CHAPITRE 2 : LA MODÉLISATION

CHAPITRE 2 : LA MODÉLISATION Note aux lecteurs :

Dans la réalisation de ce chapitre, nous avons puisé abondamment dans trois ouvrages; ce chapitre se veut un résumé de la démarche de modélisation et est essentiellement une synthèse tirée de ces ouvrages. Nous avons donc utilisé, par ordre d’importance :

WALLISER, B. (1977). Systèmes et modèles - Introduction critique à l’analyse de systèmes.

Éditions du Seuil, Paris, 247 p.

CLARKE, P.T. (1973). Mathematical models in hydrology. Food and Agricultural Organization of the United Nations (Irrigation and drainage, paper 19), Rome, 282 p.

COLIN, L. (1973). Models in planning - an introduction to the use of quantitative models in planning. Press, Oxford, 142 p.

Avant d’entreprendre ce chapitre sur la modélisation, faisons l’assertion évidente et commune suivante; l’EAU en tant que ressource est un sous-système qui fait partie d’un autre sous-système plus grand, la Terre. Cette assertion, en elle-même très simple, constitue et contient une démarche qui fait appel à la connaissance et à la compréhension d’une façon d’organiser les structures et d’interrelier les choses, les événements et les processus. Elle est propre à l’analyste de systèmes et fait donc partie de la conception qu’il se fait des êtres et des choses. Mais cette démarche, qui détermine une manière de voir, de représenter et de conceptualiser, se traduit par un résultat, par une image, qu’on appelle MODÈLE.

On comprendra alors pourquoi il existe un si grand nombre de modèles de la même réalité, aussi valable en soi les uns que les autres. On comprendra que les modèles ne sont pas applicables n’importe où et n’importe comment et que chaque application est un cas particulier.

On comprendra aussi que dans la démarche de la modélisation et dans l’application, on doit respecter certaines règles.

2,1 Définition

La notion de modèle est souvent associée à une représentation formalisée et, la plupart du temps, restreinte à un ensemble d’équations mathématiques. Cependant, dans sa définition la plus large, un modèle est une représentation mentale ou physique des caractéristiques les plus significatives d’un système ou d’une partie d’un système réel et que l’on traduit sous forme verbale, graphique ou mathématique. Un modèle prend cependant toute sa valeur et sa signification lorsqu’il permet, d’une part, d’améliorer notre connaissance du système et de ses éléments et, d’autre part, d’étudier et de vérifier le comportement du système dans des conditions ou des situations impossibles à réaliser en pratique pour des raisons techniques, économiques ou politiques.

Un modèle apparaît donc lui-même comme un système qui, à l’image d’un système donné, met en évidence certaines de ses caractéristiques. Il peut donc exister une infinité de modèles qui sont plus ou moins complets et qui diffèrent essentiellement par l’accent mis sur telle ou telle caractéristique du système.

De par leur nature matérielle, on peut distinguer deux catégories de modèles : les modèles physiques et les modèles symboliques. Ces deux catégories de modèles sont largement utilisées dans la gestion et l’aménagement de la ressource EAU, et dans l’étude des ouvrages qui s’y rapportent.

2,2 Modèles physiques ou symboliques

Les modèles peuvent être classifiés de différentes façons, mais une distinction essentielle existe entre les modèles physiques et les modèles symboliques. On peut donc distinguer :

- les modèles physiques qui traduisent le système sous forme de modèles réduits ou

analogiques;

- les modèles symboliques qui traduisent le système dans un langage symbolique plus ou moins abstrait.

Les modèles physiques sont plus faciles à comprendre et sont ceux qui nous sont les plus familiers. Ils sont des répliques à échelle réduite des objets que l’on utilise. Les hydrauliciens, par exemple, utilisent des modèles réduits de déversoir, de barrage, de quai, de digues, etc. Les mesures effectuées sur ces modèles permettent d’obtenir des résultats qui correspondent en général aux caractéristiques des ouvrages eux-mêmes. Le modèle symbolique, pour sa part, est celui dans lequel le monde réel ou les situations réelles sont représentés par des symboles. Les hydrologues utilisent des modèles constitués d’équations mathématiques qui permettent de simuler le débit. Ce dernier type de modèle est très utile au planificateur et au gestionnaire qui s’attardent aux relations fonctionnelles et aux processus fondamentaux (gestion de bassin hydrologique, aménagement urbain, planification de développement, etc.).

Le modèle de type symbolique est, en fait, beaucoup plus commun que celui de type physique, mais parce qu’il a plusieurs formes de représentation, il est mal reconnu comme tel. Il peut être une image mentale ou verbale ou une description écrite, mais peu importe sa forme, c’est le moyen par lequel nous nous décrivons à nous-mêmes ou aux autres un système réel ou un processus.

