Comparaison de deux modèles de profil de tige et validation sur un échantillon indépendant. Application à l'épicéa commun dans le nord-est de la France

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Comparaison de deux modèles de profil de tige et

validation sur un échantillon indépendant. Application à

l’épicéa commun dans le nord-est de la France

Laurent Saint-André, Jean-Michel Leban, François Houllier, R. Daquitaine

To cite this version:

Laurent Saint-André, Jean-Michel Leban, François Houllier, R. Daquitaine. Comparaison de deux

modèles de profil de tige et validation sur un échantillon indépendant. Application à l’épicéa commun

dans le nord-est de la France. Annals of Forest Science, Springer Nature (since 2011)/EDP Science

(until 2010), 1999, 56 (2), pp.121-132. �hal-02691829�

Article

_original

Comparaison

de deux

modèles

de

_profil

de

_tige

et

validation

sur un

échantillon

indépendant.

Application

à

_l’épicéa

commun

dans le nord-est

de la France

Laurent

Saint-André

a

Jean-Michel Leban

a

_François

Houllier

b

Renaud

_Daquitaine

a

Équipe

de recherches sur la

_qualité

des bois, Inra, 54280

_Champenoux,

France.

b

Programme

modélisation des

_plantes,

_{Cirad, Inra, campus international de}

_Baillarguet,

_BP5035, 34032

_Montpellier

cedex _1, France.

(Reçu le 25 août 1997 ;

accepté

le 30

_septembre

1998)

Abstract -

_Comparison

between two stem _taper

_equations,

and validation on an

_{independent sample.}

Case

_study

of

_Norway

spruce (Picea abies _Karst.) in north-eastern France. Two stem taper

equations

are fitted and

_compared

on a

_sample

of

_Norway

spruces (Picea abies Karst.) for which detailed data are available. Thomas’s

_simple

and

_{trigonometric}

model behaves well at the

bot-tom of the tree but

_strongly

underestimates diameter at the _top of the tree. The

_{variable-exponent}

_taper

_{equation performs}

better

_along

the stem, but also for extreme trees

_{(height :}

diameter ratio less than 60 or _greater than _120). The

_{variable-exponent}

_taper

_equation

is validated on a

_{large independent}

data set made up of 2 577 trees from the National Forest

_Inventory,

as this

_equation

is to be used

within the framework of the assessment of timber

_quality

at a

_regional

scale. The

_predicted

and observed distributions of tree taper at 2.6 m and at the bottom of the tree are

_quite

similar. A tree-to-tree

_comparison

shows no

_major

_{bias, except} for small trees that have a

height:

diameter ratio of less than 70. (© Inra/Elsevier, Paris.)

stem

_profile

/ _taper

_equation

/ model / validation / Picea abies

Résumé - Deux modèles de

_profil

de

_tige

sont

_ajustés

et

_comparés

sur un échantillon de 24

_épicéas

communs _(Picea abies Karst.)

pour

lesquels

on

_dispose

de mesures intensives. Le modèle

_simple

et

_{trigonométrique}

de Thomas [30]

s’ajuste

très facilement et

donne de bons résultats pour

l’empattement

des arbres, mais sous-estime fortement les diamètres en haut de l’arbre. Le modèle à

coefficient de forme variable se _comporte très bien tout le

_long

des _arbres,

_quel

_{que soit leur élancement (hauteur/diamètre).} Le modèle à coefficient de forme variable est ensuite validé sur un échantillon

_{indépendant,}

2 577 arbres _provenant de l’Inventaire fores-tier national.

_L’objectif

est en effet d’utiliser ces

_équations

dans le cadre d’une estimation de la

_qualité

des bois d’une ressource sur

pied.

La validation montre _que les distributions du défilement estimé à la souche et à 2,60 m sont très

_proches

des distributions obser-vées. La

_comparaison

_{arbre par arbre} ne montre _{pas de biais}

_majeur,

_{hormis pour le défilement à la} souche et _{pour des arbres} de

faible diamètre et très trapus. (© Inra/Elsevier, Paris.)

profil

de

_tige

/ défilement / modèle / validation / Picea abies

*

Correspondance

et tirés à _part

leban@nancy.inra.fr

1. INTRODUCTION

La forme et le défilement des arbres sont souvent

confondus dans la littérature. Par

_exemple,

Larson

_{[ 16]}

utilise sans les

_distinguer

l’un ou l’autre des deux termes.

Le défilement traduit en fait la décroissance du diamètre

par unité de

longueur

(le

tronc étant

_supposé

_dérivable),

tandis que la forme

prend

aussi en _compte des

_aspects

tels _que la courbure du tronc. La forme _peut faire

_l’objet

de mesures

_subjectives.

