Sur l’identification d’un processus de branchement surcritique

(1)

Statistique/Probabilités

Sur l’identification d’un processus de branchement surcritique

Kaïs Hamza

^a

, Faïza Maâouia

^b

aSchool of Mathematical Sciences, Monash University, 3800 Victoria, Australia bDépartement de Mathématiques, Faculté des Sciences de Tunis, Tunis, Tunisie

Reçu le 29 juillet 2007 ; accepté après révision le 12 janvier 2009 Disponible sur Internet le 20 février 2009

Présenté par Paul Deheuvels

Résumé

On unifie, dans une même famille, les estimateurs usuels de la moyenne et de la variance associés à la loi de reproduction d’un processus de branchement monotype et surcritique. On précise la vitesse de convergence presque-sûre, ainsi que la normalité asymptotique pour chacun de ces estimateurs. On sélectionne, dans cette famille, les « meilleurs » estimateurs de la moyenne, de la variance et du couple (moyenne, variance). L’indépendance asymptotique des erreurs d’estimation est aussi établie.Pour citer cet article : K. Hamza, F. Maâouia, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

Abstract

On the identification of a supercritical branching process.We unify, under a one parameter family, the most common estimators of the mean and the variance of the offspring distribution for a supercritical one-type branching process. We give the rate for the almost-sure convergence, and the asymptotic normality for each one of these estimators. We select, within this family, the

“best” estimators for the mean, the variance, and the pair (mean, variance). The asymptotic independence for the standardized estimation errors is also established.To cite this article: K. Hamza, F. Maâouia, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

Abridged English version

LetX=(X_n)_n_∈N be asupercritical one-type branching process, starting fromX₀=c1.We assume that the offspring lawνsatisfies the moment assumption

A(δ): νhas a meana >1, a varianceσ²>0, and a finite moment of order 2δ,δ∈(1,2].

We unify here the most common estimators of the mean and the variance of the offspring lawνunder a one parameter family. We select also the “best” estimators for the mean, the variance, and the pair (mean,variance).

Our results are given on the set of non-extinction^E= {limXn= ∞} =

n{Xn>0}.

Adresses e-mail :[email protected] (K. Hamza), [email protected] (F. Maâouia).

doi:10.1016/j.crma.2009.01.007

(2)

We introduce first the following families of r.v.’s{(Q_α,n)_n; α∈ [−1,∞)},{(T_α,n)_n; α∈ [−¹₂,∞]},{(d_α,n)_n; α∈ [−1,∞]}and{(D_α,n)_n; α∈ [−1,∞]}

1. Qα,n=_n

k=0X^α_k⁺¹, ∀α∈ [−1,∞);

2. T_∞,n=X_n; T_α,n=Q⁻_2α,n¹ Q²_α,n, ∀α∈ [−¹₂,∞),∀n. (1) 1. d_∞,n=1; D_∞_,n=n;

2. dα,n=(Q_α,n+Q_α,n₋1)⁻¹(Q_α,n−Q_α,n₋1); D_α,n=n

k=1 d_α,k, ∀α∈ [−1,∞),∀n. (2) To estimate the mean a and the variance σ², we consider the families of r.v.’s {(A_α,n)_n; α∈ [−1,∞]} and {(Σ_α,n(a))_n, α∈ [−1/2,∞]}defined by:

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

1. A_∞,n=X⁻_n₋¹₁Xn; Aα,n=Q⁻_α,n¹₋₁n

k=1X_k^α₋₁Xk=Q⁻_α,n¹₋₁n

k=1X_k^α₋⁺₁¹A_∞,k, ∀α∈ [−1,∞); 2. Σα,n(a)=D⁻_2α,n¹ _n

k=1d_2α,kT_α,k₋₁(A_α,k−a)², ∀α∈ [−¹₂,∞],∀n.

