CYCLE PRÉPARATOIRE DE BORDEAUX (CPBX) EXERCICES MATH S4 - 2018

N. POPOFF, N. MAZZARI

Table des matières

1. Calcul Integral 3

1.1. Intégrales de Riemmann 3

1.2. Intégrales impropres 4

2. Variables Aléatoires et Couples de V. A. a Densité 6

3. Théoremes de Convergenece 11

4. Statistique 13

1. Calcul Integral

After years of finding mathematics easy, I finally reached integral calculus and came up against a barrier. I realized that this was as far as I could go, and to this day I have never successfully gone beyond it in any but the most superficial way.

(Isaac Asimov)

1.1. Intégrales de Riemmann.

1.

Utiliser la définition d’intégrale pour calculer limn→∞Sn dans les cas sui- vants :

a) S_n= 1 n²

n

X

k=1

(k−2n)e^kn b) S_n=

n

X

k=1

n

n²+k² c) S_n= 1 n²

n

X

k=1

pk(n−k)

Solution. a)3−2e; b) π/4; c)π/8.

2.

Soit f :R→Rla fonction définie par f(x) =







e^−x si x≤0 xln(x) si 0< x≤1

1

1+x² si x >1

.

Calculer Z

√3

−1

f(x)dx .

Solution. e−1/2 +π/12.

3.

Soientf, g deux fonctions continues sur un intervalle[a, b]. On suppose que g est à valeurs strictement positives.

(1) Quelle est la nature de l’imageJ de[a, b]parf? Encadrer l’intégrale Z b

a

f(x)g(x)dx .

en utilisant le minimum et le maximum de la fonctionf. (2) En considérant la fonctionφ:J →Rdéfinie par

φ(t) :=t Z b

a

g(x)dx ,

montrer que il existeγ ∈J tel que Z b

a

f(x)g(x)dx=γ Z b

a

g(x)dx .

(3) (Théorème de la moyenne) Montrer qu’il existec∈[a, b]tel que Z b

a

f(x)g(x)dx=f(c) Z b

a

g(x)dx .

(4) En déduire que la valeur moyenne de f sur l’intervalle [a, b]est at- teinte parf en au moins unc de [a, b].

4.

Calculer les intégrales

A= Z −1

−3/2

p|2t−3| B = Z

√ 2

1+√ 2 2

q

4t²−4√

2t+ 1dt Solution. B = (√

2−ln(1 +√

2))/4.

5.

Calculer

A= Z 1

0

(t²−3t+ 1)e^2t dt B = Z 1

0

(t²−t−1)e^−tdt

C= Z π/4

0

e^tcos(4t) dt D= Z π/2

0

e^−tsin(2t) dt Solution. I.P.P. donne

Z

(t²−3t+ 1)e^2t dt= 1

2(t²−3t+ 1)e^2t− Z 1

2(2t−3)e^2t dt et

Z 1

2(2t−3)e^2tdt= 1

4(2t−3)e^2t− Z 1

4(2)e^2t dt donc

A= 1

2(t²−3t+ 1)e^2t−1

4(2t−3)e^2t+1 4e^2t

1 0

= 3 2 Par la même méthode

B =−2

e C=−e^π4 + 1

17 D= 2−2e^−π2 5

6.

Calculer

A= Z 1

0

1

t²−t−2 dt B = Z

√3

1

3t−t³ 1−3t² dt C=

Z 0

−1

2t

t³−1 dt D=

Z 1 0

1 (1 +t²)² dt 1.2. Intégrales impropres.

7.

Pour chacune des intégrales ci-dessous examiner si elle est grossièrement

divergente et si elle ne l’est pas, montrer qu’elle converge.

A= Z ₀

−∞

te^−t dt B=

Z +∞

0

e⁻

√t

√t dt

C= Z +∞

1

(1 +t⁻¹)^t dt D= Z +∞

−∞

te^−t2 dt

8.

Montrer que Z +∞

0

ln(t) 1 +t² dt

converge et qu’elle est nulle. On pourra comparer les intégrales sur ]0,1] et sur [1,+∞[.

9.

Existence et calcul de R1 0

ln(t)

(1+t)² dt puis deR+∞

1

ln(t) (1+t)² dt .

10.

Existence et calcul de R+∞

1 1 t√

1+t² dt. (Indice : u=√ 1 +t²)

11.