Par

_{exemple, Otegbeye,}

Samarawira

[24]

indicent les arbres de 1

_(arbres

droits ou

rectilignes)

à 6

_(arbres

_présentant

_cinq

courbures ou

plus).

Pardé et Bouchon

_[25]

_présentent

un indice de forme défini par le

rapport

du volume de l’arbre sur le

volume du

_cylindre

de diamètre et de hauteur

_égaux

à

ceux de l’arbre : cet indice

_global

traduit en fait le défile-ment.

_Lorsque

la

_tige

est assimilée à un

_cône,

le _rapport hauteur totale/diamètre à

1,30

m

_{(h/d) peut}

aussi être considéré comme une mesure

_globale

du défilement. Ce

rapport

sert

_également

d’indicateur de stabilité des

peu-plements

pour le

sylviculteur

et donne au forestier une

indication de la

_sylviculture

_passée

(notamment

la

densi-té de

_plantation).

Dans ce

travail,

nous considérons

uni-quement

le

défilement,

ou la décroissance

_métrique,

sans

tenir _compte de la courbure des arbres.

Pour décrire le

_profil

d’une

_tige,

il existe deux familles de modèles : les modèles

_intégrés

ou

_équations

de

_profil

de

_{tige qui}

donnent directement le diamètre du

tronc en fonction de la hauteur à

_laquelle

on se

_place,

et

les modèles d’accroissement

_qui

estiment d’abord le pro-fil vertical de

_chaque

cerne annuel

_(sa

surface ou sa

lar-geur)

et, par

sommation,

permettent ensuite d’obtenir le

profil

de la

_tige.

Les modèles

_intégrés

sont de loin les

_plus

fréquem-ment utilisés et leurs

_équations

_peuvent

être classées en trois groupes :

(i)

les fonctions

_simples

de défilement

_qui

peuvent être des

_équations

_{hyperboliques}

_[1],

trigonomé-triques

[30],

ou

_sigmoïdes

_{[2, 5] ; (ii)}

_{les fonctions}

seg-mentées

_qui

utilisent un ensemble de

_polynômes

_{[3, 20] ;}

(iii)

et les fonctions à _exposant variable

_qui

estiment le

profil

de

_tige

à l’aide d’un coefficient de forme

_qui

varie le

_long

de l’arbre

_{[6, 10, 15, 23].}

La

_plupart

du

_temps,

ces

_équations

ont _pour

_{principal objectif}

l’estimation du volume des arbres et de la

_longueur

des billons

commer-ciaux,

c’est-à-dire la _part de l’arbre destinée au bois

d’oeuvre et au bois d’industrie. Ces

_équations

sont

sou-vent

_comparées

les unes aux _autres, en vue de tester leur

aptitude

à décrire le

_profil

de

_tige

de telle ou telle essen-ce

_[23].

Elles ont aussi été utilisées _pour modéliser le

profil

et le volume d’aubier du

_Douglas

_{[ 19]}

ou _pour

pré-dire

_{l’empilement}

des cernes à l’intérieur du tronc. Par

exemple, l’équation

de Houllier

_[12]

sert dans un

_logiciel

d’évaluation de la

_qualité

des bois d’une ressource

fores-tière existante

_(WinEpifn

_{[28]) :}

_{l’empilement}

des cernes

est obtenu en combinant un modèle _moyen de croissance

en hauteur et en _grosseur avec la fonction de

_profil

de

tige ;

c’est une reconstruction a

_posteriori

de la

croissan-ce.

À

l’inverse,

le

_principe

_général

des modèles

d’accrois-sement est de simuler la croissance des arbres en reliant l’accroissement annuel du cerne le

_long

de la

_tige

à des

caractéristiques

fonctionnelles telles que le

volume,

la forme et l’extension du

_houppier

_{[8, 11, 21, 27].}

Par

exemple,

Mitchell

_[21]

simule d’abord la masse foliaire des arbres _compte tenu des

voisins,

il estime ensuite l’accroissement en surface des cernes. Deleuze

_[8]

applique

une démarche

_plus

_proche

du fonctionnement et

obtient une

_équation

d’accroissement à

_partir

d’un

modè-le de réaction-diffusion. Fourcaud et al.

_{[11] ont}

_proposé

un modèle architectural

_couplé

à un modèle de

réparti-tion des accroissements

_qui

_permet de simuler la

crois-sance des arbres en hauteur et en diamètre. Cette

derniè-re

_approche

est actuellement utilisée comme _support

conceptuel

pour

analyser

le processus de croissance des

plantes.

