Simulation numérique des écoulements compressibles cisaillés

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

MEMOIRE

Présenté

AU DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE FACULTE DE TECHNOLOGIE

UNIVERSITE DE BATNA

Pour obtenir le titre de

MAGISTER EN GENIE MECANIQUE Option : Energétique

Par

Mr OUZANI RIADH

___________________________________

Simulation numérique des écoulements

compressibles cisaillés

___________________________________

Soutenu publiquement le …/…/2011, devant le jury composé de :

Pr. Benmoussa Hocine Prof. Université de Batna Président

Pr. Si Ameur Mohamed Prof. Université de Batna Rapporteur

Dr. Abdelhamid Chawki M.C. Université de Batna Examinateur

Remerciements

Mes remerciements vont tout premièrement à dieu tout puissant pour la volonté, la santé et la patience qu’il m’a donné durant tous ces

années d’études.

Ce travail n’aurait jamais été possible sans l’accompagnement et le soutien de

mon directeur de mémoire, Monsieur Si ameur Mohamed, Professeur à l’université

de Batna (directeur du laboratoire LESEI). Je le remercie très sincèrement de m’avoir fait bénéficier de ses compétences, de m’avoir conseillé, de m’avoir fait confiance, d’avoir été à l’écoute de mes questions et de mes difficultés et de m’avoir constamment encouragé.

Je remercie très chaleureusement le Professeur Benmoussa Hocine de l’université

de Batna de nous avoir fait l’honneur de présider le jury.

Je voudrais remercier Dr. Chawki Abdelhamid et Dr. Moumi Noureddinne

(Examinateurs) qui ont accepté d’être les rapporteurs de mon mémoire, et de prendre sur leur temps pour juger ce travail.

Je tiens également à remercier ici toutes les personnes, les amis, dont j'ai croisé le chemin au département de génie mécanique et ailleurs, et qui ont contribué à rendre agréables toutes ces années. Bien qu'il me soit impossible de les citer

tous, je voudrais témoigner mon amitié à Abdessemed Chouaib, Bensakhria

Saber, Benaamar Adel , dont la compagnie et les attentions m'ont aidé à surmonter les moments difficiles.

Un grand merci à Monsieur K.azeddinne pour avoir mis à ma disposition certains

moyens informatiques ayant grandement facilité la période finale de ce mémoire. Je tiens enfin et surtout à remercier mes proches, en particulier mes parents, pour leur soutien inconditionnel sans lequel ce manuscrit n'aurait pu voir le jour.

i  

Table des matières

Tables des figures iv

Nomenclature vi Introduction générale 1 1 Synthèse bibliographique 4 1.1 Structures cohérentes………. 5 1.1.1 L'instabilité de Kelvin-Helmholtz……….. 6 1.2 Effets de la compressibilité………... 9 1.3 Jets coaxiaux……….. 11 1.3.1 Définition et applications………... 11

1.3.2 Aérodynamique des jets coaxiaux……….. 12

2 Méthodes Numériques 17 2.1 Les équations ……… 19

2.1.1 Mélange gazeux et espèces constitutives………... 19

2.1.2 Adimensionnement……… 20

2.2 Outil numérique………. 22

2.2.1 Algorithme PPM……… 23

2.2.2 Monotonie du schéma d’advection……… 27

2.2.3 Intégration des variables caractéristiques par PPM………... 28

2.2.4 Solveur de Roe……….. 31

2.2.5 Termes de diffusion………... 35

2.3 Conditions aux limites………... 37

2.3.1 Condition d'entrée 37 2.4 Outils d'analyse : quantités instantanées et statistiques………. 39

2.4.1 Quantités instantanées ………... 39

2.4.2 Quantités statistiques ………... 40

3 Résultats et Discussions 42

ii  

iii TABLE DES MATIERES

3.1 Ecoulement supersonique……….. 44

3.2 Ecoulement subsonique………. 50

Conclusions générales 54

Tables des figures

Fig.1.1 Illustration des profiles des vitesses pour différentes cas des couches de

mélanges………... 6

Fig.1.2 (α ) Illustration schématique montrant la formation de tourbillons de Kelvin Helmholtz dans une couche de mélange. D'après Lesieur [5]. (β ) Mécanisme des instabilités de Kelvin Helmholtz………. 6

Fig.1.3 Visualisation strioscopique de la zone de mélange entre un courant d’hélium (1) à 1 m/s et un courant d’azote (2) à 3.78 m/s………. 7

Fig.1.4 Identification de structures cohérentes dans un jet rond à nombre de Reynolds ReD = 5500. Visualisation par fluorescence induite par laser (LIF), d’après Liepmann & Gharib [14]………... 8

Fig.1.5 Schématisation des structures de Kelvin-Helmotz dans une couche de mélange, d’après Brown et Roshko[6]……….. 9

Fig.1.6 Evolution du taux d’évasement normalisé en fonction du nombre de Mach convectif, d’après Song et Qibing[37]……… 10

Fig.1.7 Vue schématique d’un turboréacteur double-flux et double corps. 11 Fig.1.8 Illustration d'un des jets coaxiaux en amont de la chambre de combustion des moteurs VULCAIN de la fusée Ariane V……….. 12 Fig.1.9 Visualisation par fluorescence induite par laser (LIF) des structures cohérentes de jets coaxiaux à faible nombre de Mach, pour différents rapport de vitesse (M_P =0.03 ,D_S/D_P Re_P =3.7 10× 5). D’après Dahm et al. [19].. 14 Fig.1.10 Structure d’un jet coaxial subsonique……… 15

Fig.1.11 Schématisation d'un jet coaxial représentent les cônes potentiels intérieur et extérieur et leur longueurs………. 16

Fig.2.1 Les interfaces de la maille sont situées àx_i±_{1/ 2} , la maille d’indice s’étend de i 1/ 2 i x₋ à x_{i+1/ 2}………. 24

Fig.2.2 Interpolation parabolique du schéma d’advection PPM……… 26

Fig.2.3 Intégration du schéma d’advection PPM……… 29

Fig.2.4 Différentes solutions aux interfaces [46]………... 32

Fig.2.5 Modèle d’une boite de calcul……… 41

Fig.3.1 Contours instantanées de la vorticité du jet……….. 44 iv 

v

TABLES DES FIGURES

Fig.3.2 Contours instantanées de la fraction de mélange du jet. f varie de 0 (en bleu) à 1 (en rouge) suivant l'échelle de couleur montrée sur la figure……….. ₄₄ Fig.3.3 Profils de la vitesse longitudinale moyenne en différentes sections du jet….... 45 Fig.3.4 Evolution longitudinale de la vitesse longitudinale moyenne……… 46 Fig.3.5 Evolution du signal de la vitesse longitudinale instantanée………. 46 Fig.3.6 Evolution longitudinale de la fraction de mélange moyenne……… 47 Fig.3.7 Profils de la fraction de mélange moyenne en différentes sections………… 47 Fig.3.8 Contours moyennées de la fraction de mélange du jet. f varie de 0 (en bleu) à

1 (en rouge) suivant l'échelle de couleur montrée sur les deux images. (a) cas supersonique, (b) cas subsonique………... 48 Fig.3.9 (a) Evolution suivant la direction longitudinale de l'écart-type de la vitesse

longitudinale le long de la ligne centrale et la ligne annulaire. (b) Evolution longitudinale de l'écart-type de fraction de mélange le jet centrale et le jet

annulaire……… 49

Fig.3.10 Evolution transversal de l'écart-type de fraction de mélange en différentes

sections du jet. 49

Fig.3.11 Contours instantanées de la vorticité longitudinale du jet……….... 50

Fig.3.12 Contours instantanées de la fraction de mélange du jet. f varie de 0 (en bleu) à 1 (en rouge) suivant l'échelle de couleur montrée sur la figure. 50