(3)

To estimate the pair (mean, variance), we consider the family of r.v.’s {(A_α,n, Σ_β,n(A_0,n))_n; (α, β)∈ [−¹₂,∞]²\ {(−¹₂,−¹₂)}}.

1. UnderA(δ), we prove the following properties:

(a) The estimators{(A_α,n)_n;α∈ [−1,∞]}are strongly consistent onE(see (16)).

(b) The estimators{(A_α,n)_n;α∈ [−1/2,∞]}are asymptotically normal, Tα,n−1(Aα,n−a)−→^L N

0, σ²

(conditional on^E). (4)

(c) The “best” estimator of the mean (within this family) isA0,n, thanks to the inequality limn E

Xn−1(A0,n−a)²|^E lim

n E

Xn−1(Aα,n−a)²|^E

, ∀α∈ [−1/2,+∞]. (5) 2. UnderA(2), we have the following properties:

(a) The estimators{(Σ_α,n(A_0,n))_n, α∈ [−1/2,∞]}are strongly consistent onE. More precisely,

sup

mn

(ln lnD_2α,m)⁻^1/2D^1/2_2α,mΣ_α,m(A_0,n)−σ²−−→^a.s. 2σ². (6) (b) The estimators{(Σα,n(A0,n))n; α∈ [−1/2,∞]}are asymptotically normal,

D^1/2_2α,n

Σα,n(A0,n)−σ² _L

−→N 0,2σ⁴

(conditional on^E). (7)

(c) The “best” estimator of the variance (in this family) isΣ_∞_,n(A_0,n), thanks to the inequality limn nE

Σ_∞_,n(A_0,n)−σ²2

|^E

lim

n nE

Σ_α,n(A_0,n)−σ²2

|^E

, ∀α∈ [−1/2,+∞]. (8) 3. Under A(2), and if (α, β)∈ [−1/2,+∞]²\{(−1/2,−1/2)}we establish, that conditional on ^E, the estimation errors are asymptotically normal,

T_α,n^1/2₋₁(A_α,n−a), D_2β,n^1/2

Σ_β,n(A_0,n)−σ² _L

−→N 0, σ²

⊗N 0,2σ⁴

. (9)

1. Introduction

SoitX=(X_n)_n_∈Nunprocessus de branchement monotype et surcritique, issu deX₀=c1.On suppose que la loi de reproductionνvérifie l’hypothèse de moments

(3)

A(δ): νadmet une moyennea >1, une varianceσ²>0 et un moment fini d’ordre 2δ,δ∈(1,2].

L’inférence statistique à propos des paramètresa etσ²est un problème classique déjà soulevé par plusieurs auteurs.

Pour des estimations ponctuelles dea et deσ²,on peut voir [1,3–5,7–10] et [13]. Pour une estimation globale du couple(a, σ²), sur l’ensemble de non extinction

E= {limX_n= ∞} =

n

{X_n>0}, (10)

on peut voir [11]. Parmi les estimateurs les plus usuels du paramètrea, on peut citer

⎧⎪

⎨

⎪⎩

(i) l’Estimateur Empirique de Lotka–Nagaev(EE): aˇn=1_{X_n₋₁>0}X⁻_n₋¹₁Xn, (ii) l’Estimateur du Maximum de Vraisemblance(EMV): aˆn=(n

k=1Xk−1)⁻¹n k=1Xk, (iii) l’Estimateur des Moindres Carrés(EMC): a˜_n=(_n

k=1X²_k₋₁)⁻¹_n

k=1X_k₋₁X_k.

(11) Il est intéressant de remarquer que les estimateurs EMV (α=0) et EMC (α=1) peuvent être regroupés dans la famille de v. a.,{(A_α,n)_n₁; α∈ [−1,∞)}, définie par

A_α,n= _n

k=1

1_{X_k−1>0}X_k^α₋⁺₁¹ ₋1n

k=1

1_{X_k−1>0}X^α_k₋₁X_k, ∀α∈ [−1,∞), ∀n∈N^∗. (12) Deux questions naturelles peuvent-être posées. A savoir, peut-on élargir cette famille àα= ∞pour y inclure EE et peut-on en déduire une famille d’estimateurs de la variance ?

