Prépas emc2

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MPSI (Electricité)

Olivier Granier (olivier.granier.free.fr)

Electricité : chapitre 1

Lois générales et composants usuels

1) Conduction du courant : le cuivre a pour masse molaire M=63,54 g.mol

et pour masse volumique ρ=8,8.10

kg.m

. Calculer le nombre d'atomes de cuivre par unité de volume. En admettant qu'un atome de cuivre libère un électron de conduction, calculer la vitesse moyenne v de ces électrons correspondant à un courant de 10 A circulant dans un fil de section droite s=1 mm

. (Réponse : 7,5.10

m.s

).

2) Démarreur de voiture : pour faire démarrer un véhicule dont la batterie est déchargée, on utilise deux câbles de longueur totale L = 2 m et de section s = 10 mm

reliés à la batterie 12 V d'un deuxième véhicule. Calculer la tension disponible pour un démarreur de voiture essence nécessitant 100 A et diesel nécessitant 250 A. Que concluez-vous ?

Données : conductivité du cuivre : γ = 6.10

S.m

.

3) Puissance et caractéristique : un générateur de tension continue (E et r constants) fournit un courant I dans une résistance R.

a) Etablir la formule littérale donnant la puissance dissipée dans la résistance R en fonction de E, r et R.

b) Pour quelle valeur de R cette puissance est-elle maximale ? AN : E=100 V ; r=500 Ω. Calculer P

. c) On remplace R par un dipôle passif de caractéristique U=kI

(dipôle non linéaire). On a trouvé pour U=50 V, I=1 mA et pour U=100 V, I=10 mA. Calculer k et α.

d) Calculer U pour I=2, 4 et 8 mA. Tracer la caractéristique du dipôle.

e) Tracer sur le même graphique la caractéristique du générateur (E=100V ; r=500 Ω) puis en déduire les coordonnées I et U du point de fonctionnement. (Réponses : U=95 V et I=8,7 mA)

4) Associations de résistances : on considère les différents circuits représentés sur la figure ci-dessous. Toutes les résistances valent r. Calculer, dans chaque cas, la résistance équivalente entre les points A et B. (Réponses : 0,75r, 0,733r et 0,733r).

r r r r A

r r r

r r

r r

A r

r r r r

r r r

A

∞

B B

B

5) Optimisation d'un groupement de piles : on dispose de n piles identiques de fém e et de résistance interne r.

On réalise le branchement en parallèle entre A et B de x dipôles comprenant chacun y piles montées en série.

Déterminer x et y pour que l'intensité du courant circulant dans une résistance R, branchée entre A et B, soit maximale, connaissant : n = 24, e = 1 V, r = 1 Ω et R = 6 Ω.

6) Etude d'un électrolyseur : un électrolyseur est constitué de deux électrodes de nickel plongeant dans une

solution aqueuse de soude de concentration 100 g.L

(figure ci-dessous) :

On relève les valeurs suivantes :

I

A B

U = V

-V

U(V) I(A)

0 1 2 2,25 2,5 3 4 5 0 0 0 0,05 0,2 0,5 1,1 1,7

a) Tracer sa caractéristique courant-tension et en déduire sa fcém e, sa résistance interne e, puis sa résistance statique et sa résistance dynamique pour U = 4,5 V.

b) Linéariser ce dipôle, puis le modéliser selon la valeur de U.

c) Montrer que le fait que la puissance maximale admissible pour l'électrolyseur soit de 10 W se traduit graphiquement par un domaine interdit ; en déduire U

et I

; le vérifier d'après la linéarisation.

Circuits en régime continu

7) Passage de la représentation de Thévenin à celle de Norton : dessiner les générateurs de Thévenin et de Norton équivalents aux réseaux linéaires suivants :

5Ω

6V→

6V→

←3V

A

B

6Ω

2Ω A

B 4 V ↑

3 Ω A

B 6 Ω

↑ 1 A

2 Ω 1 Ω

A

B 2 A ↓

8) Détermination d'intensités : calculer, en utilisant les lois des nœuds et des mailles, les intensités dans les différentes branches du réseau ci-dessous. (0,462 A ; 0,031 A ; 0,431 A).

I

I

↓

4 Ω

5 Ω

5 Ω

←12V

←10 V

←8 V

I

9) Détermination d'intensités (bis) : calculer l'intensité dans la branche AB du réseau ci-dessous.

16 Ω 4 Ω

↑ 4 V 6 Ω 24 V↓

A

10) Générateur de tension et générateur de courant : on étudie le réseau ci-dessous. Calculer l'intensité i du courant dans la branche AB.

