G10134. L’artifice du sondeur
Certaines questions des sondages d’opinion sont si indiscr`etes que les r´eponses risquent d’ˆetre mensong`eres. Un sondeur veut tourner cette dif- ficult´e par le proc´ed´e suivant.
L’enquˆeteur pr´esente `a la personne interrog´ee un disque de loterie bico- lore : un petit secteur (bleu par exemple) mentionnant “Faites une r´eponse mensong`ere” et un secteur compl´ementaire (blanc par exemple) mention- nant “Faites une r´eponse v´eridique”. L’enquˆet´e re¸coit l’instruction de faire tourner le disque de la loterie `a l’abri des regards et, selon que l’index de la loterie sera dans le secteur blanc ou dans le secteur bleu, de faire une r´eponse v´eridique ou mensong`ere `a la question qui va lui ˆetre pos´ee (avec r´eponse par oui ou non). Cette r´eponse sera enregistr´ee par l’enquˆeteur sans qu’il sache ce qu’aurait ´et´e la r´eponse sinc`ere.
a) Un ´echantillon den personnes interrog´ees ainsi a fournik r´eponses oui
`
a une certaine question. Sachant que le secteur bleu est une fraction θdu disque, estimez la proportionp, dans la population, des personnes dont la r´eponse sinc`ere `a cette question serait oui.
b) Quelle est la pr´ecision de cette estimation, mesur´ee par son ´ecart-type ? c) La mˆeme pr´ecision pourrait ˆetre obtenue avec un ´echantillon den0 per- sonnes, si l’on pouvait en obtenir des r´eponses sinc`eres. Evaluez le rapport n/n0, qui est une mesure du “coˆut” de ce proc´ed´e.
d) Application : n= 1000,θ= 0,15,p= 0,05 ou 0,30.
Solution
a) La probabilit´e d’obtenir une r´eponse oui est q= (1−θ)p+θ(1−p), doncp= (q−θ)/(1−2θ).
k/n=q∗ est un estimateur sans biais deq, qui fournit un estimateur sans biais dep:p∗= (k/n−θ)/(1−2θ).
b) k est une variable al´eatoire suivant la loi binˆomiale (n, q) et a pour
´ecart-type pnq(1−q). C’est aussi l’´ecart-type de k−nθ = np∗(1−2θ), d’o`u l’on tire l’´ecart-type de p∗ :
sp(1−p)
n + θ(1−θ) n(1−2θ)2.
La pr´ecision est meilleure siθ est petit, mais θne doit pas ˆetre trop petit pour rester cr´edible vis-`a-vis des sond´es.
c) Egalant cette derni`ere expression `a la mˆeme expression o`u on a rem- plac´e n par n0 et θ par 0 (r´eponses sinc`eres), on obtient n
n0
= 1 + θ(1−θ)
p(1−p)(1−2θ)2.
d) Avecn= 1000,θ= 0,15
– ´ecart-type dep∗: 0,0217 (2,17%) sip= 0,30 ; 0,0175 (1,75%) sip= 0,05.
–n/n0 = 2,239 si p= 0,30 ; 6,478 si p= 0,05.
–n0 = 446, . . .si p= 0,30 ; 154, . . . sip= 0,05.
1