Dans la Section 2, on construira une famille d’estimateurs de la moyenne contenant les estimateurs classiques EE, EMV et EMC. Cette famille permettra, en particulier, l’estimation globale du couple(a, σ²)avec des erreurs d’estimation asymptotiquement indépendantes.

Comme dans [11], nos résultats seront prouvés grâce à des contiguïtés avec des martingales de carrés intégrales, de dimensiond1, pour lesquelles les théorèmes limites classiques sont applicables (cf. [6,12]).

2. Une famille d’estimateurs du couple (moyenne, variance)

Tous nos résultats sont donnés sur l’ensemble de non extinctionE. 2.1. Estimation de la moyenne

Dans le but d’estimer la moyennea, on considère les familles de v. a.{(Q_α,n)_n; α∈ [−1,∞)}, {(T_α,n)_n; α∈ [−¹₂,∞]}et{(A_α,n)_n; α∈ [−1,∞]}définies par :

1. Qα,n=_n

k=0X_k^α⁺¹, ∀α∈ [−1,∞);

2. T_∞,n=Xn; Tα,n=Q⁻_2α,n¹ Q²_α,n, ∀α∈ [−¹₂,∞), ∀n∈N; (13) 1. A_∞,n=X_n⁻₋¹₁X_n;

2. Aα,n=Q⁻_α,n¹₋₁_n

k=1X_k^α₋₁X_k=Q⁻_α,n¹₋₁_n

k=1X_k^α₋⁺₁¹A_∞_,k, ∀α∈ [−1,∞), ∀n. (14) Ces familles vérifient les propriétés asymptotiques suivantes.

Proposition 2.1.Presque-sûrement sur l’ensemble^Eon a, 1. limα→∞limn→∞T_∞⁻¹_,nT_α,n=1;

2. limα→∞limn→∞A⁻_∞¹_,nAα,n=1. (15)

Théorème 2.2.Sous l’hypothèseA(δ),∀α∈ [−1,+∞], les(A_α,n)_nsont des estimateurs dea, fortement consistants sur l’ensembleE. Plus précisément, presque-sûrement surE, on a

α= −1 α∈(−1,−1/2) α= −1/2 α∈(−1/2,+∞]

A_α,n−a= O(n⁻¹) O(a⁻^n(α⁺¹⁾) O(a⁻^n/2√

nln lnn) O(a⁻^n/2√

lnn) (16)

(4)

Théorème 2.3.Sous l’hypothèseA(δ),∀α∈ [−1/2,+∞], les estimateurs(A_α,n)_nsont asymptotiquement normaux.

Plus précisément, conditionnellement àE, on a Tα,n−1(Aα,n−a)−→^L N

0, σ²

. (17)

Corollaire 2.4.SousA(δ),A_0,nest le plus efficace dans la famille(A_α,n)_α_∈[−1

2,+∞], vu que, pour toutα∈ [−¹₂,+∞]

et toutn∈N, on a 1. Tα,nT0,n;

2. Tα,n=T_0,n, si et seulement si α=0. (18)

2.2. Estimation de la variance

Dans le but d’estimer la variance σ², on considère les familles de poids {(d_α,n)_n₀, α ∈ [−1,∞]} et {(D_α,n)_n₀, α∈ [−1,∞]}définis par :

1.siα∈ [−1,∞), d_α,n=(Q_α,n+Q_α,n₋₁)⁻¹(Q_α,n−Q_α,n₋₁)etD_α,n=_n

k=1d_α,k;

2.siα= ∞, d_∞,n=1 et D_∞,n=n, ∀n. (19)

Comme dans [2] et [11], l’outil essentiel pour estimer la variance est la Loi Forte Quadratique (LFQ), satisfaite par les v. a.{(

T_α,n₋₁(A_α,n−a))_n; α∈ [−¹₂,∞]}, et le Théorème de la Limite Centrale (TLC) associé.