↑ i

A R

R

R

R

↑ e

e

↑

B i

(Réponse :

 



 

 + +

+

+ +

=

3 2 1 4

2 2 1 1 0

R 1 R

1 R R 1 1

R e R i e

i )

11) Circuit actif réductible à une résistance : on considère le circuit représenté ci-contre. On prendra R = 5 Ω, E

= 2 V et E

= 8 V.

R R

R

2R 2R

E2

E1 E

A

B

a) Déterminer le générateur de Thévenin équivalent entre les bornes A et B.

b) Donner la valeur de E pour laquelle le circuit est équivalent (entre A et B) à une résistance pure dont on précisera la valeur.

12) Générateurs ou récepteurs : le circuit ci-contre comprend deux générateurs (G

) et (G

) de fém E

(positive) et E

(signe quelconque) et de résistances internes r

et r

. Ces générateurs sont branchés en parallèle sur la résistance R dont on peut faire varier la valeur.

r

R ↑u r

i

i

↑E

E

↑

Déterminer, selon les valeurs de R, le type de fonctionnement (générateur ou récepteur) de chacun des deux

générateurs.

13) Baladeur MP3 :

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Electricité : chapitre 2

1) Un dispositif destiné à détecté des particules ionisantes se comporte, sous l'effet de l'une de ces particules, comme un générateur de courant dont le courant électromoteur (ou de court-circuit) est i (t)

= I exp( t / )

− τ . Ce dispositif est connecté à un circuit RC dont la constante de temps RC = k τ , où k est une constante positive réelle (voir la figure) :

a) Ecrire l'équation différentielle à laquelle obéit la tension v

aux bornes du condensateur.

b) Lorsque le condensateur est initialement déchargé, montrer que la tension v

(t) est donnée par la relation :

s 0

t t

v (t) ARI exp( ) exp( )

τ k τ

 

=  − − − 

 

Donner l'expression de A en fonction de k.

2) Charge d’un condensateur à l’aide d’une source de tension : pour t < 0, le circuit est au repos et e(t) est un échelon d’amplitude E.

a) On s’intéresse à l’état du circuit juste après l’application de la tension E ; déterminer i

(0

), i

(0

), i(0

) et v(0

).

b) On s’intéresse au régime permanent ; déterminer i

(+ ∞ ), i

(+ ∞ ), i(+ ∞ ) et v(+ ∞ ).

c) Etablir l’équation différentielle vérifiée par v(t).

d) Déterminer l’expression de v(t) et représenter graphiquement l’allure de v(t).

e) On appelle temps de réponse à 5%, tr

, le temps que met le condensateur pour atteindre 95% de sa charge finale ; calculer tr

,.

3) Circuit (RL) alimenté par une rampe de tension : un circuit série (RL) est alimenté par un générateur de résistance interne nulle et dont la fém e(t) varie de manière linéaire avec le temps (e(t) = kt) avant de se stabiliser à la valeur constante Em (Cf.figure). On donne Em = 10 V et T = 2 ms.

E

T e(t)

O t

a) Déterminer les tensions aux bornes de R et de L, notées uR(t) et uL(t), en fonction du temps.

b) Tracer ces deux fonctions pour τ = L / R = T / 10

4) Condensateurs série ou parallèle, aspect énergétique :

a) On étudie la charge de deux condensateurs en série (initialement déchargés) de capacités C

et C

par une fém E à travers une résistance R. Déterminer les charges q

(t) et q

(t) portées par les deux condensateurs, l’énergie de chaque condensateur, l’énergie fournie par la source de tension et l’énergie perdue par effet Joule.

b) Les deux condensateurs sont désormais branchés en parallèle ; répondre aux mêmes questions.

R

C v(t)

e(t)

R

i

i

i

5) Etude d'un circuit (RL) : on considère le circuit ci-dessous.

(K) E

L

R

R

R

On ferme l'interrupteur à t = 0 : déterminer tous les courants.