Dans un contexte d’élaboration d’outils d’aide à la

gestion, l’objet

de cette étude est double : il

_s’agit

de comparer deux modèles récents

(tableau

I)

du

_type

nord-est de la

France,

puis

de valider le modèle choisi

sur un échantillon

_{indépendant.}

Le

_premier

modèle est

_inspiré

de Newnham

_[23]

et

son

_{équation simplifiée}

est la suivante :

_d

_hr

=

u.hr

q(hr)

,

où

d

hr

est le diamètre du tronc à une hauteur relative donnée

hr,

u une constante et

q le

coefficient local de forme.

L’idée est de faire varier q le

long

du tronc en fonction de la hauteur relative et des

_{caractéristiques}

dendromé-triques

de l’arbre

_(hauteur

totale et diamètre à

1,30

m,

par

exemple).

Ce _type de modèle

_présente

_cependant

trois

_{désavantages :}

il est rarement

_intégrable

analytique-ment _{pour obtenir les}

_{volumes ;}

il est lourd à

_ajuster

car non

linéaire ;

il a souvent du mal à décrire

_{l’empattement}

des arbres

_{[6, 23].}

Le deuxième modèle a été _{propose par Thomas} et

Parresol

[30] :

il

_s’agit

d’un modèle

_simple.

Son

équation :

d

hr

=

_v·f(hr),

est une fonction linéaire en

sinus et

_cotangente,

où v est une constante. Cette

équa-tion

_présente

_l’avantage

d’être facile à

_ajuster

et à

inté-grer. Par

ailleurs,

sa formulation

_{trigonométrique}

est

ori-ginale

et le modèle semble

_capable

de décrire

correctement

_{l’empattement}

des

arbres,

aussi bien _pour

Pinus _{elliottii que pour}

_Quercus

_phellos.

Le second

_objectif

de cette étude est de valider le modèle choisi dans une

_perspective

d’évaluation de la

qualité

de la ressource en bois à une échelle

_régionale

[13].

Il

_{s’agit :}

(i)

de vérifier aussi que le modèle est

compatible

avec les processus de

croissance,

c’est-à-dire

que les

profils

de

largeur

(ou

de

surface)

déduits de la succession de deux

_profils

de

_tige

_(d’une

année sur

l’autre)

sont

_{satisfaisants ; (ii)}

d’étudier sur un

_grand

échantillon

_{représentatif}

de la ressource

_régionale

le biais du modèle et ses éventuelles variations le

_long

de la

_tige.

2.

MATÉRIELS

Deux échantillons différents ont été utilisés. Le

pre-mier rassemblait 24

_épicéas

mesurés dans le cadre d’un

projet

européen

[22].

Cet échantillon a servi à

l’ajuste-ment des modèles

_puis

à une validation

_qualitative

por-tant sur

_l’aptitude

du modèle choisi à

_générer

des

sur-faces d’accroissement réalistes. Le second

_provenait

de

l’Inventaire forestier national

_(IFN

_par la

_suite)

et a servi à la validation

_quantitative

du modèle.

2.1. Notations

Les notations suivantes sont utilisées :

- _{a :}

âge

de

l’arbre,

- h : hauteur totale de

l’arbre,

- d : diamètre à

1,30

m, -

c

0.1

: circonférence

à 10 cm du

_sol,

-

d

2.6

:

diamètre de l’arbre à

2,60

m du

sol,

-

d

med

:

diamètre médian du billon

_compris

entre

2,60

m

et la

_découpe

bois fort

_(mesure

_{effectuée par}

_l’IFN),

- lh :

longueur

du

_houppier

de l’arbre,

-

z : hauteur dans

l’arbre,

0 ≤ z ≤

h,

- hr = z/h : hauteur

relative,

-

d

z

:

diamètre à une hauteur z,

- q : coefficient de forme local de la

tige.

2.2.

Échantillonnage

_pour

_{l’ajustement}

des modèles

Les 24 arbres du

_{projet européen}

_[22]

_provenaient

de deux

_{peuplements expérimentaux}

_qui

_{différaient par leur} indice de fertilité

_(fort

ou

_faible)

défini par la hauteur

dominante à 50 ans. Dans

_chaque

_peuplement,

douze

arbres ont été

_prélevés

en deux fois suivant le

_régime

sylvicole :

six dans une

_placette

_peu ou _{pas éclaircie} et

six dans une

_placette

fortement éclaircie. Dans

_chaque

placette,

les six arbres

_ont

été sélectionnés comme

_{suit :}

deux arbres avec

lh ≈

lh +

s,

_deux

arbres avec lh =

lh,

deux arbres avec

lh ≈ lh -

s, où

lh

la moyenne des lon-gueurs de

houppier

sur la

_placette,

et

_{s l’écart-type}

de la

population.

