BLAISE PASCAL PT 2020-2021
Champ de force
central et conservatif
Plan du cours
I Champ de gravitation 3
I.1 Champ de gravitation créé par un astre. . . 3
I.2 Énergie potentielle gravitationnelle . . . 4
I.3 Analogies entre gravitation et électrostatique . . . 4
II Caractéristiques générales des mouvements dans un champ de force central conservatif 7 II.1 Planéité du mouvement . . . 7
II.2 Loi des aires . . . 7
II.3 Énergie potentielle effective . . . 8
II.4 Nature des trajectoires pour une interaction newtonienne . . . 9
III Système solaire et satellites 12 III.1 Observations expérimentales et culture générale . . . 12
III.2 Période du mouvement en orbite circulaire . . . 13
III.3 Énergie mécanique d’un satellite en orbite . . . 15
III.4 Vitesses cosmiques . . . 16
III.5 Satellite géostationnaire . . . 17
Au programme
Extrait du programme officiel de PTSI : partie 5 « Mécanique II », bloc 5 « Mouvements dans un champ de force centrale conservatif ».
Le bloc 5 est motivé par ses nombreuses applications. La nature conique des trajectoires étant affirmée, on se limite à discuter la nature de la trajectoire sur un graphe donnant l’énergie potentielle effective et on ne poursuit l’étude dans le cas d’un champ newtonien (lois de Kepler) que dans le cas d’une trajectoire circulaire.
Notions et contenus Capacités exigibles
Point matériel soumis à un unique champ de force central.
Déduire de la loi du moment cinétique la conservation du mo- ment cinétique.
Connaître les conséquences de la conservation du moment ci- nétique : mouvement plan, loi des aires.
Énergie potentielle effective. État lié et état de diffusion.
Exprimer la conservation de l’énergie mécanique et construire une énergie potentielle effective.
Décrire qualitativement le mouvement radial à l’aide de l’éner- gie potentielle effective. Relier le caractère borné du mouve- ment à la valeur de l’énergie mécanique.
Champ newtonien. Lois de Kepler. Énoncer les lois de Kepler pour les planètes et les transposer au cas des satellites terrestres.
Cas particulier du mouvement circulaire : satel-
lite, planète. Montrer que le mouvement est uniforme et calculer sa période.
Établir la troisième loi de Kepler dans le cas particulier de la trajectoire circulaire.
Satellite géostationnaire. Calculer l’altitude du satellite et justifier sa localisation dans le plan équatorial.
Notions et contenus Capacités exigibles Énergie mécanique dans le cas du mouvement cir-
culaire puis dans le cas du mouvement elliptique. Exprimer l’énergie mécanique pour le mouvement circulaire.
Vitesses cosmiques : vitesse en orbite basse et vi- tesse de libération.
Exprimer ces vitesses et connaître leur ordre de grandeur en dynamique terrestre.
Engras, les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.
Extrait du programme officiel de PT : partie 4 « Électromagnétisme », bloc 1 « Électrostatique ».
Les analogies entre l’électrostatique et la gravitation sont centrées sur l’application du théorème de Gauss.
Notions et contenus Capacités exigibles
Analogies avec la gravitation. Utiliser le théorème de Gauss dans le cas de la gravitation.
Engras, les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.
Ces cinq dernières années au concours
. Écrit : épreuve A 2016 et 2020.
. Oral : occasionnellement, surtout le théorème de Gauss gravitationnel.
Ce chapitre, à mi-chemin entre électromagnétisme et mécanique, a pour finalité d’étudier les mouvements des satellites et des planètes. Compte tenu de l’analogie formelle entre force gravitationnelle et force de Coulomb, les résultats seront transposables à certains mouvements de particules chargées autour d’une charge ponctuelle, par exemple celui des électrons autour du noyau dans un modèle classique d’atome. Nous présenterons peu de lois fondamentalement nouvelles, mais ce cours sera l’occasion de nombreux rappels de ce que vous connaissez déjà en mécanique.
I - Champ de gravitation
Exactement comme le champ électrostatique, le champ de gravitation est fondamentalement défini à partir de la force gravitationnelle.
Par définition du champ gravitationnel,
une particule-test de massemmaintenue immobile en un pointM subit de la part des autres masses présentes dans l’espace une force égale à
F#”g=m#”
G(M) soit #”
G(M) = F#”g
m .
I.1 - Champ de gravitation créé par un astre
A(m0)
M(m) Force gravitationnelle exercée par un astre de centre A et de masse m0 sur une particule testm située enM :
F#”A→M =−Gm0m AM2
#”uA→M =−Gm0m AM3
# ” AM F#”A→M =−Gm0m
AM2
#”uA→M =−Gm0m AM3
# ” AM F#”A→M =−Gm0m
AM2
#”uA→M =−Gm0m AM3
# ” AM
toto Espace 1
G= 6,67·10−11N·m2·kg−2 est laconstante de gravitation universelle, aussi appeléeconstante de Cavendish.
Remarque culturelle : Cette expression a été proposée par Isaac Newton dans les années 1680 en se fondant sur les lois de Kepler, établies expérimentalement au début du XVIIe siècle. Kepler avait bien compris qu’une force d’attraction existait entre le Soleil et les planètes, mais pensait qu’elle était de nature magnétique.
Champ gravitationnel créé par l’astre de massem0: G#”A(M) =−G m0 AM3
# ” AM G#”A(M) =−G m0
AM3
# ” AM G#”A(M) =−G m0
AM3
# ” AM
toto Espace 2
Écriture plus naturelle dans ce cas particulier : coordonnées sphériques d’origineO=A. G#”A(M) =−Gm0 r2
#”er G#”A(M) =−Gm0
r2
#”er
G#”A(M) =−Gm0
r2
#”er
toto Espace 3
on se place dans cette hypothèse pour toute la suite : le champ gravitationnel ressenti au pointM n’est dû qu’à un seul astreAde centreO.
