Introduction à la logique

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Introduction à la logique

Cours ďintroduction à la logique et à la philosophie du langage au semestre ďhiver 2005-2006

Matériel à disposition à ľexamen du 6 février, 2006

Syntaxe

Le langage de la logique propositionnelle

Déﬁnition 1 (Alphabet). Ľalphabet du langag"Lde la logique propositionne#e classique consiste e$

les signes suivants :

1. des propositions atomiques “p₀”,“p₁”,“p₂” .. .(une inﬁnité dénombrable) 2. les connecteurs “¬”,“∧”,“∨”,“→” et “↔”

3. des symboles auxiliaires : parenthèses,,irgules

Déﬁnition 2 (Formules). Une formule propositionne#e est déﬁnie comme sui-:

1. Toute proposition atomique “p_i” (i∈N) est une formule propositionne#e.

2. Siφest une formule propositionne#e, alors!(¬φ)"est une formule propositionne#e.

3. Siφe-ψsont des formules propositionne#es,alors!(φ∧ψ)",!(φ∨ψ)"e-!(φ→ψ)"sont des formules propositionne#es.

Définition 3 (Théories). Une théorie est un ensemble (fini ou infini) de formules propositionne#es.

Le langage de la logique des prédicats

Déﬁnition 4 (Alphabet). Ľalphabet du langag"L⁺ de la logique des prédicats consiste en les signes suivants :

1. des signes logiques :

(a) les connecteurs “¬. . .” (“ne-pas”),“. . .∧ · · ·” (“et”),“. . .∨ · · ·” (“ou”),“. . . → · · ·” (“si-alors) e-

“. . .↔ · · ·” (“ssi”);

(b) les quantiﬁcateurs “∀x(. . . x· · ·)” (“pour tou-x”) et “∃x(. . . x· · ·)” (“il y a au moins u$x”); (c) le signe ďidentit0:“. . .

.

=· · ·” (“est identique à”); (d) des variables pour des individus :“xi” pour tou-i∈N; 2. des signes non-logiques :

(a) des signes pour les relations :“Ri” pour tou-i∈I; (b) des signes pour les fonctions :“fi” pour tou-i∈J;

(c) des constantes pour des individus :“ci” pour tou-i∈K; 3. des signes auxiliaires : parenthèses,,irgules

Déﬁnition 5 (Termes). Les termes ďune langu"(L⁺,K, λ, µ)sont déﬁnis par les clauses récursives : 1. Toute variable “x_i” (i∈N) est un terme.

2. Toute constante “c_i” (i∈N) est un terme.

3. Si “t₁”,“t₂”, . . .,“t_µ₍_j₎” sont des termes(j∈J), alors “f_j(t₁, t₂, . . . , t_µ₍_j₎)” est un terme.

Déﬁnition 6 (Formules atomiques). φest une formule atomique de la langu"(L⁺,K, λ, µ)si e- seulement si un des suivants est le cas :

1. φest de la forme “t₁ .

=t₂” pour deux termes “t₁” et “t₂”;

(2)

Déﬁnition 7 (Formules). φest une formule de la langu"(L⁺,K, λ, µ)si et seulement si un des suivants et le cas :

1. φest une formule atomiqu";

2. φest de la form"!(¬ψ)"pour une formul"ψ;

3. φest de la form"!(ψ∧χ)",!(ψ∨χ)",!(ψ→χ)"ou!(ψ↔χ)", pour des formulesψe-χ; 4. φest de la form"!∀xi(ψ)"ou!∃xi(ψ)"pour une formul"ψet une variable “xi”,i∈N.

Déﬁnition 8 (Occurrence libre). Siφest une formule et “xi” une variable, nous disons que “xi” a une occurrence libre dansφsi et seulement si une des conditions suivantes est rempli":

1. φest une formule atomique et contient “x_i”;

2. φa la form"!¬ψ"et “x_i” a une occurrence libre dansψ;

3. φa la form"!ψ∧χ",!ψ∨χ",!ψ→χ"ou!ψ↔χ"et “xi” a une occurrence libre soit dansψ, soi- dansχ;

4. φa la form"!∀xj(ψ)"ou!∃xj(ψ)",i*=jet “xi” a une occurrence libre dansψ.

Déﬁnition 9 (Phrases). Une phrase est une formule qui ne contient aucune occurrence libre ďun"

,ariable.

