E634 Les plans de table du patriarche [**** à la main et avec ordinateur]
Solution de Pierre Henri Palmade .
A noter que la solution est unique et les deux tables sont ainsi composées : 99, 33, 41, 49, 57, 19, 27, 35, 43, 51, 59, 67, 75, 63, 83, 91 et 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48. Les entiers p et q correspondants valent 3 et 8.
Les âges autour d’une table donnée étant tous différents, la patriarche a nécessairement à sa droite un convive dont l’âge vaut
p
99 et à sa gauche un convive dont l’âge est 99 – q .L’entier p est donc un diviseur de 99, c’est à dire 3 ou 9 ou 11 ou 33. On désigne par A(i) l’âge du convive n°i, Avec A(1) âge du patriarche, les i croissants correspondent aux convives situés à la droite les uns des autres.
Examinons chacune des valeurs possibles de p :
p = 33. Le convive n°2 placé à droite du patriarche serait alors un très jeune enfant de 3 ans soit A(2) = 3 et A(3) l’âge du convive n°3 placé à sa droite serait nécessairement de la forme 3 + q. Pour passer de 3 + q à 99 – q, il y a 12 convives. S’il y a une progression arithmétique de 12 termes de raison q > 0, on aurait 3 + 12q = 99 – q. Pas de solution entière en q. Il faudrait donc au moins un âge intermédiaire A(j) divisible par 33 qui aurait pour voisin A(j+1) =
33
A(j). Par exemple si q = 30, A(3) = 33 et A(4) = 1 mais il n’y a pas de chemin
possible pour arriver à A(15) = 69. Si q = 15, A(4) = 33 et A(5) = 1, toujours pas de chemin possible entre A(5) et A(15) = 84. Si q = 10, A(5) = 33 et A(6) = 1, toujours pas de chemin possible entre A(5) et A(15) = 89. Si q = 6, A(7) = 33 et A58) =1, toujours pas de chemin possible entre A(5) et A(15) = 93,etc… Conclusion : la valeur p = 33 est à exclure.
p = 11.Il en résulte A(2) = 9. On fait le même raisonnement que précédemment en recherchant une progression arithmétique unique ou plusieurs progressions arithmétiques séparées par des divisions par 11.