Pour tout entier nsoit In:=

Z e 0

(ln(t))ⁿ dt . (1) CalculerI₀.

(2) Montrer queI₁ existe et la calculer.

(3) Montrer que, pour tout n, I_n+1 existe et l’exprimer en fonction de In.

12.

Montrer que R+∞

0

sin(x)

x dx est “semi-convergente”, c’est-à-dire convergente mais pas “absolument convergente”, au sens oùR+∞

0 |x⁻¹sin(x)|diverge. (In- dice : utiliser 0≤ |sin²(x)| ≤ |sin(x)|)

2. Variables Aléatoires et Couples de V. A. a Densité Le nom seul de calcul des probabilités est un paradoxe : la probabilité, opposée à la certitude, c’est ce qu’on ne sait pas, et comment peut-on calculer ce que l’on ne connaît pas ? (H. Poincaré)

13.

On considère une variable aléatoire X à valeurs dansRet dont la densité f est définie en fonction d’un paramètre réela par

f(x) =

(ae^−2x si x≥0 0 si x <0 . (1) Calculer la valeur dea.

(2) CalculerP(X ∈[−2,4]).

(3) CalculerE(X).

(4) Définir la fonction de répartition F de X. Utiliser F pour calculer P(X∈[−2,4])etP(X≥2), puisP(X∈[−2,4]|X≥2). Vérifier le résultat du cours concernantF(x).

14.

X est une v.a.r. de densitéf(x) = _1+x^c 2 où cest un paramètre réel.

(1) Calculer la valeur dec.

(2) CalculerP(X ∈[−1,1]).

(3) Définir explicitement la fonction de répartition deXet l’utiliser pour retrouverP(X ∈[−1,1]).

(4) CalculerP(1 + 2X ≤3)puis P(X²∈[1/4,1]).

(5) Définir explicitement les fonctions de répartition deY = 1 + 2X et deZ =X². Retrouver les résultats du point précédent.

(6) Calculer des expressions de densités deY et deZ.

15.

On considère une variable aléatoire X à valeurs dansRet dont la densité f est définie en fonction d’un paramètre réela par

f(x) = (

ax⁻² si x≥1 0 si x <1 . (1) Calculer la valeur dea.

(2) CalculerP(X ∈[−2,4]).

(3) L’espérance mathématiqueE(X)existe-t-elle ?

16.

On définit l’application f :R→Rpar f(x) =

(x+ 1 si |x| ≥k

0 sinon .

(1) Déterminer k pour que f soit densité de probabilité d’une variable X, puis calculerE(X).

(2) Définir explicitement la fonction de répartition deX . En déduire la valeur deP(X∈[0,1]).

(3) On poseY =X². Déterminer explicitement densité et espérance de Y.

(4) Calculer la variance deX.

17.

Le vecteur aléatoire (X, Y) à valeurs dansR² a pour densité f :R² →R, f(x, y) =

(kxy si (x, y)∈T

0 sinon ,

où T ={(x, y)∈[0,1]²:y≤x}.

(1) Calculer la valeur dek.

(2) Calculer les densités marginales deXet deY.XetY sont-elles indé- pendantes ? Pour X comme pourY, calculer espérance et variance.

(3) Calculer la covariance et le coefficient de corrélation linéaire du couple (X, Y).

(4) CalculerP(Y ∈[1/2,1])puis P(X²+Y²≤1).

(5) Définir explicitement la densité conditionnelle du couple(X, Y) sa- chant queY ∈[1/2,1]. En déduire la probabilitéP(X²+Y² ≤1|Y ∈ [1/2,1]).

18.

Le vecteur aléatoire (X, Y), à valeurs dans R², a pour densité conjointe f(x, y) =aexp(−x²−y²).

(1) Calculer la valeur dea.

(2) Calculer les probabilités des événementsX²+Y² ≤1,X²+Y²= 1, 1≤X²+Y² ≤4.

(3) Définir les lois marginales de X et Y. X et Y sont-elles indépen- dantes ?

(4) CalculerE(X),E(Y)etE(XY). En déduire la covariance du couple (X, Y).

19.

X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes suivant une même loi uniforme U([0, a]), c’est-à-dire de densité constante sur [0, a]et nulle en de- hors de cet intervalle. Déterminer la fonction de répartition deZ = ¹₂(X+Y) . En déduire une densité deZ.

