HAL Id: tel-01097793
https://hal.inria.fr/tel-01097793v2
Submitted on 3 Jul 2017
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de
Automated verification of termination certificates
Kim Quyen Ly
To cite this version:
Kim Quyen Ly. Automated verification of termination certificates. Computation and Language
[cs.CL]. Université de Grenoble, 2014. English. �NNT : 2014GRENM036�. �tel-01097793v2�
THÈSE
Pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE GRENOBLE
Spécialité : Informatique
Arrêté ministériel : 7 août 2006
Présentée par
Kim Quyen Ly
Thèse dirigée par Jean-François Monin et codirigée par Frédéric Blanqui
préparée au sein de l’équipe-projet Formes de l’INRIA au Laboratoire Franco-Chinois d’Informatique et d’Automatique de Beijing, Chine et de l’École Doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l’Information, Informatique de Grenoble
Automated verification of termination certificates
Thèse soutenue publiquement le , devant le jury composé de : Mr Frédéric Blanqui
Chargé de recherche à l’INRIA, Paris, France, Co-Directeur de thèse
Mr David Delahaye
Maître de conférence au CNAM, Paris, France, Examinateur
Mme Catherine Dubois
Professeure à l’ENSIIE, Évry, France, Rapporteur
Mme Dominique Duval
Professeure à l’Université Joseph Fourier, Grenoble, France, Examinateur
Mr Jean-François Monin
Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble, France, Directeur de thèse
Mr René Thiemann
����������������
� ����� ���� �� ������� �� ������� ��������� ������� �� �������� ������� ���
��� ��������� ��������� ��� ���� �������� ������� ������� ���� � ����� ���
���� ���� ���� �� ����� ���� ������
� ����� �� ���� ������������� ����� ��� ��� ���� ��������
� ��������� ����� �� ����� �������� ��� ��� ����� ������� �� ��� �����
������ ������� �� �������� ����������� ��� ����� ��� ���������� �� ����
����� ������� �� ��� ��������� �� �������� �� ��� ������� ������� �� ��������
�� �������� ��� ��������� ����� �������� ������ ��� ������������� ��������
�� ������� ��� ��� ����� ��������� ������� �� ������
� ����� ���� �� ����� �� ������ ��������� �� ���� �������� ��� ���
��������� ������ ��� ����� ������� ������� ��� ������������ ������������ ���
�� ��� ��� ����� ���� �������� �� ����� ��������� ��� ��������� ������ ���
������ �������� �� ���� ���� �� ��� �����
��� ���� ��� ��� ��� ����� � �� �������� �� ��� �� ������� ��� ��� ������
������� ����������� ��� ������� ��� ��� ��� �� ������ ��� ����� ���� ���
������� ������ �� ��������
��� ���� � � � ���� ������� ������ �� ��� �������� ���� ����� ������ ��� ���
�������� �� ��� ������� �� �� ��� �� �������
��������
� ������������ �
��� ������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� ������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� ��������� ��� ����� ���� �� ���� ���� ��
��� ������ � ���������� ����������� �������� � � � � � � � � � � � � ��
��� ���� � ������ ����� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� ��������� ���� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ���� � �������� ��� ������������ ����� � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ���� � �������� ��� ���������� ������� �� ����� � � � � � � � � � � � ��
� ���� ��������� ��� ����������� ����������� ��
��� ����������� �� �������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ���� ������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ����������� �� ���� ������� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� ���� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� �������������������� ��������� ����� � � � � � � � � � � � � ��
����� ���������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ����������� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� ��������� ���������� �� ��� ��� ����� ���� ���������� ���
