6mai2010,JPS,Mont-Dore ThibaultEspinasse Processusstationnairessurdesgraphes

Processus stationnaires sur des graphes

Thibault Espinasse

Universit ´e Paul Sabatier

6 mai 2010, JPS, Mont-Dore

Plan de l’expos ´e

1 Introduction

2 Mod `ele

3 Application : Maximum de vraisemblance

Table des Mati `eres

1 Introduction

2 Mod `ele

3 Application : Maximum de vraisemblance

Origine du probl `eme

Traffic routier :Pr ´edire en temps r ´eel des temps de parcours Capteurs sur la route : d ´efaillance

Donn ´ees localistion GPS, t ´el ´ephones : non homog `enes But : Reconstitueer les donn ´ees

Actuellement : Pas d’exploitation de d ´ependance spatiale ni temporelle (R ´egression...)

Objectif

Proposer un mod `ele statique utilisant la d ´ependance spatiale,

Origine du probl `eme

Traffic routier :Pr ´edire en temps r ´eel des temps de parcours Capteurs sur la route : d ´efaillance

Donn ´ees localistion GPS, t ´el ´ephones : non homog `enes But : Reconstitueer les donn ´ees

Actuellement : Pas d’exploitation de d ´ependance spatiale ni temporelle (R ´egression...)

Objectif

Proposer un mod `ele statique utilisant la d ´ependance spatiale,

Origine du probl `eme

Traffic routier :Pr ´edire en temps r ´eel des temps de parcours Capteurs sur la route : d ´efaillance

Donn ´ees localistion GPS, t ´el ´ephones : non homog `enes But : Reconstitueer les donn ´ees

Actuellement : Pas d’exploitation de d ´ependance spatiale ni temporelle (R ´egression...)

Objectif

Proposer un mod `ele statique utilisant la d ´ependance spatiale,

Origine du probl `eme

Traffic routier :Pr ´edire en temps r ´eel des temps de parcours Capteurs sur la route : d ´efaillance

Donn ´ees localistion GPS, t ´el ´ephones : non homog `enes But : Reconstitueer les donn ´ees

Actuellement : Pas d’exploitation de d ´ependance spatiale ni temporelle (R ´egression...)

Objectif

Proposer un mod `ele statique utilisant la d ´ependance spatiale,

Origine du probl `eme

Traffic routier :Pr ´edire en temps r ´eel des temps de parcours Capteurs sur la route : d ´efaillance

Donn ´ees localistion GPS, t ´el ´ephones : non homog `enes But : Reconstitueer les donn ´ees

Actuellement : Pas d’exploitation de d ´ependance spatiale ni temporelle (R ´egression...)

Objectif

Proposer un mod `ele statique utilisant la d ´ependance spatiale,

Origine du probl `eme

Traffic routier :Pr ´edire en temps r ´eel des temps de parcours Capteurs sur la route : d ´efaillance

Donn ´ees localistion GPS, t ´el ´ephones : non homog `enes But : Reconstitueer les donn ´ees

Actuellement : Pas d’exploitation de d ´ependance spatiale ni temporelle (R ´egression...)

Objectif

Proposer un mod `ele statique utilisant la d ´ependance spatiale,

Table des Mati `eres

1 Introduction

2 Mod `ele

3 Application : Maximum de vraisemblance

Pr ´esentation du probl `eme

Observation: Comportement des conducteurs ind ´ependant de la position dans le r ´eseau

Id ´ee :Proposer un mod `ele de covariance “stationnaire” et

“isotrope” g ´en ´eralisant les notions suivantes : SurZinvariance par translation

SurZ^d invariance par rotations/translations Arbres homog `enes, graphes de Cayley...

⇒invariance par automorphisme de graphe

Pr ´esentation du probl `eme

Observation: Comportement des conducteurs ind ´ependant de la position dans le r ´eseau

Id ´ee :Proposer un mod `ele de covariance “stationnaire” et

“isotrope” g ´en ´eralisant les notions suivantes : SurZinvariance par translation

SurZ^d invariance par rotations/translations Arbres homog `enes, graphes de Cayley...