Définition 10 (Portée). Siφest une formule qui contient une quantification ďune variable “x” (ou bien “∀x” ou bien “∃x”), nous appelons la portée de la variable “x” dansφla plus petite formule qui suit la quantification de “x”.

Déﬁnition 11 (Substitutions dans des termes). Si “s” et “t” sont des termes et “x_i” une variable, nous déﬁnissons un nouveau terme, que nous appelons ‘la substitution de “x_i” par “t” dans “s” ’ ou ““s(x_i/t)” ”, de manière récursive comme sui-:

1. Si “s” est la même variable que “xi”, alors “s(xi/t)” est “t”.

2. Si “s” est une variable autre que “xi”, alors “s(xi/t)” est “s”.

3. Si “s” est une constante, alors “s(x_i/t)” est “s”.

4. Si “s” est un terme pour une valeur de fonction “f_j(t₁, . . . , t_µ(j))” pour des termes “t₁”, . . .,“t_µ(j)”, alors

“s(xi/t)” est “fj(t₁(xi/t), . . . , t_µ(j)(xi/t))”.

Déﬁnition 12 (Substitutions dans des formules). Siφest une formule,“t” un terme et “xi” un"

,ariable,nous déﬁnissons une nouve#e formule,que nous appelons ‘le résultat de la substitution de “xi” pour

“t” dansφ’ ou “!φ(xi/t)"”, de manière récursive comme sui-: 1. Siφest “t₁

.

=t₂” pour deux termes “t₁” et “t₂”, alors!φ(x_i/t)"est “t₁(x_i/t) .

=t₂(x_i/t)”.

2. Siφest “Ri(t₁, . . . tλ(i))” pour un signe de relation “Ri” et des termes “t₁”, . . .“tλ(i)”, alors!φ(xi/t)"es-

“Ri(t₁(xi/t), . . . tλ(i)(xi/t))”.

3. Siφes-!¬ψ"pour une formul"ψ, alors!φ(x_i/t)"es-!¬ψ(x_i/t)".

4. Siφes-!ψ∧χ",!ψ∨χ",!ψ→χ"ou!ψ↔χ"pour des formulesψe-χ, alors!φ(x_i/t)"es-!ψ(x_i/t)∧

χ(x_i/t)",!ψ(x_i/t)∨χ(x_i/t)",!ψ(x_i/t)→χ(x_i/t)"ou!ψ(x_i/t)↔χ(x_i/t)"respectivement.

5. Siφes-!∀xj(ψ)"ou!∃xj(ψ)"pour une formul"ψet une variable “xj”, alors

!φ(xi/t)":=

! !∀xjψ(xi/t)" i*=j

φ i=j !φ(xi/t)":=

! !∃xjψ(xi/t)" i*=j

φ i=j

(3)

Sémantique

Les tables de vérité des connecteurs propositionnels

φ !¬φ"

V F

F V

φ ψ !φ∧ψ"

V V V

V F F

F V F

F F F

φ ψ !φ∨ψ"

V V V

V F V

F V V

F F F

φ ψ !φ→ψ"

V V V

V F F

F V V

F F V

φ ψ !φ↔ψ"

V V V

V F F

F V F

F F V

La sémantique de la logique propositionnelle

Déﬁnition 13 (Interprétation atomique). Une interprétation propositionne#e atomiqu"I^∗est un"

fonction qui assigne à toute proposition atomique “pi”,i∈N,ľune des valeurs de vérit0vouf:I^∗ : {“p_i”|i∈N} → {v,f}.

Déﬁnition 14 (Interprétation). Étant donné une interprétation propositionne#e atomiqu"I^∗, nous déﬁnissons une interprétation propositionne#"I (qui est une fonction associant à toute formule proposi- tionne#e une et une seule valeur de vérit0:I:Fml(L)→ {v,f}) par des clauses récursives :

I1 Siφest une proposition atomique “p”,I(φ):=I^∗(“p”) I2 I(¬φ):=

! v I(φ)=f f I(φ)=v I3 I(φ∧ψ):=

! v I(φ)=ve-I(ψ)=v f I(φ)=fouI(ψ)=f I4 I(φ∨ψ):=

! v I(φ)=vouI(ψ)=v f I(φ)=fe-I(ψ)=f I5 I(φ→ψ):=

! v I(φ)=fouI(ψ)=v f I(φ)=ve-I(ψ)=f I6 I(φ↔ψ):=

! v I(φ)=I(ψ) f I(φ)*=I(ψ)

Déﬁnition 15 (Tautologie). Une formul"φest une tautologie siI(φ) = vpour toute interprétatio$

propositionne#"I.