Remarque : assimiler un astre comme le Soleil à une masse ponctuelle peut poser question ... mais c’est parfaitement justifié, via le théorème de Gauss gravitationnel.
On appellechamp de force centralun champ de force
dont la droite d’action en tout pointM de l’espace passe par un même point appelécentre de force.
Le champ gravitationnel créé par un astre est un champ de force central dont le centre de force est le centre de l’astre.
Le champ gravitationnel créé par un astre est un champ de force central dont le centre de force est le centre de l’astre.
Le champ gravitationnel créé par un astre est un champ de force central dont le centre de force est le centre de l’astre.
toto Espace 4
I.2 - Énergie potentielle gravitationnelle
Déplacement élémentaire en coordonnées sphériques : dM# ”= dr#”er+rdθ#”eθ+rsinθdϕ#”eϕ
# ”
dM = dr#”er+rdθ#”eθ+rsinθdϕ#”eϕ
# ”
dM = dr#”er+rdθ#”eθ+rsinθdϕ#”eϕ
toto Espace 5
Travail de la force gravitationnelle lorsque la particule test se déplace de # ” dM : δWg=#”
Fg·# ”
dM =−Gm0m r2 dr
ce qui peut s’identifier à la différentielle d’une énergie potentielle,δWg=−dEp,g : en effet,
−dEp,g=−Gm0m
r2 dr soit dEp,g
dr =Gm0m
r2 d’où Ep,g=−Gm0m r + cte
δWg=#”
Fg·# ”
dM =−Gm0m r2 dr
ce qui peut s’identifier à la différentielle d’une énergie potentielle,δWg=−dEp,g : en effet,
−dEp,g=−Gm0m
r2 dr soit dEp,g
dr =Gm0m
r2 d’où Ep,g=−Gm0m r + cte
δWg=#”
Fg·# ”
dM =−Gm0m r2 dr
ce qui peut s’identifier à la différentielle d’une énergie potentielle,δWg=−dEp,g : en effet,
−dEp,g=−Gm0m
r2 dr soit dEp,g
dr =Gm0m
r2 d’où Ep,g=−Gm0m r + cte
toto Espace 6
Le champ gravitationnel est unchamp de force conservatif:
la force gravitationnelle ressentie par une massemdérive de l’énergie potentielle gravitationnelle Ep,g=−Gm0m
r
en choisissant comme référence d’énergie potentielleEp,g(r→ ∞) = 0.
de même que l’expression de l’énergie potentielle s’obtient à partir de la force, on peut retrouver la force à partir de l’énergie potentielle :
F#”g=−dEp,g dr
#”er=−grad# ”Ep,g. F#”g=−dEp,g
dr
#”er=−# ” gradEp,g. F#”g=−dEp,g
dr
#”er=−# ” gradEp,g.
toto Espace 7
Remarque :le signe est présent dans l’expression de la force et dans celle de l’énergie potentielle.
I.3 - Analogies entre gravitation et électrostatique
a) Le champ coulombien est un champ de force central conservatif
La force de Coulomb et la force gravitationnelle présentent une écriture analogue : une particule P de charge q0 (resp. massem0) exerce une force sur une particule testM de chargeq(resp. massem) qui s’écrit
F#”C,P→M = 1 4πε0
q0q P M3
# ”
P M ←→ #”
Fg,P→M =−Gm0m P M3
# ” P M .
La dépendance des forces vis-à-vis des pointsP et M étant identique, les résultats établis pour le champ gravi- tationnel sont également valables pour lechamp coulombien, en faisant les correspondances suivantes :
1 4πε0
←→ −G et q0, q←→m0, m 1
4πε0 ←→ −G et q0, q←→m0, m
toto Espace 8
Le champ coulombien est un champ de force central conservatif, dérivant de l’énergie potentielle Ep,C= 1
4πε0
q0q r Ep,C= 1
4πε0
q0q r Ep,C= 1
4πε0
q0q r
toto Espace 9
b) Potentiel gravitationnel (hors programme)
Nous avons justifié au chapitre précédent que le champ électrostatique E#”dérivait du potentiel électrostatiqueV à partir de l’équation de Maxwell-Faraday, mais cela se retrouve également à partir de la force de Coulomb. En effet,
E#”=−# ”
gradV ⇐⇒ #”
FC=q#”
E=−# ” grad(qV)
mais comme la force de Coulomb dérive de l’énergie potentielle (coulombienne !), on en déduit par identification des deux expressions
Ep,C=qV ⇐⇒ V =Ep,C
q , ce qui peut constituer une définition du potentiel électrostatique.
Par analogie, on peut définir lepotentiel gravitationnel, souvent notéU, par U = Ep,g
m ⇐⇒ F#”g=−# ”
grad(mU) =−m# ” gradU et identifier le champ gravitationnel sous la forme
G#”=−grad# ”U .
Les propriétés du gradient permettent alors de retrouver « l’équation de Maxwell-Faraday gravitationnelle » sous la forme
rot# ”#”
G= #”0 car le rotationnel d’un gradient est toujours nul.
c) Théorème de Gauss gravitationnel
Comme la loi de force est la même, le champ gravitationnel vérifie les mêmes propriétés de symétrie que le champ électrique ... mais évidemment comme une masse est toujours positive il n’y a pas de plan d’antisymétrie de la distribution de masse.
D’autre part, le champ gravitationnel vérifie un analogue du théorème de Gauss, en faisant de nouveau les mêmes correspondances :
1 4πε0
←→ −G donc Qint
ε0
←→ −4πGMint
1
4πε0 ←→ −G donc Qint
ε0 ←→ −4πGMint
toto Espace 10
Théorème de Gauss gravitationnel :
Le flux sortant du champ gravitationnel au travers d’une surface de Gauss est relié à la masse contenue à l’intérieur de cette surface,
‹
SG
G#”·dS# ”=−4πGMint.