������������ ��� ���� ����� ��� �� ��� �������� ��
��� ����� �������������� �� �� ��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� �������������� �� ��� ����� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� �������� �� ��� ���� ���������� �� ��� � � � � � � � � � � ��
��� ��������� ���������� �� ������� ��������� � � � � � � � � � � � � ��
����� �������������� �� �� ��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� ��������� ��������� �� ��� ��� ���� ���� � � � � � � � � � ��
����� ����������� ��� �� ��� ���� ��������� ���� ��� � � � � ��
� ����������� �� ��� ���� ���������� ���� ����� ���� ���������� ��
��� ������������ �� ��� ����� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ����� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ����������� �� ��� ���� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� ������������ ������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� ����������� ��������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� ������������������������ ������� � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� �������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� �������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� ������������� ��� ����� �� � ���������� ������� ��
��� ��������� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ������������ ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ������������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� ���������� ��
��� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ������� ��������� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� ����������� ��� ���������� ���� ���� ��
��� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� ���������� ��
�� ���������� ��
���� ������������ �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� �������� �� ��� ���� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
������� �
������������
��� ����������� �� ����������� �� ��� ��������� �� ������� ���������
��� � �� �� ���� ����� � ��� �� ����� ������ �� �� �������� ����������� ��
���� ������ ��� �� ������� ��� ��������� �� � ��� ���������� ������
���� ������ �� �������� ����������� ������������ �� ��������� ������
������ ��� ������� ������� �� �����
������ ���� ���� � �������� ������� ������� �� ��������� ���������� ��
�������� ������������ �������� ���������� ������� ��������������� ������ �� ����
��� ���� ���������� ��� ��� ���� �� ����� �������� �������� ������ ����
��� ���� ���������� ��� ��������� �� ��� ����������� �� ������ ���������� ���
��� �� ����� ���� � ������� ������� �� ��������� �� ���������� ���� ��� �����
�� ��� ������ �� ���� ����� �� ����������� �������� �� ������� ���� ���������
���� �� ��� �������� �������� �� � �������� ��� ���� ����� �� ��� ���� ������
������� ��������� �������� �� ����� �� ����� �� ����� �� ��� ������ ������ ����
������ ��� ����� ����������� ����� ��� ����� �������� ���� ������ �� �������
���������� ����� �� �� ������� ���� ��� ������ ������� ��� �������� �� ���� ��
���� �������� �� ��� ���� � ������� ���� ������� ������� ��� ����� �� �������
�� ���� ��� ��� ������� ���� ���� ��� �� �� ��������� ��� ���� � �������� ������
��� ����� �� �������� ����� ��� ����������� �� ���� ���������� ��������
�� ��������� ������� ��������� ���������� �� ������� ���� ������ ���� ����
��������� �� ������������ ���� ��� ������� ������ ������� �� ������� ��������
��������� �� ����� �� ������ �� ������ ����������� �� ��� ���������� ����� �� ��
�������������� ����� ��� ��� ���� (p, i) ���� �� � ����� ������� �����������
p��� � ����� ����� i��� p� ��� ���� �� � ����� ������ �� ���� ������� p����
������� �� i�� ���� ���� ��� �� ��� ����������� �� ���� �������� ����������
��� ����� ����� ������ ���� ���� ������ � � � � ��� ������ �� ����� ��� ��������
���� �� ��������� �� ����������� ���� ��������� ������ ���� ����� ���������� ��
����� �� � ���� ��� �������� ��������� ���������� �������� ����� �������� � ����
���� ��������� ��� �������� ������� ����������� ���� ������������ �� ��������
����������� ��������� ���� ������ ���� ����� ������� ���� ���� ���� ����� � � � ����
�� ��� ��������� ���� �� ���� �������� �� ���� �����
���� �� ����� ��� �� ��������� ���� � ������� ������������ ���� � ���������
�� �������� ��� ��� �� ����� ���� ������� ������ ������ �� ��� ���� ����� ��� � �����
�������� �������� ���� � �������� �� ������� �� ������� ������ ���� ������ ����
� ��������� ������� ��� ������ �������� ���� ������������� ��������� ����� ���
������ ���� �������� ����� ������������� ������ �� ��� ������� ��� ���������
��������� ������ ��� ���� �� ���� �� ���� ��� ���� ������ ��� �� ��� ��� ����
������� ���� ����� ������ ����������� ���� ��� �� ���� �� ������ ��� �����������
�� ��� ������� ��� ������ ����� ����������� �� ���� � ��� ���� ����� �����������
�� �������� �� � �������� ������������� ��� ����������� ������ ��������� ��
����� �� ���� ���� ��� ������� ���� ��� ������� �� �������� ��� ����������
�������� ����� �� �� ���� � ���� �� ����������� ��� ��������� ������ � �������
���������� ���������� ���� ������� ������� ���� �������� �� ��� ��� ����� �����
����������� �� ��� ������ �� ������� ���������� ����� ��������� ��� �����������
�� � ����� ���������� ���� ����������� �� ������ �� ��� ���� �� ��� �������� ����
�� ��� �������� ���� ������� ��������� ������� ��� ��� ����������� �� �����
����� ���� ������� ������� ������� �� ����� �� ���� ������ � ������ ������
��������� ��� ������������� ������� ������� ����� ��� ���� ���� ��������
��� ������������ ����������� ������������ ��� ���������� �������� ������� �� ��
���������� ������� ����� ����� ���� ��� ���� ������
�� ���� ����� �� ������� ��� ����������� �� � ���� ������ ��� ��������
������ ������� �� ������� ����� �� ��� ���������� ��������� �� ��� ����� ���
�������� ������� �� ������� ������� � ��� ��� �� ��� ����� ���� ������ �����
������ �� ���� � ������������ ����� ������� �� ��������� � ��� ��� ���� �
��� ������� ����� ��� ��� ��������� �� ��������� ������ ��� ����������� �����
���� ��� ��� ��� ���������� ���� ���� ������� �� ������ ��� �� ����� ��� �����������
�� ��� ������� ���� �������� �� ����������� ��� �� �������� � ��� �� ����� ��
��� ����������� ������ ��������� �� �������� ������ ���� �� ���� ��� ��������
�������� �� ������ �������� �� ������ ���� � ������ �� ������������ ������
������� �� ��� ��������� ��� ������������ ����������� �� ���� ������ ���� ����
�������� ������� �� � �������� ����������� �������� ��� �������� ���� ������
����� ������� ������� ��� ����������� ���� ��� �� ��� �� ��� ��������� �� ���
������� ������ ��� ������ ���� �� ��� ��������� �� ����� ������������ �� �� ���
���������� �� ����� ������������ ��������� ��� ���� ���� ���� ��� ������������
����������� ���������� ��� ��� ������� �������� ���� �� ������ � ����� �� ���� ����
���� ���� � ���� ��� ��� ������� �� ����� ���� �� � �������� ������ �� ������
��� �� ��������������� �� ����� ��� ������ �������� ��� ����� �� ����� ���
�������� ����� ��� ����������� �� � �������� �������� ������� � ���������� ��
����� �� ���� �� ����� ��� ������� �� ������� ��� ��� ������� � ������ ��������
��� ���������� � ��� ���� ���� ��������� ��� ������������ ��� ������ ����
����� ����� ����� ��� �� ��� ����� ������ ��� ���� �� ����� ��� ������ ��������
��� ����� �� ������� ���� �������� �� ������ ����� ��� ������� ���� ����� ���
�� ����� ����� ��� �������� �� ����� ��� ����� ��������� ��� ��� ��� ����������
��������� �� ��� ����������� �������� ����� ����� ������� ���� ����������
��� ��������� ������ �� ��� ��� �� ���������� �� ����� ��� ���� �������� ��
������ ���� �� ����� ��� ����� ��������� � ������� �������� ��� ���� ���������
�� ���� ����� ����� ��� �������� ����� ��������� �����
������ ���� ���� ��� ��� ���������� ��� �������� ������� �� �������
��� ������� ����
�� ��������� �������� ����� ��� ��� ����� ����� ��������� ����������� �������
������ ���� ��� ������ ���� ����� �� ����������� ���� ���� ���� �����������
�� ������� ���� �� ���� ����������
���� ���� ��� ���� �������� �� ��� ��� ������� �� �������� �� �� � �������
������� ����� ������������� ��������� ���� � ������ ����������� ���� ����
��� ����� ��������� �������� ����� ��� ����� ������������ ����� ������
������������ ���� �� � ����������� ������� �� �������� ������ ������ �� �����
����� �� ��� �� ���������� �� � ������������ ������� �� ��������� ��� ������ ����
��� ����� �� ������ ����� �����
�� ��� ����� ����� ��� �� ����� �� ������������ �������������� ���� ������
���� ��� ������� ������ � ����� �� �� ������� �������� �� ��������� ��������� �����
����� �� ���������� �������� ��� ����� �� �������� ������ ������ ������������
�� ����� ������ ����� ����� �� ��������� ������� ������
���� �� �������� ����� ��� ������������ ������� �� ��������� ������ ��� ����
�������� ������ ����� ���� ������� �������� ���� �������� �� ���������� �������
������� ���� ����� ����� ���� ���� ���� ����� �� ��� ����� ����� ����� ����
����� ���� �������� ���������� ��� ������������ ��������� ���� ���� ������
���� �������� ���� ����������� ���� ��������
����� �� � ������������ ����������� ����� �� ��������� ��� ������� ����� ��
� ��� ������� ������ ����������� ���� �������� �� ������� �� ��� �������� �������
�� �������� ����� ���� ������� ��������� ��� ������ ��������� �� ��� �����
���������� ��� ���� ����� �� ������� ��� ���� ����������� ����������� �����
����� ��� ������ ��� ���� ��������� ��� ���������� �� ����� ����� ������
������ ��� ��� ���������� ��������� �� ������ �� ����������� �����
����� ��� ���������� ��� ���������� ���������� ��� ���� ���� �������� ���
����� �� ������ �������� �� ������ ����� �� � ����������� �� ����� ����� ����
���������� ����� �� ����� �� ����� ���� ����������������� ��������� �� ����������
���������� ���� �������� ��� ��� �������� ��� �������� �� �������� ��� ����
����������� ������� ��� ����� ���������� ���� ����������� �� � ����� �����
�����
������� ��� ��� ��� ������� ��� ���� �������� ����������� ��� ��� �����������
������� �� � ������� ������� ������ ���� ��������� �������� ���� ������ ������
������ ���� ������ ��� �� � ���������� ������� ������� ��� ������ �� ���� ����
�� ���� �� ��� ��� ������ ����� ����� ��� ��� ��� ������ ����� ������ ����
������� �� ������� �� � ������� ��� �� ��������� � ������� ��� ���� �������
������� ��� ��� ��� ������� ���� ���� ���������� �� ��� ����� �����������
������� ������� ��������� ��� ���� �� ��� ����� ����� ������ �� ������������
����� �� �� ��� ��� ������������ �����
�������� ���� �� � ������� �������� ��� ��� � ����������� ��������� ���
�������� �������� ���� �� ������ �� ������ ������� ��� ���� �� ��� ����� �
�������� ��������� �� � �������� ������ ����������� ��������� �� ����� ����
������� ��� ��� ��� �������� �� ������ � ������ �������� ��� ��������� � ����
����� �� ����������� ���������� ������������� ����� ���� ��������� �������� �
����������� ���������� ���� �������� ������ �� �� ������� �� ���� ����� ���
�������������� ��� �� ������� �� �� ��������� �������� ��� �������
��� �������������
�� ������������� ��� �� ���������� �� ��������
�� ��� ������ �� ����������� ������������ ���� �� ������ �� �� ��� �����
����� ���� ����� ���� ����������� ��� ��� ���� ���� ���� �� ����� ���
��� ������ �� ����� �� ������ ��� ���� �� ������ �� ��� ������� �� ��� �����
��� ������� ��� �� �������� ����� ���� ���� ��� ����� �� ������������ �
��������� ��� ����� ������� ��� ������ ����� ����� ��� ��� ��������
D� ��������� ��� ���� ���������� ��� ����� ������� ��������� ��� ������
������� �� ��� ��� ������ ��� ���� ����� ���D� �� ����������� �� ���� �
��� ���� ��������� ��� ��� ������������ ����������� ����������� ����� ���
��� ������� ��� �� ����
�� � ������ �� ��� ��������� ��� ����������� ����� ���� ��������� ���� �� ���
���� � ���� ��������� ���� �� ����� ���� ��� ���������� ����� ���� �������
���� ����� ����� ��������� ��� �������� ��� ������� ����� ����� ��� ��� �����
����� ������� �� ���� � ��� �� ������� ������� ���� �� ��������� ��������
��� ������� �� ��������� ��� ������� �������������
�� � ������ �� ��� � �������� ��������������� ��� �������� ��� ��������
���� �� � ����������� ���� ��� � ������� �������� ���� ������� ���� �� ���
���������� �� �������� ��� ����� ���������� ���� �� ����� �� ���� ������
��������� �� ����� �� ���� �� �������� � ��� �� ����� ����� ���� ���� ������
�� ����� ��� �������� ��������� �� ����� ��� ����������� � �������� ������
�� ��� ��� ����������� �� ��� �������� ������ ���� ��� � ������ ���� ��c��
� ���������� ��� ��� ����� ����������� �� ���� ���� ������� ������R���
������c� ������� ����� ���� R����� ���� ���������� ���� ������ ��� ��
���� �� ��� ��� ������ ��������� �� �����
�� �������� ����� ��� ���������� ��������� �� ����� ��� ��� ����� �������
��������� ��������� �� ������� � ��� �� ����� ������� ���� � ��� �������
���� � ���� �������� ���������� ����������� ���������� �������� �� �����
������ �������� ���� �� ��������� �� ������� ����
��� ������� ���� ��� �� ���������� �� ������ ����
������ ���� ���� ��� ��� ���������� �������
��� �������
���� �������� �� ��������� �� ��������
������� �� � ���� ���� ����� ������������ �� ��� ��������� ��� ����� ���� �� �� �����
��� ����������� �������� ������ ��� ����� ��������� ���� ��� ��� ����
��� ������� ��� ��� ��� ���� ��� �������
������� �� � ��������� ��� ������ �� ���� ������� ������ ������ ����� ���� �� �����
��� � ��� �� ���������� ������� �������� �� ���������� ��� ������� ���
����������� �� � ���� ��� ��������� ��� ������ �� ����������� ��� ���
����������� �� ���� ���� �� ��� ��� �������
������� �� ��� ��� ������ ��� ����������� ����������� �� ������ �� �� ��� ��������
���������� � ��� �� ��� ����� �� ���� �������� � �������� � ���� ����
������������� ��������� ��� ���� ����� ��� ����� ������� ��������� ���
������������ �� ��� ��� ����� ��� ��� ��� ����� ��� ���� ����� ���
���������
������� �� � �������� ��� ���� ���������� ���� �� ��� ��� ���� ��� ������� ��� ������
�������� ���� ���������� ���� �� ��� ��� ��������� ����� ��� �����������
��� ��������� ����������� ��� ������ �� ��� �������
������� �� � �������� ��� ��������� ���� � ��������� �� ��� ��� ��������� ��� ��������
���� �� ������� ����������� ����������� ����� ����������� ����� ���������
������ ���������� ���� ��������������� ���������� ����� �������������
��� �������� ���������� ��� ������� ��� �� ������ ����� ����������� �����
��� ����� ��������
������� �� � ������� ��� �� ��� � ���������� ��� ������� ����� ��� ���������� �����
������ ��� ������� ��� ������� ��������� �����
������� �� � ������� �� ���� ���� ��� ��� ������� ���� ��������� �� ��� �����
��������� ��������� ����� �� ����� �� � �������� ������� ������ ���� ��� ���
�� ���� ���� � ������� ��� ������� ���� � �������� �� ���� �� �����������
��������� �� ��� ������ ����������� ������ �� ��� ����������� �������
���� ���� �������
������� �� � �������� ��� ������� ����� ��� ������ �� ���� �����
������� �
��������� ��� ����� ���� ��
���� ����
�� ���� ������� �� ���� � ����� �������� �� ��� ��������� ��� ����� ���� ��
���� �����
��� ������ � ���������� ����������� ��������
�� ���� ������� �� ������ ��������� ��� ����������� �������� ����� ����
������� ����� ���� ���� �� �� � ����������� ����� ���������� ����������� ����
������ ���� ���
� ��������� ��� ���������� �������� � �������� ��� ���� �� �������� � ��������
��� ������ � ���������
� ��� ���� �������� ��� �� ������� �� �������� ����� ���������������
� ����� ������� ���� �� ���� ����� �� ������� �����
��� �������� ������� �������� � �������� ���� ��������� ��������� �� ����
����� �� ��� ��������� ���� �� ��� ���� ����������� ������� �� ������ �����������
���� ���� �� ���� �������� � �������� ������ �������
�� �� �������� �� ����� ��������� ���� ����� ������� ������ �� ����������
��������� ��� �������� ����� ������ ����� ������ ����� �� ����� � ������� ����
������ �����
�������� ��������� ��� �� ����������� ������ �� ������� �������� � ����� ��
� ��������� ���� �����
��� ��������� ��� ���� �� ����� ��� ��� ����������� �������� ���� ������� �
�������� � �� ����� ������� �� � ���� ��� ������ �� ����� �� ��������
���� �� ���� � ��� � ���� �� �� � �� ������
��� ��� ��� � � ��������
� ��� �� ���
� ���� � � �� ���� �� �� ���� � ����
��� ���� �������� �� ����� ��� ��� ��� ��� �� ��� �� �� ���� �� �� ����
����� �� ��� �� ��� ���� ��������� ���� ��� �� ������������ �� ��� ���� �����
���� ������ ��������� ��� ����� � � � ��
��� ���� � ������ ����� ���������
��� �� �� ����������� ������ ����� ����������� ������ ����� �� ��� ������
��� �� ������������� ���� ���� ���� ���� �� �� ��������� �� ���� ������������
�������������� ���� ������ ���� ��� �������� ������ � ���� ����
�� ������ ��� �� ����� ������������ �������� ������� �������� ����� ����
��� ����� ������ ������ ���� ��� ���� ������� �� ��� �������
�� ���� ����� ������ � ���� �� ������ �� ��������� �� ���� ���� ��� ��
������� ���� ��������� ���� ����������� ���� �� �������� �� ��������� � ��������
������� ��������� �� ���� ����i∈N �� ���� ����i�����i+1 ���� �� ������i� ����
������i+1� �������� ��� ��� ���� �� ����������� ��� ������� i ��� ��� �������
�� ��� ��� ��� �� ���� �� � ������� ��� ����0� ��������� � �������� ������
���������1 �� ���� ������1 �������� ������� �� ���� ��� ������������ ��� ���
�� ������� ������������� �� ���� ��� �������� ��� �� ����� �� ������ � ��������
��� ��� ����� �� ��� ��� ������� ����� ��
��� ����� ��������� ������������� �� ��� ��� ���� ����� ���
� ������� ���� ��� ��� ��������� ������� ���� �� �����������
� ���� ��� �� ��� ��� ����������� ��������� �����������
� �� ��� ��� �������� ������������
������ ���� ��� �� ���������� ������ �� ��� �������� ����
��������� �� �������� ����� ��� ���� ���� �� �� ������� �� ��� ��� � ����
� �������� �� ��
��� ��������� �� � � ������ ���������� ��� ��� ������ ���� �� �������
���� ���������� �� � �� � ����� �� �� ���� �� �� �� � ����� �� ����
����� ��� ���������� ��� �� ������ ����������� ���� ���� ��������� ��� ��
������ �� ����� ���������������� ���� ���� ��� ���� �������� ������� ��������
���������� ����� ��� ������ ����������� ������������� ������������ ������ � ����
����� ��� ������� ����� ������� ����� � ������ ������ ����� ���� ������� ������
�� ���������� ��������� ���� ��� ���� ����
����� ����� �� �������� ��� ���� ����� �� ��������������� ��������� ����� �� �����
�� ��� ������ �� ����� ������� �������������� ��� ������������� ����� �� ����� ��
��� ������ �� ������ �� �������������� ������ ��� ��������� ����� �� ��������
������ P ∨¬P �� ��� �������� ���� ����� �� ��� ������������� ���� P ∨¬P
����� �� ����� ��� �� �� ��� ���� �� P ����� �� ¬P ������ �� ������������
������ ���� �� ���� � ����� ��P∨Q� �� ���� �������P ��Q������
��� ��� ���� ������������ ���� �� ��� ������������ �� ������� ��������� ���
����������� ������ ����������� � �������� �������� ���� � � �������� ����� ��
��������� ��� ���������� ������� ����� ��� ��������� ������� ����� ��� ����
����������� �� ���� ��� ��� ������� ���� ���� ����
����� ��������� ���� �����
� ��� ��� �� ������ ����������� �� ����� ��� ������� ��������� ���
��������� ��� �������� ���� �� �������� � ����� �� ���� ���� ��� ��������� ��� ����
��� ��� ����� ������� ������� �� ������ �� �����������������������������
�� ��������
��������� ��� � ��� ��
� � � ���
� � � ��� �� ����
���� ����� ���� ��� �� ��� �������� ��� ����� ���� � ��� �� ����� ��� �����
��������� ��������� ��� ������������� ��������� ����������
�������� � ������ � � ��� �� �����
� � �� ������� � � ���� � � �� � �� ��� �� ������ � � ���� � �
����� ��� ���� �� ������������ �� ����� ����� �������������� �� ����
���������� ������� ��� ��������� ��� ��� �� ������� �� ��������� � �� �������� ��
���� ��� � �� ������ �� �������������������������������� �� ��� ���������
���� ��
��������� � � � ��� �� ���� ��
� ��� � � � �
� ���� � ������ ����� �������� � � � �� � � �� ���
����� ������������� ��������� ��������� ��������� ���
������ � ������ �� � ����� �� � ������ � � ���� � � � �� ������
� � ���� �� ��
������� �� � �� �� � ���� �� � � � ���
� � � �� � �� �� ����� � � � ��� ��
������ �� � ���� �� � � � ��� � � �
��� ��� ����� ����� ��� �� �������� ������ �� ����� ��� �������
��������� �� �� ��� ���� �� �� ����
������ ����� ����� ��� ���� ������� ����� ��� ������� ��� ��������� �����
���� � ������ ������������ ��� �� �� ������ �� ��� ��� ������� �������� ������
��� ����� �������� ������� ���� ������������� �������� ��� ����������� �����
������ ����������� ��� ��������� ��� ��������� ������ ���� �� ���� �� ������
��������������������� �� ��������� ������� ������
������ ���� � ���� �� ������ � ��� � ����� ��� � ���� ��
����� ���������
��������� �� ��������� ����� ��� �� ������ �� ����� ��� ��������� �����������
��� ��������� �������� �� ��� ��� �� ������ �� ��������
���������� ��� � � ��
�������� ���� � �� ���� � ���� �� �������� �� � ��������� ��
��� ���� �� ��� ���� �������� ��� ��� ������ ���� ����� ��������� ����������
�������� ��� ���� ��� ��������� ���������������� ����������
�������� ��� � � � ��� ��
����� � ����
� � �� �
� � �� �� � ���� � ���
����
���� ���� � ���������������� ��������� �� �������� �� ��� �� ��� ��������
����������� ������ ��� ��� �� �������� ���� �� ������������ ���������� ���� ���
��� ���� �� � ���� ������ ����������� ���� ��������� �������� ��� ���� �� ���� ����
������ ��� ���� ������� ���������� ������ ��������� ��������� ��� ����������
���������� �� ������� ����������
��� ��� ��� �� �������� ��������� ��������� ����� ��� ������� ���������
���� �� ��������� ��� ���������� �������� ���� �� ������ ��� �� �� ��� ���������
�� ������������ ����������� ��� ���������� �� �� �� ���� ��� ���������� �����
���� ��� �� �������� ����� ���� �� ���������� �������� ���� �� ���� �� ������
����������� �� ��������� ������
�������� ��� �� �� ���� ������� �� � ��� ��
����� � ����
� � �� �
� � �� �� � ���� � ���
�����
����� ������������
������������ ��� �������� �� ����� ��������� ������������� �� ����� �� ���
��������� �������� ��� ����������� ��������� ��� ��� ����� ������� �����������
��� ������ �� ��������� ������ ��� ��������� ��� ����������� �� ��������� ��� ��
������ �� ������������������������� �� ��������
��������� �� �� � � ����� � ���� ��
� ��������� � � �� � �� �
� ��������� � � �� � �� ��
����� ������
�� ��� ����� ��� ����� �� � ����������� �� ����� ��� ������� ����� ���
�������� ����� � � � ��
����� ������� � ������ �� � ����� �� � � � �� ������
������� �� � �� �� ������� �� � �� �� ������ �� � � �� � ��