2.2.1 Un type particulier de modèle symbolique : Le modèle mathématique

Comme les autres modèles abstraits, un modèle mathématique est une description du système qu’il représente; cependant, il est écrit dans le langage des symboles mathématiques. La notation mathématique est un langage beaucoup plus précis que le langage parlé, car il n’autorise pas d’ambiguïté. Puisqu’il est plus précis, le modèle mathématique est une description qui a une plus grande clarté que la plupart des modèles verbaux. Notons, cependant, que plus précis ne veut pas dire plus exact. La formulation mathématique est simplement une traduction de ce que nous avons perçu du monde réel dans un autre langage et il n’y a rien d’inhérent au symbole mathématique qui puisse garantir l’exactitude.

Cependant, la précision qui est requise pour traduire les mots en symboles peut souvent révéler les imprécisions de la description verbale, ce qui peut alors conduire à augmenter l’acuité ou la clarté de l’image mentale, et de la façon dont nous percevons le système réel et ses opérations. Cette exigence d’une analyse précise est un des avantages les plus significatifs de l’utilisation des modèles mathématiques.

2,3 Les modèles analytiques 2.3.1 Remarques générales

Un modèle analytique est constitué d’un ensemble d’équations liant différentes variables, xi, et différents paramètres, αi. Un paramètre est une quantité à fixer librement, maintenue constante et dont dépend le résultat d’une fonction de variables indépendantes d’une équation ou d’une expression mathématique. Par contre, une variable est un symbole ou un terme auquel on peut attribuer plusieurs valeurs numériques.

On distingue deux grandes catégories de variables : les variables certaines, définies par une modalité unique et les variables aléatoires, définies par une distribution de probabilité sur l’ensemble des modalités. De plus, dans le cas de grandeurs mesurables dépendant du temps, on distingue deux grands types de variables; les variables de flux, traduisant un flux d’objet (débit instantané ou quantité par période) et les variables de stock (ou d’état), traduisant un montant d’objet (quantité instantanée ou quantité moyenne). Ainsi, la variable ''volume d’eau d’un lac'' est une variable de stock et la variable ''débit'' en est une de flux.

Outre ces définitions de catégorisation des variables, un modèle analytique incorpore habituellement des variables de décision, des variables d’environnement (ou de commande) et des variables internes. Les variables de décision sont celles sur lesquelles on peut agir et qui conditionnent le comportement du système. Par exemple, la variable ''débit minimal à soutenir en aval d’un barrage'' conditionne le fonctionnement d’un modèle de gestion de réservoir. À l’opposé, les variables d’environnement sont celles qui caractérisent le système réel et sur lesquelles on ne peut agir. La température, la précipitation et l’évapotranspiration en sont des exemples. Par contre, la précipitation peut constituer une variable de décision si on utilise un simulateur de pluie. Les variables internes sont des variables intermédiaires dépendantes des variables d’entrée et conditionnant les variables de sortie. Par exemple, si on considère un modèle de bassin (chapitre 13) dont les variables d’entrée sont la précipitation et l’évapotranspiration et dont la variable de sortie est le débit, alors la valeur calculée de la variable infiltration, qui est un résultat intermédiaire nécessaire à l’évaluation des grandeurs de la variable débit, constitue une grandeur de variable interne.

L’ensemble d’équations du modèle analytique fait intervenir ou non des dérivées en distinguant :

· les modèles différentiels qui se présentent sous la forme d’un système d’équations aux dérivées partielles que nous écrivons :

0

m i

x m

j

f x x

⎛∂ ⎞

⎜ ⎟=

⎜∂ ⎟

⎝ ⎠

Par exemple, en hydrologie, l’équation de Laplace représente les écoulements en milieux

poreux (équation de diffusivité, aquifère captif, régime permanent chapitre 10) :

2 2 2

2 2 2 0

h h h

x y z

∂ ∂ ∂

+ + =

∂ ∂ ∂

· les modèles intégraux qui se présentent sous forme d’un système d’équations simples que nous écrivons :

( )

x i

f x =

L’équation de Green-Ampt qui décrit l’infiltration (chapitre 6) en est un exemple :

f f

S

f

H H Z I K

Z

⎛ + + ⎞

= ⎜⎜ ⎟⎟

⎝ ⎠

On passe des modèles différentiels aux modèles intégraux en résolvant le système d’équations différentielles; en sens inverse, un modèle intégral peut être traduit de diverses façons en modèle différentiel.

Dans les modèles analytiques, on privilégie souvent la variable temps "t", toutes les variables xi étant indicées par le temps qui peut être considéré comme continu ou non (modèle dynamique) :

· les modèles en temps continu font intervenir les variables et leurs dérivées par rapport au temps :

, , 0

m i t

k m

f x t

t

⎛∂ ⎞

⎜ =⎟

⎜ ∂ ⎟

⎝ ⎠

L’équation de Boussinesq (chapitre 10) en constitue un bon exemple :

2 2

2 2

h h S h Q x y K t K

∂ ∂ ∂

+ = +

∂ ∂ ∂

· les modèles en temps discret font intervenir les variables avec des décalages temporels :

(

)

k i t m

f x ₋ =t

On passe des modèles en temps continu aux modèles en temps discret (et inversement) en

faisant correspondre aux dérivées des différences temporelles :

(

)

it

i t i t

x x x

t ⁺

∂ → −

∂

Les modèles en temps continu ou discret sont dits d’ordre n s’ils font intervenir des dérivées d’ordre n au plus, ou des décalages de n périodes au plus.