‹
SG
G#”·# ”
dS=−4πGMint.
‹
SG
G#”·dS# ”=−4πGMint.
toto Espace 11
Retour sur le modèle de l’astre ponctuel :
. en électrostatique : à l’extérieur de la distribution, le champ créé par une distribution à symétrie sphérique de charge totale qtot est identique à celui créé par une charge ponctuelleqtot placée au centre de la distribution.
. en gravitation :par analogie,
le champ gravitationnel créé par un astre à symétrie sphérique de masse m0 est identique à celui créé par une masse ponctuelle m0placée au centre de l’astre.
le champ gravitationnel créé par un astre à symétrie sphérique de masse m0 est identique à celui créé par une masse ponctuelle m0placée au centre de l’astre.
le champ gravitationnel créé par un astre à symétrie sphérique de masse m0 est identique à celui créé par une masse ponctuelle m0placée au centre de l’astre.
toto Espace 12
le modèle « d’astre ponctuel » est en fait un modèle d’astre sphérique, ce qui est une bonne approximation pour le Soleil, la Terre, et plus généralement la plupart des objets célestes.
d) Récapitulatif des analogies entre électrostatique et gravitation
Électrostatique Gravitation
Force de Coulomb : Force gravitationnelle :
F#”C,P→M = 1 4πε0
q0q r2
#”er=q#”
E(M) #”
Fg,P→M =−Gm0m r2
#”er=m#”
G(M) Énergie potentielle coulombienne : Énergie potentielle gravitationnelle :
Ep,C= 1 4πε0
q0q
r Ep,g=−Gm0m
r
Charge électriqueq Massem
Densité volumique de chargeρ Masse volumiqueµ
1
4πε0 −G
ε0 − 1
4πG
Équations de Maxwell : Équations locales du champ gravitationnel : divE#”= ρ
ε0 div#”
G=−4πGµ rot# ”E#”= #”0 ⇐⇒ E#”=−grad# ”V rot# ”G#”=#”0 ⇐⇒ G#”=−grad# ”U
Théorème de Gauss :‹ Théorème de Gauss gravitationnel :
SG
E#”·# ” dS= Qint
ε0
‹
SG
G#”·# ”
dS=−4πGMint
e) Généralisation : champ newtonien
On appellechamp newtonienun champ de force central conservatif tel que F#”=−K
r2
#”er ⇐⇒ Ep=−K
r + cte, laconstante de forceKétant de signe quelconque.
En pratique, les deux seuls champs de force newtoniens sont le champ gravitationnel et le champ coulombien ...
mais il existe d’autres champs de force centraux et conservatifs que les champs newtoniens.
Exemple :force de rappel d’un ressort.
II - Caractéristiques générales des mouvements dans un champ de force central conservatif
L’objectif de ce paragraphe est de dégager les caractéristiques générales des mouvements possibles dans un champ de force central conservatif.
on s’intéresse au mouvement d’un point matérielM de massem, soumis à une seule force centrale conserva- tiveF#”=Fr(r)#”er.
Le mouvement est étudié dans un référentiel galiléenR, qu’on ne précisera pas pour ne pas perdre en généralité : en fonction des cas, il peut s’agir du référentiel géocentrique, héliocentrique, lié au noyau d’un atome, etc.
II.1 - Planéité du mouvement
Moment de la force #”
F par rapport au centre de forceO : M# ”O(#”
F) =# ” OM∧#”
F =r#”er∧Fr#”er=#”0 M# ”O(F#”) =OM# ”∧F#”=r#”er∧Fr#”er= #”0 M# ”O(#”
F) = # ” OM∧#”
F =r#”er∧Fr#”er= #”0
toto Espace 13
Théorème du moment cinétique : d#”
LO,M/R dt =# ”
MO(#”
F) =#”0 d#”
LO,M/R dt = # ”
MO(#”
F) = #”0
toto Espace 14
Le moment cinétique #”
LO par rapport au centre de forceO se conserve au cours du mouvement : on dit qu’il s’agit d’uneintégrale première du mouvement.
Conséquence :
par définitionL# ”O=OM# ”∧#”pM doncOM# ”⊥L#”O, et commeL# ”Ogarde une direction constante alorsM est toujours situé dans le plan perpendiculaire à #”LO et passant parO.
par définition # ” LO = # ”
OM ∧#”pM donc # ” OM ⊥ #”
LO, et comme # ”
LO garde une direction constante alors M est toujours situé dans le plan perpendiculaire à #”
LO et passant parO.
par définition # ” LO = # ”
OM ∧#”pM donc # ” OM ⊥ #”
LO, et comme # ”
LO garde une direction constante alors M est toujours situé dans le plan perpendiculaire à #”
LO et passant parO.
toto Espace 15
Les mouvements dans un champ de force central sont toujours plans.
en appliquant ce résultat à la gravitation, on comprend pourquoi le mouvement de la Terre et des planètes autour du Soleil est plan.
Remarque :L’idée est à retenir : montrer qu’un mouvement est plan revient à montrer que le moment cinétique est une constante du mouvement.
II.2 - Loi des aires
Comme le mouvement est plan, les coordonnées sphériques ne sont pas les plus adaptées : dans toute la suite, on utilisera des coordonnées cylindriques de centreO et d’axeztel que #”
LO =LO#”ez. Expression de #”
LO dans ces coordonnées :
# ”
OM =r#”erdonc #”v = ˙r#”er+r#”e˙r= ˙r#”er+rθ˙#”eθ
et ainsi #”
LO= # ”
OM∧m#”v =m(r#”er)∧( ˙r#”er+rθ˙#”eθ) soit L#”O=mr2θ˙#”ez
# ”
OM =r#”er donc #”v = ˙r#”er+r#”e˙r= ˙r#”er+rθ˙#”eθ et ainsi #”LO=OM# ”∧m#”v =m(r#”er)∧( ˙r#”er+rθ˙#”eθ) soit #”
LO=mr2θ˙#”ez
# ”
OM =r#”er donc #”v = ˙r#”er+r#”e˙r= ˙r#”er+rθ˙#”eθ
et ainsi #”
LO= # ”
OM∧m#”v =m(r#”er)∧( ˙r#”er+rθ˙#”eθ) soit #”
LO=mr2θ˙#”ez
toto Espace 16
On appelleconstante des airesla quantité conservée C=r2θ˙
Sens physique de la constante des aires : pour comprendre, on raisonne sur le cas particulier d’un mouvement circulaire, mais le résultat est général.
