(g )k2_T2 2 .l °2_{kg k}2 T2 2.

By the interpolation control for g from the Calderón-Zygmund decomposition, l°2kg k2_T2

2 .l

°2/∏_{kf k}2/∏ T2/∏

2 .

This shows that G12 L2/∏,1.

By the property of the Calderón-Zygmund decomposition, we have for G2 Ø Ø Ønx 2 RnØØØG2(x) > l/2oØØØ.l°2/∏kf k2/∏_T2/∏ 2 + Ø Ø Ønx 2 Rn\ [i4Bi Ø Ø ØG2(x) > l/2oØØØ.

Let ≠§_{= [i4Bi, thus for any x 2 R}n_\≠§_{, we have |x ° yi| ª |x ° y|, where yi denotes the} center of Qi and Bi, and y is any point in Qi. Therefore, for any x 2 Rn\≠§

G2₂(x) = œ b ≠ µ _t |x ° y| + t ∂∏nØ_Ø Ø Ø Ø X i 2N§ bi(t, y) Ø Ø Ø Ø Ø 2 d td y tn+1 = X i 2N§ œ 4i µ _t |x ° y| + t ∂∏n |bi(t, y)|2d td y tn+1 . X i 2N§ 1 |x ° yi|∏n œ 4i t∏_n°n |bi(t, y)|2d td y t . X i 2N§ kbik2_T2/∏ 2 |x ° yi|∏n . X i 2N§ l2_|Bi|∏ |x ° yi|∏n ,

where we used Lemma1.1.6in the last two estimates. In the second equality above, we also used the fact the supports of the bad functions {bi} are mutually disjoint, which is

guaranteed by the Calderón-Zygmund decomposition. Then it remains to show

Ø Ø Ønx 2 Rn\≠§ Ø Ø ØH(x) > 1oØØØ.l°2/∏kf k2/∏_T2/∏ 2 , with H(x) := X i 2N§ |Bi|∏ |x ° yi|∏n .

However, by Tchebitchev inequality for H(x) restricted to Rn_\≠§_{, we have} Ø Ø Ønx 2 Rn\≠§ØØØH(x) > 1oØØØ ∑ Z Rn\≠§ H(x)d x

36 PROOFS OFCOROLLARIES1.1.2AND1.1.3 = X i 2N§|Bi| ∏ Z Rn\≠§ d x |x ° yi|∏n ∑ X i 2N§|Bi| ∏ Z Rn\Bi d x |x ° yi|∏n . X i 2N§|Bi|.

Thus, with the property (1.1.6) from the Calderón-Zygmund decomposition, we finish the proof that G22 L2/∏,1.

The proof for Corollary1.1.2can be concluded by invoking the Marcinkiewicz in-terpolation theorem.

Remark 1.3.1. It would be interesting to know if one can obtain for ∏ > 1 the Lorentz

type estimate S_∏§: T₂2/∏! L2/∏,2. The motivation of this question comes from [ST01]. Proof of Corollary1.1.3. Recall that we have the T₂2! L2,1 boundedness of C_∏§ when ∏_{> 1. We examine the preceding arguments carried out for S∏}§, and we notice that in estimating the new version of G₂2, which we can write as

G2₂(x) = X i 2N§ sup r >0 1 r∏n œ 4i\{B(x,r )£(0,r )} t∏n°n_|b i(t, y)|2d td y t ,

we always have r ∏ C|x ° yi| in each summand since for x 2 Rn\≠§ and y 2 B(x,r ),

|x ° yi| ª |x ° y| and |x ° y| ∑ r . Hence G₂2(x). X i 2N§ sup r >0 1 |x ° yi|∏n œ 4i\{B(x,r )£(0,r )} t∏_n°n |bi(t, y)|2d td y t , x 2 R n_\≠§_.