⇒invariance par automorphisme de graphe

Pr ´esentation du probl `eme

Observation: Comportement des conducteurs ind ´ependant de la position dans le r ´eseau

Id ´ee :Proposer un mod `ele de covariance “stationnaire” et

“isotrope” g ´en ´eralisant les notions suivantes : SurZinvariance par translation

SurZ^d invariance par rotations/translations Arbres homog `enes, graphes de Cayley...

⇒invariance par automorphisme de graphe

Pr ´esentation du probl `eme

Observation: Comportement des conducteurs ind ´ependant de la position dans le r ´eseau

Id ´ee :Proposer un mod `ele de covariance “stationnaire” et

“isotrope” g ´en ´eralisant les notions suivantes : SurZinvariance par translation

SurZ^d invariance par rotations/translations Arbres homog `enes, graphes de Cayley...

⇒invariance par automorphisme de graphe

D ´efinitions

G= (S,W)graphe infini pond ´er ´e Ssommets (infini d ´enombrable) W ∈R^S×S op ´erateur de poids W agit surl²(S)

H₀:Gde degr ´e born ´e pard,

AlorsW born ´e en tant qu’op ´erateurB_S :=l²(S)→l²(S)

D ´efinitions

G= (S,W)graphe infini pond ´er ´e Ssommets (infini d ´enombrable) W ∈R^S×S op ´erateur de poids W agit surl²(S)

H₀:Gde degr ´e born ´e pard,

AlorsW born ´e en tant qu’op ´erateurB_S :=l²(S)→l²(S)

D ´efinitions

G= (S,W)graphe infini pond ´er ´e Ssommets (infini d ´enombrable) W ∈R^S×S op ´erateur de poids W agit surl²(S)

H₀:Gde degr ´e born ´e pard,

AlorsW born ´e en tant qu’op ´erateurB_S :=l²(S)→l²(S)

D ´emarche

Cadre : Gaussien centr ´e

⇒D ´efinir classes de covariances de processus stationnaires Covariance dansB_S

Invariance par automorphisme si il en existe

Contient fonctions positives deW,Dop ´erateur de degr ´es, L=D−W Laplacien discret...

D ´emarche

Cadre : Gaussien centr ´e

⇒D ´efinir classes de covariances de processus stationnaires Covariance dansB_S

Invariance par automorphisme si il en existe

Contient fonctions positives deW,Dop ´erateur de degr ´es, L=D−W Laplacien discret...

D ´emarche

Cadre : Gaussien centr ´e

⇒D ´efinir classes de covariances de processus stationnaires Covariance dansB_S

Invariance par automorphisme si il en existe

Contient fonctions positives deW,Dop ´erateur de degr ´es, L=D−W Laplacien discret...

Id ´ee : Invariance par automorphisme

D ´emarche

Cadre : Gaussien centr ´e

⇒D ´efinir classes de covariances de processus stationnaires Covariance dansB_S

Invariance par automorphisme si il en existe

Contient fonctions positives deW,Dop ´erateur de degr ´es, L=D−W Laplacien discret...

Probl `eme : Pas d’automorphisme non triviaux g ´en ´eralement

D ´emarche

Cadre : Gaussien centr ´e

⇒D ´efinir classes de covariances de processus stationnaires Covariance dansB_S

Invariance par automorphisme si il en existe

Contient fonctions positives deW,Dop ´erateur de degr ´es, L=D−W Laplacien discret...

Idee : Prendre fonctions deW,L...

D ´emarche

Cadre : Gaussien centr ´e

⇒D ´efinir classes de covariances de processus stationnaires Covariance dansB_S

Invariance par automorphisme si il en existe

Contient fonctions positives deW,Dop ´erateur de degr ´es, L=D−W Laplacien discret...