Fig.3.13 Profils de la vitesse longitudinale moyenne en différentes sections du jet…… 51

Fig.3.14 Evolution longitudinale de la vitesse longitudinale moyenne………... 51

Fig.3.15 Evolution longitudinale de la fraction de mélange moyenne……… 52

Fig.3.16 Evolution longitudinale de l'écart-type de fraction de mélange dans le jet central dans le jet annulaire………... 53

Fig.3.17 Evolution suivant la direction longitudinale de l'écart-type de la vitesse longitudinale le long de la ligne centrale et la ligne annulaire……….. 53  

Nomenclature

Lettres latines :

P

U :  Vitesse du jet primaire ‘centrale’

S

U :  Vitesse du jet secondaire ‘annulaire’

P

D

  :  Diamètre initial du jet primaire

S

D

  :  Diamètre initial du jet secondaire

P

T

  :  Température du jet primaire

S

T

  :  Température du jet secondaire

M :  Rapport des flux de quantité de mouvement

ru

  :  Rapport de vitesse entre l’écoulement rapide et l’écoulement lent

β  :  Rapport de Diamètre

P

L   :  Longueur du cône potentiel

P R

  :  Localisation radiale du sommet du cône potentiel par rapport à l'axe du

jet

i M

  :  Masse molaire de l’espèce i

( , )x t

ρ r   :  Densité partielle

( , )

i

p x tr   :  Pression partielle à la température T

( , )

i

Y x tr

  :  Fraction massique de l’espèce i

( , )

i

X x tr   :  Fraction molaire de l’espèce i

( )

vi C T

  :  Capacité calorifique de l’espèce i à volume constant

( ) i e T   :  Energie interne ( , ) v _i c T Y

  :  Capacité calorifique moyenne à volume constant

( , )

p x tr

  :  Pression à la température du mélange de nsespèces

0 U   :  Vitesse de référence 0 L   :  Longueur de référence 0 T   :  Température de référence 0 ρ :  Densité de référence H

M :  L’échelle de masse molaire

0

P :  Pression de référence ‘pression dynamique’

0

e :  Energie de référence ‘par masse’

0

t :  L’échelle du temps

0

R :  Constante des gaz

Re :  Nombre de Reynolds i Sc :  Nombre de Schmidt pr _{:  Nombre de Prandtl} U   F(U), G(U)

:  Vecteur d’état en variables conservées 

:  Vecteurs des flux convectif

( )

S U :  Vecteurs des termes sources

vi   

vii NOMENCLATURE   ( ) A U   :  Matrice jacobienne , x y

L L :  Opérateurs solution du problème hyperbolique

i

x :  I-ème composante de l'espace ‘centre des mailles’

1 2 i x

± :  I-ème composante de l'espace ‘cordonnées des interfaces’

n i

U :  Valeur moyenne de Vecteur d’état en variables conservées

1 2 L i U + 1 2 R i U +

:  Approximation des vecteurs d’état aux interfaces gauches et droites

( , ) C x t :  Scalaire passif , n n i i a b et n i

c :  Coefficients de fonction paraboliqueC x t( , )

t

Δ :  Pas de temps

c :  vitesse du son

k l

r _{:  Vecteur propre ‘ligne’ de gauche}

k r

r _: 

Vecteur propre ‘colonne’ de droite

,

k k

a b :  Invariantes de Riemann, ‘amplitude d’une onde associée à un vecteur

Proprerk ’.

r

1/ 2 i

F ± :  Vecteurs des flux convectif approximés par Roe

amp :  Amplitude bruit blanc

1

R ,R₂,R_m  :  Rayons du jet coaxial : intérieur, extérieur et moyen respectivement

1, 2

f f   :  Fraction de mélange

( ,n n_{x y})  :  Nombre de points de grille en x et y

x

u   :  Composante de vitesse en x 

( , )x y   :  Coordonnées cartésiennes 

Lettres grecques :

i

δ :  Epaisseur de vorticité initiale

' ξ :  Fluctuations de vitesse ( , )x y ξ   :  Moyenne temporelle ' ' ξ φ   :  Tensions de Reynolds ij S   :  Tenseur de déformation ij Ω   :  Tenseur de rotation 01

θ ,θ₀₂  :  Epaisseurs initiales de quantité de mouvement du jet coaxial : intérieur,

Extérieur respectivement

μ

  _{:  Viscosité dynamique moléculaire}

τrr, τ_ij  :  Tenseur des contraintes

1, 2, 3

λ λ λ ,    

  :  Valeurs propres

γ   _{:  Rapport des capacités calorifique}

viii NOMENCLATURE

Nombres adimensionnés :

Re  :  Nombre de Reynolds  

i

Sc   :  Nombre de Schmidt de l’espèce i 

pr  _{:  Nombre de Prandtl}  

Abréviations :

DNS : Direct Numerical Simulation

LES : Large Eddy Simulation

RANS : Reynolds Averaged Navier-Stokes

PDF : Probability Density Function

PPM : Piecewise-Parabolic Method éq : Equation Opérateurs mathématiques km δ   : Symbole Kronecker  t ∂ ∂  

: Dérivée partielle temporelle

i

x

∂ ∂  

: Dérivée partielle spatiale 

∇  : Gradient

Δ  : différence

∑

  : Indice de sommation  

INTRODUCTION

GENERALE

                             

Introduction générale

La turbulence est certainement un des phénomènes physiques parmi les plus omiprésents dans le monde qui nous entoure. La physique des écoulements turbulents est multiphysique et multiéchelle. Elle peut néanmoins être généralement décrite par les équations de Navier-Stokes. Cependant, la complexité de ces équations est telle qu’elle ne nous permet pas de disposer de solutions analytiques (sauf dans de rares cas académiques). Les systèmes industriels impliquant des phénomènes de jet coaxiaux (fours, moteurs automobiles, aéronautiques, turbines à gaz...) sont soumis à des contraintes de plus en plus importantes, tant sur le plan économique (réduction des coûts, amélioration des performances,...) que sur le plan environnemental (réduction des émissions de polluants, des émissions sonores, ..). L’ensemble de ces considérations motive de nombreux travaux de recherche liés à ce type d’écoulement. Donc la conception de ces systèmes industriels requiert alors une connaissance approfondie des instabilités qui subsistent, de manière à créer un niveau de turbulence permettant au mélange de s’effectuer sur une distance raisonnable. En effet, la compréhension, la modélisation et éventuellement le contrôle des ces phénomènes physiques permettent non seulement l’amélioration des systèmes actuels mais aussi le développement de nouvelles technologies.

Afin de pouvoir traiter numériquement les écoulements associés à des nombres de Reynolds élevés que l’on rencontre en industrie, une modélisation de la turbulence doit être introduite. C’est dans ce cadre de simulation d’écoulements turbulents que s’inscrit ce travail de mémoire, avec en perspective les applications de type industriel. On focalise notre attention sur des fluides compressibles de type jet coaxiaux vérifiant la loi des gaz parfaits et soumis à aucune force extérieure.