20.

X1, X2, ..., Xnsontnvariables aléatoires réelles mutuellement indépendantes, de même espérance µet de même écart-typeσ.

(1) On définit Xˆ := _n¹P_n

i=1X_i. Calculer son espérance, sa variance et l’espérance deXˆ².

(2) On définitS²:= ¹_nPn

i=1(Xi−X)ˆ ². Calculer son espérance.

21.

La variable aléatoire U suit une loi uniformeU([a, b]).

(1) Définir la fonction de répartition de X = exp(U). En déduire une densité deX.

(2) SoitY = exp(2U). Déterminer une densité deY.

(3) Calculer les espérances deX et deY. En déduire la variance deX.

22.

(Loi exponentielle E(λ)) Soientaetλdeux réels positifs. Soit X la variable de densité

f :R→R⁺ , f(x) =

(aexp(−λx) si x≥0

0 sinon .

(1) Calculeraen fonction deλ.

(2) Calculer l’espérance et la variance deX.

(3) CalculerP(X ≤p|X≤q) pourp, q >0.

(4) ComparerP(x > p+q|X > p) etP(X > q), pourp, q >0. Interpré- ter.

4TBX401U EXERCICES ET ANNALES Page 8

N

La table donne les valeurs de (x) en fonction de x pour x 0

Exemple : (1,96) = 0,97500 lu à l'intersection de la ligne 1,9 et de la colonne 0,06 .

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586 0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535 0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409 0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173 0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793 0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240 0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490 0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524 0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327 0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891 1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214 1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298 1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147 1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91308 0,91466 0,91621 0,91774 1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189 1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408 1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449 1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327 1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062 1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670 2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169 2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574 2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899 2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158 2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361 2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520 2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643 2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736 2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807 2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861 3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900 3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929 3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950 3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983

Table de l'écart réduit de la

N

La table donne pour la probabilité , la valeur de t telle que P(-t Z t ) = = 1 .

Valeur de = 0,6000 0,7000 0,8000 0,9000 0,9500 0,9750 0,9900 0,9950 0,9990 0,9995 Loi N(0 , 1) : 0,8416 1,0364 1,2816 1,6449 1,9600 2,2414 2,5758 2,8070 3,2906 3,4808

___________________________________________

23.

(Utilisation de la table)

(1) Soit X une var suivant une loi N(µ, σ²) avec µ = 2 et σ = 0,1.

Calculer

A=P(X >2,24), B =P(|X|<2,24). Puis déterminer αtel que P(X > α) = 0,3192.

(2) SoitXune var suivant une loiN(µ, σ²). Déterminerµetσen sachant que

P(X≤3,3) = 0,9893 et P(X >2) = 0,1587.

(3) Sur un échantillon de 1000 hommes, on a observé que 66% avaient une taille supérieure à1,80 m. et95%avaient une taille inférieure à 1,90 m.

— Quelle est la taille moyenne des hommes de cet échantillon ? Quel est l’écart-type ?

— Que peut-on en déduire pour la population masculine de cette région ?

— Quelle est la probabilité qu’un homme choisi au hasard dépasse 2 mètres si la taille des hommes est normalement distribuée ?

24.

Un spéléologue désireux d’assurer l’éclairage des prises de vues qu’il envisage de réaliser sous terre, a sélectionné deux types d’accumulateurs :AetB. Les durées en minutes de l’éclairement qu’elles assurent, sont données respec- tivement par deux variables aléatoires X et Y qui suivent respectivement des lois normales N(20,48) et N(30,64) . Une seule batterie est utilisée à la fois. Lorsqu’une batterie est déchargée, on la remplace par une autre. On noteraZ la variable aléatoire qui donne la durée totale d’éclairement rendue possible par l’ensemble des batteries emportées .

(1) On choisit d’emporter a batteries A et b batteries B. Calculer l’es- pérance mathématique et l’écart-type deZ. La variable aléatoireZ suit-elle une loi de probabilité connue ?

(2) Quelle est la combinaison qui rend le plus probable le fait d’assurer l’ éclairement pendant au moins deux heures : 3 batteries A + 1 batterieB ou 3batteriesB sans batterieA?

25.