Probl `eme : Choix arbitraire

D ´emarche

Cadre : Gaussien centr ´e

⇒D ´efinir classes de covariances de processus stationnaires Covariance dansB_S

Invariance par automorphisme si il en existe

Contient fonctions positives deW,Dop ´erateur de degr ´es, L=D−W Laplacien discret...

Id ´ee : Construire op ´erateurs de ce type

D ´efinition (Fonctions invariantesI_S) Φde B_Sdans B_S invariante si

∀σ ∈ S,∀W ∈B_S,Φ(W ◦σ) = Φ(W)◦σ

∀W ∈B_S,Φ(W^T) = (Φ(W))^T

Remarque : Conditions de sym ´etries sur les variables D ´efinition

(X_i)i∈G de covariance K Gaussien stationnaire si

D ´efinition (Fonctions invariantesI_S) Φde B_Sdans B_S invariante si

∀σ ∈ S,∀W ∈B_S,Φ(W ◦σ) = Φ(W)◦σ

∀W ∈B_S,Φ(W^T) = (Φ(W))^T

Remarque : Conditions de sym ´etries sur les variables D ´efinition

(X_i)i∈G de covariance K Gaussien stationnaire si

D ´efinition (Fonctions invariantesI_S) Φde B_Sdans B_S invariante si

∀σ ∈ S,∀W ∈B_S,Φ(W ◦σ) = Φ(W)◦σ

∀W ∈B_S,Φ(W^T) = (Φ(W))^T

Remarque : Conditions de sym ´etries sur les variables D ´efinition

(X_i)i∈G de covariance K Gaussien stationnaire si

D ´efinition (Fonctions invariantesI_S) Φde B_Sdans B_S invariante si

∀σ ∈ S,∀W ∈B_S,Φ(W ◦σ) = Φ(W)◦σ

∀W ∈B_S,Φ(W^T) = (Φ(W))^T

Remarque : Conditions de sym ´etries sur les variables D ´efinition

(X_i)i∈G de covariance K Gaussien stationnaire si

Remarque :

Compatibilit ´e avec d ´efinitions existantes ContientL,L,˜ W,· · ·

SoitA= Φ(W),Φ∈I_S, tel que

W_ij =0⇒A_ij =0

ProcessusMA_A

(X_i)i∈G de covarianceK estMA_A si

∃f,K =σ²P(A)^TP(A)

Remarque :

Compatibilit ´e avec d ´efinitions existantes ContientL,L,˜ W,· · ·

SoitA= Φ(W),Φ∈I_S, tel que

W_ij =0⇒A_ij =0

ProcessusMA_A

(X_i)i∈G de covarianceK estMA_A si

∃f,K =σ²P(A)^TP(A)

Remarque :

Compatibilit ´e avec d ´efinitions existantes ContientL,L,˜ W,· · ·

SoitA= Φ(W),Φ∈I_S, tel que

W_ij =0⇒A_ij =0

ProcessusMA_A

(X_i)i∈G de covarianceK estMA_A si

∃f,K =σ²P(A)^TP(A)

Remarque :

Compatibilit ´e avec d ´efinitions existantes ContientL,L,˜ W,· · ·

SoitA= Φ(W),Φ∈I_S, tel que

W_ij =0⇒A_ij =0

ProcessusMA_A

(X_i)i∈G de covarianceK estMA_A si

∃f,K =σ²P(A)^TP(A)

Table des Mati `eres

1 Introduction

2 Mod `ele

3 Application : Maximum de vraisemblance

Position du probl `eme

Probl `eme :

(f_θ)_θ∈Θfamille param ´etrique de densit ´es G_N suite de sous graphes emboit ´es (X_i)i∈G MA_Ade densit ´ef_θ0 observ ´e surG_N On veutestimerθ0par max de vraisemblance

K_N(f): covariance du processus de densit ´ef restreint `aG_N (comme pour Toeplitz)