Simuler numériquement ces types d’écoulements consiste a priori le plus souvent en la recherche d’une solution approchée des équations de Navier-Stokes tridimensionnelles. Pour les écoulements en régime turbulent, cette approche peut se révéler délicate, voire impossible. Les termes non-linéaires des équations peuvent générer des réponses de grande amplitude pour de très petites perturbations. Par ailleurs, les écoulements turbulents contiennent des grandes et des très petites échelles spatiales et temporelles. Prédire ces écoulements nécessite une discrétisation du problème de manière précise et fine c’est à dire impliquant un grand

2   

3 INTRODUCTION GENERALE nombre de degrés de liberté. Ce sont les conditions nécessaires pour résoudre les équations de Navier-Stokes sans modification. Cette approche est appelée DNS (Direct Numerical Simulation). Elle exige des ressources de calcul importantes (en nombres d’opération et en capacité de mémoire) et n’est pas applicable, à des écoulements complexes et pour des nombres de Reynolds élevés. Dans ce dernier cas, l’emploi d’un modèle de turbulence est incontournable.

L’approche RANS (Reynolds Averaged Navier Stokes) consiste à résoudre des variantes des

équations de Navier-Stokes modifiées de façon à prédire un écoulement statistiquement moyen. Les composantes de l’écoulement sont décomposées en une partie moyenne qui va être calculée et une partie fluctuante. L’introduction de cette décomposition dans les termes non-linéaires des équations fait apparaître les termes d’un tenseur de second ordre (tenseur de Reynolds) dépendant de la partie fluctuante des variables. Dans les modèles de fermeture du premier ordre (qui sont les plus utilisée) pour fermer le problème, ces termes sont exprimés en fonction des variables moyennes grâce à l’hypothèse de viscosité de turbulence. Cette approche présente un certain nombre de défauts, cependant elle n’est pas appropriée pour représenter correctement la physique d’écoulements fortement instationnaires. En particulier, les méthodes RANS ne permettent pas de simuler correctement des écoulements présentant des détachements et sillages tourbillonnaires. Il existe de nombreux modèles de fermeture RANS. Chacun des modèles RANS n’est adapté qu’à un certain ensemble d’écoulements.

L’objectif de ce travail de mémoire est d’utiliser les méthodes de simulation numérique les plus précises possibles afin d’effectuer l’analyse physique de certains phénomènes présents au sein d’un écoulement turbulent cisaillé. Pour cela, nous avons adaptés un code basé sur l’intégration des équations de conservation de masse, de quantité de mouvement, d’énergie et de fraction massique des espèces constitutives du gaz. Le code traite avec précision des écoulements au sein desquels peuvent apparaître de très forts gradients ou des chocs. Il basé sur un éclatement d’opérateurs, une approximation PPM et un traitement des termes de diffusion par volumes finis. Les effets sous maille peuvent être pris en compte par des propriétés de l’algorithme numérique (PPM) qui filtre les concentrations de vorticité à petite échelle. Cette étude se caractérise par le caractère instationnaire qui est essentiel pour étudier l’évolution des structures de mélange.

Organisation du mémoire

INTRODUCTION GENERALE 4 Le chapitre présente une bibliographie non exhaustive qui décrit le contexte scientifique et

une revue des principaux résultats tant expérimentaux que numérique disponibles dans la littérature. Le chapitre deux est consacré à la description de la formulation mathématique du problème suivi d’une présentation de la méthode numérique de résolution.

Le troisième chapitre est consacré à la présentation des résultats issus de la simulation numérique. Les résultats montrent les capacités du code à reproduire les résultats expérimentaux et à prédire le comportement des écoulements compressibles cisaillés de type jet coaxiaux. De nombreuses simulations ont été réalisées durant ce travail de mémoire, permettant d’effectuer des tests de sensibilité à tous les niveaux. Dans ce chapitre on étudiera successivement les points suivants:

Influence des conditions d'entrée :

¾ influence du nombre de Mach du jet annulaire sur le comportement des structures cohérentes.

¾ influence du nombre de Mach de l’ambiant sur le comportement des structures cohérentes.

¾ influence de l’épaisseur de quantité de mouvement sur la dynamique de l'écoulement. ¾ influence de la paroi sur la stabilité des écoulements compressibles.

 

SYNTHESE

BIBLIOGRAPHIQUE

                 

Chapitre 1

Synthèse bibliographique

La complexité de la turbulence des jets coaxiaux ainsi que l’étendue de leurs domaines d’application, ont motivé de nombreuses études, expérimentales, puis numériques. Cette première partie présente une synthèse des principaux résultats aérodynamique, obtenus sur le sujet, notamment sur les effets du rapport des vitesses.

1.1 Structures cohérentes

La découverte des structures cohérentes par des visualisations expérimentales, par exemple sur les couches de mélange [1] et les jets ronds [2], dans les années 70 et 80, mis fin à la conception d’un mouvement turbulent en état de chaos total. Depuis, de nombreuses définitions de ces structures cohérentes ont vu le jour, et notamment trois particulièrement subtiles :

– Lugt [3] : un tourbillon (structure cohérente) représente un mouvement rotationnel d’une multitude de particules fluides autour d’un centre commun.

– Hussain [4] : Une structure cohérente est une masse de fluide turbulente organisée à grandes échelles au regard de l’échelle de Kolmogorov, dont les fluctuations de vorticité, qui caractérisent la turbulence tridimensionnelle, évoluent en corrélation de phase sur l’intégralité de son étendue spatiale.

– Lesieur [5] : une structure cohérente est une région spatiale :

1. où la concentration de vorticité est suffisante pour induire un enroulement local du fluide, ce qui est une conséquence du théorème de la circulation de Stokes.

2. dont la structure conserve une forme caractéristique identifiable dont la durée de vie est longue devant son temps local de retournement,

3. qui n’est pas prévisible.

5  

1.1 STRUCTURES COHERENTES 6

1.1.1 L'instabilité de Kelvin-Helmholtz

Fig.1.1- Illustration des profiles des vitesses pour différentes cas des couches de mélanges.

Ou Ou

C’est une instabilité qui se produit lorsqu’il existe dans le champ d’écoulement un cisaillement entre des couches fluides. L’exemple le plus simple est celui d’un écoulement dans lequel la vitesse est toujours parallèle à une direction, mais dont l’amplitude varie brutalement dans la direction perpendiculaire; à la limite on peut même considérer une discontinuité (tangentielle) de vitesse (voir figure 1.1). Il est facile de voir qualitativement pourquoi l’instabilité se développe si l’on se place dans un système d’axes tels que les vitesses sont égales et de signe opposé de part et d’autre de la ligne de discontinuité.

Fig.1.2- (α ) Illustration schématique montrant la formation de tourbillons de Kelvin

Helmholtz dans une couche de mélange. D'après Lesieur [5]. (β ) Mécanisme des instabilités de Kelvin Helmholtz.

7 CHAPITRE 1. SYNTHESE BIBLIOGRAPHIQUE  Si on suppose que cette ligne devient légèrement ondulée (voir figure 1.2 phase I), cela entraîne que la vitesse s’accélère du côté convexe, en même temps que la pression diminue, et au contraire, du côte concave, la vitesse baisse et la pression augmente ; ceci se constate d’après les équations du mouvement en négligeant l’effet de la viscosité (équation de Bernoulli pour un fluide incompressible). Mais la ligne de glissement ne peut pas supporter de discontinuité de pression, et va se déformer à cause de celle-ci; on voit alors qu’elle ne peut se déformer qu’en accentuant son ondulation, puisque précisément la pression la plus forte est du côté convexe (voir figure 1.2 phase II).