O M =M(t)
M0=M(t+ dt)
H dθ
Aire balayée par le vecteur # ”
OM pendant dt'aire du triangle.
dA= OM×HM0
2 = r×rsin(dθ)
2 ' 1
2r2dθ= 12r2θ˙dt=1 2Cdt dA= OM×HM0
2 = r×rsin(dθ)
2 ' 1
2r2dθ= 12r2θ˙dt=1 2Cdt dA= OM×HM0
2 = r×rsin(dθ)
2 ' 1
2r2dθ= 12r2θ˙dt=1 2Cdt
toto Espace 17
Loi des aires : L’aire balayée par le rayon vecteur # ”
OM pendant une durée ∆tne dépend que de ∆t, mais ni de la distance rdu pointM au centre de force ni de la massemdu point en mouvement.
Remarque :On définit parfois la vitesse aréolaire vA= dA
dt =C 2 .
La loi des aires indique alors que la vitesse aréolaire est une constante, indépendante der.
La loi des aires est la deuxième loi de Kepler. Kepler l’a découverte dans le contexte de l’astronomie, mais elle est beaucoup plus générale : jusqu’ici, aucune hypothèse n’a été faite sur la nature exacte de la force.
II.3 - Énergie potentielle effective
Le point matériel étudié n’est soumis par hypothèse qu’à la force centrale conservative #”
F, qui dérive de l’énergie potentielleEp(r). Son énergie mécanique est donc constante, Em=Ec+Ep= 1
2m( ˙r2+r2θ˙2) +Ep(r) Em=Ec+Ep= 1
2m( ˙r2+r2θ˙2) +Ep(r) Em=Ec+Ep= 1
2m( ˙r2+r2θ˙2) +Ep(r)
toto Espace 18
L’analyse qualitative d’un mouvement (positions d’équilibre, positions accessibles à partir d’une condition initiale donnée, nature fermée ou ouverte des trajectoires, etc.) est facile à mener dans le cas d’un seul degré de liberté ... or ici il y en a deux,retθ.
la loi des aires permet de les relier l’un à l’autre, et donc de se ramener au cas d’un seul degré de liberté apparent.
En effet : C=r2θ˙ donc ˙θ= C r2 Ainsi,Em=1
2mr˙2+1 2mr2C2
r4 +Ep(r) soit encoreEm=1
2mr˙2+1 2mC2
r2 +Ep(r)
identifier l’énergie cinétique radiale et l’énergie potentielle effectiveEp?(r) En effet :C=r2θ˙donc ˙θ= C
r2 Ainsi,Em=1
2mr˙2+1 2mr2C2
r4 +Ep(r) soit encoreEm=1
2mr˙2+1 2mC2
r2 +Ep(r)
identifier l’énergie cinétique radiale et l’énergie potentielle effectiveEp?(r)
En effet :C=r2θ˙donc ˙θ= C r2 Ainsi,Em=1
2mr˙2+1 2mr2C2
r4 +Ep(r) soit encoreEm=1
2mr˙2+1 2mC2
r2 +Ep(r)
identifier l’énergie cinétique radiale et l’énergie potentielle effectiveEp?(r)
toto Espace 19
pour se ramener à une forme effective à un degré de liberté, un terme d’énergie cinétique est regroupé avec l’énergie potentielle pour former l’énergie potentielle effective E?p(r).
L L L Attention !L’identification est seulement formelle :Ep? n’est pas une vraie énergie potentielle, en particulier il n’y a aucune force associée.
Remarque :pour s’en convaincre, on peut constater qu’elle dépend viaC des conditions initiales, ce qui n’est pas du tout le cas d’une vraie énergie potentielle.
II.4 - Nature des trajectoires pour une interaction newtonienne
Lorsque la particule est contrainte à demeurer dans un domaine de l’espace restreint autour du centre de force, elle est ditedans un état lié.
Au contraire, si elle peut s’en éloigner à l’infini, elle est ditedans un état de diffusion.
a) Préambule mathématique : quelques mots sur les coniques
Ce paragraphe complète (ou est complété par) l’animation Geogebra mise en ligne sur le site de la classe. Les seules notions au programme de physique concernent la définition d’une ellipse en terme de grand et petit axe et d’équation cartésienne. Le reste relève du cours de mathématiques !
• Définition géométrique par foyer et directrice
∆ Considérons dans un plan une droite ∆ et un point F /∈ ∆. On appelle coniquede droite directrice ∆, de foyerF et d’excentricitée≥0 l’ensemble des points M du plan tels que la distance de M à F soit égale à la distance de M à ∆ multipliée par e : d(M, F) = e d(M,∆). La nature de la conique change en fonction de l’excentricité,
. e= 0 :cercle;
. 0< e <1 :ellipse, courbe fermée ;
. e= 1 :parabole, courbe ouverte « fermée à l’infini » ;
. e >1 :hyperbole, courbe ouverte comportant deux branches.
Les coniques symétriques par rapport à un axe (ellipses et hyperboles) pos- sèdent deux droites directrices et deux foyers, eux-mêmes symétriques par rap- port à cet axe.