H₁:Convergence ´etroite de la mesure spectrale empirique de AsurG_N versµ

Position du probl `eme

Probl `eme :

(f_θ)_θ∈Θfamille param ´etrique de densit ´es G_N suite de sous graphes emboit ´es (X_i)i∈G MA_Ade densit ´ef_θ0 observ ´e surG_N On veutestimerθ0par max de vraisemblance

K_N(f): covariance du processus de densit ´ef restreint `aG_N (comme pour Toeplitz)

H₁:Convergence ´etroite de la mesure spectrale empirique de AsurG_N versµ

Position du probl `eme

Probl `eme :

(f_θ)_θ∈Θfamille param ´etrique de densit ´es G_N suite de sous graphes emboit ´es (X_i)i∈G MA_Ade densit ´ef_θ0 observ ´e surG_N On veutestimerθ0par max de vraisemblance

K_N(f): covariance du processus de densit ´ef restreint `aG_N (comme pour Toeplitz)

H₁:Convergence ´etroite de la mesure spectrale empirique de AsurG_N versµ

Position du probl `eme

Probl `eme :

(f_θ)_θ∈Θfamille param ´etrique de densit ´es G_N suite de sous graphes emboit ´es (X_i)i∈G MA_Ade densit ´ef_θ0 observ ´e surG_N On veutestimerθ0par max de vraisemblance

K_N(f): covariance du processus de densit ´ef restreint `aG_N (comme pour Toeplitz)

H₁:Convergence ´etroite de la mesure spectrale empirique de AsurG_N versµ

G ´en ´eralisation de Z

Z,[1,N]

µ= _2π¹λsurT 2=o(N) A_ij =11_j=i+1

T(f) =σ²P(A)^TP(A), f =σ²|P|²

∆_k =k, α(f) =P

kk|f_k|

G,G_N o o o o o

oH₁:Mesure spectraleµ o

o o o o

oH₂:]∂G_N =o(]G_N) o

o o o o

oXA∈S₁ o

o o o o

oXK(f) =σ²P(A)^TP(A), f =σ²|P|²

o o o o o

oXα(f) =P

k∆_k|f_k|

G ´en ´eralisation de Z

Z,[1,N]

µ= _2π¹λsurT 2=o(N) A_ij =11_j=i+1

T(f) =σ²P(A)^TP(A), f =σ²|P|²

∆_k =k, α(f) =P

kk|f_k|

G,G_N o o o o o

oH₁:Mesure spectraleµ o

o o o o

oH₂:]∂G_N =o(]G_N) o

o o o o

oXA∈S₁ o

o o o o

oXK(f) =σ²P(A)^TP(A), f =σ²|P|²

o o o o o

oXα(f) =P

k∆_k|f_k|

G ´en ´eralisation de Z

Z,[1,N]

µ= _2π¹λsurT 2=o(N) A_ij =11_j=i+1

T(f) =σ²P(A)^TP(A), f =σ²|P|²

∆_k =k, α(f) =P

kk|f_k|

G,G_N o o o o o

oH₁:Mesure spectraleµ o

o o o o

oH₂:]∂G_N =o(]G_N) o

o o o o

oXA∈S₁ o

o o o o

oXK(f) =σ²P(A)^TP(A), f =σ²|P|²

o o o o o

oXα(f) =P

k∆_k|f_k|

G ´en ´eralisation de Z

Z,[1,N]

µ= _2π¹λsurT 2=o(N) A_ij =11_j=i+1

T(f) =σ²P(A)^TP(A), f =σ²|P|²

∆_k =k, α(f) =P

kk|f_k|

G,G_N o o o o o

oH₁:Mesure spectraleµ o

o o o o

oH₂:]∂G_N =o(]G_N) o

o o o o

oXA∈S₁ o

o o o o

oXK(f) =σ²P(A)^TP(A), f =σ²|P|²

o o o o o

oXα(f) =P

k∆_k|f_k|

G ´en ´eralisation de Z

Z,[1,N]