Il s’ensuit donc que la discontinuité tangentielle de vitesse est absolument instable à toute perturbation, en l’absence de viscosité. Finalement, la nappe ainsi déstabilisée s'enroule formant une suite de tourbillons primaires de Kelvin-Helmholtz.

En présence de viscosité, il n’est pas possible d’avoir une discontinuité brusque, mais les zones de cisaillement à fort gradient transversal peuvent exister. On peut démontrer alors qu’elles sont instables au-delà d’un certain nombre de Reynolds critique, assez difficile à préciser par la théorie, mais que l’expérience indique très faible (surtout dans le cas bidimensionnel).

La mise en évidence expérimentale de cette instabilité se fait très facilement en disposant dans un long parallélépipède un mélange de deux liquides dont l’un est plus lord que l’autre;

Fig.1.3- Visualisation strioscopique de la zone de mélange entre un courant d’hélium (1) à 1 m/s et un courant d’azote (2) à 3.78 m/s.

la simple inclinaison du réservoir provoque des courants opposés dans le fluide (la partie la plus lourde se mettant à couler vers le bas en repoussant la partie la plus légère vers le haut), et une ondulation se produit, donnant lieu rapidement à l’apparition de beaux tourbillons semblables à des vagues (figure 1.3).

   

1.1 STRUCTURES COHERENTES 8

Les travaux expérimentaux ont montré que le développement initial des jets ronds semblait plutôt être dominé par des structures cohérentes initiales très similaires à une couche de mélange. Les premières identifications de présence de structures organisées à grandes échelles dans les écoulements cisaillés libres de type jets furent réalisées sur des écoulements transitionnels, comme l’illustre la figure 1.4. On citera en particulier les travaux de Bruun [10],

Fig.1.4- Identification de structures cohérentes dans un jet rond à nombre de Reynolds ReD =

5500. Visualisation par fluorescence induite par laser (LIF), d’après Liepmann & Gharib

[14].

Yule [11], Zaman et Hussain [12, 13], ainsi que Liepmann et Gharib [14]. On observe alors dans la zone de transition la croissance d’anneaux vortex par un mécanisme d’appariement (axisymétrique, hélicoïdal, ou alterné [15]), issue de l’instabilité primaire du jet. Cette instabilité de la couche de mélange, causée par les différences de vitesse de part et d’autre de la couche cisaillée, connue aussi sous le nom d’instabilité de Kelvin-Helmholtz, la géométrie initiale de l'écoulement fait que les tourbillons sont axisymétriques et constituent, ainsi, des anneaux. Ce sont les structures primaires du jet comme l'illustre la figure 1.4. L'espace entre deux anneaux de Kelvin-Helmholtz, notéλ , est lié à la fréquence de lâcher des tourbillons ₀ définie par l'instabilité de Kelvin-Helmholtz, il est caractérisée par un nombre de Strouhal, basé sur l’épaisseur de quantité de mouvement initiale.

9 CHAPITRE 1. SYNTHESE BIBLIOGRAPHIQUE  

1.2 Effets de la compressibilité

L’augmentation du nombre de Mach, pour des rapports de masse volumique et de vitesse équivalents, tend à diminuer le taux d’évasement des couches de mélange [6]. Dans l’objectif de quantifier les effets de compressibilité, Papamoschou et Roshko [7] introduisent le nombre de Mach convectif Mc. On définit ce nombre en se plaçant dans le repère lié aux

structures de Kelvin-Helmoltz (voir figure 1.5), l’égalité des pressions d’arrêt au point selle permet d’écrire : 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 (1 ) (1 ) 2 Mc 2 Mc γ γ γ γ γ − −− γ − −− + = + Avec 1 1 1 C C U U M a − = et 2 2 2 C C U U M a −

= . représente la vitesse de convection des structure et la vitesse du son dans les milieux 1 et 2 respectivement. En supposant la compression au point selle isentropique et si les deux gaz sont de même nature (

C U 1 a a2 1 2 γ =γ ) alors 1 C C₂

M =M et le nombre de Mach convectif s’écrit alors :

2 1 1 2 C U U M a a − = +

la vitesse de convection des structures est alors donnée par :

1 2 2 1 1 2 C a U a U U a a − = +

Fig.1.5- Schématisation des structures de Kelvin-Helmotz dans une couche de mélange,

d’après Brown et Roshko[6].

En normalisant le taux d’évasement des couches de mélange compressibles par sa valeur en incompressible (pour les mêmes rapports de vitesse et de masse volumique), Papamoschou et

1.2 EFFETS DE LA COMPRESSIBILITE      10  

Roshko [7] montrent que ce taux d’évasement normalisé évolue en fonction du nombre de mach convectif (voir figure 1.5). Ainsi, le taux d’évasement semble ne subir des effets de compressibilité qu’à partir de Mc = 0.3, et pour les nombres de Mach convectifs supérieurs le taux d’évasement normalisé tend vers une asymptote à environ 0.2. Ce comportement est illustré sur la figure 1.6.

Fig.1.6- Evolution du taux d’évasement normalisé en fonction du nombre de Mach convectif,

d’après Song et Qibing[37].

Les effets de compressibilité agissent également sur la structuration des couches de mélange. Clemens et Mungal [8,9] présentent des visualisations pour des couches de mélange aux nombres de Mach convectifs compris entre 0.28 et 0.79. Ils observent alors que pour les faibles nombres de Mach convectifs, l’organisation des couches de mélange est dominée par des structures transversales d’aspect identique à celles que l’on rencontre en régime subsonique. En revanche, pour des nombres de Mach convectifs supérieurs à Mc =0.62, il semble que les couches de mélanges prennent un aspect plus tri-dimensionnel. Clemens et Mungal [8,9] montrent que cette déstructuration n’est pas un effet du nombre de Reynolds, la couche de mélange perd alors son organisation par effet de compressibilité.

11 CHAPITRE 1. SYNTHESE BIBLIOGRAPHIQUE 

1.3 Jets coaxiaux

1.3.1 Définition et applications

Fig.1.7- Vue schématique d’un turboréacteur double-flux et double corps.

Un jet coaxial est un « double jet » composé d'un jet rond simple de vitesse initiale

P

U et de diamètre initial D qui est entoure d'un jet annulaire de vitesse initiale _P et de

diamètre initial , Les indices et sont respectivement relatifs aux jets primaire et secondaire.

S

U

S

D P S

Il est important de noter que les jets coaxiaux ont donc deux échelles de taille et deux échelles de vitesse distinctes. Cet écoulement a été étudié en raison de ses importantes applications. L’introduction des moteurs double flux (dont une illustration est donnée par la figure 1.7) dans le domaine de l’aviation civile au début des années 1960 permis de réduire considérablement le bruit émis [16], en raison de la faible vitesse d’échappement de ce type de moteur qui modifiait les tourbillons cohérents qui influencent la génération du bruit.

De plus, la configuration coaxiale est souvent utilisée dans l'industrie comme un moyen efficace de mélanger deux fluides. L'une des applications est alors la chambre de combustion des moteurs de fusées figure 1.8, où le jet annulaire est plus rapide que le jet simple central. Il apparait dans ce cas important d'étudier la dynamique de l'écoulement, afin d'améliorer les performances des injecteurs car cette dynamique gouverne largement le mélange.

1.3 JETS COAXIAUX 12

Fig.1.8- Illustration d'un des jets coaxiaux en amont de la chambre de combustion des

moteurs VULCAIN de la fusée Ariane V.