• Équation en coordonnées cartésiennes
Toutes les coniques sont décrites en coordonnées cartésiennes par des équations de degré 2 au plus, de la forme ax2+bxy+cy2+d= 0. En particulier,
R R
a b
. Équation cartésienne d’un cercle de rayonR de centreO : x2
R2 + y2 R2 = 1
. Équation cartésienne d’une ellipse de centreO: une ellipse est un « cercle dilaté » x2
a2 +y2 b2 = 1
oùaest ledemi grand axe etb < aledemi petit axe de l’ellipse.
• Équation en coordonnées polaires
Dans un repère polaire dont l’origine coïncide avec un foyer, toutes les coniques sont décrites par une équation de la forme
r(θ) = p 1 +ecosθ
où e est l’excentricité de la conique, qui donne sa nature, et p >0 est appelé paramètre de la conique, qui décrit qualitativement sa taille.
b) Nature de la trajectoire pour une interaction newtonienne répulsive : état de diffusion
• Exemple de situation
Force de Coulomb entre deux charges de même signe, q0 placée en O et la particule-test de charge q placée à distancer.
F#”(r) = 1 4πε0
q0q r2
#”ur Ep(r) = 1 4πε0
q0q
r Ep,eff(r) = 1
2mC2 r2 + 1
4πε0 q0q
r .
• Signe et variations
Ep,eff est toujours positive et décroissante, voir figure 1.
• Domaine accessible à la particule
Comme ˙r2>0, les positions accessibles sont les rayonsrtqEm> Ep,eff, hachurer.
Comme ˙r2>0, les positions accessibles sont les rayonsrtqEm> Ep,eff, hachurer.
Comme ˙r2>0, les positions accessibles sont les rayonsrtqEm> Ep,eff, hachurer.
toto Espace 20
Plus de calculs permettraient de montrer que la trajectoire est une hyperbole dont le centre de forceOest le foyer extérieur.
Ep,eff
r Em
rmin
x y
O
M(t) r(t)
θ(t) rmin
Figure 1– Énergie potentielle et trajectoire.Cas d’une interaction newtonienne répulsive.
c) Nature des trajectoires pour une interaction newtonienne attractive
• Exemple de situation
Force gravitationnelle entre deux masses,m0 placée enO et la particule-test de massemplacée à distance r.
F#”(r) =−Gm0m r2
#”ur Ep(r) =−Gm0m
r Ep,eff(r) = 1
2mC2
r2 − Gm0m r .
• Signe et variations
. pour rpetit : terme en 1/r2dominant, doncEp,eff décroissante, tendant vers +∞en 0 terme en 1/r2 dominant, doncEp,eff décroissante, tendant vers +∞en 0
terme en 1/r2 dominant, doncEp,eff décroissante, tendant vers +∞en 0
toto Espace 21
. pour rgrand : terme en −1/rdominant, doncEp,eff croissante, tendant vers 0 en +∞
terme en −1/rdominant, doncEp,eff croissante, tendant vers 0 en +∞
terme en −1/rdominant, doncEp,eff croissante, tendant vers 0 en +∞
toto Espace 22
. conséquence sur l’allure de la courbe : passage par un minimum négatif passage par un minimum négatif
passage par un minimum négatif
toto Espace 23
Ce minimum est atteint enr0= C2 m0G.
• Cas Em>0 : état de diffusion
La trajectoire suivie par le point matériel M est une branche d’hyperbole dont le centre de force O est le foyer intérieur, voir figure 2.
Ep,eff
r Em
rmin
x y
O M(t)
r(t) θ(t) rmin
Figure 2 –Énergie potentielle effective et trajectoire.Cas d’une interaction newtonienne attractive avecEm>0.
Comment interpréter que la trajectoire soit bornée pourrpetit ?
La force ne devient pas répulsive ! Il faut se rappeler qu’on considère une énergie potentielle effective : le terme en 1/r2qui diverge est lié à l’énergie cinétique. Lorsquerdiminue, la vitesse augmente beaucoup, et donc on atteint la limite imposée parEm.
La force ne devient pas répulsive ! Il faut se rappeler qu’on considère une énergie potentielle effective : le terme en 1/r2 qui diverge est lié à l’énergie cinétique. Lorsquerdiminue, la vitesse augmente beaucoup, et donc on atteint la limite imposée parEm.
La force ne devient pas répulsive ! Il faut se rappeler qu’on considère une énergie potentielle effective : le terme en 1/r2 qui diverge est lié à l’énergie cinétique. Lorsquerdiminue, la vitesse augmente beaucoup, et donc on atteint la limite imposée parEm.
toto Espace 24
• Cas Em= 0: état de diffusion
La trajectoire suivie par le point matérielM est une parabole dont le centre de forceOest le foyer, voir figure 3.
Ep,eff
Em r
rmin
x y
O
M(t)
r(t)
θ(t) rmin
Figure 3 –Énergie potentielle effective et trajectoire.Cas d’une interaction newtonienne attractive avecEm= 0.
• Cas Em<0 : état lié
La trajectoire suivie par le point matérielM est une ellipse dont le centre de forceO est un foyer, voir figure 4.
Ep,eff
r Em
rmin rmax
x y
O
M(t) r(t)
θ(t) rmin rmax
péricentre apocentre
Figure 4 –Énergie potentielle effective et trajectoire.Cas d’une interaction newtonienne attractive avecEm<0.
Points extrêmaux de la trajectoire : en géométrie, le point de l’ellipse le plus proche deOest appelé le péricentre ; le point le plus éloigné deO est appelé l’apocentre.
noms usuels en mécanique céleste :
Apogée et périgée pour un mouvement autour de la Terre, aphélie et périhélie pour un mouvement autour du Soleil.
Apogée et périgée pour un mouvement autour de la Terre, aphélie et périhélie pour un mouvement autour du Soleil.
Apogée et périgée pour un mouvement autour de la Terre, aphélie et périhélie pour un mouvement autour du Soleil.