µ= _2π¹λsurT 2=o(N) A_ij =11_j=i+1

T(f) =σ²P(A)^TP(A), f =σ²|P|²

∆_k =k, α(f) =P

kk|f_k|

G,G_N o o o o o

oH₁:Mesure spectraleµ o

o o o o

oH₂:]∂G_N =o(]G_N) o

o o o o

oXA∈S₁ o

o o o o

oXK(f) =σ²P(A)^TP(A), f =σ²|P|²

o o o o o

oXα(f) =P

k∆_k|f_k|

G ´en ´eralisation de Z

Z,[1,N]

µ= _2π¹λsurT 2=o(N) A_ij =11_j=i+1

T(f) =σ²P(A)^TP(A), f =σ²|P|²

∆_k =k, α(f) =P

kk|f_k|

G,G_N o o o o o

oH₁:Mesure spectraleµ o

o o o o

oH₂:]∂G_N =o(]G_N) o

o o o o

oXA∈S₁ o

o o o o

oXK(f) =σ²P(A)^TP(A), f =σ²|P|²

o o o o o

oXα(f) =P

k∆_k|f_k|

Lemmes de Szeg ¨o

Z:

1

N log(det(T_N(f)))→ Z

log(f(λ))dµ(λ)

Lemmes de Szeg ¨o

Lemme du determinant 1

]G_Nlog(det(K_N(f)))→ Z

log(f(λ))dµ(λ)

Lemmes de Szeg ¨o

Lemme du determinant 1

]G_Nlog(det(K_N(f)))→ Z

log(f(λ))dµ(λ)

Z:

T_N(f)⁻¹≈T_N(1 f)

Lemmes de Szeg ¨o

Lemme du determinant 1

]G_Nlog(det(K_N(f)))→ Z

log(f(λ))dµ(λ)

Lemme d’inversion

K_N(f)⁻¹≈K_N(1 f)

Lemmes de Szeg ¨o

Lemme du determinant 1

]G_Nlog(det(K_N(f)))→ Z

log(f(λ))dµ(λ)

Lemme d’inversion

K_N(f)⁻¹≈K_N(1 f)

⇒Convergence des estimateurs

On construit les vraisemblances approch ´ees utilisant les deux lemmes pr ´ec ´edents.

Th ´eor `eme

Sous des hypoth `eses “classiques”, et pour des classes de densit ´es assez r ´eguli `eres,tous les estimateursde max de vraisemblances approch ´eesconvergentvers la vraie valeur.

On construit les vraisemblances approch ´ees utilisant les deux lemmes pr ´ec ´edents.

Th ´eor `eme

Sous des hypoth `eses “classiques”, et pour des classes de densit ´es assez r ´eguli `eres,tous les estimateursde max de vraisemblances approch ´eesconvergentvers la vraie valeur.

Pistes de recherche

Probl `emes connexes

Extension aux cas de densit ´es moins r ´eguli `eres (longue m ´emoire...)

Efficacit ´e

Estimation du g ´en ´erateurA Grandes d ´eviations

Utilisation du mod `ele

G ´en ´eralisations aux processus non-r ´eguliers Graphes al ´eatoires

Pistes de recherche

Probl `emes connexes

Extension aux cas de densit ´es moins r ´eguli `eres (longue m ´emoire...)

Efficacit ´e

Estimation du g ´en ´erateurA Grandes d ´eviations

Utilisation du mod `ele

G ´en ´eralisations aux processus non-r ´eguliers Graphes al ´eatoires

Pistes de recherche

Probl `emes connexes

Extension aux cas de densit ´es moins r ´eguli `eres (longue m ´emoire...)