Le tableau II donne les

_principales

caracté-ristiques

des arbres échantillonnés : tous étaient

_plutôt

des dominants

_(houppier

_long)

ou des codominants

(houppiers

courts),

aucun n’était réellement dominé.

Pour cette étude du

_profil

de

_tige,

la circonférence a

été mesurée tous les mètres

_environ,

du bas de l’arbre au

sommet. A des fins

_d’analyse

de

_tige,

une rondelle a

aussi été

_prélevée

tous les dixièmes de la hauteur de l’arbre.

2.3.

_{Échantillonnage}

pour la validation

Pour valider les

modèles,

nous avons utilisé les

don-nées du deuxième inventaire réalisé _par l’IFN en 1981

dans le

_département

des

Vosges.

Ce

_département

se situe

au 2e rang

_français

_pour la ressource totale en

Épicéa

commun avec 16 millions de

m

3

et 58 800 ha

_{[ 14, 26].}

Outre les mesures

_{dendrométriques classiques}

(hau-teur,

âge,

et diamètre à

_{1,30 m),}

l’IFN mesure

_également

le diamètre de la

_tige

à

2,60

m de hauteur ainsi _{que la}

circonférence _{à la souche pour} un certain nombre d’arbres. Au

_total,

nous

_disposions

de 2 577

_tiges

dont

2 449 pour

lesquelles

nous avions la mesure à la souche.

[7]

pour définir les classes de fertilité des

peuplements

en fonction de la hauteur dominante et de

_l’âge

domi-nant. Il a ainsi été

possible

de ventiler les résultats en

fonction des

_quatre

classes de fertilité sélectionnées

₍₁

à

4,

dans la table de

_Décourt).

L’ensemble des simulations a

_porté

sur ces 2 577 arbres

_qui

couvraient une

_large

_gamme

_d’âge,

de

hau-teur, de diamètre à

1,30

m et de coefficient d’élancement

(h/d) (figures

1a à

_1d).

_Chaque

classe de fertilité était

également

bien

_{représentée}

₍₆₅₀

arbres en _moyenne,

figure

le).

On _peut

_également

noter un

_grand

nombre d’arbres

_{jeunes qui présentaient}

un faible diamètre : il

s’agit

des

_plantations

effectuées dans le cadre des

reboi-sements _{aidés par le Fonds Forestier National dans les}

années 1945 à 1960. Cette

_catégorie

_{d’arbres n’était pas}

représentée

dans le

_premier

échantillon.

3.

MÉTHODES

Dans la suite de cette

_étude,

les deux modèles sont

référencés par le nom de leur auteur :

_Daquitaine

et

Thomas

_(voir

les

_équations

dans le tableau

_I).

Le modèle

non linéaire

_(Daquitaine)

a été

_ajusté

_par la

_procédure

NLIN

_([29])

et le modèle linéaire

_(Thomas)

_par la

procé-dure REG du

_logiciel

SAS. Dans le cas du modèle de

Thomas,

nous avons d’abord déterminé le coefficient w propre à

l’espèce

par un

_ajustement

non linéaire. Pour

l’épicéa

commun, le résultat de

_{l’ajustement}

donne une

valeur de

1,39,

qui

est

_proche

_{des valeurs obtenues par}

Thomas : entre

1,4

et

_1,5

_{pour les}

résineux,

deux pour les feuillus. Les autres coefficients du modèle ont ensuite été

_ajustés

avec la

_procédure

REG.

Pour _{comparer les}

modèles,

nous avons étudié les

résidus,

c’est-à-dire la différence entre le diamètre

mesu-ré

_(d

_i,z

₎

et le diamètre estimé

_(&jadnr;

_i,z

₎

à

_chaque

niveau z dans

l’arbre i. Les

_quatre

_grandeurs

suivantes

ont été calculées

pour

chaque

modèle : le

_biais,

la racine de la _{moyenne du carré des} erreurs,

et l’indice

_{d’ajustement,}

où

_d

_z

est la _moyenne des diamètres mesurés et n le

nombre

d’observations.

Afin de mettre en évidence les

_qualités

et les défauts

des

_modèles,

ces valeurs ont

_également

été calculées _par

classe de hauteur relative dans les arbres et _par classe d’élancement

_(h/d).