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Cas particulier : Em=Em,min.
Le rayon ne peut prendre qu’une seule valeur : la trajectoire est un cercle.
Le rayon ne peut prendre qu’une seule valeur : la trajectoire est un cercle.
Le rayon ne peut prendre qu’une seule valeur : la trajectoire est un cercle.
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III - Système solaire et satellites
III.1 - Observations expérimentales et culture générale
• À propos du système solaire
Le système solaire compte huit planètes, voir figure 5 : Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune, ici par ordre croissant d’éloignement au Soleil, nommées d’après des dieux romains. Le « cahier des charges » qu’un astre doit remplir pour être qualifié de planète a été précisé en 2006, ce qui a eu pour conséquence de reléguer Pluton au rang de « planète naine ».
Figure 5 – Représentation à l’échelle du système solaire. Gauche : orbites des différentes planètes. Droite : les planètes elles-mêmes, par ordre croissant de taille Mercure, Mars, Vénus, la Terre, Neptune, Uranus, Saturne et Jupiter.
Jupiter est plus volumineuse et plus massive que toutes les autres planètes réunies, mais est environ dix fois plus petite et mille fois moins massive que le Soleil : si le Soleil avait la taille d’un ballon de football, Jupiter ne serait pas plus grosse qu’une noix.
Les cinq planètes les plus proches de la Terre font partie des objets célestes les plus brillants du ciel et ont été découvertes dès l’Antiquité. Le mot « planète » vient du grec πλανητ ηζ qui signifie « errant », du fait de leur trajectoire erratique dans le ciel, bien différente de celle des autres éotiles. Les deux dernières planètes n’ont été découvertes que bien plus tard : Uranus en 1781 et Neptune en 1846.
La notion de système solaire a été développée par Nicolas Copernic au XVIe siècle, puis par Johannes Kepler au XVIIe. Ces développements sont antérieurs à l’invention des instruments d’optique : la lunette astronomique de Galilée n’a été inventée qu’une cinquantaine d’année après les travaux de Kepler. Une confirmation expérimentale est venue grâce à Tycho Brahé à la fin du XVIesiècle : ses travaux méticuleux ont permis d’améliorer la précision d’un facteur 10, et font de lui l’inventeur de l’observation astronomique. Enfin, la théorie de la gravitation développée par Isaac Newton sur la base des observations de Tycho Brahé a permis d’interpréter ces observations à la fin du XVIIe siècle.
• Lois (expérimentales !) de Kepler
Nous allons ici suivre la démarche inverse de celle de Newton, c’est-à-dire que nous allons retrouver les lois de Kepler à partir de la théorie de Newton.
Loi des orbites :
Les planètes du système solaire décrivent des trajectoires elliptiques dont le Soleil est un des foyers.
Loi des aires :
Les aires balayées par le segment Soleil-planète pendant des durées égales sont égales, et ne dépendent pas de la planète.
Loi des périodes :
Le carré de la périodeT de révolution d’une planète et le demi grand axeade la trajectoire sont reliées parT2/a3= cte indépendante de la planète.
III.2 - Période du mouvement en orbite circulaire
a) Intérêt des trajectoires circulaires
Un tableau récapitulatif des excentricités des trajectoires des planètes du système solaire est représenté ci-dessous.
À titre de comparaison, un cercle (en bleu) et une ellipse d’excentricité 0,2 (en rouge, décalée vers la droite) de même foyer sont également représentés.
Planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune
e 0,206 0,007 0,017 0,093 0,005 0,055 0,048 0,009
étudier les trajectoires circulaires donne une bonne approximation et va beaucoup simplifier les calculs.
b) Mise en équation
S
P
#”er
#”eθ
On étudie une planète P de masse m, ayant une trajectoire circulaire autour du SoleilS de massem0. Le raisonnement se généralise sans peine à un satellite autour de la Terre.
• Référentiel :
héliocentrique, aussi appelé référentiel de Copernic. Origine au centre du Soleil, trois axes pointant vers trois étoiles fixes. Galiléen en TB approximation.
héliocentrique, aussi appelé référentiel de Copernic. Origine au centre du Soleil, trois axes pointant vers trois étoiles fixes. Galiléen en TB approximation.
toto Espace 27
• Bilan des forces :
uniquement la force gravitationnelle uniquement la force gravitationnelle uniquement la force gravitationnelle
toto Espace 28
Conséquence : le mouvement du centre de masse est uniforme. Epne dépend que deRetEmest constante, doncEc l’est aussi.
Epne dépend que deRet Emest constante, doncEc l’est aussi.
Epne dépend que deRet Emest constante, doncEc l’est aussi.
toto Espace 29
• Théorème de la résultante cinétique : Mouvement circulaire uniforme donc#”a =−v2
R
#”erd’où d’après le TRC−mv2 R
#”er=−Gm0m R2
#”eret en projetantv= rGm0
R
Mouvement circulaire uniforme donc #”a =−v2 R
#”er d’où d’après le TRC−mv2 R
#”er=−Gm0m R2
#”er et en projetantv= rGm0
R
Mouvement circulaire uniforme donc #”a =−v2 R
#”er d’où d’après le TRC−mv2 R
#”er=−Gm0m R2
#”er et en projetantv= rGm0
R
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Un mouvement circulaire autour du Soleil est uniforme, la vitesse dépend du rayon de la trajectoire.
L L L Attention ! Il s’agit de la vitesse dans le référentiel héliocentrique. En transposant au cas d’un satellite, il s’agirait de la vitesse dans le référentiel géocentrique, différente de celle dans le référentiel terrestre.
Remarque 1 : cohérent avec la conservation du moment cinétique, L#”=mR2θ˙#”uz=cte# ” donc
Remarque 2 : mettre un satellite artificel en orbite sur une trajectoire circulaire demande donc un excellent contrôle de la vitesse de satellisation, tant en direction qu’en norme.