Efficacit ´e

Estimation du g ´en ´erateurA Grandes d ´eviations

Utilisation du mod `ele

G ´en ´eralisations aux processus non-r ´eguliers Graphes al ´eatoires

Pistes de recherche

Probl `emes connexes

Extension aux cas de densit ´es moins r ´eguli `eres (longue m ´emoire...)

Efficacit ´e

Estimation du g ´en ´erateurA Grandes d ´eviations

Utilisation du mod `ele

G ´en ´eralisations aux processus non-r ´eguliers Graphes al ´eatoires

Pistes de recherche

Probl `emes connexes

Extension aux cas de densit ´es moins r ´eguli `eres (longue m ´emoire...)

Efficacit ´e

Estimation du g ´en ´erateurA Grandes d ´eviations

Utilisation du mod `ele

G ´en ´eralisations aux processus non-r ´eguliers Graphes al ´eatoires

Pistes de recherche

Probl `emes connexes

Extension aux cas de densit ´es moins r ´eguli `eres (longue m ´emoire...)

Efficacit ´e

Estimation du g ´en ´erateurA Grandes d ´eviations

Utilisation du mod `ele

G ´en ´eralisations aux processus non-r ´eguliers Graphes al ´eatoires

Pistes de recherche

Probl `emes connexes

Extension aux cas de densit ´es moins r ´eguli `eres (longue m ´emoire...)

Efficacit ´e

Estimation du g ´en ´erateurA Grandes d ´eviations

Utilisation du mod `ele

G ´en ´eralisations aux processus non-r ´eguliers Graphes al ´eatoires

Merci

Lemmes de Szeg ¨o

Comme pourZ, deux lemmes n ´ecessaires Lemme (Lemme du d ´eterminant)

1

]G_Nlog(det(K_N(f)))→ Z

log(f(λ))dµ(λ)

Lemmes de Szeg ¨o

Comme pourZ, deux lemmes n ´ecessaires Lemme (Lemme du d ´eterminant)

1

]G_Nlog(det(K_N(f)))→ Z

log(f(λ))dµ(λ)

Lemme (Lemme d’inversion)

(K_N(f))⁻¹≈K_N(1 f)

Lemmes de Szeg ¨o

Comme pourZ, deux lemmes n ´ecessaires Lemme (Lemme du d ´eterminant)

1

]G_Nlog(det(K_N(f)))→ Z

log(f(λ))dµ(λ)

Lemme (Lemme d’inversion)

(K_N(f))⁻¹≈K_N(1 f)

Remarque :En r ´ealit ´e, contr ˆole du biais (norme infinieb) entre

Lemmes de Szeg ¨o

Comme pourZ, deux lemmes n ´ecessaires Lemme (Lemme du d ´eterminant)

1

]G_Nlog(det(K_N(f)))→ Z

log(f(λ))dµ(λ)

Z:

b(T_N(f)T_N(g)−T_N(fg))≤α(f)α(g)

Lemmes de Szeg ¨o

Comme pourZ, deux lemmes n ´ecessaires Lemme (Lemme du d ´eterminant)

1

]G_Nlog(det(K_N(f)))→ Z

log(f(λ))dµ(λ)

Lemme de quasi-homomorphisme 1

]∂G_Nb(K_N(f)K_N(g)−K_N(fg))≤ 1

2α(f)α(g)

Hypoth `eses (H₃) Θest compact

L’applicationν →f_ν est injective

∃ρ,∀ν∈Θ, α(fν)≤ρ, α(1 f_ν)≤ρ

∃m>0,∀ν ∈Θ,∀x,m≤f_ν(x)≤ 1 m Continuit ´e de f_ν(λ)enν

Th ´eor `eme

Hypoth `eses (H₃) Θest compact

L’applicationν →f_ν est injective

∃ρ,∀ν∈Θ, α(fν)≤ρ, α(1 f_ν)≤ρ

∃m>0,∀ν ∈Θ,∀x,m≤f_ν(x)≤ 1 m Continuit ´e de f_ν(λ)enν

Th ´eor `eme