Furthermore, removing the region B(x,r ) £ (0,r ) in the integrals, then G₂2(x). X i 2N§ 1 |x ° yi|∏n œ 4i t∏n°n_|b i(t, y)|2d td y t . X i 2N§ l2_|B i|∏ |x ° yi|∏n, x 2 R n_\≠§_.

Note that this goes back to the step in the above proof for S§ ∏.

The other arguments remain unchanged.

Remark 1.3.2. In the classical setting for harmonic extensions, namely f =

trt,y°f0§ Pt¢, both corollaries were proved in [MW74] exploiting the pointwise relation

between S§

∏ and C∏§. Such relations are not true for general tent space functions. Here

we give a unified proof of Corollary 1.1.2and Corollary1.1.3 through our Calderón-Zygmund type decompositions in tent spaces, and this approach is close to the original spirits of [Fef70] and [FS72]. More precisely, see p. 20-21 of [Fef70] and p. 181-182 of [FS72]. Our arguments on G2in the above proofs reveal that, modulo the good function g 2 T21in the Calderón-Zygmund type decomposition f = g + b, the quadratic func-tionals S§

∏(b)(x) and C∏§(b)(x) have comparable upper bounds when the cone with

1.4 Proof of Lemma

1.1.6

Observe that the second inequality in the claim (1.1.11) rewrites (1.1.5) in the Calderón-Zygmund decompositions. It suffices to prove the first inequality.

First, by a straightforward extension3of [CMS85, Theorem 1 (c)], the bad function bi2 T₂p, 0 < p < 2, admits an atomic decomposition, say

bi=X j

∏i jbi j,

where the atom bi j is supported in the tent dBi j over some ball Bi j Ω Rn and bi j also

satisfies the size requirement ∞ ∞bi j∞∞_L2_(t°1_{d td y) ∑} Ø ØBi jØØ1° 2 p_.

Moreover, the coefficients©∏i j™_j2 lp satisfies

∞ ∞ ∞©∏i j™_j ∞ ∞ ∞ lp.kbikT₂p. (1.4.1)

We point out that the reverse kbik_Tp

2 . ∞ ∞ ∞©∏i j™_j ∞ ∞ ∞

lpis valid only for p ∑ 1.

Then we note that the decomposition equality bi =Pj∏i jbi j holds in pointwise

sense. This follows by inspection of the proof of [CMS85, Theorem 1 (c)] (see also [Rus07] for more precise arguments).

Next it suffices to prove that the fractional integral estimate as in (1.1.11) holds uni-formly on the atoms bi j. Now we explain this in detail.

Note that t ∑ rBi j, the radius of the ball Bi j, and ∏n ° n > 0. The verification of the

fractional integral estimate on atoms is as follows œ d Bi j t∏n°n_|b i j(t, y)|2d td y t . ≥ rBi j ¥∏_n°nØ ØBi jØØ1° 2 p ._1.

Hence, using that bi jhave disjoint support, we get

œ 4i t∏n°n_|b i(t, y)|2d td y t = œ 4i t∏n°n Ø Ø Ø Ø Ø X j ∏i jbi j(t, y) Ø Ø Ø Ø Ø 2 d td y t ∑X j ∏2_{i j} œ d Bi j t∏_n°nØ_Øb i j(t, y)ØØ2d td y t .∞∞∞_∞n∏2_{i j} o j ∞ ∞ ∞ ∞_l1. Since p/2 = 1/∏ < 1 _∞ ∞ ∞ ∞ n ∏2_{i j}o j ∞ ∞ ∞ ∞ l1∑ ∞ ∞ ∞ ∞ n ∏2_{i j}o j ∞ ∞ ∞ ∞ lp/2= ∞ ∞ ∞©∏i j™_j ∞ ∞ ∞2 lp.

Combining this with the coefficient estimate (1.4.1), we finish the proof of this lemma.

3. See for example [Var07, p. 52] for such a precise statement. Be aware that the setup of [Var07] is quite different from that of [CMS85].