Remarque 3 : Attention à ne pas confondre : un mouvement elliptique n’est pas uniforme. Loi des aires implique que la vitesse est plus grande au périhélie qu’à l’aphélie.
Loi des aires implique que la vitesse est plus grande au périhélie qu’à l’aphélie.
Loi des aires implique que la vitesse est plus grande au périhélie qu’à l’aphélie.
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c) Troisième loi de Kepler
Période de révolution :T = 2πR
v = 2πR rGm0
R
d’où on déduit T2= 4π2R3 m0G
puis T2 R3 = 4π2
m0G.
Période de révolution :T =2πR
v = 2πR rGm0
R
d’où on déduitT2= 4π2R3 m0G
puis T2 R3 = 4π2
m0G.
Période de révolution :T =2πR
v = 2πR rGm0
R
d’où on déduitT2= 4π2R3 m0G
puis T2 R3 = 4π2
m0G.
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Généralisation : on admet que cette expression est également valable pour une trajectoire elliptique en remplaçant le rayonRpar le demi-grand axe a.
Pour un corps en orbite elliptique de demi grand axeaautour d’un astre attracteur de massem0, T2
a3 = 4π2 m0G
Le résultat ne dépend pas du corps en gravitation.
d) Comparaison aux observations
Figure 6–Vitesse en fonction de la distance au Soleil. Figure 7– Troisième loi de Kepler.
Figures extraite du cours en ligne de Rémy Duperray ... et probablement d’une autre origine.
La figure 6 représente la vitesse orbitale moyenne v des planètes du système solaire en fonction de leur distance moyenne au Soleild, exprimée en unités astronomiques (AU, astronomic unit). Par définition, 1 AU est la distance moyenne Terre–Soleil. La courbe en trait plein est une modélisation par la fonctionv=p
GmS/d.
La figure 7 représente le carré de la période de révolution des planètes du système solaire en fonction du cube de leur distance moyenne au Soleil, exprimée en unités astronomiques (AU, astronomic unit). On obtient une droite passant par l’origine, signe que la troisième loi de Kepler est bien vérifiée.
III.3 - Énergie mécanique d’un satellite en orbite
On se concentre désormais sur un satellite autour de la Terre.
Cas d’une trajectoire circulaire : Considérons un satellite de masse men orbite circulaire de rayonRautour de la Terre de massem0.
Ep=−Gm0m
R etEc= 1
2mv2=12Gm0m R d’oùEm=−Gm0m
2R <0 normale car orbite circulaire = état lié.
Ep=−Gm0m
R et Ec=1
2mv2=12Gm0m R d’oùEm=−Gm0m
2R <0 normale car orbite circulaire = état lié.
Ep=−Gm0m
R et Ec=1
2mv2=12Gm0m R d’oùEm=−Gm0m
2R <0 normale car orbite circulaire = état lié.
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Généralisation au cas d’une trajectoire elliptique : niEc niEpne sont des constantes du mouvement, qui est plus rapide et plus près au périgée qu’à l’apogée, mais il demeure bien sûr conservatif.
on admet que l’expression deEm se généralise en remplaçant le rayonR par le demi-grand axea, Em=−Gm0m
2a .
Conséquence : le demi-grand axe de la trajectoire du satellite est entièrement déterminée par l’énergie mécanique qui lui est communiquée initialement.
III.4 - Vitesses cosmiques
a) Vitesse minimale de mise en orbite basse : première vitesse cosmique
• Approche qualitative
Imaginez que vous sautez d’une tour en prenant de l’élan.
Plus vous courez vite sur le tremplin, plus vous retombez loin.
Si vous courez suffisamment vite (ou que vous vous aidez d’une fusée), vous irez tellement loin que vous retomberez continuellement « à côté » de la Terre : vous serez en orbite autour de la Terre.
Ainsi, on peut dire que la Lune et les satellites tombent en permanence sur Terre ... mais à côté, ce qui a inspiré cette phrase à Paul Valéry : « Il fallait être Newton pour s’apercevoir que la Lune tombe alors que tout le monde voit bien qu’elle ne tombe pas. » (1939).
Figure extraite du cours en ligne de Rémy Duperray ...
et probablement d’une autre origine.
On appellepremière vitesse cosmique, notéev1, la vitesse minimale à donner à un satellite pour le mettre en orbite basse circulaire autour de la Terre.
siv < v1, le satellite retombe sur Terre.
• Expression
Pour une orbite basse, on approximeR'RT:v1=
rGmT
RT Numériquement,v1= 8 km·s−1= 3·105km·h−1.
• En pratique
L’intérêt des orbites basse est une communication rapide entre le satellite et la Terre, ainsi qu’une bonne résolution des instruments d’observation. Cependant, les frottements atmosphériques rendent les orbites d’altitude inférieure à environ 200 km inutilisables : celle de l’ISS est elliptique, comprise entre des altitudes de 330 et 420 km.
b) Vitesse de libération : seconde vitesse cosmique
On appellevitesse de libérationouseconde vitesse cosmique, notéev2, la vitesse minimale qu’il faut communiquer à un satellite depuis la Terre pour qu’il puisse quitter l’attraction gravitationnelle.
Énergie mécanique minimale pour qu’un satellite soit dans un état de diffusion : Em= 0, la vitesse du satellite tend vers 0 quand il s’éloigne à l’infini.
Em= 0, la vitesse du satellite tend vers 0 quand il s’éloigne à l’infini.
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Conservation de l’énergie mécanique : Em= 0 = 1
2mv22−Gm0m RT
d’où v2=
r2GmT
RT
=√
2v1∼11 km·s−1= 4·105km·h−1
Remarque : pour obtenir une satellisation en orbite liée, le satellite doit donc avoir une vitesse initialev1< vi< v2, ce qui laisse peu de marge.
