STH2, Maple 2012
Approximation de π
Le but de ce projet est de déterminer à l'aide de plusieurs méthodes, des ap- proximations numériques du nombre π. On étudiera la qualité de chacune des ap- proximations en comparant les résultats avec la valeur deπ de Maple.
Pour vérier la convergence d'une méthode, on tracera la courbe de (Methode(n)-π) en fonction de n. Étudier la vitesse de cette convergence consiste à supposer que
|Methode(n)-π|∼nα oùα est un réel négatif. Plus il est petit et plus la convergence est rapide. Pour déterminerα, il faut tracerln(|Methode(n)-π|)en fonction deln(n). Si la courbe obtenue ressemble à une droite, alors le nombreαen est la pente. Dans certains cas, il est plus intéressant de tracer ln(|Methode(n)-π|)en fonction de n.
1 Méthode des séries
Nous allons utiliser quelques séries numériques convergentes pour approcher π. Commençons avec la série de terme général n12 dont la somme est π62.
1. Écrire un programme Serie1(n) qui calcule la somme partielle de cette série.
2. Écrire un programme Methode2(n) qui renvoie une approximation de π. 3. La méthode converge-t-elle ? Si oui à quelle vitesse ?
4. Recommencer avec la formule de Machin : π
4 = 4 arctan(1
5)−arctan( 1 239), avecarctan(x) =P+∞
k=0
(−1)kx2k+1 2k+1 .
2 Méthode des polygônes
Cette méthode a été employée par Archimède pour approcher le nombre π. Elle consiste à approcher un cercle par un polygône régulier et à considérer que le péri- mètre du polygône est proche de la circonférence du cercle.
Nous allons donc approcher le cercle unité par des polygônes réguliers.
1. Pour n ≥ 3, donner la liste des sommets (en coordonnées complexes) d'un polygône régulier à n côtés contenu dans le cercle unité.
2. Tracer le cercle unité et diérents polygônes réguliers l'approchant.
Le périmètre du polygône régulier àncôtés inscrit dans le cercle unité est égal à 2nsin(πn). Comme nous ne pouvons pas utiliser π, cette formule est inutili- sable ici à moins de choisir judicieusement certains polygônes réguliers.
3. Quelles sont les valeurs de sin(π6)et cos(π6)? 4. En inversant les relations
sin( π
2k6) = 2 sin( π
2k+16) cos( π
2k+16) et cos( π
2k6) = 2 cos2( π
2k+16)−1, écrire un programme qui calcule sin(2πn6) etcos(2πn6).
1
5. Écrire un programme Perimetre(n) qui calcule le périmètre du polygône à 6×2n côtés.
6. Écrire un programme Methode1(n) qui renvoie une approximation de π. 7. La méthode converge-t-elle ? Si oui, à quelle vitesse ?
8. (pour aller plus loin) Il y a une diculté cachée dans cette méthode qui a empêché Archimède et ses successeurs de mener leurs calculs au delà du po- lygône à 96 côtés et d'obtenir une excellente approximation de π. Quelle est cette diculté ? Écrire un programme permettant de réaliser les mêmes cal- culs qu'Archimède. Evaluer la vitesse de convergence en tenant compte de cette diculté.
3 Méthode de Monte-Carlo
Soit D la portion de disque dénie par
D={(x, y)∈R+ | x2+y2 ≤1}.
La méthode consiste à choisir au hasard un grand nombre de points dans le carré [0,1]×[0,1]et à regarder combien se situent dans D. On notenle nombre de points choisis et kn le nombre de ces points qui sont dansD.
1. Quel est à votre avis limn→∞ knn ?
Il existe des théorèmes permettant de donner un sens précis à cette limite et de justier ce résultat. Mais ils ne sont pas demandés ici.
2. Construire avec la fonction rand une application qui permet de choisir un nombre au hasard entre 0 et1.
3. Écrire un programme MonteCarlo(n) qui tire n points et qui calcule knn. 4. Représenter le carré, le cercle et un tirage de n points dans le carré.
5. Écrire un programme Methode3(n) qui renvoie une approximation de π. 6. La méthode converge-t-elle ? Si oui, à quelle vitesse ?
7. Quels peuvent être les avantages de la méthode de Monte-Carlo ?
Fonctions utiles : pointplot, display, evalf[n](x), rand
2
