Apprentissage, résolution de problème et contrat didactique
Résoudre un problème mathématique, c’est répondre à une question dont on n’a pas la réponse. Donc …
Si on sait faire et comment faire … cela ne pose aucun problème.
Résoudre un problème c’est donc chercher et non savoir même si cette recherche mobilise des savoirs.
D’où la proposition de quelques principes à mettre en œuvre par l’enseignant
1) Choisir des situations qui soient de vrais problèmes (voir situation a-didactique Cf G.
Brousseau ou situation problème cf R. Douady)
En particulier il est intéressant de proposer des problèmes pour lesquels les élèves n’ont pas la solution experte.
On peut constater facilement que des élèves de cycle II peuvent résoudre des problèmes dont la solution experte est un système d’équations. Par exemple les problèmes de têtes et pattes. x + y = a, 4x + 2y = b. Bien évidemment, un enfant de fin CP ne peut concevoir un tel outil mais il pourra résoudre « l’énigme » (portant sur de petits nombres) avec des dessins sur des cartes préétablies par l’enseignant…
2) Ne pas tuer le problème en l’expliquant.
A trop vouloir aider les élèves on ne permet pas aux élèves de chercher, de « brounziner » du cerveau. Il est par contre nécessaire de s’assurer que le dimension langagière (vocabulaire) ne soit pas un obstacle.
3) Centrer la dévolution sur « ce qu’on demande» et non sur « ce qu’il faut faire ».
Souvent les élèves demandent : comment il faut faire ?
Cette acception de la résolution de problème a des conséquences vraiment négatives pour de très nombreux élèves.
Le « comment faire » induit l’idée d’une méthode qu’il faudrait « appliquer » : trier les données inutiles, faire la bonne opération. Mais alors si on connaît la bonne opération, ce n’est pas un problème…
Cette approche encourage l’idée qu’il faut rechercher dans la mémoire des situations identiques dont on aurait souvenir de la méthode, de l’opération utilisée. Ce qui pose la question de la maîtrise des structures psycho-cognitives associées à une opération (cf. G.
Vergnaud) . Cela aboutit souvent soit à un traitement aléatoire de la part des élèves (« je crois qu’il faut faire un plus ») ou à la représentation du caractère magique des maths réservés aux seuls initiés. Le traitement d’un problème par la procédure experte, qui reste l’objectif de l’apprentissage, ne peut faire l’impasse sur les conditions de la conceptualisation.
Ce qui pose la question des « catégorisations» sur des invariants non-pertinant (perdre c’est moins donc il faut une soustraction …).
Psychologiquement, le « il faut » induit qu’il y a une injonction à respecter, une attente à satisfaire (du maître, des parents, de soi-même). Et le fait de ne pas être en mesure d’y répondre est de nature à altérer l’estime de soi, son goût pour les maths … et la capacité à la prise de risque inhérente à tout apprentissage.
A contrario, l’enseignant peut orienter la dévolution du problème sur ce qu’on demande, c’est à dire que résoudre un problème, c’est identifier une question et y apporter une réponse.
Il est alors nécessaire de faire, chez les élèves, la distinction entre réponse et résultat.
Le résultat est l’aboutissement d’un calcul. Même juste il ne garantit pas la validité de la réponse. Pour certains élèves, si le résultat (de l’opération) est juste, alors la réponse est juste. (cf : une fourmi de 18 m !)
Répondre à une question n’induit pas une méthode particulière ; cela permet ou invite à mettre en œuvre des procédures diverses des plus archaïques à la solution experte. Cela permet de gérer une certaine forme d’hétérogénéité.
Cela permet également de cultiver (en fonction des situations) une compétence rarement cultivée et pourtant hautement intéressante : l’estimation.
Cette estimation quand elle est possible (connaissance sociale ou compétence numérique) est déjà un message pour le « chercheur ».
4) La question de la consigne.
On voit bien alors que le problème de la consigne dépend de la nature de la tâche demandée. S’il s’agit d’une activité d’entraînement, de réinvestissement, de routine, alors le langage (langage naturel, langage expert) et les formulations utilisées auront été institutionnalisées et constitueront une « culture de classe ». A cet effet, l’enseignant doit veiller à faire les liens dans le temps et sur la nature des tâches. Rien n’est plus improductif que la représentation « zapping » que les élèves peuvent se faire de l’activité mathématique par le biais de l’usage mécanique des fichiers. Ne pas hésiter à dire . « Hier, la semaine dernière, mardi… quand on a fait …… , sur quoi avons nous travaillé ? Quel problème avons nous résolu ? » Et si la procédure experte a été institutionnalisée : « On avait trouvé plusieurs méthodes, vous vous souvenez. Lesquelles ? Comment tu avais fait Elodie ? Et toi, Caroline ? Et qu’elle était la plus rapide ? etc …. »
« Et bien, aujourd’hui…. »
A contrario, la question la consigne dans une situation d’apprentissage « pur et dur », renvoie à la question de la dévolution. Le langage utilisé ne peut en aucun cas être le langage expert qui est l’objectif de la tâche et du problème proposé. Sinon seul les élèves qui savent pourraient alors remplir le contrat didactique.
