Modélisation multi-échelle du contact avec rugosité

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Submitted on 25 Nov 2016

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Modélisation multi-échelle du contact avec rugosité

Y Waddad, V Magnier, P Dufrénoy, Géry de Saxcé

To cite this version:

Y Waddad, V Magnier, P Dufrénoy, Géry de Saxcé. Modélisation multi-échelle du contact avec

rugosité. 12e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2015, Giens, France. �hal-

01402776�

CSMA 2015

12e Colloque National en Calcul des Structures 18-22 Mai 2015, Presqu’île de Giens (Var)

Modélisation multi-échelle du contact avec rugosité

Y. Waddad

, V. Magnier

, P. Dufrénoy

, G. De Saxcé

1Université Lille 1, Laboratoire de Mécanique de Lille (LML), UMR CNRS 8107, F-59650 Villeneuve d’Ascq, France

2waddad.yassine@gmail.com

Résumé — On propose, dans cet article, une méthodologie de modélisation du contact sans frottement entre des surfaces rugueuses. Comme point de départ, la morphologie de la surface est mesurée expéri- mentalement et les aspérités qui se trouvent dedans, sont repérées. Le contact n’est supposé se produire qu’au niveau de ces aspérités et est modélisé par la théorie de Hertz. Les interactions entre aspérités sont prises en compte. Cette analyse permet de prédire des lois de contact qu’on intègre après dans un modèle d’éléments finis. Cet enrichissement est fait grâce à la méthode de pénalisation et une homogénéisation par le modèle de Love. Enfin, des exemples seront présentés afin de montrer les performances de la méthode.

Mots clés — Rugosité, Contact, Théorie de Hertz, Méthode de pénalisation, Modèle de Love.

1 Introduction :

Le contact est un problème fondamental de la mécanique et est indispensable dans la conception des systèmes mécaniques présents dans différents domaines tel que l’automobile et le ferroviaire. Les pre- miers travaux dans la mécanique du contact sont dus à Hertz[1]. Sa théorie permet de décrire l’évolution du contact ponctuel entre deux solides élastiques à surfaces courbes et lisses.

Or, en réalité, les surfaces sont rugueuses. Ceci se manifeste sous forme d’une succession d’aspérités et de vallées qu’on observe sur plusieurs échelles. Par conséquent, le contact est localisé sur ces aspérités et cela joue un rôle important dans plusieurs applications tel que le frottement, l’usure ou la conductivité thermique.

Le premier modèle de contact entre des surfaces rugueuses fut proposé par Greenwood et Williamson[2].

Les aspérités sont assimilées à des bosses hémisphériques dont le rayon est fixé et les hauteurs varient selon une distribution gaussienne. Le contact, au niveau de chaque aspérité, est modélisé par la théorie de Hertz et les interactions entre aspérités ne sont pas prises en compte. Une généralisation fut propo- sée par Bush et al.[3]. Leur modèle consiste à approximer les aspérités par des paraboloïdes elliptiques ayant deux rayons qui suivent une loi de distribution définie dans [4]. Les principales faiblesses des deux modèles sont la dépendance par rapport au choix des lois de distribution et la non prise en compte des interactions entre aspérités.

Par ailleurs, la méthode des éléments finis offre un large éventail de techniques permettant la résolution du problème de contact. Cependant, dans le cas des surfaces rugueuses, la taille du problème et les temps de calcul sont très importants, par conséquent, la méthode est peu utilisée dans ce domaine.

L’article, que nous proposons, présente une stratégie de modélisation des surfaces rugueuses par la mé- thode des éléments finis. L’approche repose sur une décomposition multi-échelle de l’interface de contact permettant de tenir compte de la rugosité tout en conservant une description macroscopique des compo- sants en contact.

Dans ce papier, les aspects généraux de la méthode seront présentés brièvement, puis illustrés par un simple exemple numérique.

2 Stratégie de modélisation :

On se limitera à l’étude du contact normal entre un solide élastique à surface rugueuse et un solide

rigide à surface plane. Le point de départ est un modèle d’éléments finis. La géométrie et la morphologie

à simuler les effets de la rugosité sans devoir la faire apparaître de façon explicite dans le modèle d’élé- ments finis.

Tout d’abord, dans le cadre des éléments finis, la modélisation du contact passe par des méthodes de régularisation permettant d’approximer le jeu séparant les deux surfaces en fonction de la pression de contact. Parmi ces méthodes, la méthode de pénalisation relie les deux grandeurs sus évoqués par un coefficient de proportionnalité. Le choix de ce paramètre n’est pas simple ; de mauvais choix pouvant conduire à des interpénétrations entre les deux solides ; un tel résultat n’ayant à priori aucun sens phy- sique.

D’une autre part, au cours d’un contact normal, les aspérités sont écrasées par compression dans le sens normal. Par conséquent, le jeu séparant les deux surfaces décroit en fonction de l’effort appliqué.

Ainsi, le modèle que nous proposons exploite ce phénomène physique. Le jeu évoluera en fonction de la pression de contact de façon à simuler l’évolution de l’interface de contact et assurer la transmission des efforts entre les deux surfaces.