Les modèles dynamiques sont dits stationnaires s’ils ne font pas intervenir le temps de façon explicite (et non-stationnaire dans le cas contraire) :

m it

k m

f x t

⎛∂ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ∂ ⎠

= 0 en temps continu

(

)

k i t m

f x ₋ = 0 en temps discret

Ajoutons que les modèles dynamiques sont dits soit certains (ou déterministes), soit aléatoires (ou incertains) selon que leurs relations sont certaines ou aléatoires. Très souvent, l’aléa d’une relation est résumé dans un écart aléatoire, ξkt :

m ,

it

k m kt

f x t

t ξ

⎛∂ ⎞

⎜ ∂ ⎟=

⎝ ⎠

en temps continu

(

)

k i t m kt

F x ₋ t =ξ en temps discret

On passe des modèles aléatoires aux modèles certains en transformant les variables aléatoires en variables certaines et, en particulier, en annulant l’écart aléatoire des relations.

2.3.2 Propriétés et types de modèles analytiques dynamiques

Considérons la variable x(t) comme étant une donnée d’entrée du modèle au temps t, et considérons y(t) comme étant la sortie du modèle au même temps. On peut alors écrire la formulation mathématique suivante qui décrit un modèle analytique- dynamique :

( ) ( )

f x t y t⎡⎣ ∂x t y t∂ ∂ ∂ ∂ x t∂ ∂ y ∂ t Θ Θ ⎤⎦=

Dans cette équation, f (.) est une fonction explicite; Θ1, Θ2 sont les paramètres du modèle et ces paramètres sont des grandeurs caractéristiques du modèle qui demeurent constantes dans le temps.

En pratique, les variables x(t) et y(t) sont mesurées à différents intervalles; on les remplace donc dans la description mathématique ci-haut par xt et yt qui sont la valeur de x(t) et y(t) au temps t. Si, de plus, on remplace les dérivées par leurs approximations obtenues à l’aide de la méthode des différences finies centrées, on a ainsi :

( ) ( )

x x t t x t t t

t

∂ +Δ − − Δ Δ

∂ ;

( ) ( ) ( )

2

2

2x 2 /

x t t x t x t t t

t

∂ +Δ − + − Δ Δ

∂ ;

On peut alors réécrire notre fonction f(...) :

(

)

f x y x ₋ y₋ x₋ y₋ Θ Θ =

On appelle ordinairement ce type de modèle, modèle ''entrée-sortie'', quand le système que l’on décrit est très complexe, on est alors obligé d’adapter une formulation plus simple où l’écart d’ajustement entre les valeurs calculées et les valeurs observées est pris en compte par "εt" qu’on appelle le résidu ou l’erreur entre l’ajustement et la valeur mesurée au temps t. Alors f (...) devient f*(. . .) :

(

)

f^∗ x y x ₋ y₋ x₋ y₋ Θ Θ +ε =

L’équation, telle qu’on la retrouve ci-haut, est une équation implicite. On peut la réécrire d’une façon qui est plus convenable en explicitant y en fonction des différentes variables. Alors, l’équation devient la suivante :

(

)

t t t t t t t

y = f^∗∗ x x₋ x₋ y₋ y₋ Θ Θ +ε

Dans cette équation, Θ1 et Θ2 sont des paramètres du modèle et sont habituellement déterminés à partir de calculs ou en effectuant des mesures, ''εt’’ est un résidu et il est égal à la différence entre la valeur yt et la valeur donnée par la fonction f**. L’art de choisir la fonction f** qui permet d’évaluer la valeur de yt, c’est-à-dire la valeur de la variable dépendante au temps t, de façon à ce que cette équation soit satisfaisante pour le but que l’on poursuit en fabriquant le modèle ou en établissant une description mathématique du système, s’appelle l’ART DE MODÉLISER.

Si les variables xt, yt ou εt peuvent être considérées comme ayant une distribution de probabilité, certains auteurs disent que le modèle est un modèle STOCHASTIQUE; dans le cas contraire, le modèle est appelé DÉTERMINISTE.

Si la fonction f** est établie à partir des considérations du processus physique, c’est-à-dire

en essayant de décrire ce qui se passe physiquement ou en essayant de décrire les relations physiques entre les variables, on dit alors que le modèle f** est un MODÈLE CONCEPTUEL.

Dans le cas contraire, le modèle est appelé MODÈLE EMPIRIQUE. Les MODÈLES EMPIRIQUES sont aussi appelés MODÈLES SYNTHÉTIQUES ou encore BOÎTE NOIRE.