6) Régime transitoire dans un circuit RLC : on considère le circuit représenté ci-dessous. En prenant pour l'instant initial celui de la fermeture de l'interrupteur (K), étudier la tension u(t) aux bornes du condensateur C pour les valeurs :

R

L C u

E (K)

E = 2 V ; R = 10 Ω ; C = 10-6 F ; L = 10-3 H

Calculer u pour t = 10 -5 s. ( u = 2 + 0 , 29 exp( − 1 , 13 . 10

t ) − 2 , 29 exp( − 8 , 87 . 10

t ); 1 , 32 V )

7) Etincelle de rupture : cet exercice étudie le comportement d’un appareil industriel (M) alimenté par une source de tension continue. Le comportement électrique vis-à-vis des circuits extérieurs du moteur est équivalent à celui d’une inductance pure (L = 45 mH) en série avec une résistance R = 9,6 Ω.

a) On considère le circuit représenté figure (a), où E est la fém d’un générateur de tension continue.

L’interrupteur (K) étant ouvert depuis longtemps, on le ferme à l’instant t = 0. Etablir l’expression de l’intensité i(t) du courant dans le circuit en fonction du temps. Quelle est l’expression de l’intensité I en régime permanent ? Le régime permanent précédent étant établi, on ouvre (K). On observe à l’ouverture du circuit une étincelle aux bornes de (K). Expliquer ce phénomène.

Figure (a) Figure (b)

A (M) B

(K)

E

(M)

C’ R A B

b) Pour éviter cette étincelle, on monte en parallèle avec l’appareil (M), entre ses bornes A et B, un

condensateur de capacité C ' = L / R

en série avec une résistance de même valeur R. Cette mise en parallèle

constitue un nouveau dipôle AB (figure (b)). Le dipôle AB étant alimenté depuis longtemps par la fém

continue E, expliquer pourquoi, à l’ouverture du circuit, on n’observe plus d’étincelle aux bornes de

l’interrupteur (K). Que deviennent les intensités i fournie par le générateur, i

dans le moteur et i

dans la

branche C’R à cet instant ? Quelles sont la nature et la durée du régime transitoire observé ?

8) Pont de Wien :

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Electricité : chapitre 3

Calculs d’impédances

1) Tension et intensité en phase : calculer R et R' pour que u et i soient en phase pour toute valeur de la pulsation ω. (Réponse : R = R ' = L / C )

i

R R'

C

B A

u

C L

u

1/Cω=5Ω 2,5 Ω

10 Ω

A B

Lω=5Ω i

Exercice n°1 Exercice n°2

2) Détermination d’intensité instantanée : le dipôle AB est alimenté en courant alternatif sous la tension )

sin(

100 t

V

V

−

= ω . Donner l'expression de l'intensité instantanée i(t) dans le circuit principal en fonction du temps. (Réponse : i ( t ) = 10 2 sin( ω + t π / 4 ) )

3) Etude d'un circuit (RLC) : on dispose d'un condensateur de capacité C = 20 µF, d'une bobine de résistance R = 10 Ω et de coefficient d'auto-inductance L = 0,3 H, d'un générateur BF délivrant une tension sinusoïdale de valeur efficace 100 V et de fréquence f = 50 Hz.

Calculer l'intensité du courant et son déphasage par rapport à la tension quand on applique la tension successivement :

a) Aux bornes du condensateur.

b) Aux bornes de la bobine.

c) A l'ensemble condensateur-bobine en série.

d) A l'ensemble condensateur-bobine en parallèle.

(Réponses : a) 0,628 A et ϕ = π / 2 ; b) 1,05 A et -84° ; c) 1,52 A et +81° ; d) 0,42 A et -75°)

Valeurs moyennes et efficaces 4) Courant en dents de scie : on considère i = f(t) donnée par

la courbe ci-contre. Calculer l'intensité moyenne et l'intensité efficace de ce courant en dents de scie.

(Réponse : 0 et I 0 / 3 )

T 2T 3T t

i(t)

-I0

O

Utilisation des théorèmes généraux

5) Diviseurs de tensions et de courants :

a) Calculer le rapport u / e du circuit (a). Quelles sont ses valeurs limites quand ω → 0 et ω → ∞ ? Quelle relation doivent vérifier R

, R

, C

et C

pour que ces limites soient identiques ? Que devient alors l'expression de u / e ?

b) Transformer le générateur de tension (e,r) du schéma (b) en un générateur de courant puis calculer le courant i

. Que valent i

.et ϕ

R

.(déphasage de i

par rapport à e) pour ω 0 = 1 / LC ?