1.3.2 Aérodynamique des jets coaxiaux

Les jets coaxiaux sont plus proches des configurations industrielles pour l’étude des caractéristiques aérodynamiques. Néanmoins, en comparaison avec les jets simples, on trouve beaucoup moins d’études fondamentales nous renseignant sur la turbulence de ces écoulements. Cela met en évidence l’importance de mener des études plus approfondies dans le but de caractériser la dynamique des structures cohérentes de tels écoulements. C’est l’un des volets de ce mémoire, qui se place néanmoins dans le cas de jets coaxiaux monophasiques utilisée dans l’industrie pour mélanger deux fluides, notamment dans l’aérospatiale, dont la vitesse du jet central U est inférieure à celle du jet annulaire_P U_S , soit U_S>U . Rappelons _P

néanmoins que la configuration inverse U_P> est également possible, et est très largement utilisée dans l’industrie surtout dans les moteurs double flux pour réduire le bruit émis.

S

U

Un jet coaxial est défini par de nombreux paramètres initiaux, tels que le taux de détente du jet primaire et sa températureT , le taux de détente du jet secondaire et sa température_P , le rapport des vitesses entre les jets secondaire et primaire /

S

T

S

U U_P , ainsi que le rapport entre les diamètres des jets secondaire et primaireD /_s D . _P

Dès les premières études sur le sujet au début des années 1950 comme celles de Forstall et Shapiro en 1951 [17], le rapport des vitesses U_S /U apparu comme un des éléments _P

13 CHAPITRE 1. SYNTHESE BIBLIOGRAPHIQUE  considère le même fluide pour les deux jets. Plus tard, Favre-Martinet et Camano Schettini [18] ont montré plus récemment que c’est en réalité le rapport des flux de quantité de

mouvement 2 2

/

S S P P

M =ρ U ρ U (où ρ_Set ρ_Psont les masses volumiques du fluide issu du jet secondaire et du jet primaire respectivement) qui pilote le développement de l’écoulement. Ce dernier paramètre est important lorsqu’un fort gradient de température est présent dans l’un des deux jets (primaire ou secondaire). Une des études expérimentales les plus pertinentes concernant l’influence du rapport des vitessesU_S /U est due à Dahm et al. [_P 19], dans le cadre de jets coaxiaux incompressibles de même densité, dont nous avons rapporté quelques visualisations sur la figure 1.9.

Les travaux de Champagne et Wygnanski [20] ont montré au début des années 1970 que les jets coaxiaux possédaient deux couches de cisaillement axisymétriquesdistinctes. En effet, il y a la couche cisaillée interne qui se forme entre le jet interne et le jet annulaire et la couche cisaillée externe qui se forme entre le fluide issu du jet annulaire et le fluide ambiant. Leurs résultats montrent que le comportement de l'écoulement est assez similaire à celui d'un jet simple. L'écoulement est dominé par la couche cisaillée interne ce qui n'est pas surprenant étant donnée que le jet annulaire n'agit que comme un co-courant qui affecte peu la dynamique du jet rond central, ce qui est tout à fait différent pour des rapports de vitesse supérieurs à l'unité. Alors que les travaux expérimentauxde Ko et Kwan [21,22] semblaient montrer que la structure de l’écoulement de jets coaxiaux (pour des rapports de vitesses ) pouvait être décrite comme une combinaison de deux jets simples, en considérant les couches cisaillées indépendantes. Du fait de ces deux couches de cisaillement, Ko et Kwan ont distingué le développement des jets coaxiaux en trois zones : la zone de développement initiale, la zone intermédiaire et la zone pleinement développée (figure 1.10). La zone de développement initiale s'étend du début du jet jusqu'à la fin du cône potentiel externe et la zone pleinement développée débute à l'endroit où les deux jets ont complètement fusionné et que le jet coaxial a un comportement de jet rond. La zone intermédiaire est la zone se situant entre la région de développement initial et la région pleinement développée.

/ 0.3, 0.5, 0.7

S P

U U =

Dans la zone intermédiaire, l'auto-similitude des profils radiaux de vitesse moyenne et fluctuante n'est pas réalisée contrairement aux zones de développement initial et pleinement

1.3 JETS COAXIAUX 14

Fig.1.9- Visualisation par fluorescence induite par laser (LIF) des structures cohérentes de

jets coaxiaux à faible nombre de Mach, pour différents rapport de vitesse (

  ,

  ). D’après Dahm et al. [19].

0.03 P M = 5 .7 / S P D D Re_P =3.7 10×

développée. Les paramètres d'auto-similitude différente dans ces deux zones.

Dahm et al. Ont montré que le développement initial des jets coaxiaux semblait plutôt être dominé par les structures cohérentes issues de la couche de mélange du jet secondaire, en particulier pour le rapport de vitesse (U_S /U_P =0 ). Néanmoins, nous soulignons le fait que ces études considéraient de très faibles nombres de Mach pour le jet primaire M <0.2. _P

Du fait de ces deux couches de cisaillement, un jet coaxial possède alors deux cœurs potentiels, comme illustré sur la figure1.10. Champagne et Wygnanski [23], ont montré aussi que pour un même régime d’écoulement, la longueur de ces cônes potentiels augmentait lorsque le rapport s’amplifiait également. Ces mêmes auteurs ont mis en évidence que le comportement d’un jet coaxial était proche de celui d’un jet simple. En effet, au regard du nombre de Mach convectif, un jet simple est équivalent à un jet coaxial dont le jet secondaire serait nul. Néanmoins, comme un jet coaxial possède deux échelles de taille et de vitesse distinctes, les paramètres d’auto-similitude diffèrent dans la région initiale et intermédiaire de développement du jet [16].

/

S

D D_P

La recherche sur Les jets annulaires où la vitesse du jet interne nulle été initiée en 1964 par Chigier et Beer [24], ils ont mesuré les vitesses à différentes distances de la buse. Leurs résultats « vitesses axiales négatives» montrent une présence d'une zone de recirculation juste après la buse. Ils ont également conclurent qu'à une certaine distance de la buse, les deux pics du profil de vitesse moyenne longitudinale convergeaient vers un point de rattachement se situait sur l'axe du jet où la vitesse moyenne longitudinale atteinte une valeur maximal.Durao

15 CHAPITRE 1. SYNTHESE BIBLIOGRAPHIQUE  et Whitelaw [25], ont montré également que la longueur de la recirculation diminuait quand le rapport de diamètre β augmentait.

Fig.1.10- Structure d’un jet coaxial subsonique.

Expérimentalement Ko et Au [26, 27], précisent que La croissance de la zone intermédiaire de développement du jet correspond à un taux de croissance faible comparé aux deux autres zones Ceci est probablement dû à un pincement du jet central par le jet annulaire rapide. Le cône potentiel extérieur a tendance à s'orienter vers l'axe central du jet.

Le rapport de vitesse a fait l’objet de nombreux travaux expérimentaux, citons notamment les contributions de Warda et al. [28], ainsi que Au et Ko [29], ils ont montrés le rôle de ce rapport sur la longueur du cône interne, rappelons également que les expériences de Au et Ko [29], montrée que le rapport L_P1/D₁=9.9 /r_u sans en donner d'explication physique. En 1997, H. Rehab, E. Villermaux [30], ont montré, à partir d'un modèle basé sur l'entraînement du fluide interne, qu'effectivement on pouvait modéliser la variation deL avec_P1 par la loi

ru

1/ 1 /

P u

L D =A r où A dépendait de la forme de l'injecteur.