Si, dans un modèle, le principe de superposition peut être vérifié, on dit alors que le modèle est linéaire selon la théorie des systèmes, ce qui se traduit de la façon suivante : considérons que yt est la réponse du modèle à la sollicitation xt; et que, ytt est la réponse du modèle à la sollicitation xtt; le principe de linéarité selon la théorie des systèmes signifie que : yt + ytt est la réponse du système à la sollicitation xt + xtt. En un mot, si la somme des réponses du modèle est égale et identique à la somme des entrées correspondantes, on dit alors que le modèle est linéaire selon la théorie des systèmes.

On doit, cependant, distinguer un autre type de linéarité qui est souvent utilisé dans la littérature; il s’agit de la linéarité par rapport aux paramètres du modèle. Quand un modèle est linéaire, par rapport aux paramètres à estimer, on dit qu’il est linéaire selon le sens de la régression statistique.

y a bx cx= + + 2

L’équation précédente est du type linéaire selon le sens de la régression statistique alors qu’elle est non linéaire selon le sens de la théorie des systèmes.

Si, dans un modèle, on ne tient pas compte de la distribution spatiale de la variable d’entrée ni de la variation spatiale des paramètres, on dit alors que le modèle est du "type agrégé (lumped)". Par contre, si, dans un modèle, on tient compte de la variabilité spatiale et même temporelle, on dit alors que le modèle est de type distribué (discrétisé). Dans ce cas, on distingue deux approches :

a) quand on décrit la variabilité spatiale sans tenir compte de la configuration géométrique des points du réseau d’observation des données d’entrée, ou encore, sans tenir compte de la configuration géométrique des points où l’on doit évaluer un paramètre, on dit alors que le modèle est distribué d’une façon probabiliste;

b) dans un modèle où la variabilité des paramètres ou encore des données d’entrée est exprimée en termes d’orientation des points entre eux ainsi que de leur distance, on dit du modèle qu’il est géométriquement distribué.

Ces notions de discrétisation seront explicitées davantage au chapitre 13 dans lequel on discute des modèles de bassin.

2 4 Démarche théorique de la modélisation

Un modèle M, quel qu’il soit, est en quelque sorte l’intermédiaire entre un champ théorique dont il est une interprétation et un champ expérimental dont il est une synthèse [Walliser, 1977].

Cette relation d’interprétation et de synthèse est bien explicitée par le schéma de la figure 2.1.

Figure 2.1 : Relation modèle, champ théorique et champ expérimental (d’après Walliser, 1977).

La même démarche peut être appliquée à une variable. En fait, une variable est un intermédiaire entre un concept qu’elle représente et des grandeurs observables sur lesquelles elle s’appuie (figure 2.2).

Figure 2.2 : Rôle d’intermédiaire d’une variable (d’après Walliser, 1977)

Si l’on se base sur le rôle d’intermédiaire du modèle on peut distinguer quatre phases dans la

Champs Théorique

MODÈLE

Problème d’interprétation

Problème de validation Champs

Théorique

Champs Expérimental

Concept Théorique

VARIABLE Problème de signification

Problème de construction Grandeurs

Observables

démarche de modélisation que l’on peut présenter selon le schéma de la figure 2.3. Dans ce schéma, on constate comment, en cheminant à travers ces phases, le modèle peut être amélioré.

Figure 2.3 : Schéma décrivant les phases de la modélisation (adaptée de Walliser, 1977)

La phase déductive consiste à déduire d’un modèle théorique un modèle analytique, contenant aussi bien des variables observables que non observables, et donc susceptible d’être testé, soit dans ses hypothèses, soit dans ses conclusions; le modèle déduit est un modèle hypothétique.

La phase prévisionnelle consiste, à partir du modèle hypothétique précédent, à imaginer des expériences permettant de le tester.

La phase descriptive consiste à intégrer les observations dans un modèle analytique nouveau ou dans un modèle préexistant. On confirme ainsi les hypothèses faites sur les paramètres ou l’on calcule la valeur de ceux-ci.

La phase inductive consiste à analyser les écarts entre le modèle hypothétique et le modèle confirmé et à en induire les modifications à apporter au modèle théorique préalable.