La sémantique de la logique des prédicats

Déﬁnition 16 (Structures). Soi-(L⁺,K, λ, µ)une langue de la logique des prédicats. Une structur"

ApourL⁺consiste e$:

1. un ensemble non-vid"|A|, appelé ‘ľunivers de discours’ ou le ‘domaine’ d"A;

2. une interprétation de tous les signes de relations,qui attribue à tou-i∈Iune relatio$R^A_i sur|A|avec λ(i)places argumentales, c’est-à-dire un sous-ensembl"R^A⊂ |A|^λ(i).

(4)

3. une interprétation de tous les signes de fonctions, qui attribue à tou-j∈June fonctio$f_j^Asur|A|

avecµ(j)places argumentales, c’est-à-dire une fonctio$f_j^A:|A|^µ⁽^j⁾→ |A|.

4. une interprétation de toutes les constantes, qui attribue à tou-k∈Kun élément ﬁxe,c^A_k, d"|A|.

Déﬁnition 17 (Assignations de valeurs). Soi-L⁺une langue de la logique des prédicats e-Aun"

structure pourL⁺. Une assignation de valeurs pourL⁺est une fonctio$hqui assigne à toute variabl"xi

(i∈N) exactement un élément de ľunivers de discours : h:Vbl(L⁺)→ |A|.

Déﬁnition 18 (Désignation de termes). Soi-L⁺une langue de la logique des prédicats,Aune struc- ture pourL⁺e-h:Vbl(L⁺) → |A|une assignation de valeurs. La désignatio$h(t)ďun terme “t” d"L⁺ sous cette assignation de valeurs est déﬁnie comme sui-:

1. si “t” est une variable,h(t)es-h(t); 2. si “t” est une constante “ck”,h(t)es-c^A_k ;

3. si “t” est un terme de la forme “fj(t₁, . . . t_µ(j))”, alorsh(t)es-f_j^A(h(t₁), . . . , h(t_µ(j))).

Déﬁnition 19 (Assignations variées). Soi-L⁺une langue de la logique des prédicats,Aune structur"

pourL⁺,h : Vbl(L+) → |A|une assignation de valeurs et “x_i” une variable d"L⁺. Nous déﬁnissons ľassignation variée à la place “x_i” – appelée “h"_x

i

a

#” – comme sui-:

h

$xi

a

%

(xj) :=

! h(xj) i*=j

a i=j

Déﬁnition 20 (Vérité sous un assignation de valeurs). Soi-L⁺une langue de la logique des prédicats,Aune structure pourL⁺e-h: Vbl(L⁺) → |A|une assignation de valeurs. Nous disons qu’un"

formul"φd"L⁺est vraie sous ľassignation de valeurshou que ľassignation de valeurshsatisfait la formul"φ(abrég0:“A |=_hφ”) si et seulement si une des conditions suivantes est rempli":

S1 φa la même forme que “t₁ .

=t₂” e- h(t₁)=h(t₂)

S2 φa la même forme que “R_i(t₁, . . . , t_λ(i))” e- R^A_i (h(t₁), . . . , h(t_λ(i))) S3 φest de la form"!¬ψ" e- A *|=_hψ

S7 φest de la form"!ψ↔χ" e- A |=_hψsi et seulement siA |=_hχ S8 φest de la form"!∀xi(ψ)" e- A |=_h^`xi

a

´ψpour tous lesa∈ |A|

S9 φest de la form"!∃xi(ψ)" e- A |=_h^`xi a

´ψpour au moins u$a∈ |A|

Déﬁnition 21 (Vérité dans une structure). Soi-L⁺une langue de la logique des prédicats e-Aun"

structure pourL⁺. Nous disons qu’une formul"φd"L⁺est vraie dans la structur"Asi et seulement siφes- ,raie sous toutes les assignations de valeurs pourL⁺:

A |=φ :⇐⇒ pour tou-h:Vbl(L⁺)→ |A| : A |=_hφ Siφest vraie dans une structur"A, nous appelonsAun “modèle” d"φ.