C

C

e

R

R

u

u i

e L

C r

R

Circuit (a) Circuit (b)

(Réponses : a) u e

R jR C

R jR C R jR C

= +

+ + +

2 1 1 1

2 1 1 1 1 1 2 2

( )

( ) ( )

ω

ω ω ^{; b) i R}

e r

jL R

= ω D /

; D LC j L

R L

= − 1 ω 2 + ( + r ) ω )

6) Représentation de Norton : pour quelle valeur de la pulsation ω l'intensité traversant R est-elle indépendante de R ? On remplacera le dipôle situé à gauche de AB par sa représentation de Norton.

i

e(t)

C R L

A

B

Puissance en régime sinusoïdal

7) Admittance et puissance : la figure donne la composition d'un dipôle tel que : C

= 2 µF ; L

1

= 40 µH ; R

2

= 5 Ω ; C

3

= 4 µF ; R

3

= 0,2 Ω Il est alimenté par un courant sinusoïdal de fréquence

f = 120 kHz et la tension efficace aux bornes A et B du dipôle est U

= 12 V. On demande de calculer :

a) L'admittance complexe Y du dipôle (i.e. l'inverse de l'impédance complexe du dipôle).

b) Les valeurs efficaces des intensités dans les trois branches.

c) La puissance dissipée dans le dipôle.

(Réponses : Y = 1,53 + 2,18j ; 0,41 A ; 2,4 A ; 30,7 A ; 220 W)

B

C

C

L

R

R

A

8) Facteur de puissance : une installation électrique est alimentée sous une tension efficace U

= 200 V. Elle consomme une puissance P = 12 kW. La fréquence est f = 50 Hz et l'intensité efficace 80 A.

a) Sachant que cette installation est du type inductif, calculer la résistance R et l'inductance propre L qui, placées en série et avec la même alimentation, seraient équivalentes à l'installation.

b) Calculer la capacité C à placer en parallèle sur l'installation pour relever le facteur de puissance à la valeur 0,9.

(Réponses : 1,875 Ω ; 5,26 mH ; 1,3 mF ou 0,38 mF) 9) Pont de Wheastone :

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Electricité : chapitre 4

Filtres du 1

ordre

1) Détermination d'une fonction de transfert : déterminer la fonction de transfert H j ( ω ) du circuit proposé.

L'exprimer en fonction de ω, ω

= 1 / rC et α = r / (r+R). Tracer le diagramme de Bode du circuit.

On déterminera l'extremum ϕ m du déphasage ainsi que la valeur ω m de la pulsation correspondante (prendre

α = 0,25 pour les AN).

2) Association de cellules (R,C) :

a) Déterminer l'expression de la fonction de transfert H

= u

/ u

pour le circuit (a), en fonction de ω et de la pulsation de référence ω

0

= 1 / RC.

u

R

C u

u

R C

aR

C/a u

Circuit (a) Circuit (b)

b) Déterminer la fonction de transfert H = u

/ u

pour le montage (b), en fonction de ω, ω

0

et a (constante positive réglable). (Réponse : H j

= − +  + a

  

 





 





 

1 1 ² 2 1

0 2 0

/ ω

ω ω

ω ⁾

3) Pseudo-dérivateur chargé par un oscilloscope : l'entrée d'un oscilloscope est équivalente à un résistor de résistance R

= 1 MΩ en parallèle avec un condensateur de capacité C

= 30 pF. On réalise le montage ci-contre.

a) Déterminer les comportements asymptotiques à haute et à basse fréquence du montage. Quelle opération réalise-t-il à ces fréquences

?

b) Quelles valeurs donner à R et à C pour que les perturbations dues à l'oscilloscope soient négligeables ?

R

r

C

v

v

A

B

A

B

v

oscilloscope C

C

R

R

0

v

4) Accentuation des composantes aiguës d’un son :

Filtres du 2

ordre 5) Filtres de Wien, de Colpitts et de Hartley :

a) Etablir la fonction de transfert du filtre de Wien (figure (a)) utilisé en sortie ouverte (i

= 0) et la présenter sous la forme normalisée pour un filtre du second ordre. Préciser notamment la nature du filtre, le facteur de qualité Q et le coefficient d'amortissement σ.

b) Mêmes questions pour le filtre de Colpitts (figure (b)) et pour le filtre de Hartley (figure (c)).

c) Tracer le diagramme asymptotique de ces trois filtres.

u

C i

C R

R C

u

u

C

L R

C

u

u

R

u

L

L

Circuit (a) Circuit (b) Circuit (c)

6) Filtre passif réjecteur de bande : on considère le filtre ci- contre utilisé en sortie ouverte (i

= 0).

a) Déterminer sa fonction de transfert H = u

/ u

. Quelle est la nature de ce filtre ?

b) Donner son diagramme de Bode. Démontrer que la courbe de gain est symétrique par rapport à l'axe des gains et que la courbe de réponse en phase est symétrique par rapport à l'origine.

c) On désire charger ce filtre par une utilisation d'impédance complexe Z

et lui conserver la même fonction de transfert.