En 2006 par simulation SND G. Balarac et al.[31,32,33], montrent que les jets coaxiaux, possèdent deux régions distinctes selon le régime de l’écoulement (avec ou sans bulle de recirculation), l'une au niveau du jet interne et la seconde au niveau du jet externe « cône potentiel intérieur et du cône potentiel extérieur », ils ont définies trois paramètres importantesL_P1,L qui ont respectivement les longueurs des cônes potentiels intérieur et _P2

extérieur et la quantité, etR qui est la localisation radiale du sommet du cône potentiel _P2

1.3 JETS COAXIAUX 16

numériques montrent que la longueur du cône potentiel extérieur L n'est pas influencée par _P2

la valeur du rapport de vitesseruoùL_P2/D₁ ≈0.7, par contre la longueur L diminue _P1

fortement lorsque ru augmente. ils ont montrés également queR est fortement influencé _P2

parru, ce qu’est déjà été observé expérimentalement par Rehab[34]. Ces mêmes auteurs ont mis en évidence les mécanismes d'apparition de la bulle de recirculation ainsi que le comportement de cette bulle. Les visualisations de Camano-Schettini [35] illustrent la présence de tourbillons longitudinaux. La différence de densité semble favoriser leur développement. Cependant, les visualisations de sections transverses de Rehab et al. [34] montrent bien l'existence de ces structures.

Fig.1.11- Schématisation d'un jet coaxial représentent les cônes potentiels intérieur et

extérieur et leur longueurs. Jet primaire Jet Secondaire Jet Secondaire 2 P R 1 P L 2 P L

En comparaison avec des jets coaxiaux incompressibles, le développement du champ aérodynamique des jets coaxiaux compressibles est de nature très différente et sont dépendants des conditions ambiantes, initiales, et du mach convectif de jet primaire et de jet secondaire. Toutefois de nombreuses questions restent ouvertes sur le sujet. Par exemple, de quelle manière le processus de mélange est influencé par le développement des couches de mélanges interne et externe ? Quelle est l’impact de la distribution de température sur le mélange?

METHODES

NUMERIQUES

                               

Chapitre 02

Méthode Numérique

La recherche de solution à des problèmes numériques où apparaissent des discontinuités, telles que les ondes de choc, imposent des contraintes, d’une part sur la formulation mathématique des équations de base, et d’autre part sur les schémas numériques mis en œuvre. Ainsi, il est possible de formuler les équations de base, soit sous forme différentielle non conservative, soit sous forme intégrale. Par ailleurs, les variables utilisées peuvent être les variables primitives ou les variables conservatives. Or, les études montrant que les formulations basés sur les variables autres que les variables conservatives donnent de mauvaises conditions de choc : l’intensité du choc, sa vitesse et sa position sont fausses. En fait, on peut démontrer que les schémas dit non-conservatifs ne convergent pas vers la bonne solution. Ainsi, pour l’équation linéaire sous forme non-conservative avec des valeurs initiales régulières, les méthodes classiques donnent des résultats relativement corrects. Par contre, si des discontinuités apparaissent, les difficultés commencent. Ainsi, les techniques du premier ordre ont tendance à atténuer les discontinuités de manière inacceptable (de tels schémas sont dissipatifs). Les schémas classiques du second ordre ou d’ordre supérieur génèrent quant-à-eux des oscillations aux voisinages des discontinuités.

Mais en plus, les schémas sous forme non conservative, ne peuvent trouver les chocs sans l’utilisation explicite des relations de Rankine-Hugoniotpour capturer les chocs (technique de capture de choc). Il faut cependant aussi noter qu’il y a des difficultés supplémentaires pour les problèmes non-linéaires, qui n’apparaissent pas pour les problèmes linéaires. Ainsi, on peut dériver une infinité de loi de conservation qui sont équivalentes pour des solutions régulières, mais qui peuvent avoir différentes solutions faibles. Ces solutions si elles existent d’un point de vue mathématique n’ont pas nécessairement de sens physique. En effet, les solutions faibles des lois de conservations hyperboliques ne sont pas déterminées de manière unique par la donnée des valeurs initiales. Enfin, même si on a la bonne formulation mathématique, une condition d’entropie est parfois nécessaire pour obtenir la solution physique correcte.

18   

19 CHAPITRE 2. METHODE NUMERIQUE  Dans ce chapitre, nous décrivons en détails la méthode numérique utilisée intensivement pour les simulations aux grandes échelles. Il s’agit d’une approche au Volumes Finis appliquée aux équations de Navier-Stokes compressibles. Cette approche a été développée pour résoudre des problèmes de type industriel « les couches de mélange, les jets libres, jets coaxiaux, ect…».

2.1 Les équations :

2.1.1 Mélange gazeux et espèces constitutives :

On se place dans l’approximation des milieux continus. On suppose que le mouvement macroscopique est bien décrit par l’équation de Navier-Stockes d’un mélange de gaz parfait, compressible et non réactif. En particulier, le fluide est supposé Newotenien et la viscosité de volume est négligée. Chaque espèce chimique dont est constitué le fluide peut être caractérisée par les propriétés suivantes :

La masse molaire : M_i, La densité partielle : ρ( , )x tr ,

La pression partielle à la température T : ( , ) i( , ) ( , ) i i x t RT x t p x t M ρ = r r r , La fraction massique : ( , ) ( , ) ( , ) i i x t Y x t x t ρ ρ = r r r , avec 1 ( , ) ns ( , ) i i x t x t

ρ

r = ₌

ρ

r 1 ( , ) 1 s n i i=Y x t = , et r ,

∑

∑

La fraction molaire : _i( , ) _i( , ) i M X x t Y x t M = r r , avec 1 ( , ) 1 s n i i= X x t =

∑

r ,

La capacité calorifique : C T_vi( )(molaire), C T_vi( )(par masse), ( ) vi( ) vi i C T C T M =

Son énergie interne par masse : ( ) ( ) ( ) , ref

T

i i ref _T vi

e T =e T +

∫

C T dT

Les caractéristiques du mélange de n_sespèces sont définies par une moyenne. La masse molaire moyenne : 1 ₁ ( , )

( ) s n _i i i i Y x t M Y =

∑

= M r

La capacité calorifique moyenne :

1 ( , ) ns ( , ) ( ) v _{i i vi} i c T Y =

∑

₌Y x t c Tr (par masse) 1 ( , ) ns ( , ) ( ) v _{i i v} i C T Y =

∑

₌ X x t C Tr _i (molaire) La pression à la température : ( , ) ( , ) ( , ) ( )i x t RT x t p x t M Y ρ = r r r

2.1 LES EQUATIONS        20   

L’énergie interne moyenne :

1 ( ) s ( ) ( ) ( , ) ref T n v i =

∑

_i=Y e Ti i =e Ti ref +

∫

_T c T Y dTi e T ( ) v( ) i i

e T =c Y T si c_vi( )T_i =c_vi(T_ref)et si

∑

n_i=s₁Ye Ti i( ref)=const

2.1.2 Adimensionnement :

Toutes les grandeurs sont adimensionnées à l’aide d’échelles de vitesseU , de longueur

0

0

L , de températureT₀, et de densitéρ . Ces échelles correspondent en général à ₀ l’état initial d’une partie de l’écoulement que l’on veut étudier. Pour les calculs des jets coaxiaux, les échelles sont celles de l’écoulement le plus rapide. L’échelle de longueur est soit l’épaisseur initial de la couche de mélange, soit le diamètre de jet soit la hauteur du canal en écoulement confiné. L’échelle de masse molaire estM_H , la masse molaire de l’atome H. les coefficients de transport, tels que la diffusivitéD_i, la viscosité dynamiqueμ, la conductivité de chaleurλsont également adimensionnés à l’aide deU₀,L₀et ρ , faisant ainsi apparaître ₀ des nombre adimensionnels.

