TD d’algorithmique avanc´ee
TD 10 : Circuit de poids moyen minimal
Jean-Michel Dischler et Fr´ ed´ eric Vivien
SoitG= (S, A) un graphe orient´e, de fonction de pond´erationw:A→R, et soitn=|S|. On d´efinit le poids moyend’un circuitc form´e des arcs he1, e2, ..., eki(c=he1, e2, ..., eki) par :
µ(c) = 1 k
k
X
i=1
w(ei).
Soit µ∗ = minc circuit deGµ(c). Un circuit c pour lequel µ(c) = µ∗ est appel´e circuit de poids moyen minimal. Nous ´etudions ici l’algorithme de Karp, qui est un algorithme efficace permettant de calculerµ∗. Nous supposons, sans perte de g´en´eralit´e, que chaque sommetv∈S est accessible `a partir d’un sommet origines∈S. Soitδ(s, v) le poids d’un plus court chemin desversv, et soitδk(s, v) le poids d’un plus court chemin desversv compos´e exactement de karcs (si un tel chemin n’existe pas,δk(s, v) = +∞).
1. Montrez que le minimumµ∗ est effectivement atteint, et est atteint sur un circuit ´el´ementaire.
2. Montrez que siµ∗= 0 :
(a) Gne contient aucun circuit de poids strictement n´egatif ; (b) δ(s, v) = min0≤k≤n−1δk(s, v) pour tous les sommetsv∈S.
3. Montrez que, siµ∗= 0,
max
0≤k≤n−1
δn(s, v)−δk(s, v)
n−k ≥0
pour tout sommet v∈S. (Indication : on utilisera les deux propri´et´es d´emontr´ee `a la question 2).
4. On suppose ici queµ∗= 0. Soitc un circuit de poids nul, et soientuet v deux sommets quelconques dec. Soitxle poids du chemin deu`av le long du circuitc. D´emontrez queδ(s, v) =δ(s, u) +x.
(Indication : quel est le poids du chemin dev `a ule long du circuitc?)
5. Montrez que, siµ∗= 0, il existe un sommetv sur le circuit de poids moyen minimal tel que max
0≤k≤n−1
δn(s, v)−δk(s, v)
n−k = 0.
(Indication : montrez qu’un plus court chemin vers un sommet quelconque du circuit de poids moyen minimal peut ˆetre ´etendu le long du circuit pour cr´eer un plus court chemin vers le sommet suivant dans le circuit.)
6. Montrez que, siµ∗= 0,
min
v∈S max
0≤k≤n−1
δn(s, v)−δk(s, v)
n−k = 0.
7. Montrez que si l’on ajoute une constante t au poids de chaque arc deG,µ∗ est ´egalement augment´e det. Servez-vous de cette propri´et´e pour montrer que
µ∗= min
v∈S max
0≤k≤n−1
δn(s, v)−δk(s, v)
n−k .
8. Proposez un algorithme permettant de calculerµ∗. Quelle est sa complexit´e ?
9. Pourquoi l’hypoth`ese « chaque sommet v ∈ S est accessible `a partir d’un sommet origine s ∈ S » n’est-elle pas restrictive ?