Comment peut-on procéder ?

7) Utilisation d’un multiplieur :

i

=0 B

C C

2C u

R R R

u

E S

A

8) Amplificateur de chaîne Hi-fi :

Un amplificateur de chaîne hi-fi peut être modélisé par le schéma électrique suivant, dans lequel la résistance d’entrée R

sera considérée comme infinie :

v

(t) Ge(t)

e(t) R

Z

R

B

Y

A Y

On réalise pour cela les deux essais suivants :

• Essai n°1 : e(t) = E cos (2πft), R = 16 Ω, valeur efficace de e(t), 1 mV. On mesure avec un oscilloscope numérique une valeur efficace en sortie égale à 0,67 V.

• Essai n°2 : e(t) = E cos (2πft), R = 8 Ω, valeur efficace de e(t), 1 mV. On mesure alors une valeur efficace en sortie égale à 0,5 V.

De plus, on constate que, lors de chaque essai, les deux signaux de sortie gardent, quelle que soit la fréquence, la même valeur efficace et sont en phase avec e(t).

a Déterminer le gain à vide G et l’impédance de sortie complexe Z

.

b L’amplificateur étant alimenté par une tension e(t) = E cos (2πft), quelle doit être la résistance de charge R pour qu’il fournisse le maximum de puissance moyenne à tension d’entrée d’amplitude E constante ?

9) Système électronique linéaire :

10) Détecteur de crête :

On considère le montage ci-dessous ; la tension d'entrée est ve(t)=V0sin ωt. On suppose que RC >> T = 2π / ω.

La diode est supposée idéale et de seuil nul. On note v(t) la tension aux bornes de R.

a) Décrire qualitativement et comparer les évolutions temporelles de ve(t) et v(t). On pourra s'aider d'une représentation graphique.

b) A partir de quel instant t0 le courant iD devient-il nul ? Montrer que v(t0)  V0.

c) Comment varie v(t) aux instants ultérieurs ?

d) Montrer qu'au cours d'une période, la variation maximale

de tension ∆v aux bornes de la résistance est approximativement proportionnelle à T et que ∆ v / V0 << 1.

e) AN : on désire que la tension v(t) soit de l'ordre de 12 V et qu'un courant de 1 mA circule dans R. Quelle doit être la valeur de la capacité C pour que ∆ v / V0 < 10 - 2, la fréquence du générateur étant de 50 Hz ?

v(t) (D)

i

C i

i

v

(t) R

11) Fabrication d’un générateur sinusoïdal :

Il existe plusieurs façons de transformer un signal triangulaire en signal sinusoïdal. Le principe découle de celui, plus général, qui consiste à approcher une fonction donnée quelconque au moyen de petits segments. Le schéma de principe de l’une des réalisations possibles est donné sur la figure suivante. Les diodes sont supposées être idéales (tension de seuil nulle) et, par conséquent, le passage de l’état bloqué à l’état passant se fait brutalement.

On suppose U

< U

< U

….. < U

.

1. Déterminer l’expression de V

en fonction de V

.

2. Tracer l’allure de la courbe V

en fonction de V

, dans le cas où toutes les résistances sont égales à R. On donne U

= kU

(k = 1,…, n ; U

= 0,1 V et n = 6).

R

R

R

U

U

U

D

D

D

R

V

V

3. Les diodes ne sont pas parfaites. Quelle sera alors l’allure de la tension V

?

12) Conversion alternatif – continu :

13) Circuit retard et avance de phase :

14) Analyse de Fourier :

Un filtre a pour fonction de transfert :

2

2 0

0

1 1

5 H

j ω ω ω

ω

= −

− +

a) Quelle est la nature du filtre ? Quelle est sa fréquence de coupure (On donne

0

1, 2.10 rad s . ω =

).

Trouver la tension de sortie dans les cas suivants :

0 0 1

0 0 1 0

* ( ) cos( )

* ( ) cos( ) cos(2 )

e e

v t V t V

v t V t V t

ω

ω ω

= +

= +

* v

(t) est un créneau de période T = 10

s ou T = 10

s, dont la décomposition en séries de Fourier est :

0

( ) 2 sin (2 1)2

2 (2 1)

e

p

E E t

v t p

p π T

π

∞

=

 

= + ∑ +   +  

15) Tripleur de fréquence :

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