I. Interception d’une fusée balistique

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PCSI 1 - Stanislas DM de PHYSIQUE N^◦5 - 20/01/14 A. MARTIN

MÉCANIQUE

I. Interception d’une fusée balistique

1. Modélisation sans frottement de l’air

1. (cf Cours...) Le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) appliqué dans Rgaliléen donne pour le systèmeM :~a = ~g. En intégrant deux fois et en introduisant les conditions initiales, on obtient

~

r=¹₂~g t²+~v0t. Après projection cela donne : x=v0cosα t, y= 0 et z=−1

2g t²+v0sinα t. 2. On élimine la variable temps :t=x/(v0cosα), ce qui mène à z=− g

2v₀²cos²αx²+ tanα x. 3. La portée vérifie−_2v2^g

0cos²αP²+ tanα P= 0 d’où P=2v²₀

g sinαcosα. On cherche la hauteur maximale en dérivant la trajectoire :−_v2 ^g

0cos²αxmax+ tanα= 0 d’oùxmax=P/2 et hmax=v²₀

2gsin²α. Ce résultat aurait pu être obtenu avec le théorème de l’énergie cinétique.

4. La fonctionf(α) = sinαcosα=¹₂sin(2α) est maximale enα=π/4 et vaut alors¹₂. D’où Pmax=v²₀ g . 5. De même que pour la fusée, le PFD appliqué àN conduit à~a⁰ =~g. Une première intégration donne

~

v⁰=~g(t−t1). Puis une seconde donne~r⁰=¹₂~g(t−t1)²+−−→

ON0. On en déduit après projection x=x0, y= 0 et z=−1

2g(t−t1)²+z0.

6. L’interception impose~r(T) =~r⁰(T), donc en projettant :

v0cosα T=x0 (1)

−1

2g T²+v0sinα T=−1

2g(T−t1)²+z0 ⇐⇒ (v0sinα−gt1)T=z0−1

2g t²₁ (2) L’Eq. (1) impose la date de l’interception : T= x0

v0cosα.

7. L’Eq. (2) contraint la datet1viat²₁−2T t1+ 2 (v0sinαT−z0)/g= 0, c’est-à-dire en remplaçantT: t²₁− 2x0

v0cosαt1+ 2x0tanα−z0

g = 0 .

8. On cherche une solution réelle, donc le discriminent réduit doit être positif ∆⁰= ^x²⁰

v₀²cos²α−2^x⁰^tanα−z_g ⁰>0.

Ceci implique z0≥ − g x²₀

2v²₀cos²α+x0tanα =p(x0), c’est-à-dire que le pointN0se situe au dessus de la parabole d’équationz=p(x), qui n’est autre que la trajectoire de la fusée ! On aurait pu le deviner sans calcul...

9. On at1 = _v ^x⁰

0cosα

1± r

1−2^v⁰²^cos²^α(x⁰^tanα−z⁰⁾

g x²₀

. On cherche une racine à la fois positive (logique- ment l’obus est émis après le lancement de la fusée...), mais aussi inférieure àT (l’obus est émis avant l’interception...). Ceci impose t1=T 1−

s 1− 2

gT²(x0tanα−z0)

!

et x0tanα−z0≥0 . La dernière condition impose donc que l’obus soit lâché suffisamment près de la trajectoire, précisément en dessous de la droite d’équationz0= tanα x0.

1

O x

z

α

~ v

₀

ZONE LARGAGE

10. D’après la question 6., on aT=x0/v_0x. On calcule la différentielle logarithmique^dT_T =^dx_x⁰

0 −^dv_v^0x

0x pour connaître la propagation des erreurs : ^δT_T = ^δx_x⁰

0 −^δv_v^0x

0x. En admettant que ces erreurs (relatives) sont indépendantes, on obtient l’incertitude relative en sommant les variances :

∆T T =

s ∆x0

x0 2

+ ∆v_0x

v_0x 2

=^p10⁻⁸+ 10⁻⁶≈0,1 %

2. Prise en compte des frottements de l’air

11. Il y a une seule dimension mais plusieurs unités possibles. [λ] = M.T⁻¹doncλest par exemple en kg.s⁻¹. [k] = M.L⁻¹donckest par exemple en kg.m⁻¹.

12. (cf Cours...) Le PFD pour M dans Rs’écrit maintenant~a+¹_τ~v = ~g, avec τ = ^m_λ. La solution de cette équation est la somme d’une solution générale exponentielle et d’une solution particulière constante.

Après introduction des conditions initiales on obtient :~v = (~v0−τ~g)e⁻^τ^t +τ~g. En intégrant de nou- veau on obtient ~r = τ(~v0−τ~g) (1−e⁻τ^t) +τ~g t. D’où en projettant : x=τ v0cosα(1−e⁻τ^t) , et

z=τ(v0sinα+τ g) (1−e⁻^τ^t)−τ g t.

13. Le mouvement selonxpermet de nouveau de conclure :x(T⁰) =x0car l’obus évolue toujours àx⁰=x0= constante. D’où T⁰=−τln

1− x0

τ v0cosα

.

14. Le mouvement de l’obus est monodimensionnel selonz. Le PFD projetté s’écrit pour la norme de la vitesse v⁰: dv⁰

dt =g− k

m⁰v⁰². On retrouve bien que la force de frottement tend à réduire la vitesse.

