DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES (3)

CPGE TSI 1

Samedi 9 novembre 2013 Durée 4 heures.

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES (3)

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements constituent un objectif majeur pour les épreuves écrites de mathématiques et

entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

NB1 : le barème est indicatif et susceptible de légères modifications

NB2 : une erreur dans un texte de devoir est toujours possible ; si vous pensez détecter une erreur, signalez le sur votre copie et continuez votre rédaction NB 3 : un bonus de 1 point sera attribué si le DS ne comporte aucune faute

d’orthographe « inexcusable »

Exercice 1 : Etude d’une fonction et calcul d’aire Partie A

Soit la fonction définie par 𝑔 𝑥 = 𝑒^𝑥 − 𝑥𝑒^𝑥+ 1 1. Préciser son ensemble de définition

2. Justifier que 𝑔 est continue et dérivable sur ℝ 3. Etudier les variations de la fonction 𝑔

4. Prouver que l’équation 𝑔 𝑥 = 0 admet une unique solution 𝛼 et donner un encadrement de 𝛼 d’amplitude 10⁻²

5. Prouver que 𝑒^𝛼 = ¹

𝛼−1

6. Déterminer le signe de 𝑔(𝑥) selon les valeurs de 𝑥

7. Calculer 𝑥𝑒₀^{1 𝑥}𝑑𝑥 ; Déduire 𝑔(𝑥)𝑑𝑥₀¹ ; Que mesure cette intégrale ? Justifier Partie B

Soit la fonction définie par 𝑓 𝑥 = ^2𝑥

𝑒^𝑥+1 1. Préciser son ensemble de définition

2. Justifier que f est continue et dérivable sur ℝ

3. Justifier que la courbe représentative de 𝑓 admet en +∞ une asymptote dont on

précisera l’équation ; préciser les positions relatives de l’asymptote et de la courbe de 𝑓 4. Justifier que la courbe représentative de 𝑓 admet en −∞ une asymptote oblique dont on

précisera l’équation ; préciser les positions relatives de l’asymptote et de la courbe de 𝑓 5. Calculer 𝑓^′(𝑥) ; déterminer le signe de 𝑓^′(𝑥) en utilisant la partie 𝐴

6. Justifier que 𝑓 𝛼 = 2(𝛼 − 1) ; Déduire un encadrement de 𝑓 𝛼

7. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de la fonction , au point d’abscisse 0

8. Tracer la courbe de 𝑓 en faisant apparaitre tous les résultats obtenus dans l’étude Exercice 2 : Etude de fonction, bijection et réciproque

1. Etudier la fonction 𝑔 définie par 𝑔 𝑥 = ln⁡ ^𝑥

5−𝑥

(ensemble de définition, continuité, dérivabilité, branches infinies, variations, intersection avec l’axe des abscisses, tangente en ce point, courbe)

2. Justifier que la fonction g est une bijection de ]0; 5[ vers un intervalle que l’on précisera

3. Justifier que sa bijection réciproque est définie par 𝑓 𝑥 = ^{5 𝑒𝑥}

𝑒^𝑥+1 (préciser les intervalles de départ et d’arrivée)

Déduire la courbe de la fonction 𝑓 (sur le même repère que précédemment) Exercices : Calcul intégral

1. Calculer les intégrales suivantes :

𝑎) 𝑥

𝑥² + 3 ³ 𝑑𝑥

1 0

; 𝑏) 𝑙𝑛²(𝑥) 𝑥

𝑒 1

𝑑𝑥 ; 𝑐) 𝑒^{𝑥 𝑡}

1 0

𝑑𝑥 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑒^{𝑥 𝑡}

1 0

𝑑𝑡

𝑑)

𝑑𝑥

𝑥²−4

sous la forme

𝑥−2

+

𝑥+2

) 𝑒) 𝑠𝑖𝑛

𝑥 𝑑𝑥

2. On veut calculer les deux intégrales : 𝐼 = sin t +cos ⁡^{sin ⁡(𝑡)} (t) dt

𝜋 2

0 𝑒𝑡 𝐽 = sin t +cos ⁡^{cos ⁡(𝑡)} (t) dt

𝜋 2

0

1° méthode

a) Justifier que 𝐼 + 𝐽 = ^𝜋

2 (on ne cherchera pas à calculer 𝐼 et 𝐽) b) Justifier que cos ^𝜋

2− 𝑥 = sin⁡(𝑥) et que sin ^𝜋

2− 𝑥 = cos⁡(𝑥) ∀𝑥 ∈ ℝ c) A l’aide du changement de variable 𝑡 =^𝜋

2− 𝑥 , prouver que 𝐼 = 𝐽 d) Déduire alors les valeurs de 𝐼 et de 𝐽

2° méthode

On reprend le résultat : 𝐼 + 𝐽 = ^𝜋

2 (inutile de le prouver à nouveau) a) Déterminer une primitive sur [0 ; ^𝜋

2] de la fonction définie par 𝑓 𝑡 = sin 𝑡 −cos ⁡(𝑡) sin 𝑡 +cos ⁡(𝑡)

b) Déduire la valeur de 𝐼 − 𝐽

c) Déduire alors les valeurs de 𝐼 et de 𝐽