Les échelles des autres grandeurs et les nombres adimensionnels s’en déduisent : Pression : 2 0 0 P =ρ U₀ = 0 0 Energie par masse : e₀ U₀2

Temps : t₀ =L₀/U

Constante des gaz : 2 0 0 H /

R =U M T Et les nombres adimensionnels : Nombre de Reynolds : Re=ρ₀U L_{0 0} /μ Nombre de Schmidt : Sc_i =μ ρ/ ₀D_i

Nombre de Prandtl : pr = μcp /λ

Dans la suite on suppose que toutes les variables sont adimensionnées par leurs échelles respectivement de la façon suivante : x→ x X/ ₀ ou x désigne la variable et X₀ l’échelle correspondante. Les équations de Navier-stockes adimensionnées et sous forme conservative d’un mélange gazeux s’écrivent :

( ) ( ) ( ) U F U G U S U t x y ∂ ∂ ∂ + + = ∂ ∂ ∂ (2.1) 

21 CHAPITRE 2. METHODE NUMERIQUE  Où : 2 ( ) ( ) i u u p F U uv e p u Y u ρ ρ ρ ρ ρ ⎧ ⎫ ⎪ ₊ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎬ ⎪ ₊ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ , ( ) 2 ( ) i v uv G U v p e p v Y v ρ ρ ρ ρ ρ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ =_⎨ + _⎬ ⎪ ₊ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ , 1 2 1 2 2 1 0 ( ) .( ) .( . ) . .( ) . j j j j j j p i i Re x Re S U x c T u pr Re Re Y Sc Re ρ τ ρ τ ρ _{ρ τ} ρ = = ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ _∂ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎬ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪_{∇ ∇ + ∇} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ _{∇ ∇} ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

∑

∑

ur ur ur r r ur ur 2 1 2 3 j i k ij ij k j i u u u (2.2)  k x x x τ δ = ∂ ∂ ∂ = + − ∂ ∂

∑

∂ (2.3) 

L’opérateur S U( )représente les termes visqueux, diffusifs, de conduction.

U est le vecteur d’état des variables conservées et s’écrit :

{

, , , , i

}

T

U = ρ ρ ρ ρ ρu v e Y , 1( 2 2) ( , ) _int

2 i cin

e= u +v +e T Y =e +e

e est l’énergie totale, c à d. La somme de l’énergie cinétique et de l’énergie interne.

Les opérateurs décrivent uniquement les termes de convection et de propagation et ne contiennent pas de dérivées spatiales. Pour S (U)=0, l’éq. (2.1) se réduit à l’équation d’Euler, pour la résolution de laquelle de nombreux schémas numériques ont été proposés (voir par exemple yee[38]).

( ), ( )

F U G U

L’éq. (2.1) est résolue par décomposition en deux problèmes unidimensionnels hyperboliques non-linéaires et un problème bidimensionnel parabolique non-linéaire. Les opérateurs de solution sont L L_x, _yet ψ respectivement.

2.2 OUTIL NUMERIQUE       22    x L : U F U( ) 0 t x ∂ ₊∂ ₌ ∂ ∂ : y L U G U( ) 0 t y ∂ ₊∂ ₌ ∂ ∂ ψ : U S U( ) t ∂ ₌ ∂ (2.4)  (2.5)  (2.6)  La solution complète est calculée comme suit :

1 1 2 _{2 2} n n x y y x U + =ψ L LψL Lψ U ) ) (2.7)  La solution d’une équation par éclatement d’opérateur symétrique comme l’éq. (2.7), est précis à O(Δt2 si chacun des opérateurs est précis à O(Δt2 (6)

2.2 Outil numérique :

Depuis le développement des schémas upwind par Courant, Issacson et Rees [39] (1952) et la méthode de Godunov (1959) [40], de nombreux progrès ont été fait concernant la résolution numérique des lois de conservations hyperboliques. Le théorème de Godunov qui stipulait qu’un schéma linéaire préservant la monotonie de la solution était au mieux d’ordre un a pu être contourné en utilisant des schémas numériques non linéaires. Depuis, la construction de schémas d’ordre élevé est l’un des principaux axes de recherche dans le domaine. Après le développement par Van Leer (1979) [41] des schémas MUSCL (Monotone Upstream Scheme for Conservation Laws).

Les équations (2.4), (2.5) sont résolues par la méthode PPM (piece wise parabolic method, Colella & Woodward) [42], un schéma de type Godunov d’ordre élevé.

L’éq. (2.6) est résolue par une discrétisation d’espace de type volume finis et un avancement dans le temps explicite pour les termes de diffusion de masse et de chaleur et de type de Runge-Kutta à stockage réduit [47] pour les termes de diffusion de quantité de mouvement. Les avantages de la méthode PPM, qui nécessite approximativement trois fois le temps de calcul d’un schéma aux différences finies classique, peuvent se résumer dans les points suivants :

1) Une grande précision sur les termes de convection et de propagation d’ondes est obtenue par une intégration des équations caractéristiques précise au quatrième ordre en espace et en temps. Le schéma est peu dispersif fournissant ainsi des résultats fiables concernant les mécanismes d’instabilité et de transition.

23 CHAPITRE 2. METHODE NUMERIQUE   

2) La diffusion et la dispersion numérique sont très faibles dans les régions ou la solution est lisse.

3) Un traitement itératif d’interactions non-linéaires entre différentes ondes augmente la stabilité du schéma.

4) La stabilité du schéma est grande même prés de discontinuités extrêmement fortes (p1/p2=106). Cette propriété a notamment permis d’effectuer des calculs de détonations confinées. la restriction de stabilité est donnée par la condition CFL classique. La gestion d’un pas de temps variable est possible en affectant au pas de temps 90% de sa valeur théorique maximum. L’expérience montre que beaucoup de schémas numériques aux différences finies classiques ne supportent que des pas de temps de 30%-50% de sa valeur théorique du fait des non-linéarités des équations. Cet avantage compense en grade partie le temps d’exécution plus élevé.

5) Les conditions aux limites s’introduisent d’une façon tout à fait naturelle, grâce à la formulation caractéristique PPM. Ceci est un avantage non négligeable, vu q’un grand effort doit souvent être fait pour la formulation des conditions aux limites sous forme caractéristique dans les schémas aux différences finies, avec les problèmes que soulève un changement de formulation prés des limites.

Au cours de ce travail on a vu que la grande stabilité et la grande précision du schéma compense largement le coût, et sauf en phase de mise au point, aucun problème d’instabilité numérique ou de conditions aux limites n’a été constaté.

2.2.1 Algorithme PPM :

Les formules complètes étant relativement compliquées, on se limite à une description de principe, afin d’alléger la lecture de ce paragraphe. Le lecteur se reportera à (Colella & Woodward) voir [42]. Pour le détail des formules employées.

Le schéma PPM est un schéma conservatif qui conserve la masse, la quantité de mouvement, et de l’énergie au cours du temps. Cette propriété est garantie par une formulation de type volumes finis ou toutes les variables sont discrétisées aux centres des mailles situés à xi et qui s’étend de x_i−_{1/ 2} à xi+1/ 2 voir figure (2.1), représentant ainsi la moyenne d’une quantité

conservée sur le volume de cette maille. L’avancement en temps nécessite une évolution des flux de chaque quantité conservée à travers des interfaces entre les mailles situées à ₁

2 i x

± .