Cette démarche nous amène à définir certaines qualités d’un modèle en fonction de son

champs théorique

axiomatisation dédu ction

Modèle Hypothétique

prévision manipulation

champs expérimental Modèle

Confirmé induction

desc ription

A

B

C

D

FORMALISATIONEXPÉR

IMENTATION

contenu; il pourra être évalué selon les critères suivants :

- sa validité théorique, c’est-à-dire sa plus ou moins grande compatibilité avec les modèles théoriques précédemment validés;

- sa validité analytique, c’est-à-dire sa plus ou moins grande compatibilité avec des modèles analytiques confirmés, présents ou passés;

- sa fécondité, c’est-à-dire les possibilités qu’il ouvre par sa formulation, d’inductions ultérieures sur des modèles théoriques;

- sa falsifiabilité, c’est-à-dire sa capacité à engendrer des modèles analytiques qui soient réfutables par l’expérience;

- sa flexibilité, c’est-à-dire la possibilité plus ou moins grande qu’il offre de s’adapter à de nouveaux modèles théoriques ou empiriques;

- sa simplicité, c’est-à-dire le nombre réduit d’hypothèses et d’étapes de raisonnement qu’il utilise;

- son exhaustivité, c’est-à-dire sa capacité à décrire complètement des systèmes nombreux ou un même système sur une longue période, malgré leurs transitions éventuelles.

2,5 Démarche pratique de la modélisation

Il est probablement vrai de dire que personne ne comprend vraiment comment riait un modèle. Cependant, quoi que l’on dise, il est possible de mettre en relief une approche générale qui peut être utile dans l’élaboration et le développement d’un modèle. L’application d’un modèle au monde réel n’est pas simple. Chacune des étapes de recherche dans le développement du modèle pourra même suggérer la modification, voire l’abandon des idées premières. Il devient alors évident qu’une approche réaliste concernant la construction d’un modèle doit être une approche itérative, comme le suggèrent Hamilton et al. [1969] et comme on peut le voir sur la figure 2.4.

Le processus itératif appliqué lors du développement de la structure d’un modèle peut être comparé à ce qui se passe dans un laboratoire ou dans un tunnel où les ingénieurs et les scientifiques utilisent les résultats d’observations pour améliorer la conception des modèles physiques. Dans notre cas, les tests physiques sont remplacés par les simulations faites sur calculateur. La simulation du modèle initial peut fournir des résultats qui sont inadéquats pour représenter le système réel que l’on veut modéliser, mais on peut quand même en déduire des idées pour poursuivre des recherches additionnelles qui devraient alors conduire à de meilleurs résultats. Il convient de séparer le processus illustré sur la figure 2.4 en cinq principales étapes : définition du problème, formulation du modèle, simulation du modèle, validation du modèle et

application.

2.5.1 Définition du problème

Le développement d’un modèle pour la simulation d’un système devrait commencer par la formulation du problème ou par l’établissement clair des objectifs de l’exercice. On doit prendre bien soin de ne pas construire de modèle de système sans avoir un but précis dans l’esprit. On ne construit pas un modèle pour lui-même, mais on le construit bien dans un but précis. Ceci peut sembler une étape évidente, mais la détermination du problème ou des problèmes et de leurs objectifs est la partie la plus critique des activités de conception d’un modèle. Les questions auxquelles on doit répondre contrôlent effectivement la structure et le concept du modèle. Ces questions doivent être très claires si l’on veut que l’étude progresse d’une façon satisfaisante.

Autrement, les décisions importantes qui doivent être prises durant l’établissement ou la formulation du modèle seront impossibles à prendre correctement. Les questions critiques auxquelles le modèle devra répondre doivent être clairement établies, et raisonnablement détaillées, au début de la construction du modèle, même si l’on sait qu’elles seront redéfinies à mesure que l’exercice de construction progressera. Les questions trop générales peuvent empêcher l’établissement d’un cadre adéquat pour l’étude. Par contre, les questions trop précises peuvent réduire l’investigation à des domaines qui ne comprendront pas la réponse. Il serait, par exemple, parfaitement raisonnable d’avoir comme objectif de construire un modèle pour comprendre le comportement d’un système, mais il est important d’affirmer alors que l’on met l’accent sur la compréhension du phénomène et non sur le modèle lui-même.

2.5.2 Formulation du modèle

La formulation du modèle peut être décomposée en cinq phases, à savoir, la sélection des variables, le choix du niveau approprié d’agrégation et de catégorisation, la décision pour le traitement de l’évolution dans le temps, la description et le calage.

Figure 2.4 : Phases de la modélisation jusqu’à l’application du modèle b-1 Sélection des variables

Une des plus grandes difficultés dans la construction des modèles, et qui demeure le problème de base, est de décider quelles sont les variables et les relations importantes à inclure dans le modèle. Beaucoup de variables à inclure auront été déterminées lors de la définition du problème. Ce sont particulièrement les variables de sortie du modèle. Il y aura, cependant, des variables additionnelles qui bien qu’elles ne soient pas requises comme sortie du modèle, sont importantes parce qu’elles sont en relation avec les variables de sortie. S’il y a une relation importante de cause à effet entre une variable et une ou plusieurs des variables de sortie du modèle, alors celle-ci devrait être incluse dans la formulation du modèle. Le constructeur du modèle doit aussi avoir l’imagination et la capacité de choisir les facteurs qu’il croit être importants, en se basant évidemment sur sa connaissance de la situation.

b-2 Niveau d’agrégation et méthode de classification

Une fois qu’il a été décidé d’inclure une variable, on doit décider comment la classifier et quel niveau d’agrégation est approprié. Le niveau d’agrégation qui est acceptable au développement d’un modèle dépend fondamentalement des réponses apportées aux deux questions suivantes :

Définition du problème

Formulation du modèle initial

Validation Simulation

Application du modéle Re-formulation du

modèle Satisfaisante

Non Oui

- la question à laquelle le modèle doit répondre peut-elle être résolue en termes de variables qui soient agrégées ?