En cherchant une solution constante on trouve v⁰_`= s

m⁰g k .

15. On sépare les variables en faisant apparaître une différentielle env⁰ à gauche, et une différentielle ent à droite : ^dv⁰

g−_m^kv⁰² = dt. On change de variable en posant u= s k

m⁰gv⁰=v⁰

v⁰_` pour faire apparaître la fonction proposée :

du

1−u² = du

2(1 +u)+ du 2(1−u)=dt

τ⁰ avec τ⁰= sm⁰

kg=v⁰_` g 16. On intègre entret1ettle membre de droite, et entreu0=^v_v⁰⁰0

`

etucelui de gauche, ce qui fait appraître des fonctions ln :

1 2ln

1 +u 1 +u0

−1 2ln

1−u 1−u0

= ln

s(1 +u)(1−u0) (1−u)(1 +u0)

!

=t−t1

τ⁰

2

(2)

On inverse alors cette relation :^(1+u)(1−u_(1−u)(1+u⁰⁾

0)=e^2t^τ⁰ ⇐⇒^1+u_1−u=f(t) avec f(t) =^1+u_1−u⁰

0e

2(t−t1) τ0 . On en déduit

v⁰(t) =v_`⁰f(t)−1

f(t) + 1 avec f(t) =v⁰_`+v0

v⁰_`−v0

e^2(t−tτ0¹⁾

17. L’équation s’écritz(T⁰) =z⁰(T⁰). OrT⁰et doncz(T⁰) sont connus explicitement en fonction des données du problème, qui se résument à~v0etN0,~g,τ, etτ⁰. Donc en posantX=e^T−tτ0¹, elle s’écrit

z(T⁰)−z0=τ⁰v_`⁰ln

X+q/X 1 +q

.

Après inversion cette équation devient un trinôme du second degré enX. Donc on peut écrire de nouveau au maximum 2 solutions littérales pourt1, à la condition queXsoit réel et positif. Comme pour le cas sans frottement, cela contraint le lieu géographique des positionsN0.

3

II. Descente d’une bille sur une hélice

1. a) Le vecteur~u_t est le vecteur directeur du vecteur vitesse~v= Rθ ~˙u_θ+ ˙z ~u_z = ˙z(~u_θ+ ~u_z). Donc

~

u_t= (~u_θ+~u_z)/||~u_θ+~u_z||, d’où ~u_t= (~u_θ+~u_z)/√

2 . De plus cosα=~u_θ.~u_t=^√¹₂, donc α=π/4 . b) On obtient :~u_n=^√¹₂~u_r∧(~u_θ+~u_z), donc ~u_n= (−~u_θ+~u_z)/√

2 . 2. On obtient ~a=−z˙²/R ~u_r+ ¨z ~u_θ+ ¨z ~u_z.

3. Le PFD dansRs’écrit~a=_m¹−→ N+_m¹−→

T+~g. On note−→

N=N_r~u_r+N_n~u_n, et−→

T =T ~u_tavecT >0 car le mobile descend. En utilisant que~u_t.~u_r=~u_n.~u_r= 0,~u_t.~u_θ=~u_t.~u_z= 1/√

2 et~u_n.~u_θ=−~u_n.~u_z=−1/√ 2, on obtient

~ur : −z˙²/R =Nr/m (3)

~u_t : √

2¨z =T /m−g/√

2 (4)

~

u_n : 0 =N_n/m−g/√

2 (5)

L’Eq. (5) rappelle que le mouvement est tangent à l’hélice, qui n’est pas courbée selon la direction de~u_n. 4. En l’absence de frottements,T= 0 et donc l’Eq. (4) mène à ¨z=−g/2 . Les conditions initiales conduisent

à z=−1 4gt².

Remarque : Tout se passe comme si le champ de pesanteur était divisé par 2, à cause de la pente verticale de l’hélice. La loi horaire est la même que si l’hélice était dépliée sur un plan vertical (on obtiendrait un mouvement rectiligne incliné deπ/4par rapport à l’horizontale.

5. En exploitant les Eqs. (3) et (5), on obtient N_r=−mg²

4Rt² et N_n=mg

√2.

Remarque : A la différence du mouvement rectiligne précédent, il y a nécessairement une réaction radiale N_rpour maintenir le mobile en rotation autour de l’axeOzsur l’hélice.

6. Le système étant conservatif en l’absence de frottements (N~ ne travaille jamais et le poids est conservatif), l’énergie mécanique est constante. Elle vautE_m=E_c+E_p=mz˙²+mgz. On dérive cette équation par rapport au temps, puis on simplifie par ˙z, ce qui donne 2m¨z+mg= 0. On retrouve donc la même équation.

7. Lors du glissement, la loi de Coulomb s’écritT =f^pN_r²+N_n². En injectant les Eqs. (3) et (5) dans l’Eq. (4), on obtient ¨z=f^p(N_r²+N_n²)/(2m²)−g/2, d’où l’équation du mouvement

¨ z=f g

2 s

1 + 2 g²R²z˙⁴−g

2

8. La condition de mise en mouvement à l’instant initial correspond à ˙z= 0 et ¨z <0, doncf g/2−g/2<0, donc f <1 .

9. Si elle existe, la vitesse limite vérifie ¨z= 0, donc

˙

zlim=^pgR^1−f²

2f² ¹₄

4