2.2 OUTIL NUMERIQUE       24                     

Fig.2.1- Les interfaces de la maille sont situées àx_i±_{1/ 2} , la maille d’indice i s’étend de xi−1/ 2 à 1/ 2 i x+ 1/2 i x₋ x_i x_i+1/2 x_i+1 x_i+3/2 i x Δ Δxi+1 x

Un schéma conservatif peut donc s’écrire en toute généralité en une dimension d’espace :

1 1 1 2 2 ( ( ) ( ) ) n n i i i i i t U U F U F U x + + − Δ = − − Δ (2.8)  Où l’indice n indique le nombre d’itérations dans le temps et i l’indice de la maille. A l’instant

n les quantités n sont connues aux centres des mailles, par contre les F (U)

i

U i±1/2 doivent

être calculés par un schéma d’interpolation. L’ordre du schéma global dépendra de l’approximation de F (U), G (U), aux interfaces entre les mailles. Physiquement les quantités

F (U) i±1/2 représentent une moyenne temporelle de tnà tn1

+

de l’opérateur F (U) sur une interface. L’algorithme PPM construit cette moyenne en intégrant les équations de mouvement selon les directions caractéristiques ( , )x t de part et d’autres des interfaces.

Le schéma est composé de deux étapes. La première étape consiste à obtenir de chaque coté d’une interface une approximation des vecteurs d’état ₁

2 L i U + et 1 2 R i U

+ (L pour l’état à gauche de

l’interface et R pour l’état à droite de l’interface) moyennés sur un pas de tempsΔt.

Ceci est fait par une intégration des équations caractéristiques avec un schéma d’advection PPM. Il est important de remarquer que, pendent cette première étape, seule l’interaction non-linéaire entre deux ondes qui se propagent dans la maille pendant un pas de temps Δ est t

prise en compte. L’itération non-linéaire entre ondes dans différentes mailles est prise en compte pendant la deuxième étape en évaluant une moyenne entre les vecteurs de flux et . Ceci est fait par un schéma de Godunov approximé qui est du à Roe. Les vecteurs

1/ 2 ( )_i F U% ₊ 1/ 2 ( _iL ) F U ₊ F U( _iR_{+1/ 2}) ( ), ( )

F U% G U% donnent ensuite les flux de chaque variable conservée à travers les interfaces.

L’utilisation d’un schéma de type de Godunov a l’avantage de l’évolution de toutes les quantités sur l’interface à l’aide des relations non-linéaires issues d’une solution analytique

25 CHAPITRE 2. METHODE NUMERIQUE   

locale à x_i+_{1/ 2} qui résultent d’une discontinuité du vecteur d’état U. la génération de valeurs

non-physiques, notamment pour la pression, est donc exclue même dans le cas de chocs extrêmement forts . En plus, la solution est exacte pendant une itération. Par contre, cette solution analytique est disponible seulement si les gradients de toutes les variables sont négligés prés des interfaces. Un schéma de type Godunov seul est donc de premier ordre en espace. Une extension d’ordre plus élevé doit donc intégrer l’effet d’une variation spatiale du vecteur U dans la construction de et formant ainsi une discontinuité qui peut alors être résolue par un schéma de type de Godunov. Le schéma global profite donc d’une grande précision spatiale pendant la construction de U et

6 1/ 2 1 p p ≈ 0 ) 1/ 2 ( L ) i F U ₊ ( R_{1/ 2} i F U ₊ L R U et d’une grande précision temporelle et grande stabilité pendant l’étape finale.

L’advection PPM

La construction du schéma d’advection PPM peut être illustrée à laide de l’advection D’un scalaire passif par la vitesse constante λ>0, décrite par l’équation d’advection linéaire :

C x t( , ) C x t( , ) 0 t λ x ∂ ₊ ∂ ₌ ∂ ∂ 0 ( , 0) ( ) C x =C x (2.9) 

La solution analytique est donc :

C x t( , )=C x₀( −λt), ( , )x t ∈ −∞ ∞ ×

]

,

[ [ [

0,∞ (2.10)  La discrétisation de solution C x se fait sur un maillage de type volume finis. La maille d’indice i s’étend de

( , )t

1/ 2 i

x− à xi+1/ 2, avecΔ =xi xi+1/ 2−xi−1/ 2. La valeur discrétisée C de

est définie par sa moyenne sur la maille i :

n i ( , )n C x t 1/2 1/2 1 ( , ) i i x n i _x i C C x x + − = Δ

∫

t dxn t (2.11)  Un schéma d’advection peut être construit de la façon suivante :

1) A partir des valeursC on reconstruit une fonction C x par interpolation, ceci peut être regardé l’inverse de la projection (2.11). La précision de cette interpolation nous donne la précision du schéma d’advection.

n

i ( , )n

2) La solution (2.10) est appliquée afin d’avancer la solution d’un pas de temps Δt :

1

( , _n ) ( , )_n

C x t ₊ =C x− Δλ t t

3) la projection (3.11) est appliqué surC x t( , _n+₁), ce qui nous donne les valeursCin 1

+ _les étapes 2) et 3) peuvent être combinées en une seule étape définie par :

2.2 OUTIL NUMERIQUE       26    1/2 1/2 1 1 ( , ) i i x t n i _{x t} n i C C x λ λ + − − Δ + − Δ = Δ

∫

x t dx i (2.12)  On remarque que l’interpolation «constante par morceaux »

( , ) n n

C x t =C Pour x∈

]

x_i−1/2,x_i+1/2

[

Donnerait le schéma amont de premier ordre.

Une approximation au premier ordre d’un schéma numérique permet d’obtenir rapidement des résultats (les schémas ne sont pas très complexes), mais en général avec des amortissements plus ou moins important au voisinage de discontinuité ou avec des difficultés dans les zones soniques par exemple. Dans la pratique, et en particulier dans le milieu industriel, on demande au moins une précision d’ordre deux en espace pour les problèmes stationnaires et de plus d’ordre deux en temps pour les problèmes instationnaires.

L’interpolation PPM est « parabolique par morceaux » schématisée sur la figure 2.2, c à d. la fonctionC x t( , )est de la forme :

2

( , )_{n i}n _in

C x t =a x +b x+c_in Pour x∈

]

x_i−1/2,x_i+1/2

[

(2.13)  Les coefficients a_in,b_inet sont définis par les conditions suivantes :

t

n i

c

1) C x( , )_n est continu à x_{i±1/ 2}et la valeur est obtenue par un schéma aux différences finies centré à

1/ 2 1/ 2 ( _i , )_{n i}n C x− t =C−

1/ 2 i

x− d’ordre quatre à partir des points

{

2, 1, , 1

}

n n n n

i i i i

C₋ C₋ C C₊ .

2) la valeur moyenne de sur la maille i est égale à . Ceci obligatoire afin d’être consistant avec l’éq. (2.11).

( , )_n

C x t n

i

C

La condition 1) à x_i±_{1/ 2} et la condition 2) définissent de façon unique les coefficientsain,b cin, in.

Les éqs. (2.12) et (2.13) décrivent entièrement le schéma d’advection PPM.

                               

Fig.2.2- Interpolation parabolique du schéma d’advection PPM

1/ 2 i x₋ x_i x_{i+1/ 2} x_i+1 x_{i+3/ 2} i C 1 i C₊ C