- les relations du monde réel peuvent-elles être adéquatement représentées par les agrégats ? b-3 Le traitement du temps

La façon dont le temps est incorporé dans le modèle est un des points les plus critiques dans l’établissement d’un modèle. Il est aussi malheureusement un des plus difficiles. Il y a deux aspects du traitement du temps qui sont significatifs; le premier est essentiellement une considération de planification et est relié à la période pendant laquelle le modèle sera utilisé. Le second aspect se rapporte à la manière dont le temps sera considéré à l’intérieur du modèle et ceci est beaucoup plus difficile. C’est en partie matière à considération pour le planificateur et aussi en partie une question d’établissement du modèle. Des modèles décrivant une situation qui change continuellement devraient être une meilleure représentation du système que les modèles décrivant un système à un temps donné seulement. Il est aussi désirable d’avoir des résultats à partir des modèles pour des points intermédiaires dans le temps de telle sorte que l’on pourra établir la façon dont le système se comportera dans le temps. Cependant, le développement et l’opération de modèles qui changent continuellement (modèle dynamique) sont beaucoup plus difficiles que la construction de modèles statiques, c’est-à-dire qui sont en équilibre. Bien que l’attention se porte maintenant sur des systèmes dynamiques, presque tous les modèles qui ont été utilisés jusqu’à maintenant sont des modèles de type statique.

b-4 Description

Jusqu’à maintenant, des décisions ont été prises à propos des buts pour lesquels le modèle sera utilisé. Le besoin de spécifier la variable à inclure et de choisir sur le niveau approprié d’agrégation et la méthode de classification pourra forcer le constructeur du modèle à faire certaines hypothèses à propos de la structure et du comportement du phénomène qu’il essaie de reproduire.

L’étape suivante dans la construction du modèle implique une description explicite de l’hypothèse (ou des hypothèses du comportement du système) et la traduction de ces hypothèses en termes mathématiques. Une façon évidente de démarrer est d’établir une description verbale du système dont on se préoccupe. Ce modèle verbal décrira les caractéristiques importantes du système et comment elles interagissent les unes avec les autres. Il déterminera ce qui est raisonnable pour les hypothèses concernant la structure du système et son comportement.

Lorsqu’elle sera complète, la description verbale peut alors être traduite en termes mathématiques pour le modèle. Ce sera rarement un processus direct. Cette étape implique le choix des techniques mathématiques les plus appropriées.

b-5 Calage du modèle

La description du modèle en termes mathématiques inclura normalement des constantes ou des paramètres qui ajoutent des dimensions aux relations du modèle. Si la forme et la structure du modèle sont satisfaisantes, c’est-à-dire que si le modèle a déjà été utilisé et qu’il a prouvé son efficacité dans des occasions précédentes, le calage est relativement un processus direct pour déterminer les valeurs de paramètres qui permettront d’obtenir le meilleur ajustement entre le modèle et la situation observée. Quand un nouveau modèle doit être élaboré, les procédures de calage ne peuvent être conçues aussi simplement et doivent être choisies de deux étapes, soit la simulation et la validation. Dans ce cas, les ajustements concernent autant les relations de base et la structure du modèle que la définition des valeurs des paramètres et un concept simple de calage n’est pas approprié.

2.5.3 Simulation et validation du modèle

Une fois que la formulation initiale du modèle est achevée, sa capacité à reproduire les caractéristiques et le comportement du système réel doit être vérifiée. Il est important de réaliser que des détails de la formulation du modèle ont pu être modifiés ou que la compréhension du système n’était pas tout à fait exacte. Alors, une simulation sur calculateur avec le modèle initial peut contribuer à mieux comprendre le système. Le résultat d’une telle simulation pourra conduire à modifier ou changer la formulation initiale. Ceci pourrait être le cas, par exemple, quand les résultats d’une relation particulière à l’intérieur du modèle produisent des résultats qui semblent irraisonnables si l’on se base sur des données ou l’expérience du passé. Si cela devait arriver, alors une recherche en profondeur sur la forme de cette relation peut s’avérer nécessaire (ceci pourrait impliquer en plus une acquisition de données supplémentaires). Alors, on devra vérifier à nouveau le modèle en fonction des nouvelles données. Cette procédure itérative qui est le cœur même du processus de construction d’un modèle implique des vérifications fréquentes sur la validité du modèle. La partie de validation du modèle est extrêmement difficile. En général, il y a peu de domaines où l’on a une information parfaite. Ainsi, nous ne pouvons jamais vraiment prouver qu’un modèle est une exacte reproduction de la réalité. De plus, il est souvent difficile de valider un modèle en raison de la limitation et de la quantité des données disponibles.