Déﬁnition 22 (Validité). Soi-L⁺une langue de la logique des prédicats.Nous disons qu’une formul"φ d"L⁺est valide ou qu’e#e est une vérité logique (de la logique des prédicats) si et seulement siφest vrai"

dans toutes les structures pourL⁺:

|=φ :⇐⇒ pour tou-A : A |=φ

Déﬁnition 23 (Conséquence sémantique). Soi-L⁺une langue de la logique des prédicats. Nous appelons une formul"φune conséquence sémantique ďun ensemble de formules si et seulement siφest vrai

(5)

dans toutes les structures où toutes ces formules sont vraies :

Σ|=φ :⇐⇒ pour tou-A:siA |=ψpour toutes les formulesψ∈Σ, alorsA |=φ

Les calculs axiomatiques

La théorie de la preuve

Déﬁnition 24 (Calcul). Un calcul est un ensemble de formules propositionne#es, appelées ‘théorèmes’, déterminé par des axiomes et des règles ďinférenc":

1. Tout axiome est un théorème.

2. Une formule propositionne#e qu’on obtient en appliquant une règle ďinférence à des théorèmes es- un théorème.

3. Rien ďautre n’est un théorème.

Déﬁnition 25 (Preuve). Une preuve, dans un calculHCet à partir ďune théori"Th, est une séquenc"

finie de propositions(φ₁, . . . φ_n)te#e qu’on a, pour tou-i, 1≤i≤n,HC∪Th∪ {φ₁, . . . , φ_i−1} ⊢φ_i. Définition 26 (Déductibilité). SiHCest un calcul,Thune théorie e-φune formule propositionne#e, nous définissons!HC∪Th⊢ⁿ φ"(n∈N) pour tou-n∈Npar induction surn:

1. Siφest un axiome d"HC, alorsHC∪Th⊢ⁿφpour tou-n∈N.

2. Siφest un membre d"Th, alorsHC∪Th⊢ⁿ φpour tou-n∈N.

3. SiHC∪Th ⊢^mⁱ ψ_i e-m_i < npour toutes les prémissesψ_i ďune règle ďinférence d"HC, alors HC∪Th⊢ⁿ φpour la conclusio$φde cette règle ďinférence.

Un calcul axiomatique pour la logique propositionnelle

Déﬁnition 27. Le calculHCest déterminé par toutes les formules d"Lqui ont la forme ďun des axiomes suivantes :

H₁ !φ→φ" réﬂexivit0

H₂ !(φ→ψ)→((ψ→χ)→(φ→χ))" transitivit0

H₃ !((φ∧ψ)→χ)→(φ→(ψ→χ))" conditionaliser ľantécéden- H₄ !(φ→(ψ→χ))→((φ∧ψ)→χ)" augmenter ľantécéden-

H₅ !φ→(φ∨ψ)" introduire “∨” à droit"

H₆ !ψ→(φ∨ψ)" introduire “∨” à gauch"

H₇ !(φ→χ)→((ψ→χ)→((φ∨ψ)→χ)))" alternativ"

H₈ !(φ∧ψ)→φ" élimination “∧” à droit"

H₉ !(φ∧ψ)→ψ" élimination “∧” à gauch"

H₁₀ !(φ→ψ)→((φ→χ)→(φ→(ψ∧χ)))" compositio$

H₁₁ !(φ→ψ)→(¬ψ→ ¬φ)" conversio$

H₁₂ !φ→(¬φ→ψ)" ex falso quodlibe-

H₁₃ !(φ→(φ∧ ¬φ))→ ¬φ" reductio ad absurdu:

H₁₄ !((φ→ψ)∧(ψ→φ))→(φ↔ψ)" introduction “↔”

H₁₅ !(φ↔ψ)→((φ→ψ)∧(ψ→φ))" élimination “↔”

H₁₆ !φ∨ ¬φ" tautologi"

La seule règle ďinférence d"HCest modus ponensMP:

φ,!φ→ψ"

ψ .

(6)

La méthode des arbres

Les règles de construction ďarbres : !¬¬φ"

φ

!φ∧ψ"

φ ψ

!¬(φ∧ψ)"

!¬φ" !¬ψ"

❆

❆❆

✁

✁✁

!φ∨ψ"

φ ψ

❆

❆❆

✁

✁✁

!¬(φ∨ψ)"

!¬φ"

!¬ψ"

!φ→ψ"

!¬φ" ψ

❆

❆❆

✁

✁✁

!¬(φ→ψ)"

φ

!¬ψ"

!φ↔ψ"

φ ψ

!¬φ"

!¬ψ"

❆

❆❆

✁

✁✁

!¬(φ↔ψ)"

φ

!¬ψ"

!¬φ"

ψ

❆

❆❆

✁

✁✁

!∀x(φ(x))"

!φ(a₁)"

!φ(a₂)"

!φ.(a₃)"

. .