Quelle consigne alors ? C’est tout l’enjeu de la réflexion préalable à la mise au point de la situation. (cf. Préparation d’une séance)
Cela pose également la question des registres sémiotiques permettant la représentation du problème. (Cf Aider l’élève à entrer dans le signe)
Alors, la consigne sera la plus simple possible.
« Qu’est-ce qu’on nous demande ? Qu’est-ce qu’on veut savoir »
« Allez, on cherche !!! »
5) Validation : Ne pas jouer le rôle de « dieu le père »
Il n’y a rien de pire que « juger » le travail des élèves (et quelquefois les élèves eux- mêmes) en prononçant des sentences du type « c’est nul » ou « tu n’as rien compris » (rappelez–vous pour certains).
Le « c’est faux » n’est pas de nature à faire comprendre aux élèves que « faire des maths » c’est devenir « des travailleurs de la preuve ».
La didactique des maths propose, à défaut de situation auto-validante, que la validation soit le fruit du consensus des chercheurs, enseignant compris, en accord avec les lois mathématiques. Valider, c’est d’abord justifier. Mathématiquement parlant , il ne suffit pas de fournir une réponse et d’attendre sa validation par le « maître », il faut prouver. C’est prouver avec du « langage » mathématique. C’est à l’enseignant de piloter le débat entre
« chercheurs ». (Et ce n’est pas facile)
Il pourrait exister une genèse et une culture « primaires » de la rationalité mathématique.
D’abord dire, raconter (Cf narration de recherche au collège), plus tard expliquer, ensuite justifier, prouver avant d’accéder au « démontrer » du collège.
On peut avantageusement remplacer le c’est faux (quand on est sollicité) par « tu es sûr ? » ou « je ne trouve pas pareil », on va vérifier tous les deux ».
Enfin, la gratification de la réussite ne doit pas dépendre de « la soumission au jugement du maître » (qui dans le cas de la réponse erronée favorise le sentiment de faute et parfois de culpabilité) mais à la satisfaction intime de la preuve objective. Euréka !
6) Apprendre, c’est changer, et résoudre un problème c’est risquer.
Bachelard, avec sa sagesse malicieuse, nous l’a dit (La formation de l’esprit scientifique) :
« Si l’objet m’instruit, il me modifie. »
Imaginons le gouffre qui s’ouvre devant un élève qui a toujours eu la certitude qu’un nombre ça sert à compter et qui découvre (s’il le découvre) qu’on ne peut pas compter avec les décimaux.
Abandonner des savoirs, rectifier des erreurs, intégrer de nouveaux « outils », tout cela coûte psychiquement. (cf. Obstacles épistémologiques et maths)
Et pour cela, il faut affronter l’inconnu, l’incertitude. Résoudre un problème nouveau demande donc d’oser, de se lancer, de prendre un risque.
Résoudre un problème (apprendre !) est une situation insécure.
La posture épistémologique du maître est donc clairement identifiée : dédramatiser l’erreur, réassurer l’enfant, encourager la prise de risque, l’effort, la persévérance.
Cette posture n’est pas uniquement psychologique (CF Pygmalion à l’école). Elle est tout autant technique, didactique. Elle exige un professionnalisme et pas seulement du bon sens et de l’empathie.
Alors les mathématiques pourraient alors être le lieu de rencontrer plus souvent ce sentiment de jubilation, de joie pure, qui est top rare à l’école.
En conclusion, une citation d’André Délédicq, qui a été un des fondateur des IREM :
« Le plus important n’a jamais été de savoir si l’un ou l’autre connaissait ou apprenait plus ou moins de mathématiques ... mais plutôt de savourer ces instants fabuleux où le sourire intérieur d’un être humain s’extériorise et rend perceptible la sensation qu’il a de sa propre intelligence. Surtout quand la suite témoigne du solde positif de l’acquisition de savoir, par l’un comme par l’autre. »
J. Gibert (10/2008)