Enfin,

nous n’avons _pas tenu

comp-te, dans cette

étude,

de la structure

_{particulière}

des

erreurs

_(effet

de l’arbre et autocorrélation le

_long

de la

tige).

4.

RÉSULTATS

4.1

_Ajustements

et choix d’un modèle

Les

_paramètres

des deux modèles sont tous

significa-tivement différents de

zéro,

sauf le

_{paramètre &thetas;}

_3,2

du modèle

_Daquitaine.

Il est

_probable

_{que la} faible variation des diamètres à

1,30

m des arbres utilisés _pour

_ajuster

le

modèle en est la cause. Le modèle a donc été

_réajusté

sans ce coefficient.

Le tableau III donne une

_synthèse

des

_ajustements

des

deux modèles sur l’échantillon de 24 arbres. Pour

l’ensemble,

l’erreur absolue moyenne est

_proche

du

cen-timètre. Les _quatre

_grandeurs

définies

_{précédemment}

montrent _que

_{l’équation}

à coefficient de forme variable

(Daquitaine) s’ajuste

mieux aux données que le modèle

de Thomas.

Globalement,

ce dernier a tendance à suresti-mer les diamètres et il

_génère

_quelquefois

des diamètres

négatifs

au sommet de l’arbre. Ce

défaut,

qui

est

_signalé

par Thomas & Parresol

[30],

n’avait pas été

corrigé

dans

leur étude

_puisqu’il

_{est presque} sans

_conséquence

_pour le

calcul du volume de la

_{tige. Cependant,}

dans le cas où

cette

_équation

de

_profil

de

_tige

est

_intégrée

dans une

suc-cession de modèles comme c’est le cas dans le

_logiciel

WinEpifn,

ce défaut ne _peut être

_{ignoré, puisque}

les

lar-geurs de cerne seraient aussi

_négatives.

La figure

2 montre l’évolution de l’erreur et du biais

en fonction de la hauteur relative. Dans le bas de

_l’arbre,

le modèle de Thomas se _comporte bien hormis une

légè-re surestimation des diamètres. En

revanche,

le modèle

de

_{Daquitaine génère}

des erreurs

_{plus importantes}

dans

le dixième inférieur de l’arbre.

_{L’empattement}

est dans

ce cas fortement sous-estimé. Pour tous les autres

niveaux dans

l’arbre,

le modèle

_Daquitaine

est moins biaisé et

_génère

une erreur résiduelle

_plus

faible que le

modèle Thomas

_(figure

_2b).

La figure

3 présente

l’erreur et le biais _moyen en

fonction de l’élancement des arbres. Les deux modèles

ont une erreur résiduelle et un biais

_{plus importants}

_pour

les arbres à faible coefficient

_h/d,

c’est-à-dire _pour des arbres

_plutôt

_trapus.

Le modèle

_Daquitaine

est

_cependant

plus souple

que le modèle

Thomas,

notamment aux

extrêmes

_(h/d

< 70 et h/d >

_110).

Cette

_propriété

est

importante lorsqu’il s’agit

d’estimer la

_qualité

des bois d’une ressource forestière existante

_{[17, 18, 28].}

L’analyse

des

_ajustement

montre _{donc que le modèle}

Daquitaine

est celui

_qui

_génère

les erreurs les

_plus

faibles,

tant le

_long

du tronc

_(hormis

à la base de

_l’arbre)

que pour une _{gamme étendue d’élancement des arbres.}

Le modèle de Thomas se

_comporte

mieux au niveau de

l’empattement

mais a tendance à surestimer les

dia-mètres sur une bonne

_partie

du tronc et à sous estimer très fortement les diamètres à la cime de l’arbre

_(jusqu’à

générer

des diamètres

_négatifs).

Par

ailleurs,

son

mau-vais _{comportement pour les arbres extrêmes}

_(très

coniques

ou très

_{cylindriques)}

en fait un modèle peu

applicable

pour estimer la

qualité

des bois d’une

ressour-ce forestière. En

_conséquence

il n’a _pas été retenu _pour

l’étape

de validation.

4.2. Estimation de la surface du dernier cerne

par soustraction de deux

profils

de

_tige

successifs Il n’a pas été

possible

d’utiliser les mesures de l’IFN pour cette

_première

_étape

de validation

_{puisqu’elles}

ne

contiennent _pas de mesures sur la structure interne des arbres. C’est donc le

_{premier jeu}

de données

_qui

a été

utilisé. Pour chacun des 24

arbres,

deux

_profils

de

_tige

successifs

_(à

_l’âge

final et l’année

_{précédente)}

ont été simulés pour étudier la variation de la surface du dernier

cerne formé en fonction de la hauteur dans l’arbre.