Théorème 2.5.Sous l’hypothèseA(δ),∀α∈ [−1/2,+∞], les estimateurs(A_α,n)_nvérifient presque-sûrement surE, la propriété LFQ suivante:

Σ_α,n(a)=D⁻_2α,n¹ n k=1

d_2α,kT_α,k₋₁(A_α,k−a)^{2 p}−−→^.s. σ². (20)

Si on remplace dans cette LFQ le paramètreapar son « meilleur » estimateurA0,n, on obtient une famille d’estimateurs de la varianceσ².

Corollaire 2.6.Sous l’hypothèseA(δ)et presque-sûrement surE, on a

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

1.pour toutα∈ [−1/2,∞], Σα,n(A0,n)=D_2α,n⁻¹ n

k=1d2α,kTα,k−1(Aα,k−A0,n)^{2 p}−−→^.s. σ²; 2.siα= −1/2, Σˆα,n=(lnn)⁻¹n

k=1 1

k+1Tα,k−1(Aα,k−A0,n)^{2 p}−−→^.s. σ²; 3.siα∈(−1/2,∞], Σˆ_α,n=n⁻¹_n

k=1T_α,k₋₁(A_α,k−A_0,n)^{2 p}−−→^.s. σ².

(21)

Théorème 2.7.Sous l’hypothèseA(2)et conditionnellement àE, on a pourα∈ [−1/2,∞],

⎧⎨

⎩

1. D^1/2_2α,n(Σ_α,n(A0,n)−σ²)−→^L N(0,2σ⁴);

2. sup_m_n(ln lnD2α,m)⁻^1/2D^1/2_2α,m|Σ_α,m(A0,n)−σ²|−−→^p.s. 2σ².

(22)

Corollaire 2.8.SousA(2),Σˆ_∞,nest le plus efficace dans la famille(Σˆα,n)α∈[−1/2,∞], vu que, D_α,n< D_∞_,n, ∀α∈

−1 2,+∞

et∀n∈N. (23)

2.3. Estimation du couple (moyenne, variance)

Dans le but d’estimer le couple (a, σ²), on considère les familles d’estimateurs{(A_α,n)_n}α et{(Σˆ_β,n)_n}β. Sous l’hypothèseA(2), on obtient les résultats suivants :

(5)

Théorème 2.9.Conditionnellement àE, on a∀(α, β)∈ [−¹₂,+∞]²\{(−¹₂,−¹₂)} 1. (

T_α,n₋₁(A_α,n−a),

D_2β,n(Σ_β,n(a)−σ²))−→^L N(0, σ²)⊗N(0,2σ⁴),

2. σ⁻²T_α,n₋₁(A_α,n−a)²+2⁻¹D_2β,n(σ⁻²Σ_β,n(a)−1)²−→^L χ²(2). (24) Remarques 2.10.

1. Lorsqueα=β= −¹₂, l’indépendance asymptotique n’a pas lieu. L’étude de ce cas particulier fait l’objet d’un autre travail.

2. Vus les Corollaires 2.4 et 2.8, on retient que(A_0,n,Σˆ_∞_,n)estime le « mieux » le couple(a, σ²).

Corollaire 2.11.Sous l’hypothèseA(2), et conditionnellement àE, on a 1. (√

Sn−1(A0,n−a),√

n(Σˆ_∞,n−σ²))−→^L N(0, σ²)⊗N(0,2σ⁴), avecSn=n k=0Xk;

2.Σˆ_∞⁻¹_,nS_n₋₁(A_0,n−a)²+2⁻¹n(σ⁻²Σˆ_∞_,n−1)²−→^L χ²(2). (25) Remerciements

Cette recherche a été subventionnée par le «Australian Research Council».

Références

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