En pratique, puisqu’il est impossible de dire si le modèle est une représentation exacte de la réalité, la validation devient alors une question de jugement. Ainsi, la justesse du modèle sera jugée en fonction de l’image mentale ou de diverses autres représentations que l’on aurait pu utiliser à sa place. La question n’est plus seulement de savoir si le modèle est tout simplement valide ou pas. On peut penser qu’un modèle est réussi s’il aide à améliorer l’exactitude avec laquelle nous pouvons représenter la réalité. Vérifier la qualité de l’ajustement dans ce contexte est une étape critique dans le développement du modèle. Il s’agit de mesurer l’aptitude du modèle à répéter la performance du monde réel qu’il représente dans les limites qui sont acceptables. La validation ou l’évaluation de la qualité de l’ajustement du modèle sont en quelque sorte une assurance que le modèle fait ce pour quoi il a été construit. Il y a quatre critères de base qui peuvent permettre d’évaluer un modèle :

c- 1 Exactitude

On jugera, évidemment, qu’il est plus vraisemblable qu’un modèle donne une évaluation correcte du futur s’il peut recréer la situation actuelle d’une façon correcte. L’exactitude de la performance du modèle peut être évaluée avec l’aide de calculs statistiques en fonction de la structure du modèle qui est utilisé. On comparera alors certains comportements critiques du modèle face aux mêmes comportements dans le monde réel.

c-2 Validité

Bien que l’exactitude en termes de comportement du système soit d’une importance évidente, la validité de la structure du modèle en termes de relation entre les variables est au moins égale, sinon d’une plus grande importance. L’importance de la structure du modèle tient au fait que si toutes les composantes du système sont adéquatement décrites dans le modèle et que si les interrelations sont adéquatement définies, alors la performance du modèle peut difficilement ne pas être exacte. En d’autres mots, il n’est pas impossible qu’une variété de combinaisons incorrectes de composantes et/ou de relations produisent un comportement apparemment exact si on le compare au système existant. Cependant, il est peu probable qu’une structure invalide fournisse un guide valide pour le comportement futur du système. Chaque équation dans le modèle doit au mieux exprimer une relation directe de cause à effet entre les variables qui sont incorporées dans le modèle. Le problème est de savoir comment identifier la chaîne de cause à effet dans une situation complexe. Cependant, le comportement du modèle sera vraisemblablement correct s’il est formulé sur la base d’hypothèses bien pensées qui ont été soumises à des essais rigoureux.

c-3 Constance

Ce critère n’affecte pas la valeur du modèle comme modèle descriptif, mais il est d’une importance critique quand le modèle doit être utilisé pour des prédictions. Ce critère concerne l’aptitude des relations qui existent présentement à demeurer constantes au cours du temps. Pour certaines relations, il n’est pas évident de penser qu’elles vont changer ou de nier cette possibilité. Il y en a ou l’on peut déceler des facteurs qui, n’étant pas inclus présentement dans le modèle, auront une importance beaucoup plus grande dans le futur. De plus, il peut aussi y avoir des changements dans l’importance de chacune des variables qui sont déjà incluses dans le modèle.

c-4 Disponibilité d’estimations des variables

L’aptitude d’un modèle à pouvoir prédire ou non le futur repose essentiellement sur la possibilité d’estimer des valeurs futures pour les variables principales. Une des considérations que l’on doit toujours garder à l’esprit durant la description des variables qui doivent être incluses dans le modèle est la facilité et la précision avec lesquelles elles peuvent être évaluées ou prédites. Évidemment, il est peu utile d’avoir un modèle qui décrive très bien une situation

existante, mais qui, lorsqu’il est utilisé pour prédire, repose sur des variables dont les valeurs futures ne sont rien de mieux que des suppositions.

2,6 Types de modèles utilisés en pratique

Les différents types de modèles utilisés en pratique se regroupent en quatre principales catégories établies d’après les fonctions de base des modèles qui sont liées à la nature de l’utilisation de ceux-ci :

· Une fonction cognitive : le modèle sert à représenter les relations qui existent entre variables d’entrée et variables de sortie du système.

· Une fonction prévisionnelle : le modèle sert à prévoir comment évolueront les variables de sortie du système en fonction de l’évolution probable des variables externes et d’hypothèses de fixation des variables de commande.

· Une fonction décisionnelle : le modèle sert à déterminer comment fixer les variables de commande pour atteindre les objectifs que l’on s’est fixés sur les variables de sortie, compte tenu de l’évolution probable des variables externes.

· Une fonction normative : le modèle sert à représenter les relations souhaitables entre variables d’entrée et de sortie du système.