!¬∃x(φ(x))"

!¬φ(a₁)"

!¬φ(a₂)"

!¬φ.(a₃)"

. . pour toutes les constantes “ai”

apparaissant sur cette branche

!∃x(φ(x))"

!φ(a₁)" !φ(a₂)" . . . !φ(b)"

pour toutes les constantes “ai” de la branche et une nouvelle constante “b”

❍❍❍

❍❍

❆

❆❆

✁

✁✁

✟✟

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!¬∀x(φ(x))"

!¬φ(a₁)" !¬φ(a₂)" . . . !¬φ(b)"

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❍❍

❆

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✁

✁✁

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✟

(7)

La déduction naturelle

La règle des suppositions

n φ ⊢^∗ φ supposition

Modus ponens (modus ponendo ponens)

m ⊢!φ→ψ"

n ⊢φ

o ⊢ψ de (m) et (n) par (MP)

Modus tollens (modus tollendo tollens)

m ⊢!φ→ψ"

n ⊢!¬ψ"

o ⊢!¬φ" de (m) et (n) par (MT)

Preuve conditionnelle

m φ ⊢^∗ φ supposition

n φ ⊢^∗ ψ

o ⊢!φ→ψ" de (m) et (n) par (PC) Ľintroduction et ľélimination de la double négation

m ⊢!¬¬φ"

n ⊢φ de (m) par (DN)

m ⊢φ

n ⊢!¬¬φ" de (m) par (DN)

La réduction à ľabsurde (reductio ad absurdum)

m φ ⊢^∗ φ supposition

n φ ⊢^∗ ψ

o φ ⊢^∗ !¬ψ"

p ⊢!¬φ" de (m),(n) et (o) par (RAA)

Ľintroduction de la conjonction

m ⊢φ

n ⊢ψ

o ⊢!φ∧ψ" de (m) et (n) par (∧I) Ľélimination de la conjonction

m ⊢!φ∧ψ"

n ⊢φ de (m) par (∧E)

m ⊢!φ∧ψ"

n ⊢ψ de (m) par (∧E)

Ľintroduction de la disjonction

m ⊢φ

n ⊢!φ∨ψ" de (m) par (∨I)

m ⊢ψ

n ⊢!φ∨ψ" de (m) par (∨I)

(8)

Ľélimination de la disjonction

m ⊢!φ∨ψ"

n φ ⊢^∗ φ supposition

o φ ⊢^∗ χ

p ψ ⊢^∗ ψ supposition

q ψ ⊢^∗ χ

r ⊢χ de (m),(n),(o),(p) et (r) par (∨E)

Ľintroduction de ľéquivalence matérielle

m ⊢!φ→ψ"

n ⊢!ψ→φ"

o ⊢!φ↔ψ" de (m) et (n) par (↔I)

Ľélimination de ľéquivalence matérielle

m ⊢!φ↔ψ"

n ⊢!φ→ψ" de (m) par (↔E)

m ⊢!φ↔ψ"

n ⊢!ψ→φ" de (m) par (↔E)

Ľélimination du quantiﬁcateur universel

Condition :“t” doit être un terme qui est libre pour “x” dansφ.

m ⊢!∀x(φ)"

n ⊢!φ(x/t)" de (m) avec (SU)

Ľintroduction du quantiﬁcateur existentiel

Condition :“t” doit être un terme qui est libre pour “x” dansφ.

m ⊢!φ(x/t)"

n ⊢!∃x(φ)" de (m) avec (GE)

Ľintroduction du quantiﬁcateur universel

Condition :“a” n’a pas ďoccurrence dans une des prémisses ou suppositions dont dépend la preuve de!φ(a)".

m ⊢!φ(a)"

n ⊢!∀x(φ(a/x))" de (m) avec (GU)

Ľélimination du quantiﬁcateur existentiel

Condition :“a” n’a pas ďoccurrence dansψou dans une supposition (autre que!φ(a)") dont dépend la preuve deψà partir de!φ(a)".

m ⊢!∃x(φ(a/x))"

n !φ(a)" ⊢^∗ !φ(a)" supposition

o !φ(a)" ⊢^∗ ψ

p ⊢ψ de (m),(n) et (o) avec (SE)