Les étapes majeures de la stratégie adoptée sont comme suit :

– La première étape consiste à analyser la surface de façon déterministe. Les aspérités sont repérées, puis les grandeurs géométriques, qui serviront de paramètres d’entrée au modèle mécanique, seront calculées. Il s’agit en effet des coordonnées et des rayons de courbure calculés au sommet de chaque aspérité.

– Dans la seconde étape, nous modélisons analytiquement le comportement de la surface par une approche multi-aspérités qui prends en compte les interactions [6]. En effet, le déplacement de chaque aspérité est calculé par combinaison linéaire des déplacements de toutes les aspérités en contact. Cela conduit à un système d’équations non linéaires qu’on résout par un schéma itératif.

Grâce à ce modèle, on obtient une distribution des efforts de contact dans toute la surface et une loi reliant la force normale totale à l’écrasement de la surface.

– La troisième étape consiste à homogénéiser les effets de la rugosité. En effet, les efforts de contact sont représentés par une pression uniforme appliquée sur toute la surface. Les déplacements élas- tiques dues à cette pression ne sont pas les mêmes que ceux qui sont dues aux effets de la rugosité et sont calculées par le modèle de Love [5]. Le jeu est déduit en soustrayant ces déplacements de l’écrasement de la surface. La pression associée au jeu constituent ensemble une loi de contact.

– Enfin, dans la quatrième étape, le modèle d’éléments finis est enrichi avec la loi de contact.

Nous avons présenté brièvement les grands traits de la stratégie de modélisation. Dans le paragraphe suivant, nous montrons une illustration simple de l’utilisation d’une telle méthodologie.

F

1 – Surface rugueuse étudiée

3 Exemple et conclusion :

L’exemple que nous proposons est celui d’un cube élastique à surface rugueuse (figure 1) en contact avec une plaque rigide. On impose un déplacement de corps rigide dans le sens normal au contact. La base du cube est simplement appuyée et ses dimensions sont très grandes par rapport aux aspérités.

Dans la figure 2, nous présentons la courbe Force-écrasement correspondant à quatre modèles différents : – Un modèle numérique où la rugosité est représentée explicitement. Un tel modèle nécessite un maillage très fin afin de capter tous les détails de la surface (40000 nœuds au niveau de la surface).

– Un modèle analytique sans prendre en compte les interactions (Greenwood [2]), – Un modèle analytique avec prise en compte des interactions [6],

– Un modèle numérique souple où les effets de la rugosité sont homogénéisés selon l’approche qu’on a décrit avant. L’homogénéisation est faite par patchs. En effet, la surface est découpée en plusieurs patchs de forme rectangulaire, et les lois de contacts sont distribuées par patch. Ainsi, chaque patch présente les propriétés du contact dues aux aspérités qui se trouvent dedans.

On remarque que le calcul fait sans prise en compte des interactions surestime la force de contact. Le modèle analytique où les interactions sont inclus, donne des résultats en très bon accord avec le modèle numérique de référence (où la rugosité est explicite). La prise en compte des interactions joue donc un rôle crucial dans la prédiction de la réponse du système.

0 1 2 3 4 5 6

Deplacement (µm) 0.0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Force(N)

Numerique:rugosite explicite Analytique (avec interactions) Analytique (sans interactions) Numerique:rugosite implicite-4patchs Numerique:rugosite implicite-25patchs Numerique:rugosite implicite-100patchs

F

2 – Courbe force-écrasement pour les différentes configurations

Quant au modèle numérique homogénéisé, les résultats prédits sont à 3% d’erreur maximale, que ce soit le cas d’une homogénéisation faite sur 100, 25 ou 4 patchs. La distribution des efforts de contact (figure 3 (a-b-c)) varie selon le nombre de patchs. Plus le nombre de patchs est élevé, plus les efforts sont concentrés. La technique d’homogénéisation permet de varier le nombre de patchs et la distribution des efforts de contact, tout en restant précis dans le calcul de la force totale . En comparant avec le modèle de référence (figure 3(d)), la distribution des efforts de contact est en bonne concordance.

En conclusion, la méthodologie proposée offre un outil intéressant de modélisation de la rugosité dans

des modèles numériques macroscopiques. Le gain de temps apporté est considérable et les résultats sont

en très bon accord.

(a)-4 patchs (b)-25 patchs

(c)-100 patchs (d)-Modèle de référence : rugosité explicite F

3 – Distribution des efforts de contact :Modèles homogénéisés (a),(b) et (c) , et modèle de référence (d)

Références

[1] Hertz, H. (1882).Ueber die Berührung fester elastischer Körper. Journal für die reine und angewandte Ma- thematik, 92, 156-171.

[2] Greenwood, J. A., Williamson, J. B. P. (1966).Contact of nominally flat surfaces. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 295(1442), 300-319.

[3] Bush, A. W., Gibson, R. D., Thomas, T. R. (1975).The elastic contact of a rough surface. Wear, 35(1), 87-111.

[4] Nayak, P. R. (1971).Random process model of rough surfaces. Journal of Tribology, 93(3), 398-407.

[5] Love, A. E. H. (1929). The stress produced in a semi-infinite solid by pressure on part of the boundary.

Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character, pages 377-420.

[6] Ciavarella, M., Delfine, V., Demelio, G. (2006).A “re-vitalized” Greenwood and Williamson model of elastic contact between fractal surfaces. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 54(12), 2569-2591.