Il faut ajouter que ce ne sont pas là les seules fonctions des modèles. À ces quatre fonctions primaires, on peut associer d’autres fonctions liées plus profondément à l’utilisation des modèles : fonction pédagogique, fonction de recherche, fonction de concertation, fonction idéologique.

2.6.1 Les modèles cognitifs

Au sens large, un modèle cognitif a pour fonction de fournir une représentation plus ou moins conforme d’un système existant, mettant en évidence certaines de ses propriétés et permettant éventuellement d’en déduire d’autres (modèle explicatif). Au sens restreint, un modèle cognitif doit fournir une relation aussi bonne que possible entre les entrées et les sorties du système et, en particulier, préciser l’influence relative des diverses variables d’entrée (modèle descriptif) (figure 2.5) :

Figure 2.5 : Schéma du modèle cognitif

On ne peut se construire un modèle cognitif de complexité donnée d’un système que si l’on possède une information qualitativement adéquate et quantitativement suffisante du système.

Plus précisément, on dira qu’un système est identifiable si, sur une période donnée, l’observation de xt et yt, variables d’entrée et de sortie, et la connaissance de mt, variable de commande, permettent de déterminer F de façon univoque.

2.6.2 Modèles prévisionnels

Au sens large, un modèle prévisionnel a pour fonction, à partir de la connaissance d’un système dans des situations données, d’inférer son comportement dans des situations non encore observées (modèle de simulation). Au sens restreint, un modèle prévisionnel doit permettre, à partir de la connaissance des variables d’entrée et de la relation entrée-sortie du système, d’évaluer la valeur des sorties dans le futur (modèle de prévision) (figure 2.6).

Figure 2.6 : Schéma du modèle prévisionnel

On ne peut construire un modèle prévisionnel que si l’on est capable de mettre en évidence des invariants du système assez profonds pour pouvoir être généralisés dans des domaines non encore explorés. Plus précisément, on dira qu’un système est prévisible si, sur une période donnée, la connaissance de mt, l’extrapolation de xt et la stabilité temporelle de F permettent de déterminer yt.

F ?

Xt

mt

Yt

F

Xt

mt

Tout modèle prévisionnel admet un degré de validité qui est d’autant meilleur que l’on utilise le modèle dans des situations plus proches de celles où il a été testé. Dans le cas d’un modèle analytique aléatoire, la marge d’erreur de la sortie peut être précisée en fonction des variables d’entrée prévues et de l’horizon considéré.

2.6.3 Modèles décisionnels

Au sens large, un modèle décisionnel a pour fonction de fournir à un décideur des informations lui permettant d’éclairer une décision visant à modifier le système (modèle de décision). Au sens restreint, un modèle décisionnel doit permettre de fournir les valeurs optimales des variables de commande au regard de certains objectifs, compte tenu des variables d’entrée (modèle d’optimisation) (figure 2.7).

Figure 2.7 : Schéma du modèle décisionnel

On ne peut atteindre certains objectifs pour un système que si l’on possède, outre une connaissance suffisante de l’état futur du système, des moyens d’action qualitativement adaptés et quantitativement assez puissants. Plus précisément, on dira qu’un système est commandable si, sur une période donnée, il existe, pour des valeurs données de xt, des valeurs de mt permettant d’atteindre les objectifs sur yt (en particulier, de maintenir ou d’atteindre un état donné).

2.6.4 Modèles normatifs

Au sens large, un modèle normatif a pour fonction de fournir une représentation plus ou moins idéale d’un système à créer, mettant en évidence certaines de ses propriétés souhaitables (modèle prescriptif). Au sens restreint, un modèle normatif doit fournir une épure d’un système reliant en fonction de certaines propriétés des entrées et des sorties (modèle constructif) (figure 2.8).

Figure 2.8 : Schéma du modèle normatif

On ne peut construire un système d’après un modèle normatif que si ce système est physiquement cohérent et socialement acceptable et s’il existe un moyen de l’assembler à partir d’éléments existants et à l’aide de techniques existantes. Plus précisément, on dira qu’un système est réalisable si, sur une période donnée, la donnée de xt, mt et yt permet de définir une fonction F

F

Xt

mt

?

Yt

F ?

Xt

mt

Yt

qui puisse les rendre compatibles.

2,7 CONCLUSION

La modélisation est un art et il n’y a pas de règles précises qui régissent l’établissement d’un modèle. Comme on l’a vue précédemment, la modélisation est une démarche basée sur la perception, la connaissance et la compréhension de l’objet de la modélisation. Si, dans cette démarche, les objectifs sont bien fixés, la description des processus exprimée clairement, ainsi que les hypothèses qui les sous-tendent, il serait surprenant que le modèle ne soit pas bon.

Comme cette démarche est très personnalisée, il est aussi normal de retrouver de nombreux modèles. Enfin, si l’on retrouve dans la littérature un si grand nombre de modèles pour un même problème, cela démontre bien que ''LE MODÈLE'' n’a pas encore été inventé et qu’il y a du travail pour les modélisateurs.