La

_figure

4a montre le résultat de ces simulations

pour deux cas choisis aux bornes du faisceau des 24 courbes

_(arbres

472 et

_209).

Les résultats de ces

simula-tions sont

_{qualitativement}

bons au

_regard

des mesures

(figure

4b) :

les

_largeurs

de cerne sont toutes

_{positives ;}

les ordres de

_grandeur

sont

satisfaisants ;

la forme des

profils

simulés est bonne.

La figure

4a montre _{aussi que la soustraction de deux}

profils

de

_tige

_peut donner des

_profils

de surface de cerne

qui

ne suivent _{pas la}

règle empirique

dite « Loi de

Pressler

_{» [13].}

En

_fait,

cet écart est souvent observé dans la littérature : en

_général,

les arbres en croissance

libre

_présentent

une surface de cerne

_qui

_augmente

forte-ment dans le bas de

l’arbre,

tandis que les arbres domi-nés

_présentent

des surfaces de cerne

_qui

_peuvent

dimi-nuer du haut vers le bas de l’arbre. Ces deux cas de

figure

sont _{rencontrés pour les arbres 209} et 472

_qui

pré-sentent des coefficients d’élancement différents

₍₅₅

et 79

respectivement).

Cette

_aptitude

à

_générer

des

_profils

non

conformes à la loi de Pressler est donc favorable.

4.3. Validation du modèle sur les données de l’IFN 4.3.1.

_{Analyse globale}

des résultats

Le tableau IV _{donne la moyenne,}

_{l’écart-type}

et le coefficient de variation du défilement

_prédit

_par le modè-le

_Daquitaine,

d’une _part, et du défilement

_mesuré,

d’autre _part. Le défilement entre

1,30

m et

2,60

m,

def

2,6

=

d-d

2,6

1,3,

s’exprime

en centimètres par mètre.

Il en est _{de même pour} le défilement à la souche :

À

la

_souche,

les valeurs estimées sont nettement infé-rieures aux mesures. Cela confirme le résultat des

ajuste-ments où

_{l’empattement}

des arbres était

_globalement

sous estimé. Il faut

_préciser

_que le modèle a été établi sur

des

_profils

de

_tige

dont les mesures

_près

du sol n’étaient pas

disponibles

dans la

plupart

des cas

_(la

_première

mesure étant effectuée à 50 cm du

_sol).

Par

ailleurs,

il est

également possible

que la mesure de circonférence

_prise

à 10 cm du sol surestime le diamètre _moyen réel du fait des contreforts de l’arbre.

En ce

_qui

concerne le défilement à

2,60

m, la gamme des valeurs

_{prédites (minimum}

et

_maximum)

_correspond

à celle mesurée. Il en est de même pour la moyenne et la

variance des valeurs estimées

_qui

se

_rapprochent

beau-coup de celles calculées sur les mesures. Néanmoins

l’écart-type

du biais

_{(Mes -}

_Daq)

montre

_qu’une

_part

importante

des variations des estimations n’est _{pas liée}

aux mesures

_(dans

le cas

_idéal,

le biais devrait être

indé-pendant

des

_{estimations).}

Une

_analyse

_{par classe de fertilité} montre _que ces

résultats sont

_identiques

_pour les

_peuplements

fertiles et

non fertiles aussi bien à la souche

_qu’à

_2,60

m. Il a été

noté

_{cependant qu’un}

certain nombre de défilements à

2,60

m était fortement surestimés pour les classes de

fer-tilité N°4. Ces valeurs étaient obtenues _pour des arbres de faible diamètre

_(<

20

_cm)

et de faible h/d

_(<

_70),

c’est-à-dire des arbres très

_coniques

et _pour la

_plupart

assez

_jeunes

_(<

20-30

_ans).

4.4.

_Ajustement

du modèle

sur les données de l’IFN

Nous avons

_réajusté

le modèle

Daquitaine

sur les

don-nées de l’IFN

_qui

couvrent une vaste _gamme

_d’âge

et de dimension.

_L’objectif

était notamment d’estimer le para-mètre

_&thetas;

_3,2

et de tester son

_signe.

Pour

_chaque

arbre,

les

diamètres à 10 cm de

hauteur, 1,30

m,

2,60

m et au

milieu de la

_tige

étaient connus ainsi _que la hauteur de

l’arbre à la

_découpe

7 cm.

