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Universit´e Pierre et Marie Curie 2005-2006 Alg`ebre et th´eorie de Galois

Extrait de l’examen du 7 septembre 2006

Problème. — Soit A une C-alg`ebre commutative de dimension finie. On note Spec(A) l’ensemble des id´eaux premiers de A.

1) Soitp∈Spec(A). Montrer quepest un id´eal maximal de A. (Indication : pour x∈A\ {0}, montrer que l’application a7→axest injective.)

2) Montrer que si p₁, . . . ,p_n ∈ Spec(A) sont deux `a deux distincts, alors T_n

i=1p_i 6=T_n−1

i=1 p_i. En d´eduire que Spec(A) est un ensemble fini.

3) On rappelle quex∈A est dit nilpotent s’il existen∈Ntel quexⁿ= 0.

Montrer que

I :={x∈A|x est nilpotent}

est un id´eal de A, puis qu’il existe N∈Ntel que I^N= (0).

4) Soient p₁, . . . ,p_n les id´eaux premiers de A. On admettra que I = p₁T

· · ·T

p_n et que

p^N₁ T

· · ·T

p^N_n =p^N₁ · · ·p^N_n = (0).

Pour i= 1, . . . , n, on pose A_i ={x ∈A|p^N_i x= 0}. Montrer que A_i est un id´eal de A et que

A₁L

· · ·L

A_n= A.

(Indication : consid´erer les id´eauxq_i =Q

j6=ip^N_j et montrer que 1∈q₁+· · ·+ q_n.)

5) Pour i = 1, . . . , n, soit A_pi le localis´e de A en la partie multiplicative S_i = A\p_i, et soitτ_i : A→A_pi le morphisme d’anneaux a7→a/1.

Montrer que sia_j ∈A_j, avecj6=i, alorsτ_i(a_j) =a_j/1 est nul. Montrer que tout ´el´ement de A_pi est de la formea_i/s, avec a_i∈A_i, ets∈S_i.

Pour tout s∈S_i, montrer qu’il existet∈A et x∈p^N_i tels que 1 =ts+x.

Montrer que τ_i induit un isomorphisme de A-modules A_i −→^∼ A_pi. Enfin, montrer que le morphisme d’anneaux

A−−−−−−→^{τ1⊕···⊕τn} A_p1L

· · ·L A_pn est un isomorphisme.

Exercice 1. — Pour tout N > 2, soit (Z/NZ)^∗ le groupe des ´el´ements inver- sibles de l’anneauZ/NZ, et soitϕ(N) son cardinal.

1) Soientp∈Nun nombre premier etn∈N,n>1. D´eterminerϕ(pⁿ).

2) Soit N∈N, N>2, et soit N = pⁿ₁¹· · ·pⁿ_r^r sa d´ecomposition en facteurs premiers. En utilisant le th´eor`eme des restes chinois, montrer que

ϕ(N) =ϕ(pⁿ₁¹)· · ·ϕ(pⁿ_r^r).

1

2

D´eterminer les N pour lesquels ϕ(N)62.

3) Soientk <N des entiers >0 et premiers entre eux, et soit a=e^2ikπ/N= cos(2kπ/N) +isin(2kπ/N).

On rappelle que le polynˆome minimal deasurQest de degr´eϕ(N). On suppose que cos(2kπ/N)∈Q. Montrer que N∈ {2,3,4,6}.

Exercice 2. — Soit φ :Z³ → Z³ l’application Z-lin´eaire dont la matrice dans la base canonique (e₁, e₂, e₃) est :



1 4 7 2 5 8 3 6 9



.

D´eterminer le groupe ab´elien Z³/im(φ).