Déterminer une densité de la variable Z = X +Y lorsque X et Y sont indépendantes, suit une U([0,2]) etY uneU([1,3]).

26.

Déterminer une densité de la variable Z = X +Y lorsque X et Y sont indépendantes, X suit uneU([0,2])et une E(λ).

3. Théoremes de Convergenece

The actual term “central limit theorem” (in German : “zentraler Grenzwertsatz”) was first used by George Pólya in 1920 in the title of a paper. Pólya referred to the theorem as “central” due to its importance in probability theory. According to Le Cam, the French school of probability interprets the word central in the sense that

“it describes the behaviour of the centre of the distribution as opposed to its tails”.

The abstract of the paper On the central limit theorem of calculus of probability and the problem of moments by Pólya in 1920 translates as follows :

“The occurrence of the Gaussian probability density 1−e^−x2 in repeated expe- riments, in errors of measurements, which result in the combination of very many and very small elementary errors, in diffusion processes etc., can be explained, as is well-known, by the very same limit theorem, which plays a central role in the calcu- lus of probability. The actual discoverer of this limit theorem is to be named Laplace ; it is likely that its rigorous proof was first given by Tschebyschev and its sharpest formulation can be found, as far as I am aware of, in an article by Liapounov....”

27.

Pour tout entier n > 0 de, on considère la variable aléatoire Xn qui suit la loi uniforme discrète sur l’ensemble fini {0,1/n,2/n, ...,(n− 1)/n,1}, ce qui signifie qu’elle prend pour valeurs chacun des n + 1 éléments de {0,1/n,2/n, ...,(n−1)/n,1} avec la même probabilité 1/(n+ 1). Montrer que la suite (X_n)n >0 ainsi définie converge en loi vers une variableX qui suit une loi uniforme à densité U([0,1]).

28.

La variable aléatoire X a pour densité

f :R→R f(x) =







1 +x si −1≤x <0 1−x si0≤x≤1

0 autrement

.

Pourn >0entier, on noteYn=X²ⁿ⁺¹¹ (définition étendue au cas de valeurs négatives de X car2n+ 1impair).

(1) Déterminer une densité deY_n.

(2) Montrer que(Yn))n >0converge en loi vers une variable discrèteY qu’on déterminera.

(3) Montrer que(Y_n))n >0 ne converge pas en probabilité versY.

29.

Soit (Xn)n>0 une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes.

Chaque variable X_n suit une loi de BernoulliB(1, p_n) oup_n∈]0,1[.

(1) Montrer que pour tout >0

n→+∞lim P(|1 n

n

X

k=1

X_k− 1 n

n

X

k=1

p_k|< ) = 1 .

(2) Si pn = 2⁻ⁿ et Yn = _n¹ Pn

k=1Xk, montrer que la suite (Yn)n>0

converge vers une variable aléatoire constante.

30. (1) On jette 3 fois de suite une pièce de monnaie non équilibrée pour laquelle P(F ace) = 1/4. La variable aléatoire S₃ donne à la suite de ce triple jet de la pièce, le nombre de “Face” obtenus. Donner la loi de probabilité deS₃, son espérance et sa variance.

(2) On jette maintenantnfois cette pièce et on s’intéresse à la variable Fn = _n¹Sn prenant pour valeur la fréquence d’apparition de “Face”

enn jets. (On supposen “grand”, c’est à diren≥30).

Déterminer une valeur à donner à n pour que P(20% < F_n <

30%) > 0,95. (L’utilisation de l’inégalité de Bienaymé-Tchébychev pourra s’avérer utile)

(3) Déterminer la valeur minimale à donner ànpour queP(20< F n <

30%) > 0,95. (L’utilisation du Théorème Central Limite pourra s’avérer utile)

31.

Dans une entreprise, la probabilité journalière d’accident du travail est constante.

Elle est égale à p= 0,002pour chaque journée. La variableF_n donne la fré- quence de survenue d’un accident du travail sur njournées analysées.

(1) Calculer l’espérance et la variance deF49.

(2) Evaluer la probabilité de l’événement “|F₄₉−E(F₄₉)|>0,01”.

(3) Sur quel nombrende journées (supposé > 50) suffit-il de faire porter l’analyse pour queP(|F_n−E(Fn)|>0,01)≤0,25?

4. Statistique