Le tableau V montre le résultat de cet

_ajustement.

Le

paramètre &thetas;

3,2

est

_{significativement}

différent de zéro. Son

_{signe positif}

_permet

de simuler des arbres

_plus

néloïdiques

dans le bas de la

_{tige. Malgré}

une

_précision

moindre des mesures,

l’écart-type

résiduel reste faible

(voir

tableau

V).

Les défilements des 2 449 arbres de l’IFN ont été

pré-dits

_(i)

avec le modèle

_ajusté

sur les 24 arbres et

_(ii)

avec

pré-dites sont

_comparées

aux mesures en termes de biais et

d’écart-type

résiduel

_(tableau

_VI).

Les résultats du modè-le

_ajusté

à

_partir

des données IFN sont

_globalement

meilleurs : ils ne sont

_plus

biaisés et sont

_{plus précis}

au

niveau de

_{l’empattement ;}

ils sont

_beaucoup

moins bons

entre

1,30

m et

_2,60

m

_(apparition

d’un biais de

0,62

cm/m sur le défilement et

_{légère augmentation}

du

rmse) ;

la

_prédiction

du _{défilement moyen} entre

1,30

m

et le diamètre médian est assez

_précise

et _{peu biaisée}

(légère

surestimation du

_{défilement).}

_Compte

tenu de la faible

_précision

des mesures effectuées _par l’IFN

_(par

comparaison

aux mesures réalisées sur arbres

_abattus),

ces résultats sont satisfaisants.

5. DISCUSSION

Le

_problème

de

_{l’empattement}

se retrouve

_quel

que

soit le _type de modèle utilisé _pour décrire le

_profil

des

tiges.

Fonweban et Houllier

_[10]

montrent, sur

Eucalyptus saligna,

que les

équations

de forme à

coeffi-cient variable ont le même défaut dans cette

_partie

de l’arbre _{que les}

_{polynômes segmentés.}

Le tableau IV

fournit le biais et _{l’erreur moyenne} associés au modèle

Daquitaine

pour tous les arbres de

_{l’échantillonnage}

IFN. Les résultats à

2,60

m sont excellents

_puisque

l’erreur moyenne ne

_dépasse

_pas le centimètre. Cela confirme

que sans estimation de

_points

d’inflexion

_(à

l’instar des

polynômes segmentés),

les modèles à coefficient de forme variable arrivent à bien décrire le bas de l’arbre.

Les fortes sous-estimations à la souche

_proviennent

de trois

_{problèmes :}

_(i)

des erreurs de

_calage

en hauteur des

mesures

_(le

niveau de la souche est assez mal

_défini),

(ii)

le faible nombre de mesures entre la souche et

2,60

m

_{(trois données)}

_{alors que} c’est la zone où le

défi-lement de la

_tige

varie le

_plus,

_(iii)

une _{gamme trop}

res-treinte d’élancement des arbres

₍₅₅

_{à 106 pour les} 24

arbres du

_{projet européen,}

contre 35 à 135 _{pour les}

arbres mesurés _par

_{l’IFN), (IV)}

une _{gamme trop}

restrein-te de diamètre à 1,30 m. Ce

_{problème d’empattement}

a

déjà

été noté par

Daquitaine

[6] :

il a _{montré que le}

modèle sans le terme

_&thetas;

_3,2

surestimait

_{l’empattement}

des

petits

arbres et sous-estimait

_{l’empattement}

_{des gros}

(diamètre

à

_1,30

m

_compris

entre 25 et 55

_cm).

Globalement,

les résultats obtenus par le modèle

Daquitaine

sont satisfaisants. Dans le cadre de l’estima-tion de la

_qualité

des bois d’une ressource sur

_pied,

ce

modèle

_possède

la flexibilité

souhaitée,

c’est-à-dire une

bonne

_aptitude

à décrire le

_profil

des troncs _pour des arbres

_d’âge

et de dimension variés et croissant dans des

stations

_plus

ou moins fertiles. On

_peut

cependant

émettre une _{réserve pour} ce

_qui

est de la modélisation de

l’empattement.

Enfin,

l’aptitude

du modèle à

_générer

des

_profils

de surface de cerne corrects est

_{importante puisque}

cela

signifie

qu’il

peut être utilisé _pour reconstruire a

poste-riori

_{l’empilement}

des cernes dans le tronc. La notion de

compatibilité

a été introduite _par Clutter

_[4]

_{pour relier}

les modèles de

_production

_classiques

_(modèles

_intégrés

du _type tables de

_production)

et les modèles

d’accroisse-ment

_(équations

différentielles visant à décrire la

réac-tion des

_peuplements

à des traitements

_variés).