III.5 - Satellite géostationnaire
On appellesatellite géostationnaireun satellite artificiel qui reste constamment au dessus d’un même point de la surface terrestre : il est immobile dans le référentiel terrestre.
objectif du paragraphe : étudier le mouvement d’un tel satellite.
L L L Attention ! Comme on s’intéresse à des mouvements où la rotation de la Terre n’est pas négligeable, le référentiel terrestre n’est pas galiléen : il faut mener l’étude dans le référentiel géocentrique.
Remarque :On se rend compte d’un problème rien qu’en essayant d’écrire le TRC dans le référentiel terrestre : le satellite serait immobile mais soumis à une unique force non nulle ...
• Plan de la trajectoire
Rappel :par conservation du moment cinétique, on a déjà montré que la trajectoire du satellite est nécessairement plane, dans un plan qui contient le centre de masse de la Terre.
Supposons que le plan n’est pas celui de l’équateur. On constate sur la figure ci-contre que le satellite ne reste pas toujours à la verticale du même point, la latitude change au cours du mouvement.
Supposons que le plan n’est pas celui de l’équateur. On constate sur la figure ci-contre que le satellite ne reste pas toujours à la verticale du même point, la latitude change au cours du mouvement.
Supposons que le plan n’est pas celui de l’équateur. On constate sur la figure ci-contre que le satellite ne reste pas toujours à la verticale du même point, la latitude change au cours du mouvement.
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Le plan de l’orbite géostationnaire coïncide avec le plan de l’équateur.
• Vitesse angulaire
La Terre a une vitesse angulaire de rotation propre constante, il faut donc que le satellite parcoure sa trajectoire à vitesse angulaire constante identique.
La Terre a une vitesse angulaire de rotation propre constante, il faut donc que le satellite parcoure sa trajectoire à vitesse angulaire constante identique.
La Terre a une vitesse angulaire de rotation propre constante, il faut donc que le satellite parcoure sa trajectoire à vitesse angulaire constante identique.
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• Période du mouvement
La période de rotation propre de la Terre est appelée jour sidéral, de durée légèrement différente d’un jour solaire (24 heures).
au bout de 24 heures la Terre est revenue face au Soleil, mais comme elle a avancé sur son orbite alors elle a parcouru un peu plus d’un tour.
au bout de 24 heures la Terre est revenue face au Soleil, mais comme elle a avancé sur son orbite alors elle a parcouru un peu plus d’un tour.
au bout de 24 heures la Terre est revenue face au Soleil, mais comme elle a avancé sur son orbite alors elle a parcouru un peu plus d’un tour.
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En 24 heures, la Terre parcourt un angle 2π+αoùαest l’angle dont elle s’est déplacée sur son orbite autour du Soleil, c’est-à-dire (1/365,25)ede tour (le 0,25 tient compte des années bissextiles). Le jour sidéral est défini lorsqu’un point à la surface de la Terre parcourt exactement 2π. Comme le mouvement est uniforme, on en déduit la durée d’un jour sidéral,
Ω = 2π Tsid
= 2π+α Tsol
d’où Tsid= 2π
2π+αTsol= 23 h 56 min 04 s.
La période du mouvement d’un satellite géostationnaire dans le référentiel géocentrique est égale à la période de rotation propre de la Terre, c’est-à-dire un jour sidéral.
• Rayon de l’orbite et altitude du satellite Montrons que l’orbite est circulaire.
Première possibilité : conservation de Em et de Ec car mvt uniforme, donc de Ep qui ne dépend que de r d’oùr= cte.
Deuxième possibilité : la loi des aires indique queC=r2θ˙= cte doncr= cte car ˙θ= cte.
Première possibilité : conservation deEmet deEccar mvt uniforme, donc deEpqui ne dépend que derd’oùr= cte.
Deuxième possibilité : la loi des aires indique queC=r2θ˙= cte doncr= cte car ˙θ= cte.
Première possibilité : conservation deEmet deEccar mvt uniforme, donc deEpqui ne dépend que derd’oùr= cte.
Deuxième possibilité : la loi des aires indique queC=r2θ˙= cte doncr= cte car ˙θ= cte.
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Déterminons son rayon.
Troisième loi de Kepler : T2 R3 = 4π2
m0G avecT = 1 jour sidéral,m0= 6·1024kg etG= 6,67·10−11N·m2·kg−2 Troisième loi de Kepler : T2
R3 = 4π2
m0G avecT = 1 jour sidéral,m0= 6·1024kg etG= 6,67·10−11N·m2·kg−2 Troisième loi de Kepler : T2
R3 = 4π2
m0G avecT = 1 jour sidéral,m0= 6·1024kg etG= 6,67·10−11N·m2·kg−2
toto Espace 39
Numériquement,
R= 42 164 km soit h=R−RT= 35 786 km.
• Conclusion
Un satellite géostationnaire est fixe dans le référentiel terrestre.
Dans le référentiel géocentrique, l’orbite géostationnaire est circulaire, à l’altitudeh∼36·103km, parcourue à vitesse constante avec une périodeT ∼24 heures.
• En pratique
L’orbite géostationnaire a énormément d’applications dans le domaine des télécommunications, bien qu’elle pré- sente l’inconvénient de ne pas desservir directement les pôles et d’être éloignée de la Terre, ce qui implique que le temps de communication est perceptible.
Plus de 300 satellites s’y trouvent, elle est donc très encombrée, et directement gérée par l’Union Internationale des Télécommunications, qui dépend de l’ONU. La précision imposée sur la position du satellite est inférieure à 50 km, et l’exploitant doit retirer son satellite de l’orbite lorsqu’il est en fin de vie.
La durée de vie des satellites vient principalement des perturbations qui peuvent dévier le satellite de son orbite.
Il dispose alors de réserves de carburant pour y revenir, et se trouve en fin de vie lorsque ses réserves sont épuisées.
