ANNEE UNIVERSITAIRE 2012/2013 SESSION 2 PRINTEMPS
Licence de Math´ematiques
Examen de G´eom´etrie Diff´erentielle (N1MA6011) Date : 17/06/2013 Heure : 8h30 Dur´ee : 3h00 Documents : Non autoris´es. Calculette homologu´ee : autoris´ee Epreuve de Mr : Bessi`eres. Sujet : 2 pages
Exercice 1. Questions de cours
(1) Soit A un arc g´eom´etrique r´egulier deRn et p∈A un point de courbureK(p)6= 0.
(a) D´efinir C, le cercle osculateur `aA au point p.
(b) Si f, resp.c, est un param´etrage de A, resp. C, par longueur d’arc, tel que f(0) =c(0) et f0(0) =c0(0), quelle relation caract´eristique v´erifief(s)−c(s)?
(c) D´emontrer cette relation.
(2) (a) Donner la d´efinition d’une immersion d’un ouvert U ⊂Rddans Rn. (b) Justifier que sid=n, une immersion est un diff´eomorphisme local.
(c) Donner un exemple d’immersion o`u d = n, qui n’est pas un hom´eomorphisme sur son image (justifier).
(3) Soit Σ⊂R3 une surface, admettant une param´etrisation f :U ⊂R2→Σ.
(a) Donner la d´efinition d’une application de Gauss de Σ et de l’endomorphisme de Wein- garten associ´e.
(b) Donner un exemple de surface, diff´erente d’un morceau de plan, o`u la courbure de Gauss est identiquement nulle (expliciter les calculs justifiant la r´eponse).
Exercice 2. Soit l’ouvert U =]0,1[×R dans R2. On consid`ere l’application f : U→R3, d´efinie par
(u, v)7→(x, y, z) =f(u, v) = (ucosv, usinv, v).
On se propose de montrer quef est un plongement.
(1) Donner la d´efinition d’un plongement.
(2) Montrer quef est une immersion.
(3) Construire g:R3→R2 continue telle que g◦f(u, v) = (u, v) pour tout(u, v)∈U. (4) Conclure.
1
Exercice 3. On consid`ere Σ =f(U) o`u U etf sont ceux de l’exercice pr´ed´edent. On admet que Σest une surface plong´ee dans R3 (c-a-d une sous-vari´et´e), param´etris´ee par f.
(1) Faire un dessin donnant l’allure de Σ.
(2) D´eterminer l’expression de la premi`ere forme fondamentale de Σ dans les coordonn´ees(u, v).
(3) Calculer l’aire de la partie deΣ comprise entre les plans d’´equationsz= 0 et z= 2π (on rappelle que 1 + sinh2 = cosh2.)
(4) D´eterminer l’expression de la seconde forme fondamentale de Σdans les coordonn´ees(u, v).
(5) En d´eduire la matrice de l’endomorphisme de Weingarten dans les coordonn´ees(u, v).
(6) D´eduire des questions pr´ec´edentes les courbures principalesk1 etk2 de la surfaceΣ, sa courbure de GaussK, sa courbure moyenneH.
(7) Soit wun vecteur unitaire dans TpΣ, avec p=f(u, v).
(a) Montrer qu’il existe θ dans]−π, π]tel que l’on ait w= cosθ∂f
∂u(u, v) + sinθ
√1 +u2
∂f
∂v(u, v).
(b) Quelles sont les valeurs de θ pour lequelles w est vecteur propre de l’endomorphisme de Weingarten ?
(c) En d´eduire queγ(t) =f(u(t), v(t))est une ligne de courbure (i.e.γ0 est vecteur propre de Weingarten en chaque point) si et seulement si
v0 =± u0
√1 +u2. (d) En d´eduire l’´equation g´en´erale des lignes de courbure.
2