La

com-patibilité signifie qu’un

modèle

_intégré

_(ici,

le

_profil

de

tige)

peut être obtenu par sommation du modèle

différen-cié

_(ici,

le

_profil

du

cerne)

et inversement. L’utilisation de modèles

_{compatibles présente}

divers _avantages. Le

premier,

et le

_plus

_évident,

est la cohérence interne des modèles. Dans le cas où l’on

_dispose

de bonnes connais-sances ou de données solides _pour l’un des

_points

de vue

(ici,

le

_point

de vue

_intégré

avec le modèle de

_profil

de

tige),

il est

_possible

d’obtenir des informations sur

l’autre

_point

de vue

_(ici,

le

_profil

de

_largeur

de

_cerne),

voire de

_suggérer

un modèle : dans le cas du modèle

Daquitaine,

la différenciation de

_{l’équation}

_{par rapport}

au

_{temps permet}

d’obtenir une

_équation

de

_profil

de cerne, malheureusement

lourde,

_{qui dépend}

de

l’accrois-sement en hauteur et en diamètre de l’arbre.

_Enfin,

on

pourrait envisager

d’aborder

_{conjointement}

l’étude des

6. CONCLUSION

Cette étude a

_permis

de faire le

_point

sur deux

_types

de modèles de

_profil

de

_tige.

Le

_{premier, simple}

et

trigo-nométrique

(Thomas),

présente l’avantage

de

_s’ajuster

très facilement et donne _{de bons résultats pour}

l’empatte-ment des arbres. En

revanche,

il a tendance à mal se

comporter pour les niveaux

supérieurs, génère

quelque-fois des diamètres

_négatifs

au sommet de l’arbre et

donne de fortes erreurs _{pour des arbres très}

_coniques

(h/d

<

₆₀₎

ou très

cylindriques

(h/d

>

_110).

Par

ailleurs,

son

_{interprétation}

en termes

_{dendrométriques}

est diffici-le. En

revanche,

le modèle à coefficient de forme variable

_(Daquitaine)

est

_plus

facile à

_{interpréter.}

L’exposant

variable _permet

_{d’intégrer}

dans une seule

équation

les différentes

_géométries

usuelles de

_tiges

connues. Les termes

_qui

la constituent sont reliés à la hauteur relative dans l’arbre et les

_paramètres

_dépendent

des

_principales

_{caractéristiques}

_{dendrométriques}

comme

le diamètre à

1,30

m et le coefficient d’élancement. La

validation

_quantitative

sur un

_grand

_jeu

de données

montre une bonne estimation de la distribution des défi-lements. De

_plus

la validation

_qualitative

montre un bon

comportement du modèle et semble satisfaire à la notion de

_{compatibilité.}

Cette étude a aussi

_permis

de

_quantifier

les erreurs

générées

par ces modèles en fonction de la hauteur

relati-ve dans l’arbre et en fonction de l’élancement des arbres.

La connaissance de ces erreurs est

_importante

car le modèle de

_profil

de

_tige

_génère

des diamètres

_qui

sont

ensuite utilisés pour

prédire

d’autres

_grandeurs

_(ex.

lar-geur de cerne, densité du

bois, etc.).

Une étude de la

pro-pagation

des erreurs

_permettra

de

_{quantifier l’impact}

des

erreurs

_générées

_par le modèle de

_profil

de

_tige

sur les

largeurs

de cerne ou la densité du bois. Cette

_prochaine

étude

_permettra

de savoir si la

_précision

et l’exactitude des modèles de

_profil

de

_tige

sont _{suffisantes pour}

_qu’ils

soient utilisés dans un enchaînement de modèles.

Enfin,

nous n’avons _pas tenu

_compte

dans cette étude de la structure

_{particulière}

des erreurs

_(effet

arbre,

auto-corrélation le

_long

de

_l’arbre).

On

_peut

_envisager

d’utili-ser des modèles à effet mixte en tenant _compte de

l’auto-corrélation des erreurs.

Remerciements: Cette étude a bénéficié du _support

financier de la

_région

Lorraine et de la Communauté

européenne

au travers des contrats Forest MA2B-CT91-0024 et FAIR CT96-1915

_(STUD).

Nous remercions _par ailleurs l’Inventaire forestier national et tout

particulière-ment Gérome

_Pignard

_pour ses

conseils,

ainsi que Jean

Bouchon,

Alain

Franc,

et

_{Jean-Christophe}

Hervé pour leurs commentaires et

_suggestions.

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